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(共56张PPT)
第1讲　小题研透
——集合、复数与常用逻辑用语
目录
CONTENTS
课时跟踪检测
锁定高考·明方向
研透高考·攻重点
有的放矢 事半功倍
重难攻坚 快速提升
01
锁定高考·明方向
有的放矢 事半功倍
一、考情分析
高频考点 高考预测
集合间的基本关系及基本运算 集合、复数在高考中一般单独考查，
主要为选择题，难度很小，考查集合
及复数基本概念及运算；常用逻辑用
语多以其他知识模块为背景，考查充
要条件的判断及含量词的命题的否
定，试题主要为选择题或填空题
复数的概念、四则运算及几何意义 常用逻辑用语（充分条件与必要 条件的判断、含有量词的命题及 否定） 二、真题感悟
1. （2024·新高考Ⅰ卷1题）（集合的交集运算）已知集合A＝{x｜－5＜x3
＜5}，B＝{－3，－1，0，2，3}，则A∩B＝（　　）
A. {－1，0} B. {2，3}
C. {－3，－1，0} D. {－1，0，2}
解析：　法一　因为A＝{x｜－ ＜x＜ }，B＝{－3，－1，0，
2，3}，且注意到1＜ ＜2，从而A∩B＝{－1，0}.故选A.
法二　将集合B中的元素代入集合A中，排除易得选A.
√
2. （2023·全国甲卷理1题）（集合的并、补集运算）设全集U＝Z，集合
M＝{x｜x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x｜x＝3k＋2，k∈Z}，则 U
（M∪N）＝（　　）
A. {x｜x＝3k，k∈Z}
B. {x｜x＝3k－1，k∈Z}
C. {x｜x＝3k－2，k∈Z}
D.
√
解析：　法一（列举法）　M＝{…，－2，1，4，7，10，…}，N＝
{…，－1，2，5，8，11，…}，所以M∪N＝{…，－2，－1，1，2，
4，5，7，8，10，11，…}，所以 U（M∪N）＝{…，－3，0，3，
6，9，…}，其元素都是3的倍数，即 U（M∪N）＝{x｜x＝3k，
k∈Z}，故选A.
法二（描述法）　集合M∪N表示被3除余1或2的整数集，则它在整数
集中的补集是恰好被3整除的整数集，故选A.
3. （2024·新高考Ⅰ卷2题）（复数的四则运算）若 ＝1＋i，则z＝
（　　）
A. －1－i B. －1＋i
C. 1－i D. 1＋i
解析：　法一　因为 ＝ ＝1＋ ＝1＋i，所以z＝1＋ ＝1－
i.故选C.
√
法二　由 ＝1＋i，得z＝（z－1）（1＋i），即zi＝1＋i，z＝ ＝1－i.
4. （2023·新高考Ⅱ卷1题）（复数的几何意义）在复平面内，（1＋3i）
（3－i）对应的点位于（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解析：　∵（1＋3i）（3－i）＝3－i＋9i－3i2＝6＋8i，∴（1＋3i）
（3－i）在复平面内对应的点的坐标为（6，8），即（1＋3i）（3－i）
在复平面内对应的点在第一象限.故选A.
√
5. （2024·新高考Ⅱ卷2题）（含量词命题的真假判断及否定）已知命题
p： x∈R，｜x＋1｜＞1；命题q： x＞0，x3＝x.则（　　）
A. p和q都是真命题
B. p和q都是真命题
C. p和 q都是真命题
D. p和 q都是真命题
解析：　对于命题p，取x＝－1，则有｜x＋1｜＝0＜1，故p是假命
题， p是真命题；对于命题q，取x＝1，则有x3＝13＝1＝x，故q是
真命题，故选B.
