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课后限时练21　抽象函数
1．(2025·辽宁葫芦岛模拟)已知函数y＝f(2x＋1)的定义域为[－1，2]，则函数y＝的定义域为(　　)
A．[－1，2] B．(－1，2]
C．[－1，5] D．(－1，5]
2．(2025·黑龙江大庆模拟)函数y＝f(x)与y＝g(x＋3)＋1都为奇函数，且 x∈R，都有f(x)－g(x＋4)＝0，则f(1)＋f(2)＋…＋f(100)＝(　　)
A．2 525 B．2 526
C．5 049 D．5 050
3．(2025·辽宁本溪模拟)已知定义在R上的函数f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，且f(x)在(－∞，0)上单调递减．设a＝f(log23)，b＝f(ln 3)，c＝f，则(　　)
A．aC．c4．(2025·云南玉溪期中)已知定义在R上的函数f满足f＝－f，且函数y＝f为奇函数，则下列说法正确的是(　　)
A．f的一个周期是2
B．f是奇函数
C．f不一定是偶函数
D．f的图象关于点中心对称
5．定义在R上的偶函数f满足：对任意的x1，x2∈(x1≠x2)，都有<0，且f(3)＝0，则不等式f>0的解集是(　　)
A．
B．
C．
D．
6．(2021·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋2)为偶函数，f(2x＋1)为奇函数，则(　　)
A．f＝0 B．f(－1)＝0
C．f(2)＝0 D．f(4)＝0
7．(多选)(2025·山东菏泽一模)已知函数f(x)的定义域为R，且f(1)≠0，若f(xy)＝yf(x)，则(　　)
A．f(0)＝0
B．f(x)是奇函数
C．f(x)是增函数
D．f(x)＋f(2x)＝f(3x)
8．定义在[0，1]上的函数f(x)满足：①f(x)＋f(1－x)＝1；②f＝f(x)；③f(x1)≤f(x2)(0≤x1＜x2≤1)，则f(1)＝________，f＝________．
9．(2025·北京高考)关于定义域为R的函数f(x)，以下说法正确的有________．
①存在在R上单调递增的函数f(x)使得f(x)＋f(2x)＝－x恒成立；
②存在在R上单调递减的函数f(x)使得f(x)＋f(2x)＝－x恒成立；
③使得f(x)＋f(－x)＝cos x恒成立的函数f(x)存在且有无穷多个；
④使得f(x)－f(－x)＝cos x恒成立的函数f(x)存在且有无穷多个．
课后限时练21
1．D　[对于函数y＝f(2x＋1)，－1≤x≤2，
则－1≤2x＋1≤5，所以函数f(x)的定义域为[－1，5]，对于函数y＝
解得－1因此，函数y＝的定义域为(－1，5]．故选D．]
2．D　[由y＝f(x)与y＝g(x＋3)＋1都为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，g(－x＋3)＋1＝－g(x＋3)－1，
又f(x)＝g(x＋4)，所以f(－x－1)＝g(－x＋3)，f(x－1)＝g(x＋3)，
所以f(－x－1)＋1＝－[f(x－1)＋1]，
即f(－x－1)＝－f(x－1)－2，
所以－f(x＋1)＝－f(x－1)－2，
即f(x＋2)＝f(x)＋2，
又f(0)＝0，－f(1)＝－f(－1)－2，得f(1)＝1，
所以f(2)＝f(0)＋2＝2，f(3)＝f(1)＋2＝3，…，f(n)＝n，
所以f(1)＋f(2)＋…＋f(100)＝1＋2＋…＋100＝＝5 050．
故选D．]
3．D　[因为f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，所以f(x)的图象关于y轴对称，所以f(x)为偶函数，
又f(x)在(－∞，0)上单调递减，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
由题得c＝f＝f(－lg 9)＝f(lg 9)，
又0ln 3>1，
所以f(lg 9)即c4．D　[对于A，因为定义在R上的函数f满足f，
所以f(x)＝－f(x＋2)，所以f(x＋2)＝－f(x＋4)，
所以f(x)＝f(x＋4)，所以f是以4为周期的周期函数，所以A错误；
对于BC，因为f，
所以f，
因为函数y＝f为奇函数，
所以f(2x－1)＝－f(－2x－1)，
所以f(x－1)＝－f(－x－1)，
所以f的图象关于点(－1，0)对称，
所以f(－x－2)＝－f(x)，所以f(－x)＝f(x)，
所以f是偶函数，所以BC错误；
对于D，因为f为偶函数，f的图象关于点(－1，0)对称，
所以f的图象关于点(1，0)对称，
因为f的一个周期是4，所以f的图象关于点(1＋4×506，0)对称，
即f中心对称，所以D正确．故选D．]
5．C　[因为函数f满足对任意的x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，
都有<0，
所以f上单调递减，
又f是定义在R上的偶函数，
所以f上单调递增，
又f＝0，所以f＝0，作函数f的草图，如图所示，
所以，当x<－3时，2x－1<0，f(x)<0，则(2x－1)f(x)>0；
当－30，
则f(x)<0；
当0，f>0，
则>0；
当x>3时，2x－1>0，f<0，
则<0；
当x＝－3或x＝3或x＝时，(2x－1)f(x)＝0．
综上，不等式>0的解集为．故选C．]
6．B　[∵函数f(x＋2)为偶函数，
∴f(2＋x)＝f(2－x)．①
∵f(2x＋1)为奇函数，
∴f(1－2x)＝－f(2x＋1)，
用x替换上式中2x＋1，得
f(2－x)＝－f(x)．②
由①②得f(2＋x)＝－f(x)，∴f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，即f(x)＝f(x＋4)，故函数f(x)是以4为周期的周期函数．
由②知，f(x)＋f(2－x)＝0，∴f(x)的图象关于点(1，0)对称．
又∵f(1)＝0，∴f(－1)＝－f(2＋1)＝－f(1)，∴f(－1)＝0．故选B．]
7．ABD　[对于A，因为f(x)的定义域为R，所以f(0)＝0，故A正确；对于B，令y＝－1，由题设可知f(－x)＝－f(x)，故f(x)是奇函数．故B正确；对于C，不妨取f(x)＝－x，则满足f(xy)＝yf(x)，且f(1)≠0，故C错误；对于D，令y＝2，则f(2x)＝2f(x)，令y＝3，则f(3x)＝3f(x)，故f(x)＋f(2x)＝f(x)＋2f(x)＝3f(x)＝f(3x)，故D正确．故选ABD．]
8．1　　[在①中，令x＝，
得f，
在②中，令x＝0，得f(0)＝0，
