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(共38张PPT)
培优点1　
三角函数特征量ω，φ的求解
PART ONE
　　三角函数中求ω、φ的值（范围）问题，是高考的难点和热点，主要结合函数的单调性、对称性、极值与最值、零点等进行考查，需要学生能够熟练应用三角函数的基本性质和图象.
由三角函数的最值（值域）求ω、φ的值（范围）
【例1】　将函数f（x）＝2 cos 2 － cos （x＋ ）图象上所有点的横坐标
变为原来的 ，再向左平移φ（φ＞0）个单位长度，得到函数g（x）的图
象.若对任意的x∈R，均有g（x）≤g（ ）成立，则φ的最小值
为 .
解析：f（x）＝2 cos 2 － cos （x＋ ）＝1＋ cos x－ cos （x＋ ）＝
sin x＋ cos x＋1＝ sin （x＋ ）＋1.由题意可知，g（x）＝ sin （2x＋
2φ＋ ）＋1，若对任意的x∈R，g（x）≤g（ ）成立，则2× ＋2φ
＋ ＝2kπ＋ （k∈Z），即φ＝kπ＋ （k∈Z）.又φ＞0，所以当k＝0
时，φ最小，最小值为 .
　　由三角函数的最值（值域）求ω、φ的值（范围），主要是整体代换
ωx±φ，利用正、余弦函数的图象求解，要注意自变量的范围.
　若函数f（x）＝ sin （ωx－ ）（ω＞0）在［0， ］上的值域是［－
，1］，则ω的取值范围是（　　）
√
解析：　因为ω＞0，所以当x∈［0， ］时，ωx－ ∈［－ ， －
］，因为函数f（x）＝ sin （ωx－ ）（ω＞0）在［0， ］上的值域是
［－ ，1］，所以 ≤ － ≤ ，解得 ≤ω≤3.
由三角函数图象的对称中心、对称轴间的距离求ω、φ的值（范围）
【例2】　已知函数f（x）＝2 cos （ωx－ ）＋1（ω＞0）的图象在区间
（0，2π）内至多存在3条对称轴，则ω的取值范围是（　　）
√
解析：　因为x∈（0，2π），ω＞0，所以
ωx－ ∈（－ ，2ωπ－ ），设z＝ωx－
，画出y＝2 cos z＋1的大致图象如图.要使f
（x）的图象在区间（0，2π）内至多存在3条
对称轴，则2ωπ－ ∈（－ ，3π］.解得ω∈
（0， ］.
　　利用最小正周期T，根据三角函数图象的两对称中心的距离、对称中
心到对称轴的距离、两对称轴间的距离的关系，可建立关于T，ω，φ的方
程使问题获解.
　已知ω＞0，函数f（x）＝ cos 的一条对称轴为直线x＝ ，一
个对称中心为点 ，则ω有（　　）
A. 最小值2 B. 最大值2
C. 最小值1 D. 最大值1
解析：　注意正、余弦型函数的对称中心与对称轴的最短距离为 ，依题
意，可得 － ≥ .将T＝ 代入上式，得ω≥2，故选A.
√
由三角函数的单调性求ω、φ的值（范围）
【例3】　已知函数f（x）＝ cos （ωx＋ ）（ω＜0）在（ ，π）上单调
递减，则实数ω的取值范围是（　　）
√
解析：　因为函数f（x）＝ cos （ωx＋ ）（ω＜0）的最小正周期T＝
，所以π－ ≤ × ，即－2≤ω＜0.当x∈（ ，π）时，ωπ＋
≤ωx＋ ≤ ＋ ，依题意知－π＋2kπ≤ωπ＋ ＜ ω＋ ≤2kπ，
k∈Z，解得－ ＋2k≤ω≤－ ＋4k，k∈Z. 又－2≤ω＜0，所以当k＝0
时成立，ω∈［－ ，－ ］.
　　由函数y＝A sin （ωx＋φ）＋b（A＞0，ω＞0）的一个单调区间
[m，n]（区间也可以是开区间或半开半闭区间）求解ω的取值范围，
可将区间端点值代入后，去对应［－ ＋2kπ， ＋2kπ］（k∈Z）或
［ ＋2kπ， ＋2kπ］（k∈Z）列出不等式求解.另外，因为函数f
（x）＝A sin （ωx＋φ）在一个周期内的单调递减（增）区间的区间长
度恰好是 ，所以具有单调性的区间长度必不超过 ，根据这个性质有
时也可求出ω的范围.
