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2025—2026学年九年级数学下学期单元测试卷
第二章 直线与圆的位置关系 单元测试·冲刺卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．已知的半径为2，点O到直线l的距离为5，则直线l与的位置关系是（ ）
A．相切 B．相离 C．相离或相切 D．相切或相交
2．如图，均是的切线，切点分别是P，C，D．若，则的长是（）
A．8 B．10 C．12 D．15
3．如图，，是的切线，，为切点，是的直径，．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，相切于点C，过点O，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，的半径为2，是的切线，A为切点，，则的长为（ ）
A．4 B． C． D．6
6．如图，半径，直线，垂足为H，且l交于A，B两点，，将直线l沿所在直线向下平移，若l恰好与相切时，则平移的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，等边三角形的内切圆的半径为2，则的边长为（ ）
A． B．4 C． D．
8．如图，在中，，是的内心，连接、，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有这样一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆，径几何？”其意思是：“如图，今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”
此问题中，该内切圆的直径是（ ）
A．3步 B．6步 C．8步 D．10步
10．如图，是一张周长为的三角形的纸片，，是它的内切圆，小明准备用剪刀在的右侧沿着与相切的任意一条直线剪下，则剪下的三角形的周长为（ ）
A． B．
C． D．随直线的变化而变化
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知的半径为5，点到直线的距离为，若直线与相离，则的取值范围是 ．
12．如图，与相切于点，连接并延长，交于点，连接．若，则的度数为 ．
13．如图，⊙是的内切圆，，现将40个点均匀投入该三角形，落在内切圆中的点有22个，则由以上数据可以估算出的近似值是 ．
14．已知，分别是的外心和内心，，则的大小是 ．
15．如图，P为外一点，分别切于点A、B，切于点E，分别交于点C、D，若，则的周长为 ．
16．如图，在四边形中，，，以为直径的与相切于点．若，．则的长为 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．如图，射线，与相切，切点分别为，，连接并延长，交于点，连接，．求证．
18．为积极响应绿色出行的号召，骑车出行已经成为人们的新风尚．图1是某品牌自行车放在水平地面上的实物图，图2是其示意图，其中，过点C作于点F，车轮半径为，，，坐垫E与点B的距离可以调节．
(1)当坐垫E与点B的距离为时，求坐垫E到地面的距离；
(2)根据经验，当坐垫E到的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适、小明的腿长约为，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置，与（1）中的相比，调长了多少 （结果精确到．参考数据：，，）
19．如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，．
如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F，
(1)求的长．
(2)已知，求的长．
20．如图，是四边形的外接圆，是的直径，平分，．
(1)求的度数；
(2)若点E是弦上一点，且点E是的内心，，求的长．
21．如图，是的直径，内接于，点I为的内心，连接并延长，交于点D，连接．
(1)找出图中所有与相等的线段，并证明；
(2)若，求的周长．
22．如图，是的外接圆，是直径，，，D是弦下方弧上的点（与B、C均不重合）．连接并延长交过A点的直线于E点，连接，使．
(1)请直接写出的正切函数值，即______；
(2)求证：是的切线；
(3)设与交于点F，点F在上（与O、C均不重合），过F点作，垂足为G，．与的大小相关的三个结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由．
23．已知内接于圆O，直线与圆O相切于点D，且，连接．
(1)如图①，若，求的大小；
(2)如图②，圆O的直径为4，若，求和的长．
24．如图，经过的两个顶点A，B，连接交于点D，且，．
(1)求证：为的切线；
