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(共60张PPT)
第3讲　小题研透——平面向量
目录
CONTENTS
课时跟踪检测
锁定高考·明方向
研透高考·攻重点
有的放矢 事半功倍
重难攻坚 快速提升
01
锁定高考·明方向
有的放矢 事半功倍
一、考情分析
高频考点 高考预测
平面向量的线性运算及基本定理
（共线向量定理） 本部分以考查与平面向量基本定理有
关的线性运算、向量数量积的运算、
向量的夹角及模为主.单独命题时以
选择、填空题考查，难度中等偏下，
有时也在解答题中突出向量作为预备
知识的工具作用，难度中等偏下
平面向量的数量积及其应用（平面
向量的夹角（垂直）、模） 与向量有关的最值（范围）问题 二、真题感悟
1. （2022·新高考Ⅰ卷3题）（平面向量的线性运算）在△ABC中，点D在
边AB上，BD＝2DA. 记 ＝m， ＝n，则 ＝（　　）
A. 3m－2n B. －2m＋3n
C. 3m＋2n D. 2m＋3n
解析：　因为BD＝2DA，所以 ＝3 ，所以 ＝ ＋ ＝
＋3 ＝ ＋3（ － ）＝－2 ＋3 ＝－2m＋3n.故选B.
√
2. （2024·新高考Ⅰ卷3题）（平面向量的数量积及垂直）已知向量a＝
（0，1），b＝（2，x），若b⊥（b－4a），则x＝（　　）
A. －2 B. －1 C. 1 D. 2
解析：　法一　因为b⊥（b－4a），所以b·（b－4a）＝0，所以b2
－4a·b＝0即4＋x2－4x＝0，故x＝2，故选D.
√
法二　因为a＝（0，1），b＝（2，x），所以b－4a＝（2，x）－4
（0，1）＝（2，x）－（0，4）＝（2，x－4）.因为b⊥（b－4a），所以b·（b－4a）＝0，所以2×2＋x（x－4）＝0，所以（x－2）2＝0，解得x＝2，故选D.
3. （2022·新高考Ⅱ卷4题）（由平面向量的夹角求参数）已知向量a＝
（3，4），b＝（1，0），c＝a＋tb，若＜a，c＞＝＜b，c＞，则t
＝（　　）
A. －6 B. －5
C. 5 D. 6
√
解析：　由题意，得c＝a＋tb＝（3＋t，4），所以a·c＝3×（3＋
t）＋4×4＝25＋3t，b·c＝1×（3＋t）＋0×4＝3＋t.因为＜a，c＞
＝＜b，c＞，所以 cos ＜a，c＞＝ cos ＜b，c＞，即 ＝
，即 ＝3＋t，解得t＝5，故选C.
4. （2023·新高考Ⅱ卷13题）（求平面向量的模）已知向量a，b满足｜a
－b｜＝ ，｜a＋b｜＝｜2a－b｜，则｜b｜＝ 　 　.
解析：因为｜a＋b｜＝｜2a－b｜，所以a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b
＋b2，则a2＝2a·b.因为｜a－b｜＝ ，所以a2－2a·b＋b2＝b2＝
3，所以｜b｜＝ .

1. 平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任
意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.把{e1，e2}
叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
2. 向量平行的坐标表示
（1）如果a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）（b≠0），则a∥b的充要
条件为x1y2－x2y1＝0；
（2）A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）三点共线的充要条件
为（x2－x1）（y3－y1）－（x3－x1）（y2－y1）＝0.
3. 向量数量积的应用
已知非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）：
（1）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件：a⊥b a·b＝
0 x1x2＋y1y2＝0；
（2）求解夹角问题，常利用夹角公式： cos θ＝ ＝
（其中θ为a与b的夹角）；
（3）求模长问题，常利用模长公式：｜a｜＝ ＝ 或｜
｜＝ .
易错提醒　找向量的夹角时，需把向量平移到同一个起点，共起
点容易忽视.
02
研透高考·攻重点
重难攻坚 快速提升
平面向量的线性运算
【例1】　（1）在等腰梯形ABCD中，AB＝2CD，M为BC的中点，则
＝（　B　）
A. ＋ B. ＋
C. ＋ D. ＋
√
解析：如图，因为在等腰梯形ABCD中，AB
＝2CD，所以AB∥CD，AD＝BC. 因为M为BC
的中点，所以 ＝ ＋ ＝ ＋ （ ＋
）＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝
＋ .故选B.
（2）如图，BE，CD分别是△ABC的边AC，AB上的中线，BE与CD交
于点F，设 ＝a， ＝b， ＝xa＋yb，则x＋y＝ .