√
6. （2024·全国甲卷理9题）（充分条件、必要条件的判断）设向量a＝
（x＋1，x），b＝（x，2），则（　　）
A. x＝－3是a⊥b的必要条件
B. x＝1＋ 是a∥b的必要条件
C. x＝0是a⊥b的充分条件
D. x＝－1＋ 是a∥b的充分条件
解析：　a⊥b x2＋x＋2x＝0 x＝0或x＝－3，所以x＝－3是
a⊥b的充分条件，x＝0是a⊥b的充分条件，故A错误，C正
确.a∥b 2x＋2＝x2 x2－2x－2＝0 x＝1± ，故B、D错误.
√
1. 集合的运算性质及重要结论
（1）A∪A＝A，A∪ ＝A，A∪B＝B∪A；
（2）A∩A＝A，A∩ ＝ ，A∩B＝B∩A；
（3）A∩（ UA）＝ ，A∪（ UA）＝U；
（4）A∩B＝A A B，A∪B＝A B A.
易错提醒　遇到A∩B＝ 时，需注意到“极端”情况：A＝ 或B
＝ ；同样在应用条件A∪B＝B A∩B＝A A B时，不要忽
略A＝ 的情况.
2. 复数四则运算的常见结论
（1）（1±i）2＝±2i；
（2） ＝i， ＝－i；
（3）i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋
3＝0（n∈N）.
3. 复数的几何意义
其中，a，b∈R，i为虚数单位.
4. 充分、必要条件的六种类型与对应集合的关系
设p包含的对象组成集合A，q包含的对象组成集合B.
p是q的充分不必要条件 p q且q p A B
p是q的必要不充分条件 p q且q p B A
p是q的充要条件 p q A＝B
p是q的既不充分也不必要条件 p q且q p A，B互不包含
p是q的充分条件 p q A B
p是q的必要条件 q p B A
02
研透高考·攻重点
重难攻坚 快速提升
集　合
【例1】　（1）（2024·贵阳适应性考试）若集合A＝{x｜2mx－3＞0，
m∈R}，其中2∈A且1 A，则实数m的取值范围是（　A　）
A. （ ， ］ B. ［ ， ）
C. （ ， ） D. ［ ， ］
√
解析：因为2∈A且1 A，所以解得m∈
（ ， ］，故选A.
（2）（2024·贵阳摸底）已知全集U＝R，集合A＝{x｜－1≤x≤3}，B
＝{y｜y＝2x，x∈R}，则图中阴影部分所对应的集合为（　A　）
A. {x｜x＜－1} B. {x｜x≤－1}
C. {x｜x≤0或x＞3} D. {x｜0＜x≤3}
解析： ∵B＝{y｜y＝2x，x∈R}，∴B＝（0，＋∞）.而题图中白
色部分表示A∪B＝[－1，＋∞），故阴影部分所对应的集合为 U
（A∪B）＝（－∞，－1）.故选A.
√
解决集合运算问题的关键
（1）确定集合中元素是数还是有序数对，是函数的自变量还是函数值
等；
（2）对集合进行化简，通过化简可以使问题变得简单明了；
（3）注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和
Venn图.
1. （2024·重庆学业质量调研）已知集合A＝{x｜－2x2＋5x＋3≥0}，B
＝{x∈N｜｜x｜≤2}，则A∩B的真子集个数为（　　）
A. 3 B. 4
C. 7 D. 8
解析：　由－2x2＋5x＋3≥0，得2x2－5x－3≤0，即（2x＋1）（x
－3）≤0，解得－ ≤x≤3，所以A＝ x｜－ ≤x≤3 .由B＝
{x∈N｜｜x｜≤2}，得B＝{0，1，2}，所以A∩B＝{0，1，2}，所
以A∩B的真子集个数为23－1＝7.故选C.
√
2. （2024·开封第二次质量检测）已知集合A＝ x｜x＝ sin ，n∈Z ，
B＝{0，1}，则下列命题正确的是（　　）
A. A＝B B. B A
C. A∩B＝{0，－1} D. AB＝{1}
解析：　因为x＝ sin 的周期T＝ ＝4，且n∈Z，当n＝1时，x＝
1，当n＝2时，x＝0，当n＝3时，x＝－1，当n＝4时，x＝0，所以A
＝{－1，0，1}，又B＝{0，1}，所以B A，A≠B，A∩B＝{0，
1}， AB＝{－1}，故A、C、D不正确，B正确，故选B.