在①中，令x＝0，得f(0)＋f(1)＝1，所以f(1)＝1；
在②中，令x＝1，得ff(1)＝，
由③知，f(x)在[0，1]上非严格单调递增，因为f，所以 x∈，均有f(x)＝．
注意到，
因此f，
于是f
＝
＝＝…＝
＝．]
9．②③　[对于①，若存在R上的增函数f(x)，满足f(x)＋f(2x)＝－x，则f(0)＋f(2×0)＝0，即f(0)＝0，故x>0时，f(4x)>f(2x)>f(x)>0，故f(4x)＋f(2x)>f(x)＋f(2x)，故－2x>－x，即x<0，矛盾，故①错误；对于②，取f(x)＝－x，该函数为R上的减函数且f(x)＋f(2x)＝－x，故该函数符合，故②正确；对于③，取f(x)＝cos x＋mx，m∈R，此时f(x)＋f(－x)＝cos x，由m∈R可得f(x)有无穷多个，故③正确；对于④，若存在f(x)，使得f(x)－f(－x)＝cos x，令x＝0，则0＝cos 0，但cos 0＝1，矛盾，故满足f(x)－f(－x)＝cos x的函数不存在，故④错误．]
1/2课时21　抽象函数
[备考指南]　近几年，全国卷对抽象函数的考查有所增加，主要考查抽象函数求函数值、抽象函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性的应用．备考时，要立足题设信息，结合函数的性质(单调性、奇偶性)，灵活应用数形结合和转化化归等思想解题．
命题点1　抽象函数求函数值
【典例1】　(1)(2025·安徽皖北名校模拟)已知函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，则以下结论错误的是(　　)
A．f(0)＝1
B．f(x)＋f(－x)＝2
C．f(x＋1)＋f(x－1)＝f(2x)＋1
D．f(1＋x)＋f(1－x)＝0
(2)(2024·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)的定义域为R，f(x)>f(x－1)＋f(x－2)，且当x<3时，f(x)＝x，则下列结论中一定正确的是(　　)
A．f(10)>100 B．f(20)>1 000
C．f(10)<1 000 D．f(20)<10 000
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　赋值法是求解此类问题的重要方法之一，求解时常结合题设信息，令x＝y＝0或y＝－x等，以此为切入点迅速破解题目．
(2025·黑龙江大庆模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)，若f(－1)＝，则f(4)＝(　　)
A．1 B．16 C．128 D．256
命题点2　抽象函数性质的判断
【典例2】　(多选)(2025·山西太原三模)已知定义域为I＝(－∞，0)∪(0，＋∞)的函数f(x)满足：对任意的x，y∈I，f(xy)＝f(x)＋f(y)，且当x>1时，f(x)<0，则(　　)
A．f(1)＝0　
B．f(x)是偶函数
C．f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增
D．f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　判断抽象函数的性质通常以题设给出的抽象函数关系式为切入点，借助函数的相关定义迅速求解题目．
(多选)(2025·宁夏银川三模)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f，f(－1)＝1，f(0)＝－2，且f为奇函数，则(　　)
A．f(x)为奇函数
B．f(x)为偶函数
C．f(x)是周期为3的周期函数
D．f(0)＋f(1)＋…＋f(30)＝－2
命题点3　抽象函数性质的综合应用
【典例3】　(1)(2025·江苏扬州模拟)已知函数f(x＋2)是偶函数，f(x)在(－∞，2]上单调递增，则不等式f(3x＋2)A．
B．
C．
D．
(2)(2025·辽宁沈阳三模)已知定义在R上的函数f(x)满足f(2x＋1)为奇函数，且f(x)的图象关于直线x＝2对称，则＝1f(i)＝(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．2
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　函数的奇偶性、单调性、周期性及对称性
(1)奇偶性：若函数的定义域关于原点对称，则f(x)是偶函数 f(－x)＝f(x)＝f(|x|)，f(x)是奇函数 f(－x)＝－f(x)．研究具有奇偶性的函数问题时可以转化到部分(一般取一半)区间上．
(2)单调性：在求解与抽象函数有关的不等式时，往往利用函数的单调性将符号“f”脱掉，使抽象函数转化为具体的不等式求解．此时，应特别注意函数的定义域．
(3)函数的对称性与周期性间的内在联系
①若定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x＝a，x＝b对称，则f(x)的一个周期为T＝2|b－a|．②若定义在R上的函数f(x)的图象关于点(a，0)，(b，0)对称，则f(x)的一个周期为T＝2|b－a|．③若定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x＝a和点(b，0)对称，则f(x)的一个周期为T＝4|b－a|．
1．(2025·河北沧州模拟)已知函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，则(　　)
A．f(0)＝1 B．f(1)＝－1
C．f(2)＝0 D．f(3)＝0
2．(2022·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝1，则f(k)＝(　　)
A．－3 B．－2 C．0 D．1
3．(2025·陕西安康模拟)已知函数f(x)的图象关于点(2，0)中心对称，且f(x)在[2，＋∞)上单调递减，若f(3－2a)＋f(4a＋5)>0，则实数a的取值范围为________．
命题点4　抽象函数的导函数与原函数的对称性问题
【典例4】　已知函数f(x)，g(x)的定义域为R，g′(x)为g(x)的导函数，且f(x)＋g′(x)＝2，f(x)－g′(4－x)＝2，若g(x)为偶函数，则下列结论不一定成立的是(　　)
A．f(4)＝2 B．g′(2)＝0
C．f(－1)＝f(－3) D．f(1)＋f(3)＝4
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　(1)若函数f(x)连续且可导，则f(x)的图象关于直线x＝a对称 导函数f′(x)的图象关于点(a，0)对称．