解析：由题意知，点F是△ABC的重心，∴
＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ （ ＋ ）＝
＋ （－ ＋ ）＝ ＋ ＝ a＋ b，
∴x＝y＝ ，x＋y＝ .

1. 对平面向量加法运算抓住“共起点”或“首尾相连”；对平面向量减法
运算抓住“共起点，连两终点，指向被减向量的终点”，再观察图形对
向量进行等价转化.
2. 在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作一个字母看待，其运
算方法类似于代数中合并同类项的运算，在计算时可以进行类比.
1. 已知向量a＝（1，0），b＝（2，1）.若ka－b与a＋2b共线，则k
＝ ；若 ＝2a＋3b， ＝a＋mb且A，B，C三点共线，
则实数m的值为 .
解析：∵向量a＝（1，0），b＝（2，1），∴a，b不共线.由题意知
ka－b＝（k－2，－1），a＋2b＝（5，2）.若ka－b与a＋2b共线，
则2（k－2）＋5＝0，解得k＝－ .∵ ＝2a＋3b＝（8，3），
＝a＋mb＝（1＋2m，m），且A，B，C三点共线，∴ ∥ ，
即 ＝ ，解得m＝ .
－

2. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a ＋（b
－2c） ＋c ＝0，则△ABC的形状为 三角形.
解析：∵a ＋（b－2c） ＋c ＝0，∴a ＋（b－2c）
＋c（ － ）＝0，即（a－c） ＋（b－c） ＝0，∴a－c
＝0，b－c＝0，∴a＝b＝c，故△ABC为等边三角形.
等边
平面向量的数量积运算
【例2】　（1）（2024·新高考Ⅱ卷3题）已知向量a，b满足｜a｜＝1，｜
a＋2b｜＝2，且（b－2a）⊥b，则｜b｜＝（　B　）
A. B. C. D. 1
√
解析： 因为（b－2a）⊥b，所以（b－2a）·b＝0，即b2＝2a·b，又因为｜a｜＝1，｜a＋2b｜＝2，所以1＋4a·b＋4b2＝1＋6b2＝4，从而｜b｜＝ .故选B.
（2）在菱形ABCD中，AB＝2，点E，F分别为BC和CD的中点，且
· ＝4，则 · ＝（　B　）
A. 1 B.
C. 2 D.
√
解析：作出图形如图，选择一组不共线的向量 ，
作为基底.因为点E，F分别为BC和CD的中点，
所以 · ＝ ·（ ＋ ）＝ · ＋
＝4，所以 · ＝2.所以 · ＝（ ＋ ）·（ ＋ ）＝（ ＋ ）·（ － ）＝ · ＋ － ＝ ×2＝ ，故选B.
平面向量数量积问题的解题方法
（1）借“底”数字化：要先选取一组合适的基底（一般用已知的向量表
示未知的向量），建立向量之间的关系，利用向量间的关系构造关
于未知向量的方程进行求解；
（2）借“系”坐标化：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向
量就可以用坐标表示出来，这样就能进行相应的代数运算，从而使
问题得以解决.
　（2024·兰州市高三诊断考试）在等边△ABC中，点D是AC的中点，点
E是BC上靠近点C的三等分点，则 cos ＜ ， ＞＝ .
－
解析：如图，取AB的中点O，连接OC，以O为原点，
AB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立平面直角
坐标系.不妨设等边△ABC的边长为2，则A（－1，0），
B（1，0），C（0， ），所以D（－ ， ），E
（ ， ），则 ＝（ ， ）， ＝（－ ，
），所以 cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝－
.
平面向量中的最值（范围）问题
【例3】　（1）已知a，b，c是平面向量，a与c是单位向量，且＜a，c
＞＝ ，若b2－8b·c＋15＝0，则｜a－b｜的最小值为 　 －1　；
解析：由题意，令a＝（1，0），c＝（0，1），设b＝（x，y），∵b2－8b·c＋15＝0，∴x2＋（y－4）2＝1，其表示以（0，4）为圆心，半径r＝1的圆.｜a－b｜＝ ，∴｜a－b｜min＝ －1＝ －1.
－1
（2）（2024·天津高考14题）在边长为1的正方形ABCD中，E为线段CD
的三等分点，CE＝ DE， ＝λ ＋μ ，则λ＋μ
＝ ；F为线段BE上的动点，G为AF中点，则 · 的最小
值为 .