√
3. （多选）（2024·宋基信阳实验中学月考）对任意A，B R，记AΘB＝
{x｜x∈A∪B，且x A∩B}.则下列命题为真命题的是（　　）
A. （AΘB）∪（A∩B）＝A∪B
B. 若A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则AΘB＝{1，4}
C. 若A表示所有的正整数，B表示所有的负整数，则AΘB表示所有的整
数
D. 若A＝{x｜－2＜x＜3}，B＝{x｜0＜x＜5}，则AΘB＝{x｜－2＜x
＜0，或3＜x＜5}
√
√
解析：　对于A，由题意知，（AΘB）∪（A∩B）＝A∪B，A正
确；对于B，若A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A∪B＝{1，2，3，
4}，A∩B＝{2，3}，所以AΘB＝{1，4}，B正确；对于C，若A表示
所有的正整数，B表示所有的负整数，则A∩B＝ ，所以AΘB＝
A∪B. 又0 A∪B，所以0 AΘB，C错误；对于D，若A＝{x｜－2＜
x＜3}，B＝{x｜0＜x＜5}，则A∪B＝{x｜－2＜x＜5}，且A∩B＝
{x｜0＜x＜3}，所以AΘB＝{x｜－2＜x≤0，或3≤x＜5}，D错误.
故选A、B.
复　数
【例2】　（1）若复数z满足（2－i）z＝i2 024，则 ＝（　　）
A. － i B. － － i
C. － ＋ i D. － i
√
解析：由题意，得z＝ ＝ ＝ ＝ ＋ i，所以 ＝
－ i，故选D.
（2）（2024·湖北七市州联合测试）已知复平面内坐标原点为O，复数z
对应点Z，z满足z（4－3i）＝3＋4i，则｜ ｜＝（　　）
A. B.
C. 1 D. 2
√
解析：由题意，得z＝ ＝ ＝ ＝i，所以复数z在复
平面内对应的点为Z（0，1），所以 ＝（0，1），所以｜ ｜
＝ ＝1，故选C.
复数的概念及运算问题的解题技巧
（1）与复数有关的代数式为纯虚数的问题，可设为z＝mi（m∈R且
m≠0），利用复数相等求解；
（2）与复数的模、共轭复数、复数相等有关的问题，可设z＝a＋bi
（a，b∈R），利用待定系数法求解；
（3）与复数有关的判断及运算也可利用复数的几何意义转化求解.
1. （2024·济南高三模拟考试）已知复数z1，z2满足2｜z1｜＝｜z2｜＝｜
2z1－z2｜＝2，则 z1＋ z2 ＝（　　）
A. 1 B.
C. 2 D. 2
解析：　法一　由2｜z1｜＝｜z2｜＝｜2z1－z2｜＝2，得｜2z1－z2｜2
＝4 －4z1z2＋ ＝4，将｜z1｜＝1，｜z2｜＝2代入得4－4z1z2＋4＝
4，即z1z2＝1，所以 z1＋ z2 2＝ ＋ ＋z1z2＝1＋1＋1＝3，所以 z1
＋ z2 ＝ ，故选B.
√
法二　设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），则2 ＝
＝ ＝2，所以a2＋b2＝1，c2＋d2＝
4，8－4（ac＋bd）＝4，即ac＋bd＝1，则｜z1＋ z2｜＝
＝ ＝
＝ ，故选B.
