资源简介

(共46张PPT)
第2讲　小题研透——不等式
目录
CONTENTS
课时跟踪检测
锁定高考·明方向
研透高考·攻重点
有的放矢 事半功倍
重难攻坚 快速提升
01
锁定高考·明方向
有的放矢 事半功倍
一、考情分析
高频考点 高考预测
不等式的概念、性质及应用 本部分知识在高考中作为载体考查
其他知识，不等式的性质多与常用
逻辑用语模块知识相结合；不等式
的解法，多与集合基本运算相结
合，各类题型均有涉及，以中档题
为主
一元二次不等式（含参一元二次不等
式及二次不等式恒成立问题） 利用基本不等式求最值（构造基本不
等式） 二、真题感悟
1. （2024·上海春招13题）（不等式的性质）已知a，b，c∈R，b＞c，
则下列不等式一定成立的是（　　）
A. a＋b2＞a＋c2 B. a2＋b＞a2＋c
C. ab2＞ac2 D. a2b＞a2c
解析：　法一　当b＞c≥0时，b2＞c2，当c＜b≤0时，b2＜c2，所
以a＋b2＞a＋c2不一定成立，故A错误；因为b＞c，a2≥0，所以a2＋
b＞a2＋c成立，故B正确；当a＞0，c＜b≤0时，ab2＜ac2，故C错
误；当a＝0时，a2b＞a2c不成立，故D错误.综上，选B.
法二　令a＝0，b＝－1，c＝－2，分别代入选项A、B、C、D可知只有
a2＋b＞a2＋c成立，故选B.
√
2. （2022·全国甲卷理12题）（不等式的概念与性质）已知a＝ ，b＝
cos ，c＝4 sin ，则（　　）
A. c＞b＞a B. b＞a＞c
C. a＞b＞c D. a＞c＞b
√
解析：　由题意得 ＝4tan ，因为当x∈（0， ）时，x＜tan x，所
以tan ＞ ，即 ＞1，所以c＞b.因为当x∈（0， ）时， sin x＜x，
所以 cos ＝1－2 sin 2 ＞1－2×（ ）2＝ ，即b＞a，所以c＞b＞
a.故选A.
3. （多选）（2022·新高考Ⅱ卷12题）（基本不等式）若x，y满足x2＋y2
－xy＝1，则（　　）
A. x＋y≤1 B. x＋y≥－2
C. x2＋y2≤2 D. x2＋y2≥1
√
√
解析： 　因为x2＋y2－xy＝（x＋y）2－3xy＝1，且xy≤ ，所以（x＋y）2－3xy≥（x＋y）2－ （x＋y）2＝ （x＋y）2，故（x＋y）2≤4，当且仅当x＝y时等号成立，即－2≤x＋y≤2，故A错误，B正确；由xy≤ 得1＝x2＋y2－xy≥x2＋y2－ ，即x2＋y2≤2，当且仅当x＝y时等号成立.故C正确，D错误.故选B、C.
1. 不等式的倒数性质和分数性质
（1）倒数性质：①a＞b，ab＞0 ＜ ；
②a＜0＜b ＜ .
（2）分数性质：若a＞b＞0，m＞0，则
①真分数性质： ＜ ； ＞ （b－m＞0）；②假分数性
质： ＞ ； ＜ （b－m＞0）.
2. 分式不等式的解法
（1） ＞0（＜0） f（x）·g（x）＞0（＜0）；
（2） ≥0（≤0）
3. 解形如ax2＋bx＋c＞0（a≠0）的一元二次不等式时，易忽视对系数a
的讨论导致漏解或错解，要注意分a＞0，a＜0进行讨论.
4. 基本不等式的常见变形
（1）a2＋b2≥2ab（a，b∈R）；
（2） ＋ ≥2（a，b同号）；
（3）ab≤（ ）2（a，b∈R）；
（4） ≥ ≥ ≥ （a＞0，b＞0）.当且仅当a＝b
时，上面不等式的“＝”成立.