　已知函数f（x）＝ sin ωx＋ cos ωx，g（x）＝ cos ωx－ sin ωx，ω＞
0，在区间（0， ）上，若f（x）单调递增，g（x）单调递减，则ω的取
值范围是（　　）
B. （0，1]
√
解析：　由题意得f（x）＝ sin （ωx＋ ），g（x）＝ cos （ωx
＋ ）.令t＝ωx＋ ，由x∈（0， ），得t∈（ ， π＋ ）.因为在区
间（0， ）上，f（x）单调递增，g（x）单调递减，所以
得ω≤ ，所以0＜ω≤ .故选A.
由三角函数的零点求ω、φ的值（范围）
【例4】　设函数f（x）＝ sin 在区间（0，π）恰有三个极值点、
两个零点，则ω的取值范围是（　　）
√
解析：　由x∈（0，π），得ωx＋ ∈ .根据函数f（x）在
区间（0，π）恰有三个极值点，知 ＜πω＋ ≤ ，得 ＜ω≤ .根据
函数f（x）在区间（0，π）恰有两个零点，知2π＜πω＋ ≤3π，得 ＜
ω≤ .综上，ω的取值范围为（ ， ］.
　　利用三角函数的零点与对称轴或周期的关系，可以列出关于ω的不等
式，进而求出ω的值或取值范围.
　（多选）已知函数f（x）＝ sin （ωx－ ）（ω＞0），若f（x）在
区间（ ，π］内没有零点，则ω的值可以是（　　）
√
√
解析：　由f（x）在区间（ ，π］内没有零点，得 π－ ＜ ＝ ，得
ω＜ ，同时需满足k∈Z，解得3k＋ ≤ω＜k＋
，k∈Z，显然当k＝0和k＝－1时符合条件，且ω＞0，所以ω的取值范围
为（0， ）∪［ ， ）.故选A、B.
课时跟踪检测
1. 已知函数f（x）＝ sin （2x＋φ）（0＜φ＜π）的图象关于直线x＝ 对
称，则φ＝（　　）
解析：　依题意得2× ＋φ＝kπ＋ ，k∈Z，得φ＝kπ＋ ，k∈Z，
又0＜φ＜π，所以φ＝ ，故选B.
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√
2. （2024·贵阳适应性考试）若将函数y＝tan（ωx＋ ）（ω＞0）的图象
向右平移 个单位长度后，与函数y＝tan（ωx＋ ）的图象重合，则ω
的最小值为（　　）
√
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解析：　y＝tan（ωx＋ ） y＝tan（ωx－ ＋
）＝tan（ωx＋ ），∴ － ＝ ＋kπ（k∈Z），又∵ω＞0，
∴ωmin＝ .
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3. 已知函数f（x）＝ sin （ωx＋ ）（ω∈N）在（0， ）上恰有一个最
大值和一个最小值，则ω的值为（　　）
A. 3 B. 2或3 C. 2或4 D. 3或4
解析：　由x∈（0， ），得ωx＋ ∈
（ ， ＋ ），画出函数y＝ sin x的大致
图象，如图，
由图可知， ＜ ＋ ≤ ，解得 ＜
ω≤ .因为ω∈N，所以ω＝3或ω＝4.
√
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4. 已知函数f（x）＝ sin （ ωx－ ）（1＜ω＜2），若存在x1，x2∈R，
当｜x1－x2｜＝2π时，f（x1）＝f（x2）＝0，则函数f（x）的最小正
周期为（　　）
C. 2π D. 4π
√
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解析：　因为存在x1，x2∈R，当｜x1－x2｜＝2π时，f（x1）＝f
（x2）＝0，所以k· ＝k· ＝2π，k∈Z，即ω＝ ，k∈Z，又因为1＜
ω＜2，则k＝3，所以ω＝ ，所以函数f（x）的最小正周期为T＝
＝ ，故选B.
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5. 已知f（x）＝ sin （ωx＋ ）（ω＞0），且函数y＝f（x）恰有两个
极大值点在［0， ］上，则ω的取值范围是（　　）
A. （7，13] B. [7，13）
C. （7，10] D. [7，10）
解析：　因为0≤x≤ ，ω＞0，所以 ≤ωx＋ ≤ ＋ .又因为f
（x）在［0， ］上恰有2个极大值点，所以由正弦函数图象可知，
≤ ＋ ＜ ，解得7≤ω＜13.