－
解析：以点A为坐标原点建立如图所示的平面直
角坐标系，则A（0，0），B（1，0），C（1，
1），D（0，1），E（ ，1），所以 ＝（－ ，
1）， ＝（－1，0）， ＝（0，1），因为 ＝λ ＋μ ，所以（－ ，1）＝λ（－1，0）＋μ（0，1），所以λ＝ ，μ＝1，所以λ＋μ＝ .由B（1，0），E（ ，1）可得直线
BE的方程为y＝－3（x－1），设F（a，3－3a）（ ≤a≤1），则G（ ， ），所以 ＝（a，3－3a）， ＝（ ， ），所以 · ＝a· ＋（3－3a）· ＝5a2－6a＋ ＝5（a－ ）2－ ，所以当a＝ 时， · 取得最小值，为－ .
平面向量中最值（范围）问题的求解思路
（1）形化：利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值
（范围）问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；
（2）数化：利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值
与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等
式、方程的有关知识来解决.
1. （2024·石家庄教学质量检测）在平行四边形ABCD中， ＋
＝ ，λ∈[，3]，则 cos ∠BAD的取值范围是（　　）
A. ［－ ，－ ］ B. ［－ ， ］
C. ［－ ， ］ D. ［－ ，－ ］
√
解析：　如图，在平行四边形ABCD中，令 ＝
， ＝ ，因为 ＋ ＝
，所以 ＋ ＝ ，以AE，AF为邻边作
平行四边形AEGF，则 ＋ ＝ ＝ ，所以点G一定在AC上.在△AEG中，AE＝1，EG＝AF＝3，AG＝λ，∠AEG＝π－∠BAD，所以 cos ∠BAD＝－ cos ∠AEG＝－ ＝－ ＝ ，又λ∈[，3]，所以 cos ∠BAD∈［－ ，－ ］，故选A.
2. （2024·湖南教研联盟第二次联考）设 ＝（1，0）， ＝（0，
2），对满足条件｜ － － ｜＝2｜ － ｜的点C（x，
y），O为坐标原点，｜x－2y＋m｜＋｜x－2y－7｜的值与x，y无
关，则实数m的取值范围为（　　）
A. （－∞，－7）
B. [13，＋∞）
C. （13，＋∞）
D. （－∞，－7）∪[13，＋∞）
√
解析：　由｜ － － ｜＝2｜ － ｜得｜（x－1，y－
2）｜＝2 ，即（x－1）2＋（y－2）2＝20，表示以（1，2）为圆
心，2 为半径的圆.｜x－2y＋m｜＋｜x－2y－7｜的值与x，y无
关，则表示圆在两平行线x－2y＋m＝0和x－2y－7＝0之间.则由题意
知 ≥2 ，解得m≤－7或m≥13，结合图形知m≥13，故
选B.
03
课时跟踪检测
1. （2024·贵阳摸底）如图，在△ABC中，点D为线段BC的中点，点E是
线段AD上靠近D的三等分点，则 ＝（　　）
A. － ＋ B. － ＋
C. ＋ D. －
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√
解析：　因为D为线段BC的中点，则 ＝ ＋ ，因为点E是
线段AD上靠近D的三等分点，则 ＝ ＝ （ ＋ ）＝
＋ ，因此， ＝ － ＝ ＋ － ＝－ ＋
.故选A.
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2. 已知平面向量a＝（1，m－1），b＝（m，m＋3），若a·b＝｜
a｜｜b｜，则实数m＝（　　）
A. 3或－1 B. 3
C. 1或－3 D. －3
解析：　由a·b＝｜a｜｜b｜可知a与b同向共线.令1×（m＋3）＝
（m－1）×m，解得m＝3或m＝－1.当m＝3时，a＝（1，2），b＝
（3，6），符合题意；当m＝－1时，a＝（1，－2），b＝（－1，
2），不符合题意.故选B.
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3. （2024·湖北十一名校第二次联考）已知向量a，b满足｜a｜＝｜b｜
＝｜a－b｜，则a·（a＋b）＝（　　）
A. a2 B. b2
C. （a＋b）2 D. （a－b）2
解析：　由题知｜a｜2＝｜b｜2＝｜a－b｜2，所以｜b｜2＝｜a｜2
＋｜b｜2－2a·b，即a·b＝ ｜a｜2，所以a·（a＋b）＝a2＋a·b＝
｜a｜2，而 （a＋b）2＝ a2＋ b2＋a·b＝ a2＝ ｜a｜2，故选C.