02
研透高考·攻重点
重难攻坚 快速提升
不等式的性质及应用
【例1】　（2024·杭州质检）若a＞b，则（　　）
A. a2＞b2 B. ＜
C. ＜ D. a｜a｜＞b｜b｜
√
解析：　对于A，若取a＝2，b＝－3，满足a＞b，此时a2＜b2，所以
A错误；对于B，若取a＝2 025，b＝2 024，满足a＞b，此时 ＝
1＜ ，所以B错误；对于C，若取a＝1，b＝－1，满足a＞b，此时 ＞
，所以C错误；对于D，构造函数y＝x｜x｜＝易知该
函数在R上为增函数，所以当a＞b时，有a｜a｜＞b｜b｜，所以D正
确.故选D.
利用不等式的性质判断正误的两种方法
（1）直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说
法错误的只需举出一个反例即可；
（2）特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二
是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性.
　（多选）（2024·长郡中学模拟）若a＞b＞0＞c，则（　　）
A. ＞ B. ＞
C. ac＞bc D. a－c＞2
√
√
√
解析：　由于a＞b＞0＞c，对于A： － ＝c（ － ）＝c（ ）＞0，故 － ＞0，所以 ＞ ，故A正确；对于B：由于a＞b＞0，所以 ＞ ，故B正确；对于C：当a＞b＞1时，ac＜bc，故C错误；对于D：由于a＞b＞0＞c，所以a－c＞b－c≥2 ＝2 ，故D正确.
含参一元二次不等式的解法
【例2】　（2024·南通如皋诊断）已知集合M＝{x｜x2－2mx－3m2≤0}，N＝{x｜x2＋mx－2m2≤0}，定义b－a为集合{x｜a≤x≤b}的长度.若集合M∩N的长度为4，则M∪N的长度为（　　）
A. 3 B. 4
C. 5 D. 10
√
解析：　当m＝0时，M∩N＝{0}不合题意.当m≠0时，关于x的方程x2
－2mx－3m2＝0的两根为－m，3m，关于x的方程x2＋mx－2m2＝0的两
根为m，－2m，当m＞0时，M＝{x｜－m≤x≤3m}，N＝{x｜－
2m≤x≤m}，M∩N＝{x｜－m≤x≤m}，当m＜0时，M＝{x｜
3m≤x≤－m}，N＝{x｜m≤x≤－2m}，M∩N＝{x｜m≤x≤－
m}.因为M∩N的长度为4，所以2m＝4或－2m＝4，得m＝2或m＝－2.
当m＝2时，M＝{x｜－2≤x≤6}，N＝{x｜－4≤x≤2}，M∪N＝
{x｜－4≤x≤6}，当m＝－2时，M＝{x｜－6≤x≤2}，N＝{x｜－
2≤x≤4}，M∪N＝{x｜－6≤x≤4}.所以M∪N的长度为10，故选D.
解含参一元二次不等式的步骤
1. 已知关于x的不等式ax－b≤0的解集是[2，＋∞），则关于x的不等式
ax2＋（3a－b）x－3b＜0的解集是（　　）
A. （－∞，－3）∪（2，＋∞）
B. （－3，2）
C. （－∞，－2）∪（3，＋∞）
D. （－2，3）
解析：　由关于x的不等式ax－b≤0的解集是[2，＋∞），得b＝2a
且a＜0，则关于x的不等式ax2＋（3a－b）x－3b＜0可化为x2＋x－6
＞0，即（x＋3）（x－2）＞0，解得x＜－3或x＞2，所以不等式的解
集为（－∞，－3）∪（2，＋∞）.故选A.
√
2. 若关于x的不等式x2－（m＋3）x＋3m＜0的解集中恰有3个整数，则
实数m的取值范围为 .