(2)若函数f(x)连续且可导，则f(x)的图象关于点(a，f(a))对称 导函数f′(x)的图象关于直线x＝a对称．
(多选)已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，记g(x)＝f′(x)．若函数y＝f(x＋1)－x与y＝g(x＋2)均为偶函数，则下列结论正确的是(　　)
A．g′(2)＝0
B．函数y＝的图象关于点(0，1)对称
C．g(x＋2)＝g(x)
D．g(k)＝2 025
课时21　抽象函数
典例1　(1)D　(2)B　[(1)令y＝x＝0，有f(0)＝2f(0)－1，从而f(0)＝1，A正确；
令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)－1，故f(x)＋f(－x)＝2，B正确；
由题意得，f(x＋1)＋f(x－1)－1＝f(x＋1＋x－1)，
即f(x＋1)＋f(x－1)＝f(2x)＋1，C正确；
令f(x)＝x＋1，则f(x＋y)＝x＋y＋1，f(y)＝y＋1，满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，
但f(1＋x)＋f(1－x)＝1＋x＋1＋1－x＋1＝4≠0，即不满足f(1＋x)＋f(1－x)＝0，D错误．故选D．
(2)因为当x<3时，f(x)＝x，
所以f(1)＝1，f(2)＝2，
又因为f(x)>f(x－1)＋f(x－2)，
则f(3)>f(2)＋f(1)＝3，
f(4)>f(3)＋f(2)>5，
f(5)>f(4)＋f(3)>8，
f(6)>f(5)＋f(4)>13，
f(7)>f(6)＋f(5)>21，
f(8)>f(7)＋f(6)>34，
f(9)>f(8)＋f(7)>55，
f(10)>f(9)＋f(8)>89，
f(11)>f(10)＋f(9)>144，
f(12)>f(11)＋f(10)>233，
f(13)>f(12)＋f(11)>377，
f(14)>f(13)＋f(12)>610，
f(15)>f(14)＋f(13)>987，
f(16)>f(15)＋f(14)>1 597>1 000，则依次下去可知f(20)>1 000，则B正确，且无法证明ACD一定正确．故选B．]
考教衔接
D　[令x1＝x2＝0，则f(0)＝f(0＋0)＝[f(0)]2，则f(0)＝0或f(0)＝1．
若f(0)＝0，令x1＝x，x2＝0，则对于任意x有f(x)＝f(x)f(0)＝0，而f(－1)＝，不符合，
所以f(0)＝1，
则f(0)＝f(1－1)＝f(1)f(－1)＝1，
故f(1)＝＝4，
所以f(4)＝f(2＋2)＝[f(2)]2＝[f(1)]4＝44＝256．故选D．]
典例2　ABD　[A选项，令x＝y＝1，则f(1)＝f(1)＋f(1)＝2f(1)，所以f(1)＝0，A正确；
B选项，令x＝y＝－1，则f(1)＝f(－1)＋f(－1)＝0，
所以f(－1)＝0，令y＝－1，
则f(－x)＝f(x)＋f(－1)＝f(x)，
所以f(x)是偶函数，B正确；
CD选项，任取x1，x2且x1>x2>0，
则f(x1)－f(x2)＝f－f(x2)＝f(x2)＋f－f(x2)＝f，
因为x1>x2>0，所以>1，
因此，f(x1)－f(x2)＝f<0，
即f(x1)所以f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减，C错误，D正确．
故选ABD．]
考教衔接
BCD　[对于A，f(0)＝－2，所以f(x)不是奇函数，A错误；
对于B，因为f为奇函数，
所以f，
由f(x)＝－f，
可得f
＝－f，
所以－f，
即f，
所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，B正确；
对于C，由f(x)＝－f，
可得f(x＋3)＝－f＝f(x)，
所以f(x)是周期为3的周期函数，C正确；
对于D，f(2)＝f(－2)＝f(1)＝f(－1)＝1，
所以f(0)＋f(1)＋f(2)＝0，
由周期性可得f(0)＋f(1)＋…＋f(30)＝10＋f(0)＝－2，D正确．
故选BCD．]
典例3　(1)C　(2)B　[(1)因为函数f(x＋2)是偶函数，所以f(x)图象的对称轴是x＝2，因为f(x)在(－∞，2]上单调递增，所以f(x)在[2，＋∞)上单调递减，
由f(3x＋2)|x＋1－2|，即8x2＋2x－1>0，
解得x<－或x>．故选C．
(2)由f(2x＋1)为奇函数，
得f(－2x＋1)＋f(2x＋1)＝0，
所以f(x)图象的对称中心为点(1，0)，
令x＝0 f(1)＝0．
由f(x)的图象关于直线x＝2对称，
得f(2＋x)＝f(2－x)，
由 得f(x＋2)＝－f(x)，
所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
则f(x)的一个周期为4，
则f(1)＋f(3)＝0，f(2)＋f(4)＝0，
则f(i)＝506×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(2 025)＝506×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＝0．
故选B．]
考教衔接
1．D　[因为函数f(x＋1)为奇函数，所以f(－x＋1)＝－f(x＋1)，即f(1－x)＝－f(1＋x)，所以f(x)的图象关于点(1，0)成中心对称，所以f(1)＝0．
又f(x＋2)为偶函数，
所以f(x＋2)＝f(－x＋2)，
即f(2＋x)＝f(2－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(3)＝0．故选D．]
2．A　[令y＝1得f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)·f(1)＝f(x) f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)，
故f(x＋2)＝f(x＋1)－f(x)，f(x＋3)＝f(x＋2)－f(x＋1)，
消去f(x＋2)和f(x＋1)得到f(x＋3)＝－f(x)，故f(x)的周期为6．
令x＝1，y＝0，得f(1)＋f(1)＝f(1)·f(0) f(0)＝2，
f(2)＝f(1)－f(0)＝1－2＝－1，
f(3)＝f(2)－f(1)＝－1－1＝－2，
f(4)＝f(3)－f(2)＝－2－(－1)＝－1，
f(5)＝f(4)－f(3)＝－1－(－2)＝1，