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4. 设向量 ＝（1，－2）， ＝（a，－1）， ＝（－b，0），其
中O为坐标原点，a＞0，b＞0，若A，B，C三点共线，则 ＋ 的最
小值为（　　）
A. 4 B. 6
C. 8 D. 9
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解析：　由题意得， ＝ － ＝（a－1，1）， ＝ －
＝（－b－1，2），∵A，B，C三点共线，∴ ＝λ 且λ∈R，
则可得2a＋b＝1，∴ ＋ ＝（ ＋ ）（2a＋
b）＝4＋ ＋ ≥4＋2 ＝8，当且仅当b＝2a＝ 时，等号成
立，∴ ＋ 的最小值为8.
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5. （2024·淄博一模）在平面直角坐标系xOy中，已知向量 与 关于x
轴对称，向量a＝（0，1），若满足 ＋a· ＝0的点A的轨迹为
E，则（　　）
A. E是一条垂直于x轴的直线
B. E是一个半径为1的圆
C. E是两条平行直线
D. E是椭圆
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解析：　设A（x，y），则 ＝（x，y）， ＝（x，－y），则
＝ － ＝（0，－2y），所以 ＋a· ＝x2＋y2－2y＝0，
即x2＋（y－1）2＝1，所以点A的轨迹E是一个半径为1的圆.故选B.
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6. 已知非零向量 ， 满足 ＝ ，且 · ＝ ，
则△ABC为（　　）
A. 钝角三角形 B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形
解析：　由 · ＝ ，得 cos A＝ ，又0＜A＜π，∴A＝
.由 ＝ ，得（ ＋ ）· ＝0，∴角A的角
平分线垂直于BC，∴AB＝AC，∴△ABC是等边三角形.故选D.
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7. 圆的内接四边形ABCD中，AD＝2，CD＝4，BD是圆的直径，则
· ＝（　　）
A. 12 B. －12
C. 20 D. －20
解析：　如图，由题知∠BAD＝∠BCD＝90°，AD
＝2，CD＝4，所以 · ＝（ ＋ ）· ＝
· ＋ · ＝｜ ｜·｜ ｜ cos ∠BDA－｜
｜｜ ｜· cos ∠BDC＝｜ ｜2－｜ ｜2＝4－
16＝－12.故选B.
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8. （2024·福建适应性练习卷）已知O是△ABC所在平面内一点，且｜
｜＝2， · ＝－1， · ＝1，则∠ABC的最大值为（　　）
A. B.
C. D.
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解析：　法一（数形结合法）　由题意知， · －
· ＝（ － ）· ＝ · ＝ ＝2，则｜
｜＝ ，如图1，固定AB，则AC可绕着点A旋转，
C的轨迹是以A为圆心，半径为 的圆（除去直线AB
与圆A的交点），显然当直线BC与圆A相切时，∠ABC
取得最大值，此时AC⊥BC，根据勾股定理得｜BC｜
＝ ＝ ，所以△ABC为等腰直角三
角形，∠ABC＝ ，故选B.
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法二（利用余弦定理求解）　由题意知， · － ·
＝（ － ）· ＝ · ＝ ＝2，则｜ ｜＝
，如图2，记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，
b，c，则c＝2，b＝ ，由余弦定理得， cos ∠ABC＝
＝ ＝ ＝ ＋ ≥2 ＝2
＝ ，当且仅当 ＝ ，即a＝ 时，等号成立，又
∠ABC∈（0，π），函数y＝ cos x在（0，π）上单调递减，
cos ＝ ，所以0＜∠ABC≤ ，故选B.
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9. （多选）（2024·武汉调研）已知向量a＝（ cos θ， sin θ），b＝
（－3，4），则（　　）
A. 若a∥b，则tan θ＝－
B. 若a⊥b，则 sin θ＝
C. ｜a－b｜的最大值为6
D. 若a·（a－b）＝0，则｜a－b｜＝2
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解析：　若a∥b，则4 cos θ＝－3 sin θ，tan θ＝－ ，A正确；
若a⊥b，则－3 cos θ＋4 sin θ＝0，tan θ＝ ，所以 sin θ＝± ，B
错误；因为｜a｜＝ ＝1，｜b｜＝ ＝
5，｜a－b｜≤｜a｜＋｜b｜＝6，当且仅当a，b反向时等号成立，
所以C正确；若a·（a－b）＝0，则a2＝a·b，则｜a－b｜＝
＝ ＝ ＝ ＝2 ，D正
确.故选A、C、D.