解析：不等式x2－（m＋3）x＋3m＜0可化为（x－3）（x－m）＜
0，当m＞3时，不等式的解集为（3，m），要使解集中恰有3个整数，
则这3个整数只能是4，5，6，所以6＜m≤7；当m＝3时，不等式的解
集为 ，此时不符合题意；当m＜3时，不等式的解集为（m，3），要
使解集中恰有3个整数，则这3个整数只能是0，1，2，所以－1≤m＜0.
综上可知，实数m的取值范围是[－1，0）∪（6，7].
[－1，0）∪（6，7]
基本不等式
【例3】　（1）已知正实数a，b满足 ＋ ＝1，则a＋2b的最小值
为（　B　）
A. 6 B. 8
C. 10 D. 12
√
解析： 由题意知a＋2b＋1＝（a＋b＋b＋1）·（ ＋ ）
＝5＋ ＋ ≥5＋2 ＝9，当且仅当 ＝ ，
即b＝2，a＝4时取等号，此时a＋2b取得最小值8.故选B.
（2）若x＜ ，则f（x）＝3x＋1＋ 有（　C　）
A. 最大值0 B. 最小值9
C. 最大值－3 D. 最小值－3
√
解析： ∵x＜ ，∴3x－2＜0.f（x）＝3x－2＋ ＋3＝－［（2－
3x）＋ ］＋3≤－2 ＋3＝－3，当且仅当2－
3x＝ ，即x＝－ 时取“＝”.故f（x）＝3x＋1＋ 有最大
值－3.故选C.
基本不等式求最值的三种解题技巧
（1）凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值；
（2）凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，则可通过凑系数得到和
或积为定值，从而利用基本不等式求最值；
（3）换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分
母换元后将式子分开，即化为y＝m＋ ＋Bg（x）（AB＞
0），g（x）恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式求最值.
1. （2024·镇江丹阳期中）已知正实数x，y满足x－y＋5＝xy，则x＋y
的最小值为（　　）
A. 5 B. 4
C. 3 D. 2
解析：　由x－y＋5＝xy得xy＋y＝x＋5，所以y＝ ，所以x＋y
＝x＋ ＝x＋ ＝（x＋1）＋ ≥2 ＝4，
当且仅当x＋1＝ （x＞0），即x＝1时，等号成立，此时y＝3，故
x＋y的最小值为4.故选B.
√
2. （多选）（2024·杭州质检）已知a＞0，b＞0，a＋2b＝1，则
（　　）
A. ＋ 的最小值为4
B. a2＋b2的最小值为
C. lo a＋lo b的最小值为3
D. 2a＋4b的最小值为2
√
√
√
解析：　对于A， ＋ ＝（ ＋ ）（a＋2b）＝4＋ ＋ ≥4＋
2 ＝8，当且仅当 ＝ ，即a＝2b＝ 时等号成立，所以A错
误；对于B，a2＋b2＝（1－2b）2＋b2＝5b2－4b＋1＝5（b－ ）2＋
≥ ，当且仅当b＝ ，a＝ 时取得最小值 ，所以B正确；对于C，
lo a＋lo b＝lo （ab）＝lo ［ （a·2b）］≥1＋lo
（ ）2＝1＋2＝3，当且仅当a＝2b＝ 时等号成立，所以C正确；
对于D，2a＋4b＝2a＋22b≥2 ＝2 ＝2 ，当且仅当2a＝
22b，即a＝2b＝ 时等号成立，所以D正确.故选B、C、D.