f(6)＝f(5)－f(4)＝1－(－1)＝2，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝0．
故f(k)＝3[f(1)＋f(2)＋…＋f(6)]＋f(19)＋f(20)＋f(21)＋f(22)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1＋(－1)＋(－2)＋(－1)＝－3，即f(k)＝－3．故选A．]
3．(－∞，－2)　[由函数f(x)的图象关于点(2，0)中心对称，可得f(4－x)＝－f(x)．
因为f(x)在[2，＋∞)上单调递减，所以当x∈[2，＋∞)时，f(x)≤0，
且f(x)在(－∞，2)上单调递减，且f(x)>0，可得f(x)在R上单调递减．
又f(3－2a)＝－f(1＋2a)，所以f(3－2a)＋f(4a＋5)>0，可得f(4a＋5)>f(1＋2a)，则4a＋5<1＋2a，得a<－2．]
典例4　C　[对于A，因为g(x)为偶函数，则g(x)＝g(－x)，两边求导可得g'(x)＝－g'(－x)，所以g'(x)为奇函数，则g'(0)＝0．令x＝4，可得f(4)－g'(0)＝2，则f(4)＝2，A正确；对于B，令x＝2，可得B正确；因为f(x)＋g'(x)＝2，所以f(2＋x)＋g'(2＋x)＝2①，
又f(x)－g'(4－x)＝2，所以f(2－x)－g'(2＋x)＝2②，
①②两式相加可得f(2＋x)＋f(2－x)＝4，所以f(x)的图象关于点(2，2)中心对称，则f(1)＋f(3)＝4，D正确；
又因为f(x)＋g'(x)＝2，所以f(x－4)＋g'(x－4)＝f(x－4)－g'(4－x)＝2，又f(x)－g'(4－x)＝2，所以f(x)＝f(x－4)，则f(x)是以4为周期的周期函数，根据以上性质只能推出f(－1)＋f(－3)＝4，不能推出f(－1)＝f(－3)，C不一定成立．]
考教衔接
ABD　[对于A，因为y＝g(x＋2)为偶函数，所以g(－x＋2)＝g(x＋2)，即g(－x)＝g(x＋4)，所以g'(－x)＋g'(x＋4)＝0，即g'(2)＝0，故A正确；对于B，因为y＝f(x＋1)－x为偶函数，所以y＝，即y＝－1为奇函数，则y＝的图象关于点(0，1)对称，故B正确；对于C，y＝f(x＋1)－x为偶函数，其导函数y'＝f'(x＋1)－1＝g(x＋1)－1为奇函数，可得g(－x＋1)－1＝－[g(x＋1)－1]，即g(－x＋1)＝－g(x＋1)＋2，则g(－x)＝－g(x＋2)＋2，所以g(－x)＝g(x＋4)＝－g(x＋2)＋2，即g(x＋2)＝－g(x)＋2，则g(x＋4)＝－g(x＋2)＋2＝－[－g(x)＋2]＋2＝g(x)，可知g(x)的周期为4，故C错误；对于D，因为y＝g(x＋1)－1为奇函数，将x＝0代入，得g(0＋1)－1＝g(1)－1＝0，得g(1)＝1，因为y＝g(x＋2)为偶函数，可得y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，则g(3)＝1．又g(x)的周期为4，可得g(2k＋1)＝1(k∈N)，又由g(x＋2)＝－g(x)＋2，即g(x)＋g(x＋2)＝2，则有g(4k＋2)＋g(4k＋4)＝2(k∈N)成立，所以g(k)＝g(1)＋506×4＝2 025，故D正确．]
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专题六　函数、导数和不等式
课时21　抽象函数
[备考指南]　近几年，全国卷对抽象函数的考查有所增加，主要考查抽象函数求函数值、抽象函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性的应用．备考时，要立足题设信息，结合函数的性质(单调性、奇偶性)，灵活应用数形结合和转化化归等思想解题．
命题点1　抽象函数求函数值
【典例1】　(1)(2025·安徽皖北名校模拟)已知函数f (x)满足f (x＋y)＝f (x)＋f (y)－1，则以下结论错误的是(　　)
A．f (0)＝1
B．f (x)＋f (－x)＝2
C．f (x＋1)＋f (x－1)＝f (2x)＋1
D．f (1＋x)＋f (1－x)＝0
√
(2)(2024·新高考Ⅰ卷)已知函数f (x)的定义域为R，f (x)>f (x－1)＋
f (x－2)，且当x<3时，f (x)＝x，则下列结论中一定正确的是(　　)
A．f (10)>100 B．f (20)>1 000
C．f (10)<1 000 D．f (20)<10 000
√
(1)D　(2)B　[(1)令y＝x＝0，有f (0)＝2f (0)－1，从而f (0)＝1，A正确；
令y＝－x，得f (0)＝f (x)＋f (－x)－1，故f (x)＋f (－x)＝2，B正确；
由题意得，f (x＋1)＋f (x－1)－1＝f (x＋1＋x－1)，
即f (x＋1)＋f (x－1)＝f (2x)＋1，C正确；
令f (x)＝x＋1，则f (x＋y)＝x＋y＋1，f (y)＝y＋1，满足f (x＋y)＝f (x)＋f (y)－1，
但f (1＋x)＋f (1－x)＝1＋x＋1＋1－x＋1＝4≠0，即不满足f (1＋x)＋f (1－x)＝0，D错误．故选D．
(2)因为当x<3时，f (x)＝x，
所以f (1)＝1，f (2)＝2，
又因为f (x)>f (x－1)＋f (x－2)，
则f (3)>f (2)＋f (1)＝3，
f (4)>f (3)＋f (2)>5，
f (5)>f (4)＋f (3)>8，
f (6)>f (5)＋f (4)>13，
f (7)>f (6)＋f (5)>21，
f (8)>f (7)＋f (6)>34，
f (9)>f (8)＋f (7)>55，
f (10)>f (9)＋f (8)>89，
f (11)>f (10)＋f (9)>144，
f (12)>f (11)＋f (10)>233，
f (13)>f (12)＋f (11)>377，
f (14)>f (13)＋f (12)>610，
f (15)>f (14)＋f (13)>987，
f (16)>f (15)＋f (14)>1 597>1 000，则依次下去可知f (20)>1 000，则B正确，且无法证明ACD一定正确．
故选B．]
反思领悟　赋值法是求解此类问题的重要方法之一，求解时常结合题设信息，令x＝y＝0或y＝－x等，以此为切入点迅速破解题目．
(2025·黑龙江大庆模拟)已知定义在R上的函数f (x)满足f (x1＋x2)＝
f (x1)f (x2)，若f (－1)＝，则f (4)＝(　　)
A．1 B．16 C．128 D．256
√
D　[令x1＝x2＝0，则f (0)＝f (0＋0)＝[f (0)]2，则f (0)＝0或f (0)＝1．
