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培优点3　
三角形中的“三线”问题
PART ONE
　　三角形中的“三线”问题是高考的重点，常与正、余弦定理结合，求边、角、面积等，难度中等偏下.
三角形的中线问题
中线长定理：在△ABC中，AD是BC边上的中线，则AD2＝ （AB2＋
AC2）－ BC2.
【例1】　锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
＝tan B＋tan C.
（1）求角C；
解： 因为 ＝tan B＋tan C，所以 ＝ ＋ ，
即 ＝ ＝ ＝ ，
又A，B∈（0，π），所以 sin A≠0，所以tan C＝1.
因为C∈（0，π），所以C＝ .
（2）若c＝2，边AB的中点为D，求中线CD长度的取值范围.
解：由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝a2＋b2－ ab＝4，
又 ＝ （ ＋ ），则 ＝ （ ＋ ）2＝ （a2＋b2＋
ab）＝ ab＋1.
由正弦定理可得a＝2 sin A，b＝2 sin B＝2 sin （ －A）
＝2 cos A＋2 sin A.
则ab＝4 sin 2A＋4 sin A cos A＝4 · ＋2 sin 2A＝
4 sin （2A－ ）＋2 ，
由题意得解得 ＜A＜ ，则2A－ ∈（ ，
），所以 sin （2A－ ）∈（ ，1］，
所以ab∈（4 ，4＋2 ]，所以 ∈（5，3＋2 ]，
所以中线CD长度的取值范围为（ ，1＋ ].
1. 求三角形某中线的长可直接利用中线长定理或划归为三角形的一边利用
正、余弦定理求解.
2. 求中线的取值范围一般将中线长表示为某边的函数（某角的函数），利
用函数的最值（或有界性）求解.
3. 利用三角形中线解题时，一定要抓住中点这一几何特征，且任何一条中
线将原三角形分成两个面积相等的三角形.
　在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝3，BD为AC
边上的中线，BD＝2，且a cos C－2b cos B＋c cos A＝0，则△ABC的面积
为（　　）
A. 2
√
解析：　由a cos C－2b cos B＋c cos A＝0，得 sin A cos C＋ sin C cos A＝2
sin B cos B，即 sin （A＋C）＝2 sin B cos B，即 sin B＝2 sin B cos B，由 sin
B≠0，得 cos B＝ ，故B＝ .由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B 9＝
a2＋c2－ac.由中线长定理知BD2＝ （BA2＋BC2）－ AC2＝ （c2＋a2）
－ b2，即4＝ （9＋ac）－ ，∴ac＝ ，∴S△ABC＝ ac sin B＝ ×
× ＝ ，故选C.
三角形的角平分线问题
角平分线定理：在△ABC中，若AD是∠BAC的平分线，D在BC上，则有
＝ .
【例2】　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
tan Atan B－tan A－tan B＝ ，角C的平分线CD交AB于D.
（1）求证： ＝ ＋ ；
解：证明：∵ tan Atan B－tan A－tan B＝ ，
∴ （tan Atan B－1）＝tan A＋tan B，
∴ ＝－ ，
∴tan（A＋B）＝－ ，∴tan∠ACB＝ ，
∵0＜∠ACB＜π，∴∠ACB＝ ，
∵CD为角C的平分线，S△ABC＝S△ACD＋S△BCD，
∴ ·CA·CB· sin ∠ACB＝ ·CD·CA· sin ∠ACD＋ ·CD·CB· sin
∠BCD，
∴ CA·CB＝CD·CB＋CD·CA，
即 ＝ ＋ .
（2）若CD＝CB＝2，求△ABC的面积.
解：将CD＝CB＝2代入 ＝ ＋ ，
可得CA＝ ＋1，
∴S△ABC＝ ×CA×CB× sin ∠ACB＝ ×2×（ ＋1）× ＝ .
　　角平分线是平面几何的一个重要特征，解题方法主要有两种，一是利
用角平分线定理，找边之间的关系；二是角平分线把三角形分成两个三角
形，利用等面积法求解.
　在△ABC中，A＝2B，AC＝9，BC＝12，CD平分∠ACB交AB于点
D，则BD的长度为 .
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解析：由角平分线定理，CD平分∠ACB交AB于点D，可得 ＝ ＝
＝ ，所以BD＝ AB，由正弦定理可知， ＝ ，所以 ＝ ，
所以 ＝ ，得 cos B＝ .由余弦定理可知AC2＝AB2＋BC2－
2AB×BC× cos B，即81＝AB2＋144－2×AB×12× ，解得AB＝7或AB
＝9.当AB＝7时，BD＝4.当AB＝9时，因为AC＝9，所以AC＝AB，因
此B＝∠ACB，A＋B＋∠ACB＝π即2B＋B＋B＝π，所以B＝ ， cos B
＝ ≠ ，所以AB＝9不成立.故BD＝4.
三角形的高线问题
在△ABC中，若h1，h2，h3分别为△ABC的边a，b，c上的高，则
h1∶h2∶h3＝ ∶ ∶ ＝ ∶ ∶ .
【例3】　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＜b＜
c，三角形三边上的高之比为2∶3∶4.