(2)若，求的值．2025—2026学年九年级数学下学期单元测试卷
第二章 直线与圆的位置关系 单元测试·冲刺卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A B D C B C C B C
1．B
本题考查了直线与圆的位置关系，解决本题的关键是熟练掌握圆心到直线的距离与半径的关系．
根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判断直线与圆的位置关系即可．
解：∵的半径，点O到直线l的距离，且，
∴直线l与相离．
故选：B．
2．A
本题考查圆的切线的性质，解题的关键是掌握切线长定理．
先推导出，得到，即可解答．
解：∵是的切线，切点分别是．
∴，
∴，
∵，
∴．
故选A．
3．B
本题考查切线的性质，切线长定理，三角形内角和定理，根据切线及，得到，根据切线长定理得到，结合三角形内角和定理求解即可得到答案；
解：∵是的切线，，
∴，
∵，是的切线，，为切点，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
4．D
本题考查了切线的性质，等边对等角，三角形外角性质，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由切线的性质得，再运用直角三角形的两个锐角互余，得，又因为半径相等以及三角形的外角性质，得，即可作答．
解：连接，如图所示：
∵相切于点C，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
故选：D．
5．C
本题主要考查了切线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，连接，由切线的性质得到，则由含30度角的直角三角形的性质可得的长，进而利用勾股定理可得的长．
解：如图所示，连接，
∵是的切线，
∴，
∵，的半径为2，
∴，
∴，
故选：C．
6．B
连接，由垂径定理和勾股定理得，当点H平移到点C时，直线与圆相切，求得．
解：连接，
∵，
∴，
∴，
∵将直线l沿所在直线向下平移，若l恰好与相切时，
∴，
即直线在原有位置向下移动后与圆相切．
故选：B．
本题利用了垂径定理，勾股定理，及切线的概念求解，正确掌握各定理并应用是解题的关键．
7．C
连接，，，解直角三角形求得，进而得出结果．
解：如图，
连接，，设与相切于点，连接，
∵是等边三角形，
∴，
∵是的内切圆，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故选：C．
本题考查了等边三角形的性质，切线的性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
8．C
本题考查了三角形的内切圆与内心，三角形内角和定理， 求出，得出，最后根据三角形内角和定理求出即可．熟练掌握三角形内角和定理的运用是解题的关键．
解：为的内心，
，，
∵，
∴，
，
，
∴．
故选：．
9．B
本题考查了勾股定理，三角形的内切圆等知识，根据勾股定理求出直角三角形的斜边，然后根据等面积法即可确定出内切圆半径．
解：∵直角三角形，勾步，股步，
∴斜边步，
设该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径为r，
则，
解得
即直径为步，
故选：B．
10．C
此题重点考查三角形的周长、三角形的内切圆与内心、切线长定理等知识，推导出，是解题的关键．设与、、、直线分别相切于点、、、，由的周长为，，求得，由，，求得，由，，得，于是得到问题的答案．
解：设与、、、直线分别相切于点、、、，
的周长为，，
，
，，
，
，
，，
，
剪下的三角形的周长为，
故选：C．
11．
本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知的半径为，圆心到直线的距离为，当时，直线和相离是解答此题的关键．
根据圆与直线相离的位置关系，圆心到直线的距离大于半径，即可求解．
解：∵直线与相离，
∴圆心到直线的距离大于的半径，即．
故答案为：．
12．
本题主要考查了圆周角定理，切线的性质，连接，由切线的性质得到，由直角三角形两锐角互余得到的度数，再由圆周角定理即可得到答案．
解：如图所示，连接，
∵与相切于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
13．
本题考查几何概型的计算公式，勾股定理逆定理以及三角形的内切圆，先判断是直角三角形，再根据几何概型的计算公式和题意即可求出结果．
解：∵，
∴，，
∴,
∴是直角三角形，
如图，设圆的半径为r，
则有，
∴
由几何概型得，
∴．
故答案为：．
14．或
本题考查三角形的外心和内心的性质．外心是三角形外接圆的圆心，给定，根据点的位置不同，有两种可能值；内心是三角形角平分线的交点，利用公式计算即可．
解：∵是的外心，，