2. （多选）（2024·郑州第二次质量预测）在复平面内，复数z1＝ － i
对应的点为A，复数z2＝z1－1对应的点为B，下列说法正确的是
（　　）
A. ｜z1｜＝｜z2｜＝1
B. z1·z2＝｜z1｜2
C. 向量 对应的复数是1
D. ｜ ｜＝｜z1－z2｜
√
√
解析：　因为z1＝ － i，则其对应的点为A（ ，－ ），z2＝z1
－1＝－ － i，则复数z2对应的点为B（－ ，－ ）.对于A，｜
z1｜＝ ＝1，｜z2｜＝ ＝
1，所以选项A正确；对于B，z1z2＝（ － i）（－ － i）＝（－
i）2－（ ）2＝－ － ＝－1，所以选项B错误；对于C，向量 ＝
（－1，0），则向量 对应的复数为－1，所以选项C错误；对于D，｜ ｜＝1，z1－z2＝1，所以｜ ｜＝｜z1－z2｜，所以选项D
正确.综上，选A、D.
常用逻辑用语
【例3】　（1）（2024·天津高考2题）设a，b∈R，则“a3＝b3”是“3a
＝3b”的（　C　）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
解析：由函数y＝x3是增函数可知，若a3＝b3，则a＝b；由函数y＝3x是增函数可知，若3a＝3b，则a＝b.故“a3＝b3”是“3a＝3b”的充要条件，故选C.
√
（2）已知m∈R，命题p： x∈R，x2－4x＋2m≥0，命题q：m≥3，
则p是q的 条件.（填“充分不必要”“必要不充
分”“充要”“既不充分也不必要”）
解析： p： x∈R，x2－4x＋2m≥0为真命题，则Δ＝16－8m≤0，故m≥2.因为{m｜m≥3} {m｜m≥2}，所以p是q的必要不充分条件.
必要不充分
判断充分、必要条件的三种方法
（1）定义法：根据命题p 命题q，命题q 命题p进行判断，适用于定
义、定理判断性问题；
（2）集合法：根据命题p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判
断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题；
（3）数形结合法：充要条件的判定问题中，若给出的条件与结论之间有
明显的几何意义，且可以作出满足条件的几何图形，则可作出其几
何图形后利用数形结合思想求解.
1. 已知椭圆C： ＋y2＝1（m＞0），则“m＝2”是“椭圆C的离心率
为 ”的（　　）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
√
解析：　由得m＝2；由得m
＝ .所以“m＝2”是“椭圆C的离心率为 ”的充分不必要条件，故
选A.
2. （2024·保定定州二中等校联考）下列命题中，既是存在量词命题又是
真命题的是（　　）
A. x∈R，x2＋ln x＞x
B. 存在一个三位数，它是质数且大于991
C. x∈R， sin x＋ cos x＝1.42
D. 在区间（0，99）内，至少存在50个奇数
√
解析： 对于A， x∈R，x2＋ln x＞x，是全称量词命题，故A错
误；对于B，存在一个三位数，它是质数且大于991，是存在量词命题，
其中997是质数且大于991，故B正确；对于C， x∈R， sin x＋ cos x＝
1.42，是存在量词命题，但 sin x＋ cos x的最大值为 ，故C错误；对
于D，在区间（0，99）内，至少存在50个奇数，是存在量词命题，且
在区间（0，99）内，至少存在49个奇数，故D错误，故选B.
03
课时跟踪检测
1. （2023·新高考Ⅰ卷1题）已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x｜
x2－x－6≥0}，则M∩N＝（　　）
A. {－2，－1，0，1} B. {0，1，2}
C. {－2} D. {2}
解析：　由x2－x－6＝（x－3）（x＋2）≥0，得x≥3或x≤－2.又
因为M＝{－2，－1，0，1，2}，所以M∩N＝{－2}.故选C.
1
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14
√
2. 已知复数z＝1－ （a∈R）的实部与虚部相等，则a＝（　　）
A. B. －2
C. 2 D. －
解析：　因为z＝1－ ＝1－ ＝ ＋ i，z的实部
与虚部相等，所以3－a＝1－2a，得a＝－2，故选B.