（1）求 cos C的值；
解：由于a＜b＜c，则三边a，b，c上的高之比为
ha∶hb∶hc＝4∶3∶2，
即4∶3∶2＝ ∶ ∶ ，
设a＝3x，则b＝4x，c＝6x，
在△ABC中，由余弦定理得 cos C＝ ＝ ＝－ .
（2）若E为边AC上一点，∠CEB＝30°，BC＝3，求BE的长.
解：由 cos C＝－ ，得 sin C＝ .
在△EBC中，由正弦定理得 ＝ ，
则BE＝6× ＝ .
利用三角形高线解三角形的一般思路
（1）构建直角三角形；
（2）利用三角形的面积S＝ aha；
（3）三角形三条高线交于一点（此点为该三角形的重心）；
（4）求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边
长度.
　已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a＝2，b＝
3， cos C＝－ .
（1）求△ABC的周长；
解：在△ABC中，由余弦定理的推论得 cos C＝ ＝
＝－ ，
解得c＝4（负值舍去），
∴△ABC的周长为a＋b＋c＝2＋3＋4＝9.
（2）求AB边上的高.
解：∵ cos C＝－ ，C∈（0，π），
∴ sin C＝ ＝ .
设AB边上的高为h，则 ab sin C＝ ch，
即 ×2×3× ＝ ×4h，解得h＝ .
∴AB边上的高为 .
课时跟踪检测
1. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＋c2－b2
＝ac，延长BC至点D，使得BC＝CD，若AD＝2 ，AB＝2，则a
＝（　　）
A. 1 C. 2 D. 3
解析：　因为a2＋c2－b2＝ac，所以 cos B＝
＝ ＝ ，又因为0＜B＜π，所以B＝ ，如图所示，由BD＝2a，且AD＝2 ，AB＝2，在△ABD中，由余弦定理得AD2＝4＋（2a）2－2×2×2a× cos ＝4＋4a2－4a＝12，解得a＝2或a＝－1（负值舍去）.故选C.
√
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2. 在△ABC中，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝120°，AH为△ABC的高
线，则 · ＝ .
解析：在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos 120°
＝7，即BC＝ ，所以S△ABC＝ AB·AC sin 120°＝ BC·AH，所以
AH＝ ＝ ，由向量数量积的几何意义得 · ＝｜
｜2＝（ ）2＝ .

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3. （2024·南充诊断）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，
c，已知b＝2，c＝4，∠BAC的平分线交边BC于点D，且AD＝2，则
cos ∠BAC＝ .
解析：如图，可设∠CAD＝∠BAD＝α，因为S△ACD
＋S△ABD＝S△ABC，所以 ×2×2× sin α＋ ×2×4×sin α＝ ×2×4× sin 2α，整理得3 sin α＝2 sin 2α，所以3 sin α＝4 sin α cos α，易知 sin α＞0，所以 cos α＝ ，所以 cos ∠BAC＝ cos 2α＝2 cos 2α
－1＝ .

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4. 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，tan B＋tan C
－ tan Btan C＋ ＝0.
（1）求角A；
解：因为tan B＋tan C－ tan Btan C＋ ＝0，易知tan
Btan C≠1，所以－ ＝ ，
即－ ＝tan（B＋C），
所以tan A＝ ，又A为三角形内角，故A＝ .
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（2）若 ＝2 ，AD＝2，且AD平分∠BAC，求△ABC的面积.
解：因为 ＝2 ，所以BD＝2DC.
因为AD为∠BAC的平分线，所以∠BAD＝∠CAD＝ ，且 ＝
＝2，即AB＝2AC.
由余弦定理可得BD2＝BA2＋4－4×BA× ＝BA2＋4－2 BA，
且CD2＝CA2＋4－4×CA× ＝CA2＋4－2 CA，
所以4CA2＋4－4 CA＝4（CA2＋4－2 CA），
解得CA＝ ，故BA＝2 .
所以△ABC的面积为 ×BA×CA× sin ∠BAC＝ ×2 × × ＝ .
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5. （2024·重庆学业质量调研）在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC为钝
角，AB＝BC＝2，CD＝4，
sin ∠BCD＝ .
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（1）求 cos ∠BDC；
解：∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠BCD＝π，又∠ABC为钝
角，∴∠BCD为锐角.
∵ sin ∠BCD＝ ，
∴ cos ∠BCD＝ ＝ .
又BC＝2，CD＝4，∴在△BCD中，由余弦定理得BD2＝BC2＋
CD2－2BC·CD cos ∠BCD＝16，得BD＝4，
∴在△BCD中，由余弦定理得 cos ∠BDC＝ ＝ .
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（2）设点E为AD的中点，求BE的长.
解：如图，在梯形ABCD中，
∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠BDC，
∴ cos ∠ABD＝ cos ∠BDC＝ .
在△ABD中，∵E为AD的中点，
∴ ＝ ＋ .
由（1）知，BD＝4，即｜ ｜＝4，
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又｜ ｜＝BA＝2，∴｜ ｜2＝ ｜ ｜2＋
｜ ｜2＋ · ＝ ｜ ｜2＋ ｜ ｜2
＋ ｜ ｜·｜ ｜ cos ∠ABD＝ ，
∴｜ ｜＝ ，即BE＝ .
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