∴当点在优弧上时，，
，
∵是的内心，
，
，
∴；
当点在劣弧上时，，
，
∵是的内心，
，
，
∴．
故答案为：或．
15．16
本题考查的是切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等．根据切线长定理得到，再根据三角形的周长公式计算，得到答案．
解：∵分别切于点A、B，切于点E，，
∴，
∴的周长
，
故答案为：16．
16．
本题考查切线的判定及切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，其切线长相等，熟练掌握切线长定理是解题关键．
根据题意得出与、都相切，切点为、，根据切线长定理即可得答案．
解：∵，，
∴，
∵以为直径的与相切于点，
∴与、都相切，切点为、，
∴，，
∵，，
∴．
故答案为：．
17．见解析
此题重点考查切线长定理、等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识．连接，由射线，与相切，切点分别为A，B，根据切线长定理得，平分，则垂直平分，所以．
证明：连接，
∵射线，与相切，切点分别为A，B，
∴，平分，
∴垂直平分，
∵的延长线交于点C，
∴．
18．(1)坐垫到地面的距离为
(2)调长了
本题考查了解直角三角形的其他应用，切线的性质，矩形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先算出，再算出，然后结合与相切，车轮半径为，且运用线段的和差关系进行列式，即可作答．
（2）先算出，再，然后结合运用线段的和差关系进行列式，即可作答．
（1）解：过点作于点，且交直线于一点，如图所示：
．
，坐垫与点的距离为，
．
，
，
．
与相切，
∴，
∴四边形是矩形，
∵车轮半径为，
∴
坐垫到地面的距离为．
答：坐垫到地面的距离为．
（2）解：如图，过点作于点，
．
小明的腿长约为，
．
，
，
．
答：与（1）中的相比，调长了．
19．(1)
(2)
本题主要考查的是三角形内切圆的有关问题以及切线长定理的应用，根据切线长定理列出方程是解题的关键．
（1）由切线长定理可知：，，，设，则，，根据，列方程求解即可；
（2）先计算三角形的半周长s，再利用，代入三角形面积与半周长即可求出内切圆半径，即可求解出的长．
（1）解：∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，
，，，
设，则，，
根据题意得：
解得：
，，，
则的长为；
（2），，，
∴半周长，
又，
，
，
则的长为．
20．(1)
(2)
（1）由同弧所对圆周角相等可推出，由直径所对圆周角为直角可得出，即可由求解；
（2）首先求出，由三角形内心的定义得出，由角平分线的定义得出．由同弧所对圆周角相等可推出，再结合三角形外角性质即得出，得到，如图所示，过点D作于点F，求出，然后利用勾股定理求解即可．
（1）解：∵，
∴．
∵是的直径，
∴，
∴；
（2）解：∵是的直径，
∴
∵平分，
∴，
∴
∴
∵平分，点E是的内心，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵
∴
如图所示，过点D作于点F，
∴
∴，
∴
∴
∴
∴．
本题考查圆周角定理的推论，三角形内心的定义，三角形外角的性质，等角对等角，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
21．(1)见解析
(2)30
本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、三角形的内角和定理、三角形的内心性质、三角形的外角性质、等腰三角形的判定、切线长定理以及解直角三角形，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
（1）连接，由三角形的内心性质得到内心，，然后利用圆周角定理得到，，利用三角形的外角性质证得，然后利用等角对等边可得结论；
（2）过点I分别作，垂足分别为，根据内切圆的性质和切线长定理得到，利用勾股定理求得，，进而可求解．
（1）解：，理由：
如图，连接，
为的内心，
∴，
，
，
，
；
（2）解：如图，过点I分别作，垂足分别为，
为的内心，即为的内切圆的圆心，
分别为该内切圆与三边的切点，
，
，
，
，
，
的周长为
．
22．(1)
(2)见解析
(3)，理由见解析
（1）利用直径所对圆周角是直角得到，再根据正切函数定义 ，代入、计算得出结果．
（2）先由得出，结合证明，得到，再通过圆的性质及等量代换推出，即，从而证明结论．
（3）过点作，先利用平行线性质得出，结合三角函数值求出长度，再通过相似三角形得出长度，进而得到，证明，得出，根据等腰直角三角形的性质证明 ．
（1）解：∵是的直径，
∴，
在中，，，，
∴．
（2）证明：如图，连接，
，
．
，
，
．
，
，
，
．
是⊙的直径，
，
，
，即，
．
是的半径，
是的切线．