√
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3. （2024·贵阳适应性考试）直线l1，l2的倾斜角分别为α，β，则“α＝
β”是“tan α＝tan β”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
解析：　由题意知，α，β∈[0，π），所以若tan α＝tan β，则α＝
β；若α＝β＝ ，则不存在tan α，tan β，就不可能得到tan α＝tan
β.所以“α＝β”是“tan α＝tan β”的必要不充分条件.故选B.
√
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4. （2024·南宁第一次适应性测试）已知集合A＝{x｜ax＝1，a∈R}，B
＝{－1，1}，且A B，则a的取值集合为（　　）
A. {－1} B. {－1，1}
C. {0，1} D. {－1，0，1}
解析：　当a＝0时，A＝ ，满足A B；当a≠0时，A＝ ，又
A B，所以 ＝1或 ＝－1，所以a＝1或a＝－1.故满足题意的a的所
有取值组成的集合是{－1，0，1}.故选D.
√
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5. （2024·南京调研测试）已知x＞0，y＞0，则x＋y≥2是xy≥1的
（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
解析：　当x＝ ，y＝ 时，满足x＞0，y＞0，x＋y＝2，但xy＝
＜1，故充分性不成立；若x＞0，y＞0，xy≥1，则x＋y≥2 ≥2，
当且仅当x＝y＝1时两个等号同时成立，故必要性成立.综上，可知x
＋y≥2是xy≥1的必要不充分条件，故选B.
√
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6. 已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{z｜z＝x＋y＋1，x∈A，y∈A}，
则集合B的真子集个数为（　　）
A. 8 B. 16
C. 31 D. 63
解析：　由题，z＝－1－1＋1＝－1；z＝－1＋0＋1＝0；z＝－1＋1
＋1＝1；z＝0－1＋1＝0；z＝0＋0＋1＝1；z＝0＋1＋1＝2；z＝1－1
＋1＝1；z＝1＋0＋1＝2；z＝1＋1＋1＝3.故B＝{－1，0，1，2，3}，
其真子集的个数为25－1＝31.故选C.
√
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7. 任何一个复数z＝a＋bi（a，b∈R）都可以表示成z＝r（ cos θ＋i
sin θ）（r≥0，θ∈R）的形式，通常称之为复数的三角形式.法国数
学家棣莫弗发现：[r（ cos θ＋i sin θ）]n＝rn（ cos nθ＋i sin nθ）
（n∈Z），我们称这个结论为棣莫弗定理.则（1－ i）2 025＝
（　　）
A. 1 B. 22 025
C. －22 025 D. i
√
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解析：　1－ i＝2（ － i）＝2［ cos （－ ）＋i sin （－
）］，∴（1－ i）2 025＝22 025［ cos （－ π）＋i sin （－
π）］＝－22 025.故选C.
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8. （2024·宁波段考）设集合U＝R，集合M＝{x｜x2－2x≥0}，N＝
{x｜y＝log2（1－x）}，则{x｜x＜2}＝（　　）
A. M∪N B. N∪（ UM）
C. M∪（ UN） D. U（M∩N）
√
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解析：　M＝{x｜x2－2x≥0}＝{x｜x≤0或x≥2}，N＝{x｜y＝
log2（1－x）}＝{x｜x＜1}，对于A选项，M∪N＝{x｜x＜1或
x≥2}≠{x｜x＜2}，∴A选项错误；对于B选项，N∪（ UM）＝
{x｜x＜1}∪{x｜0＜x＜2}＝{x｜x＜2}，∴B选项正确；对于C选
项，M∪（ UN）＝{x｜x≤0或x≥2}∪{x｜x≥1}＝{x｜x≤0或
x≥1}≠{x｜x＜2}，∴C选项错误；对于D选项，∵M∩N＝{x｜
x≤0或x≥2}∩{x｜x＜1}＝{x｜x≤0}，∴ U（M∩N）＝{x｜x＞
0}≠{x｜x＜2}，∴D选项错误.故选B.