若f (0)＝0，令x1＝x，x2＝0，则对于任意x有f (x)＝f (x)f (0)＝0，而
f (－1)＝，不符合，
所以f (0)＝1，则f (0)＝f (1－1)＝f (1)f (－1)＝1，
故f (1)＝＝4，
所以f (4)＝f (2＋2)＝[f (2)]2＝[f (1)]4＝44＝256．故选D．]
【教用·备选题】
1．(2025·广东深圳模拟)已知函数f (x)满足： x∈R，f (x－1)＋6≥
f (x＋5)，f (x＋1)－3≥f (x－2)，若f (3)＝2，则f (2 025)＝(　　)
A．2 022 B．2 023
C．2 024 D．2 025
√
C　[因为f (x－1)＋6≥f (x＋5)，
所以f (x)＋6≥f (x＋6)，
令x＝－3，则f (－3)＋6≥f (3)，
因为f (3)＝2，所以f (－3)≥－4，
又f (x＋1)－3≥f (x－2)，
则f (x)－3≥f (x－3)，即f (x)≥f (x－3)＋3，
令x＝0，则f (0)≥f (－3)＋3，即f (0)≥－1，
令x＝3，则f (3)－3≥f (0)，所以f (0)≤－1，故得f (0)＝－1．
又f (2 025)＝f (2 019＋6)≤f (2 019)＋6≤f (2 013)＋6＋6≤…≤f (3)＋337×6＝2 024；
又f (2 025)≥f (2 025－3)＋3＝f (2 022)＋3≥f (2 019)＋3＋3≥…≥
f (0)＋675×3＝－1＋2 025＝2 024，
所以f (2 025)＝2 024．
故选C．]
2．定义在上的函数f 满足：f ＝f ＋f －1，
f ＝2，则f ＝________．
　[令x＝y＝2，得f ＝f ＋f －1，
由f ＝2，得f ＝；
令x＝2，y＝1，得f ＝f ＋f －1，
所以f ＝1；
令x＝2，y＝，得f＝f ＋f －1，所以f ＝．]
3．(2025·浙江绍兴三模)已知定义在R上的函数f (x)满足f (x＋y)＝
f (x)＋f (y)＋xy且f (1)＝1，则f (100)＝________．
5 050　
5 050　[令y＝1，则f (x＋1)＝f (x)＋f (1)＋x，
所以f (x＋1)－f (x)＝1＋x，
所以f (x)－f (x－1)＝x(x∈N*)，f (x－1)－f (x－2)＝x－1，…，f (2)－f (1)＝2，
以上(x－1)个式子相加可得f (x)－f (1)＝2＋3＋…＋x，
所以f (x)＝1＋2＋3＋…＋x＝，x∈N*，
所以f (100)＝＝5 050．]
命题点2　抽象函数性质的判断
【典例2】　(多选)(2025·山西太原三模)已知定义域为I＝(－∞，0)∪(0，＋∞)的函数f (x)满足：对任意的x，y∈I，f (xy)＝f (x)＋
f (y)，且当x>1时，f (x)<0，则(　　)
A．f (1)＝0　
B．f (x)是偶函数
C．f (x)在区间(0，＋∞)上单调递增
D．f (x)在区间(0，＋∞)上单调递减
√
√
√
ABD　[A选项，令x＝y＝1，则f (1)＝f (1)＋f (1)＝2f (1)，所以f (1)＝0，A正确；
B选项，令x＝y＝－1，则f (1)＝f (－1)＋f (－1)＝0，
所以f (－1)＝0，令y＝－1，则f (－x)＝f (x)＋f (－1)＝f (x)，
所以f (x)是偶函数，B正确；
CD选项，任取x1，x2且x1>x2>0，则f (x1)－f (x2)＝f －f (x2)＝
f (x2)＋f－f (x2)＝f ，
因为x1>x2>0，所以>1，
因此，f (x1)－f (x2)＝f <0，即f (x1)所以f (x)在区间(0，＋∞)上单调递减，C错误，D正确．
故选ABD．]
反思领悟　判断抽象函数的性质通常以题设给出的抽象函数关系式为切入点，借助函数的相关定义迅速求解题目．
(多选)(2025·宁夏银川三模)已知定义在R上的函数f (x)满足f (x)＝
－f ，f (－1)＝1，f (0)＝－2，且f 为奇函数，则(　　)
A．f (x)为奇函数
B．f (x)为偶函数
C．f (x)是周期为3的周期函数
D．f (0)＋f (1)＋…＋f (30)＝－2
√
√
√
BCD　[对于A，f (0)＝－2，所以f (x)不是奇函数，A错误；
对于B，因为f为奇函数，
所以f＝－f，由f (x)＝－ f ，可得f
＝－f＝－f，
所以－f ＝－f，即f ＝f，
所以f (－x)＝f (x)，所以f (x)为偶函数，B正确；
对于C，由f (x)＝－f，
可得f (x＋3)＝－f ＝f (x)，
所以f (x)是周期为3的周期函数，C正确；
对于D，f (2)＝f (－2)＝f (1)＝f (－1)＝1，
所以f (0)＋f (1)＋f (2)＝0，
由周期性可得f (0)＋f (1)＋…＋f (30)＝10＋f (0)＝－2，D正确．
故选BCD．]
【教用·备选题】
1．(多选)定义在R上的函数f (x)满足f (xy＋1)＝f (x)f (y)＋f (y)＋x，则
(　　)
A．f (0)＝0 B．f (1)＝0
C．f (x＋1)为奇函数 D．f (x)单调递增
√
√
√
BCD　[由题意，在f (xy＋1)＝f (x)f (y)＋f (y)＋x中，
当x＝0，y＝1时，f (1)＝f (0)f (1)＋f (1)＝f (1)(f (0)＋1)，
解得f (0)＝0或f (1)＝0，
当f (0)＝0时，令y＝0，则f (1)＝f (x)f (0)＋f (0)＋x＝x，
由于x具有任意性，故f (0)＝0不成立，
∴f (1)＝0，故A错误，B正确；
当y＝1时，f (x＋1)＝f (x)f (1)＋f (1)＋x＝x，
∵f (x＋1)＋f (－x＋1)＝x－x＝0，
∴f (x＋1)为奇函数，C正确；
由C项可知f (x)＝x－1，故f (x)为增函数，D正确．故选BCD．]
2．(多选)(2023·四省联考)已知f 是定义在R上的偶函数，g是定义在R上的奇函数，且f ，g在上单调递减，则(　　)
A．f B．f C．gD．g√
√
BD　[因为f是定义在R上的偶函数，g是定义在R上的奇函数，且两函数在上单调递减，所以f在上单调递增，g在上单调递减，g在R上单调递减，所以
f g>g，
所以f g，g若>，
则f >f ，A错误．
故选BD．]
命题点3　抽象函数性质的综合应用
【典例3】　(1)(2025·江苏扬州模拟)已知函数f (x＋2)是偶函数，
f (x)在(－∞，2]上单调递增，则不等式f (3x＋2)A．
B．
C．
D．
√
(2)(2025·辽宁沈阳三模)已知定义在R上的函数f (x)满足f (2x＋1)为奇函数，且f (x)的图象关于直线x＝2对称，则f (i)＝(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．2