（3），理由如下：
如图，过点作，垂足为，与交于点，
，
，
．
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
．
本题考查了圆的相关性质、相似三角形的判定与性质、切线的判定以及三角函数的应用，解题关键是熟练运用上述知识，通过边与角的关系进行推理和计算．
23．(1)
(2)，
本题考查垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质，切线的性质，平行线的性质和勾股定理等知识，熟练掌握相关性质和定理是解题的关键．
（1）连接，根据圆内接四边形的性质，求出，再根据切线和平行线的性质得，，最后利用垂径定理，可得，，即可求解．
（2）连接，过点B作交于点N，易证，利用勾股定理求出的长度；再根据圆周角定理可得，利用勾股定理求出和的长度，计算即可求出的长度．
（1）解：如图，连接交于点H，
由题意可得，四边形内接于圆O，，
，
直线与圆O相切于点D，
，
，
，
，
，
，
，即，
；
（2）如图，连接，过点B作交于点N，
直线与圆O相切于点D，
，
，
，
圆O的直径为4，
，
在中，，
是圆O的直径，
，
在中，，
则，
又
在中，且，
，
在中，，
，
，．
24．(1)见解析
(2)
本题考查切线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，求正切值，掌握相关知识是解题的关键．
（1）连接，由得到，进而得到，由，，得到，，即可得出，即可得证；
（2）设，则，，设，则，在中根据勾股定理构造方程，求得，即，再根据正切的定义求解即可．
（1）证明：连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴为的切线．
（2）解：∵，
∴设，则，
∴在中，，
∴，
设，则，
∵在中，，即，
∴，
∴，
∴在中，．(共5张PPT)
第二章 直线与圆的位置关系
单元测试·冲刺卷分析
浙教版 九年级下册
知识点分布
一、单选题 1 0.94 判断直线和圆的位置关系
2 0.85 应用切线长定理求解；切线的性质定理
3 0.75 等边对等角；应用切线长定理求解；切线的性质定理
4 0.65 直角三角形的两个锐角互余；等边对等角；三角形的外角的定义及性质；切线的性质定理
5 0.65 含30度角的直角三角形；用勾股定理解三角形；切线的性质定理
6 0.65 利用垂径定理求值；求直线平移到与圆相切时运动的距离；用勾股定理解三角形
7 0.65 等边三角形的性质；一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系
8 0.65 与角平分线有关的三角形内角和问题；三角形内心有关应用
9 0.65 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系；用勾股定理解三角形
10 0.64 三角形内切圆与外接圆综合；应用切线长定理求解
知识点分布
二、填空题 11 0.85 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离
12 0.75 圆周角定理；切线的性质定理
13 0.65 几何概率；直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系
14 0.65 三角形内切圆与外接圆综合；与角平分线有关的三角形内角和问题；三角形内角和定理的应用；圆周角定理
15 0.65 应用切线长定理求解
16 0.64 证明某直线是圆的切线；应用切线长定理求解
知识点分布
三、解答题 17 0.85 等腰三角形的性质和判定；应用切线长定理求证；线段垂直平分线的性质
18 0.75 根据矩形的性质与判定求线段长；其他问题（解直角三角形的应用）；切线的性质定理
19 0.65 应用切线长定理求解；一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系
20 0.65 同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆（直径）所对的圆周角是直角；用勾股定理解三角形；三角形内心有关应用
21 0.65 圆周角定理；半圆（直径）所对的圆周角是直角；直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系；三角形内心有关应用
22 0.65 三角形内切圆与外接圆综合；解直角三角形的相关计算；相似三角形的判定与性质综合；证明某直线是圆的切线
23 0.65 圆周角定理；半圆（直径）所对的圆周角是直角；用勾股定理解三角形；切线的性质定理
24 0.64 等边对等角；证明某直线是圆的切线；求角的正切值；用勾股定理解三角形；直角三角形的两个锐角互余

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