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6. 已知f（x）＝ sin （2x－φ）（ 0＜φ＜ ）在［0， ］上单调递增，且
f（x）在（ 0， ）上有最小值，那么φ的取值范围是（　　）
√
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解析：　由x∈［0， ］，可得2x－φ∈［－φ， －φ］，又由0＜φ
＜ ，且f（x）在［0， ］上单调递增，可得 －φ≤ ，所以 ≤φ
＜ .当x∈（ 0， ）时，2x－φ∈（ －φ， －φ），由f（x）在
（ 0， ）上有最小值，可得 －φ＞ ，则φ＜ .综上， ≤φ＜ .
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7. （多选）已知函数f（x）＝ cos （ωx＋ ）（ω＞0）在区间（0，2π）
上恰有4个零点，则下列说法正确的是（　　）
A. f（x）在区间（0，2π）上有且仅有1个极大值点
B. f（x）在区间（0，2π）上有且仅有2个极小值点
√
√
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解析：　因为0＜x＜2π，所以 ＜ωx＋ ＜2πω＋ ，令ωx＋ ＝t，则y＝ cos t，作出y＝ cos t的大致图象如图.若f（x）在区间（0，2π）上恰有4个零点，则 ＜2πω＋ ≤ ，解得 ＜ω≤ ，故C正确；由图象可知，f（x）在区间（0，2π）上有1或2个极大值点，故A错误；f（x）在区间（0，2π）上有且仅有2个极小值点，故B正确；当0＜x＜ 时， ＜ωx＋ ＜ ＋ ≤ × ＋ ＝ ＜π，所以f（x）在区间（0， ）上单调递减，故D正确.故选B、C、D.
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8. 在函数f（x）＝ sin （2x－φ）（φ＞0）的图象与x轴的所有交点中，
点（ ，0）离原点最近，则φ的值可以为 　 （答案不唯一，满足0＜
.（写出一个即可）
解析：令f（x）＝0得， sin （2x－φ）＝0，所以2x－φ＝kπ
（k∈Z），解得x＝ ＋ （k∈Z），因为点（ ，0）离原点最近，
且φ＞0，所以 ≤｜ － ｜，所以0＜φ≤ .所以可取φ＝ .
（答案不唯一，满足0＜
φ≤ 均可）
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9. 已知函数f（x）＝ sin （ωx＋φ）（ ω＞0，｜φ｜＜ ）的图象与直线
y＝1的相邻两个交点的距离为π，若对任意的x∈（ ， ），不等式f
（x）＞ 恒成立，则φ的取值范围为 　［ ， ］　.
［ ， ］
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解析：由于函数y＝f（x）的图象与直线y＝1相邻两个交点的距离为
π，知函数y＝f（x）的最小正周期为T＝π，所以ω＝ ＝2，所以f
（x）＝ sin （2x＋φ）.当x∈（ ， ）时， ＋φ＜2x＋φ＜ ＋
φ，因为－ ＜φ＜ ，所以－ ＜2x＋φ＜ .由于不等式f（x）＞
对任意的x∈（ ， ）恒成立，所以解得 ≤φ≤ .
因此φ的取值范围是［ ， ］.
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10. 已知函数f（x）＝ sin ωx－ cos ωx（ω＞0），若集合{x∈（0，
π）｜f（x）＝－1}含有4个元素，则实数ω的取值范围是 .
（ ， ］
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解析：函数f（x）＝ sin ωx－ cos ωx＝2 sin （ωx－ ），令2 sin
（ωx－ ）＝－1，解得ωx－ ＝－ ＋2kπ或ωx－ ＝ ＋2kπ
（k∈Z），所以x＝ ＋ 或x＝ ＋ （k∈Z），设直线y＝
－1与y＝f（x）在（0，＋∞）上从左到右的第四个交点为A，第五
个交点为B，则xA＝ ＋ ，xB＝ ＋ .由于方程f（x）＝－1在
（0，π）上有且只有四个实数根，则xA＜π≤xB，即 ＋ ＜π≤
＋ ，解得 ＜ω≤ .
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