√
(1)C　(2)B　[(1)因为函数f (x＋2)是偶函数，所以f (x)图象的对称轴是x＝2，因为f (x)在(－∞，2]上单调递增，所以f (x)在[2，＋∞)上单调递减，
由f (3x＋2)|x＋1－2|，即8x2＋2x－1>0，
解得x<－或x>，所以不等式的解集为．故选C．
(2)由f (2x＋1)为奇函数，
得f (－2x＋1)＋f (2x＋1)＝0，
所以f (x)图象的对称中心为点(1，0)，
令x＝0 f (1)＝0．
由f (x)的图象关于直线x＝2对称，
得f (2＋x)＝f (2－x)，
由 得f (x＋2)＝－f (x)，
所以f (x＋4)＝－f (x＋2)＝f (x)，
则f (x)的一个周期为4，
则f (1)＋f (3)＝0，f (2)＋f (4)＝0，
则f (i)＝506×[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (2 025)＝506×[f (1)＋
f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (1)＝0．故选B．]
反思领悟　函数的奇偶性、单调性、周期性及对称性
(1)奇偶性：若函数的定义域关于原点对称，则f (x)是偶函数 f (－x)＝f (x)＝f (|x|)，f (x)是奇函数 f (－x)＝－f (x)．研究具有奇偶性的函数问题时可以转化到部分(一般取一半)区间上．
(2)单调性：在求解与抽象函数有关的不等式时，往往利用函数的单调性将符号“f”脱掉，使抽象函数转化为具体的不等式求解．此时，应特别注意函数的定义域．
(3)函数的对称性与周期性间的内在联系
①若定义在R上的函数f (x)的图象关于直线x＝a，x＝b对称，则f (x)的一个周期为T＝2|b－a|．②若定义在R上的函数f (x)的图象关于点(a，0)，(b，0)对称，则f (x)的一个周期为T＝2|b－a|．③若定义在R上的函数f (x)的图象关于直线x＝a和点(b，0)对称，则f (x)的一个周期为T＝4|b－a|．
1．(2025·河北沧州模拟)已知函数f (x)的定义域为R，满足f (x＋1)为奇函数，f (x＋2)为偶函数，则(　　)
A．f (0)＝1 B．f (1)＝－1
C．f (2)＝0 D．f (3)＝0
√
D　[因为函数f (x＋1)为奇函数，所以f (－x＋1)＝－f (x＋1)，即f (1－x)＝－f (1＋x)，所以f (x)的图象关于点(1，0)成中心对称，所以
f (1)＝0．
又f (x＋2)为偶函数，所以f (x＋2)＝f (－x＋2)，
即f (2＋x)＝f (2－x)，所以f (x)的图象关于直线x＝2对称，所以f (3)＝0．故选D．]
2．(2022·新高考Ⅱ卷)已知函数f (x)的定义域为R，且f (x＋y)＋f (x－y)＝f (x)f (y)，f (1)＝1，则f (k)＝(　　)
A．－3 B．－2 C．0 D．1
√
A　[令y＝1得f (x＋1)＋f (x－1)＝f (x)·f (1)＝f (x) f (x＋1)＝f (x)－
f (x－1)，
故f (x＋2)＝f (x＋1)－f (x)，f (x＋3)＝f (x＋2)－f (x＋1)，
消去f (x＋2)和f (x＋1)得到f (x＋3)＝－f (x)，故f (x)的周期为6．
令x＝1，y＝0，得f (1)＋f (1)＝f (1)·f (0) f (0)＝2，
f (2)＝f (1)－f (0)＝1－2＝－1，
f (3)＝f (2)－f (1)＝－1－1＝－2，
f (4)＝f (3)－f (2)＝－2－(－1)＝－1，
f (5)＝f (4)－f (3)＝－1－(－2)＝1，
f (6)＝f (5)－f (4)＝1－(－1)＝2，
所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)＝0．
故f (k)＝3[f (1)＋f (2)＋…＋f (6)]＋f (19)＋f (20)＋f (21)＋f (22)＝
f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝1＋(－1)＋(－2)＋(－1)＝－3，即f (k)＝－3．故选A．]
3．(2025·陕西安康模拟)已知函数f (x)的图象关于点(2，0)中心对称，且f (x)在[2，＋∞)上单调递减，若f (3－2a)＋f (4a＋5)>0，则实数a的取值范围为____________．
(－∞，－2)
(－∞，－2)　[由函数f (x)的图象关于点(2，0)中心对称，可得f (4－x)＝－f (x)．
因为f (x)在[2，＋∞)上单调递减，所以当x∈[2，＋∞)时，f (x)≤0，
且f (x)在(－∞，2)上单调递减，且f (x)>0，可得f (x)在R上单调递减．
又f (3－2a)＝－f (1＋2a)，所以f (3－2a)＋f (4a＋5)>0，可得f (4a＋5)>f (1＋2a)，
则4a＋5<1＋2a，得a<－2．]
【教用·备选题】
1．(2025·山东德州三模)已知函数f (x)是定义在R上的增函数，且
f (x＋1)－2为奇函数，对任意的a∈[－3，2]，不等式f (2a＋t)＋f (a2－1)≤4恒成立，则实数t的取值范围是(　　)
A．(－∞，－5] B．(－∞，0]
C．[0，＋∞) D．[－5，＋∞)
√
A　[令g(x)＝f (x＋1)－2，则f (x)＝g(x－1)＋2，
由f (2a＋t)＋f (a2－1)≤4，
可得g(2a＋t－1)＋2＋g(a2－1－1)＋2≤4，
即g(2a＋t－1)＋g(a2－2)≤0，
又g(x)为奇函数，所以g(2a＋t－1)≤－g(a2－2)＝g(2－a2)．
因为f (x)是定义在R上的增函数，所以g(x)也是定义在R上的增函数，
故2a＋t－1≤2－a2，即t≤－a2－2a＋3＝－(a＋1)2＋4恒成立．
因为a∈[－3，2]，所以－(a＋1)2＋4的最小值为－(2＋1)2＋4＝－5，所以t≤－5，即实数t的取值范围是(－∞，－5]．
故选A．]
命题点4　抽象函数的导函数与原函数的对称性问题
【典例4】　已知函数f (x)，g(x)的定义域为R，g′(x)为g(x)的导函数，且f (x)＋g′(x)＝2，f (x)－g′(4－x)＝2，若g(x)为偶函数，则下列结论不一定成立的是(　　)
A．f (4)＝2 B．g′(2)＝0
C．f (－1)＝f (－3) D．f (1)＋f (3)＝4
√