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10. （多选）（2024·丹东阶段测试）设向量a，b，c满足a＋b＋c＝
0，｜a｜＝｜b｜＝1，｜c｜＝ ，则（　　）
A. a·b＋b·c＋c·a＝－
B. ＜a，b＞＝120°
C. ｜a－c｜＝
D. cos ＜a－c，b－c＞＝
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解析：　将a＋b＋c＝0两边平方得（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2
＋2（a·b＋a·c＋b·c）＝0，由a2＝b2＝1，c2＝3，得a·b＋b·c＋
c·a＝－ ，故A正确；将a＋b＝－c两边平方得（a＋b）2＝a2＋b2
＋2a·b＝c2，则a·b＝ ，所以＜a，b＞＝60°，故B错误；因为a
＋c＝－b，所以｜a＋c｜＝｜b｜＝1，1＝｜a＋c｜2＝4＋2c·a，
所以c·a＝－ ，所以｜a－c｜2＝4－2c·a＝7，即｜a－c｜＝ ，
故C正确；由C的分析得b＋c＝－a，与C同理可得b·c＝－ ，｜b－c｜＝ ，所以（a－c）·（b－c）＝a·b－b·c－a·c＋c2＝ ，所以 cos ＜a－c，b－c＞＝ ，故D正确.故选A、C、D.
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11. （多选）对任意两个非零向量a，b，定义新运算：a b＝
，已知非零向量m，n满足｜m｜＞3｜n｜且向量
m，n的夹角θ∈（ ， ），若4（m n）和4（n m）都是整
数，则m n的值可能是（　　）
A. 2 B.
C. 3 D. 4
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解析：　由题意得n m＝ ＝ （k∈Z），因为｜m｜
＞3｜n｜＞0，所以0＜ ＜ ，因为θ∈（ ， ），所以 ＜
sin θ＜1，所以0＜ sin θ＜ ，即0＜ ＜ ，解得0＜k＜ ，因
为k∈Z，所以k＝1，所以n m＝ ＝ ，则 ＝ ，
故m n＝ ＝4 sin 2θ，因为θ∈（ ， ），所以 ＜ sin
θ＜1，因为0＜ ＜ ，所以0＜ ＜ ，所以 ＜ sin θ＜1，
所以 ＜ sin 2θ＜1，则 ＜4 sin 2θ＜4，即m n∈（ ，4）.结合
选项知选B、C.
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12. （2024·嘉兴调研）已知平面向量a，b，c，a＝（－1， ），b＝
（ ，－1），c是非零向量，且c与a，b的夹角相等，则c的坐标可
以为
.（只需写出一个符合要求的答案）
解析：设c＝（x，y），由c与a，b的夹角相等，得 ＝
，∴ ＝ ，则x＝y，即c的坐标满足x＝y≠0即
可.
（1，1）（答案不唯一，满足横、纵坐标相等且不为0即
可）
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13. 已知向量 ， 满足｜ ｜2＋｜ ｜2＝4，｜ ｜2＝2，设
＝2 ＋ ，则｜ ｜的取值范围为 .
［ ， ］
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解析：由｜ ｜2＋｜ ｜2＝4，｜ ｜2＝2可得 · ＝1，则｜
＋ ｜2＝｜ ｜2＋｜ ｜2＋2 · ＝6，即｜ ＋ ｜＝
，｜ － ｜＝｜ ｜＝ ，因为 ＝2 ＋ ＝ （
＋ ）＋ （ － ），所以｜ ｜ ＋ ｜－ ｜ －
｜｜≤｜ ｜≤ ｜ ＋ ｜＋ ｜ － ｜，即
≤｜ ｜≤ .所以｜ ｜的取值范围为［ ， ］.
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14. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝ ，半径为1的☉A分别
交AB，AC于点E，F，点P是劣弧EF上的一个动点，则 · 的取
值范围是 .
[－11，－9]
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解析：法一（坐标法）　如图，以A为原点，垂直于
BC的直线为x轴建立平面直角坐标系xAy，则B（2，
－2 ），C（2，2 ），设P（ cos θ， sin θ），其中θ∈［－ ， ］.所以 · ＝（2－ cos θ，－2 － sin θ）·（2－ cos θ，2 － sin θ）＝（2－ cos θ）2＋ sin 2θ－12＝－7－4 cos θ.
因为 cos θ∈［ ，1］，所以 · ∈[－11，－9].
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法二（几何法）　如图，取BC的中点M，连接PM，则
两个动向量 ， 均可用一个动向量 和一个定向量
表示. · ＝（ － ）·（ ＋ ）＝
－ .因为MC为定值，所以 · 的变化可由 的
变化确定.连接AM，易得AM＝2，MC＝2 ，当P为
劣弧EF与AM的交点时，PM取得最小值，为AM－1＝1；
连接EM，PM的最大值为EM＝
＝ .所以 － 的取值范围是[－11，－9]，即 · ∈[－11，－9].
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