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9. （多选）下列说法正确的是（　　）
A. “三角形的内角和为180°”是全称量词命题
B. “x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的必要不充分条件
C. 若命题q：对于任意x∈R，x2＋2x－a＞0为真命题，则a＜－1
D. 若命题p： x≥0，2x＝3，则 p： x＜0，2x≠3
解析：　命题“三角形的内角和为180°”可写为：所有的三角形的
内角和都是180°，是全称量词命题，A正确；x2－3x＋2＝0时，x＝1
或x＝2，不是必要条件，应是充分不必要条件，B错误；对于任意
x∈R，x2＋2x－a＞0为真命题，则Δ＝4＋4a＜0，a＜－1，C正确；
命题p： x≥0，2x＝3的否定是 x≥0，2x≠3，D错误.故选A、C.
√
√
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10. （多选）（2024·大连第一次模拟考试）已知i是虚数单位，下列说法正
确的是（　　）
A. 已知a，b，c，d∈R，若a＞c，b＝d，则a＋bi＞c＋di
B. 复数z1，z2满足 ＝z2，则｜z1｜＝｜ ｜
C. 复数z满足｜z－i｜＝｜z＋i｜，则z在复平面内对应的点的轨迹为一
条直线
D. 复数z满足z（1＋i）＝｜1－ i｜，则z＝ （ cos －i sin ）
√
√
√
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解析：　对于A，除非b＝d＝0，否则两个复数不能比较大小，
故A错误；对于B，设z1＝a＋bi（a，b∈R），所以 ＝a－bi，由
＝z2，所以z2＝a－bi，即 ＝a＋bi，所以｜z1｜＝｜ ｜，故B
正确；对于C，设z＝a＋bi（a，b∈R），则｜a＋bi－i｜＝｜a＋
bi＋i｜，所以a2＋（b－1）2＝a2＋（b＋1）2，化简得b＝0，所以z
在复平面内对应的点的轨迹为x轴，故C正确；对于D，z＝ ＝1－
i， （ cos －i sin ）＝ （ －i· ）＝1－i，故D正确.综上，
选B、C、D.
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11. （多选）（2024·北京育英学校段考）设A，B是R的两个子集，对任
意x∈R，定义：m＝n＝若对任意x∈R，m＋
n＝1，则A，B间的关系为（　　）
A. B＝ RA B. B＝ R（A∩B）
C. A＝ RB D. A＝ R（A∩B）
√
√
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解析：　因为m＝n＝且对任意x∈R，m
＋n＝1，所以m，n的值一个为0时，另一个为1，即x∈A时，x B
或x∈B时，x A，所以A，B间的关系为B＝ RA或A＝ RB，故选
A、C.
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12. （2024·上海高考9题）已知虚数z，其实部为1，且z＋ ＝m
（m∈R），则实数m为 .
解析：法一　设z＝1＋bi（b∈R且b≠0），则z＋ ＝1＋bi＋
＝1＋bi＋ ＝1＋ ＋（b－ ）i，因为m∈R，所以b
－ ＝0，得b2＝1，所以m＝1＋ ＝2.
2
法二　由z＋ ＝m得z2－mz＋2＝0，解得z＝ ，依题意得 ＝1，解得m＝2.
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13. （2024·河南顶尖名校联盟期中）已知命题p：实数x满足a≤x＜4a，
a＞0，命题q：实数x满足2＜x≤4，若p是q的必要不充分条件，则
实数a的取值范围是 .
解析：因为p是q的必要不充分条件，所以集合（2，4]是[a，4a）的
真子集，则解得1＜a≤2，所以实数a的取值范围是（1，2].
（1，2]
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14. （2024·九省联考）已知集合A＝{－2，0，2，4}，B＝{x｜｜x－3｜
≤m}，若A∩B＝A，则m的最小值为 .
解析：由A∩B＝A可知B≠ ，所以m≥0.由｜x－3｜≤m可得－
m≤x－3≤m，即3－m≤x≤3＋m，故B＝[3－m，3＋m]，因为
A∩B＝A，所以A B，所以解得m≥5，所以m的最
小值为5.
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