C　[对于A，因为g(x)为偶函数，则g(x)＝g(－x)，两边求导可得g′(x)＝－g′(－x)，所以g′(x)为奇函数，则g′(0)＝0．令x＝4，可得f (4)－g′(0)＝2，则f (4)＝2，A正确；对于B，令x＝2，可得则B正确；因为f (x)＋g′(x)＝2，
所以f (2＋x)＋g′(2＋x)＝2①，
又f (x)－g′(4－x)＝2，所以f (2－x)－g′(2＋x)＝2②，
①②两式相加可得f (2＋x)＋f (2－x)＝4，所以f (x)的图象关于点(2，2)中心对称，则f (1)＋f (3)＝4，D正确；
又因为f (x)＋g′(x)＝2，所以f (x－4)＋g′(x－4)＝f (x－4)－g′(4－x)＝2，又f (x)－g′(4－x)＝2，所以f (x)＝f (x－4)，则f (x)是以4为周期的周期函数，根据以上性质只能推出f (－1)＋f (－3)＝4，不能推出f (－1)＝f (－3)，C不一定成立．]
反思领悟　(1)若函数f (x)连续且可导，则f (x)的图象关于直线x＝a对称 导函数f ′(x)的图象关于点(a，0)对称．
(2)若函数f (x)连续且可导，则f (x)的图象关于点(a，f (a))对称 导函数f ′(x)的图象关于直线x＝a对称．
(多选)已知函数f (x)及其导函数f ′(x)的定义域均为R，记g(x)＝f ′(x).若函数y＝f (x＋1)－x与y＝g(x＋2)均为偶函数，则下列结论正确的是(　　)
A．g′(2)＝0
B．函数y＝的图象关于点(0，1)对称
C．g(x＋2)＝g(x)
D．g(k)＝2 025
√
√
√
ABD　[对于A，因为y＝g(x＋2)为偶函数，所以g(－x＋2)＝g(x＋2)，即g(－x)＝g(x＋4)，所以g′(－x)＋g′(x＋4)＝0，即g′(2)＝0，故A正确；对于B，因为y＝f (x＋1)－x为偶函数，所以y＝，即y＝－1为奇函数，则y＝的图象关于点(0，1)对称，故B正确；对于C，y＝f (x＋1)－x为偶函数，其导函数y′＝f ′(x＋1)－1＝g(x＋1)－1为奇函数，可得g(－x＋1)－1＝－[g(x＋1)－1]，即g(－x＋1)＝－g(x＋1)＋2，则g(－x)＝－g(x＋2)＋2，所以g(－x)＝g(x＋4)＝－g(x＋2)＋2，即g(x＋2)＝－g(x)＋2，则g(x＋4)＝－g(x＋2)＋2＝
－[－g(x)＋2]＋2＝g(x)，可知g(x)的周期为4，故C错误；对于D，因为y＝g(x＋1)－1为奇函数，将x＝0代入，得g(0＋1)－1＝g(1)－1＝0，得g(1)＝1，因为y＝g(x＋2)为偶函数，可得y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，则g(3)＝1．又g(x)的周期为4，可得g(2k＋1)＝1(k∈N)，又由g(x＋2)＝－g(x)＋2，即g(x)＋g(x＋2)＝2，则有g(4k＋2)＋g(4k＋4)＝2(k∈N)成立，所以g(k)＝g(1)＋506×4＝2 025，故D正确．]
课后限时练21　抽象函数
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
√
1．(2025·辽宁葫芦岛模拟)已知函数y＝f (2x＋1)的定义域为[－1，2]，则函数y＝的定义域为(　　)
A．[－1，2] B．(－1，2] C．[－1，5] D．(－1，5]
题号
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D　[对于函数y＝f (2x＋1)，－1≤x≤2，
则－1≤2x＋1≤5，所以函数f (x)的定义域为[－1，5]，
对于函数y＝，有
即解得－1因此，函数y＝的定义域为(－1，5]．故选D．]
题号
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√
2．(2025·黑龙江大庆模拟)函数y＝f (x)与y＝g(x＋3)＋1都为奇函数，且 x∈R，都有f (x)－g(x＋4)＝0，则f (1)＋f (2)＋…＋f (100)＝
(　　)
A．2 525 B．2 526
C．5 049 D．5 050
题号
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D　[由y＝f (x)与y＝g(x＋3)＋1都为奇函数，
则f (－x)＝－f (x)，g(－x＋3)＋1＝－g(x＋3)－1，又f (x)＝g(x＋4)，所以f (－x－1)＝g(－x＋3)，f (x－1)＝g(x＋3)，
所以f (－x－1)＋1＝－[f (x－1)＋1]，
即f (－x－1)＝－f (x－1)－2，所以－f (x＋1)＝－f (x－1)－2，
即f (x＋2)＝f (x)＋2，又f (0)＝0，－f (1)＝－f (－1)－2，得f (1)＝1，
所以f (2)＝f (0)＋2＝2，f (3)＝f (1)＋2＝3，…，f (n)＝n，
所以f (1)＋f (2)＋…＋f (100)＝1＋2＋…＋100＝＝
5 050．故选D．]
题号
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√
3．(2025·辽宁本溪模拟)已知定义在R上的函数f (x－1)的图象关于直线x＝1对称，且f (x)在(－∞，0)上单调递减．设a＝f (log23)，b＝
f (ln 3)，c＝f ，则(　　)
A．aC．c题号
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D　[因为f (x－1)的图象关于直线x＝1对称，所以f (x)的图象关于y轴对称，所以f (x)为偶函数，
又f (x)在(－∞，0)上单调递减，所以f (x)在(0，＋∞)上单调递增．
由题得c＝f＝f (－lg 9)＝f (lg 9)，
又0ln 3>1，
所以f (lg 9)即c故选D．]
4．(2025·云南玉溪期中)已知定义在R上的函数f ( 满足f ＝－f ，且函数y＝f为奇函数，则下列说法正确的是(　　)
A．f 的一个周期是2
B．f 是奇函数
C．f 不一定是偶函数
D．f 的图象关于点中心对称
题号
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√
题号
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9
D　[对于A，因为定义在R上的函数f 满足f ＝－f ，所以f (x)＝－f (x＋2)，
所以f (x＋2)＝－f (x＋4)，
所以f (x)＝f (x＋4)，所以f 是以4为周期的周期函数，所以A错误；
对于BC，因为f ＝－f ，
所以f ＝－f ，
因为函数y＝f 为奇函数，所以f (2x－1)＝－f (－2x－1)，