03
课时跟踪检测
1. 已知a＜0，－1＜b＜0，则下列不等式成立的是（　　）
A. a＞ab＞ab2 B. ab2＞ab＞a
C. ab＞a＞ab2 D. ab＞ab2＞a
解析：　由于每个式子中都有a，故先比较1，b，b2的大小.因为－1
＜b＜0，所以b＜b2＜1.又因为a＜0，所以ab＞ab2＞a.故选D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
√
2. 已知关于x的不等式（ax－1）（x＋1）＜0的解集是（－∞，－1）∪
（－ ，＋∞），则a＝（　　）
A. 2 B. －2
C. － D.
解析：　根据一元二次不等式与之对应方程的关系知－1，－ 是一元
二次方程ax2＋（a－1）x－1＝0的两个根，所以－1×（－ ）＝－
，解得a＝－2.故选B.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3. （2024·信阳部分学校联考）设x∈R，则“ ＞0”是“｜x－1｜＜
4”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
解析：　由 ＞0，得（x－5）（2－x）＞0，得（x－5）（x－
2）＜0，解得2＜x＜5；由｜x－1｜＜4，得－4＜x－1＜4，得－3＜x
＜5.因为（2，5） （－3，5），所以“ ＞0”是“｜x－1｜＜4”
的充分不必要条件，故选A.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
4. 设x1，x2是关于x的方程x2＋（a－1）x＋a＋2＝0的两个根.若－1＜x1
＜1，1＜x2＜2，则实数a的取值范围是（　　）
A. （－ ，－1） B. （－ ， ）
C. （－2，1） D. （－2，－1）
解析：　设f（x）＝x2＋（a－1）x＋a＋2，因为x2＋（a－1）x＋
a＋2＝0的两个根为x1，x2，且－1＜x1＜1，1＜x2＜2，f（－1）＝4＞
0，所以即解得－ ＜a＜
－1，故选A.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
5. 若关于x的不等式x2＋2ax＋1≥0在[0，＋∞）上恒成立，则实数a的取
值范围为（　　）
A. （0，＋∞） B. [－1，＋∞）
C. [－1，1] D. [0，＋∞）
解析：　当x＝0时，不等式1≥0恒成立；当x＞0时，由题意可得
－2a≤x＋ 恒成立，又x＋ ≥2 ＝2，当且仅当x＝1时取等
号，所以－2a≤2，解得a≥－1.所以实数a的取值范围是[－1，＋
∞）.故选B.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
6. 已知实数a＞b＞c，abc≠0，则下列结论一定正确的是（　　）
A. ＞ B. ab＞bc
C. ＜ D. ab＋bc＞ac＋b2
解析：　由题可知，a≠0，b≠0，c≠0，A中，若a＞b＞c＞0，则
＜ ，故A错误；B中，若a＞0＞b＞c，则ab＜0，bc＞0，故ab＜
bc，故B错误；C中，若a＞0＞b＞c，则 ＞ ，故C错误；D中，ab
＋bc＞ac＋b2 ab－ac＞b2－bc a（b－c）＞b（b－c），因为a
＞b＞c，abc≠0，所以b－c＞0，则ab＋bc＞ac＋b2，故D正确.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