所以f (x－1)＝－f (－x－1)，所以f 的图象关于点(－1，0)对称，
所以f (－x－2)＝－f (x)，所以f (－x)＝f (x)，
所以f 是偶函数，所以BC错误；
对于D，因为f 为偶函数，f 的图象关于点(－1，0)对称，
所以f 的图象关于点(1，0)对称，
因为f 的一个周期是4，所以f 的图象关于点(1＋4×506，0)对称，即f 的图象关于点中心对称，所以D正确．故选D．]
题号
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题号
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5．定义在R上的偶函数f满足：对任意的x1，x2∈ (x1≠x2)，都有<0，且f (3)＝0，则不等式f>0的解集是(　　)
A． B．
C． D．
√
题号
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C　[因为函数f满足对任意的x1，x2∈[0，+∞)(x1≠x2)，都有<0，
所以f 在上单调递减，
又f 是定义在R上的偶函数，所以f 在上单调递增，
又f ＝0，所以f ＝f ＝0，作函数f 的草图，如图所示，
所以，当x<－3时，2x－1<0，f <0，则f >0；
当－30，则f <0；
当0，f >0，则f >0；
当x>3时，2x－1>0，f <0，则f <0；
当x＝－3或x＝3或x＝时，f ＝0．
综上，不等式f >0的解集为．
故选C．]
题号
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题号
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√
6．(2021·新高考Ⅱ卷)已知函数f (x)的定义域为R，f (x＋2)为偶函数，f (2x＋1)为奇函数，则(　　)
A．f ＝0 B．f (－1)＝0
C．f (2)＝0 D．f (4)＝0
题号
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B　[∵函数f (x＋2)为偶函数，∴f (2＋x)＝f (2－x)．①
∵f (2x＋1)为奇函数，∴f (1－2x)＝－f (2x＋1)，
用x替换上式中2x＋1，得f (2－x)＝－f (x)．②
由①②得f (2＋x)＝－f (x)，∴f (4＋x)＝－f (2＋x)＝f (x)，即f (x)＝
f (x＋4)，故函数f (x)是以4为周期的周期函数．
由②知，f (x)＋f (2－x)＝0，∴f (x)的图象关于点(1，0)对称．
又∵f (1)＝0，∴f (－1)＝－f (2＋1)＝－f (1)，
∴f (－1)＝0．故选B．]
题号
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√
7．(多选)(2025·山东菏泽一模)已知函数f (x)的定义域为R，且
f (1)≠0，若f (xy)＝yf (x)，则(　　)
A．f (0)＝0
B．f (x)是奇函数
C．f (x)是增函数
D．f (x)＋f (2x)＝f (3x)
√
√
题号
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ABD　[对于A，因为f (x)的定义域为R，所以f (0)＝0，故A正确；对于B，令y＝－1，由题设可知f (－x)＝－f (x)，故f (x)是奇函数．故B正确；对于C，不妨取f (x)＝－x，则满足f (xy)＝yf (x)，且f (1)≠0，故C错误；对于D，令y＝2，则f (2x)＝2f (x)，令y＝3，则f (3x)＝
3f (x)，故f (x)＋f (2x)＝f (x)＋2f (x)＝3f (x)＝f (3x)，故D正确．故选ABD．]
题号
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8．定义在[0，1]上的函数f (x)满足：①f (x)＋f (1－x)＝1；②f ＝f (x)；③f (x1)≤f (x2)(0≤x1＜x2≤1)，则f (1)＝________，f ＝________．
1
　
题号
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1　　[在①中，令x＝，得f ＝，
在②中，令x＝0，得f (0)＝0，
在①中，令x＝0，得f (0)＋f (1)＝1，所以f (1)＝1；
在②中，令x＝1，得f ＝f (1)＝，
由③知，f (x)在[0，1]上非严格单调递增，因为f ＝f＝，所以 x∈，均有f (x)＝．
注意到＝∈，
因此f ＝，
于是f ＝f ＝f ＝f ＝f ＝…＝·f ＝＝．]
题号
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题号
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9．(2025·北京高考)关于定义域为R的函数f (x)，以下说法正确的有________．
①存在在R上单调递增的函数f (x)使得f (x)＋f (2x)＝－x恒成立；
②存在在R上单调递减的函数f (x)使得f (x)＋f (2x)＝－x恒成立；
③使得f (x)＋f (－x)＝cos x恒成立的函数f (x)存在且有无穷多个；
④使得f (x)－f (－x)＝cos x恒成立的函数f (x)存在且有无穷多个．
②③　
题号
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②③　[对于①，若存在R上的增函数f (x)，满足f (x)＋f (2x)＝－x，则f (0)＋f (2×0)＝0，即f (0)＝0，故x>0时，f (4x)>f (2x)>f (x)>0，故
f (4x)＋f (2x)>f (x)＋f (2x)，故－2x>－x，即x<0，矛盾，故①错误；对于②，取f (x)＝－x，该函数为R上的减函数且f (x)＋f (2x)＝－x，故该函数符合，故②正确；对于③，取f (x)＝cos x＋mx，m∈R，此时f (x)＋f (－x)＝cos x，由m∈R可得f (x)有无穷多个，故③正确；对于④，若存在f (x)，使得f (x)－f (－x)＝cos x，令x＝0，则0＝cos 0，但cos 0＝1，矛盾，故满足f (x)－f (－x)＝cos x的函数不存在，故④错误．]
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