7. 已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，则 的最大值为（　　）
A. B.
C. D.
解析：　因为a＞0，b＞0，且a＋b＝1，所以 ＝ ＋ ＝（ ＋
）（a＋b）＝5＋ ＋ ≥5＋2 ＝9，当且仅当 ＝ ，即a＝
，b＝ 时取等号，则 ≤ .故选B.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
8. 已知 x∈[1，2]， y∈[2，3]，y2－xy－mx2≤0，则实数m的取值范
围是（　　）
A. [4，＋∞） B. [0，＋∞）
C. [6，＋∞） D. [8，＋∞）
解析：　因为x∈[1，2]，y∈[2，3]，所以 ∈［ ，1］， ∈[1，
3]，又y2－xy－mx2≤0，所以m≥（ ）2－ .令t＝ ，则t∈[1，
3]，原问题等价于 t∈[1，3]，m≥t2－t，即m≥（t2－t）max
（t∈[1，3]）.又t2－t＝（t－ ）2－ ，则当t＝3时，t2－t取得最大
值，为9－3＝6，所以实数m的取值范围是[6，＋∞）.故选C.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
9. （多选）（2024·沧州二模）已知实数a，b满足a＞b，a＋b＝1，则
（　　）
A. a2＞ab B. ab＞b2
C. ab≤ D. a2＋b2≥1
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
解析：　因为a＞b，a＋b＝1＞0，所以a＞0，b的符号不确定，
由不等式的性质知a2＞ab成立，但ab＞b2不一定成立，故A正确，B错
误；因为ab＝a（1－a）＝－（ a－ ）2＋ ≤ ，故C正确；因为a＞
b，所以a2＋b2＞2ab，所以a2＋b2＞ ＝ ，故D错误.故选
A、C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
10. （多选）（2024·重庆学业质量调研）已知3a＝5b＝15，则下列结论正
确的是（　　）
A. lg a＞lg b B. a＋b＝ab
C. （ ）a＞（ ）b D. a＋b＞4
√
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
解析：　因为3a＝5b＝15，所以a＝log315，b＝log515.对于A，
由log315＞log515，得a＞b，又根据对数函数的性质可知，lg a＞lg
b，故A正确；对于B，易知a＞0，b＞0，所以 ＝log153， ＝
log155，所以 ＋ ＝log153＋log155＝log15（3×5）＝1，所以 ＝
1，即a＋b＝ab，故B正确；对于C，由y＝（ ）x是减函数，由a＞
b，得（ ）a＜（ ）b，故C错误；对于D，由a＋b＞2 ，又a＋
b＝ab，所以ab＞2 ，解得ab＞4，即a＋b＞4，故D正确.故选
A、B、D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
11. （多选）（2024·长郡中学模拟）若x，y满足（x＋y）2－ xy＝2，则
（　　）
A. y－x≥－ B. y－x＜2
C. xy＞ D. xy≥－
√
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
解析：　令y－x＝t，则y＝x＋t，代入（x＋y）2－ xy＝2可
得：x2＋tx＋ （t2－2）＝0.所以Δ＝t2－3（t2－2）≥0，解得－
≤t≤ ，所以A、B正确；（x＋y）2－ xy＝2可变形为x2＋y2＝
xy＋2，因为－ ≤xy≤ ，将x2＋y2＝ xy＋2代入上式可
得：－ －1≤xy≤ ＋1，解得－ ≤xy≤ ，所以C不正确，D正
确.故选A、B、D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
12. 能够说明“若 ＞ ，a＜0，则x＞y”是假命题的一组整数x，y的值
依次为 .
解析：由 ＞ ，a＜0，可得 ＜ .①当x，y同号时，可得x＞y；②
当x，y异号时，可得y＞0＞x.故取整数x，y满足y＞0＞x即可，可
取x＝－1，y＝1.
－1，1（答案不唯一）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
13. 已知二次函数f（x）＝－x2＋2x＋3，不等式f（x）≥m的解集的区
间长度为6（规定：闭区间[a，b]的长度为b－a），则实数m＝ .
解析：不等式f（x）≥m可化为x2－2x－3＋m≤0，令x2－2x－3＋
m≤0的解集为{x｜x1≤x≤x2}，则x2－x1＝6，∵又
∵（x2－x1）2＝（x1＋x2）2－4x1x2＝36，∴4－4（m－3）＝36，即
m＝－5.
－5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
14. （2024·河南中原名校联考）若关于x的不等式0≤ax2＋bx＋c≤2（a
＞0）的解集为{x｜－1≤x≤3}，则3a＋b＋2c的取值范围
是 .
［ ，4）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
解析：因为不等式0≤ax2＋bx＋c≤2（a＞0）的解集为{x｜－
1≤x≤3}，所以二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c的图象的对称轴为直
线x＝1，且需满足即解得
所以a＋b＋c＝a－2a－3a＋2≥0 a≤ ，所以a∈
（0， ］，所以3a＋b＋2c＝3a－2a－6a＋4＝4－5a∈［ ，4）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14

展开更多......

收起↑