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培优点4　
三角函数与解三角形中的最值（范围）问题
PART ONE
　　三角函数与解三角形中的最值（范围）问题主要考查三角函数式、角、边长、周长及面积的最值（范围）问题，常利用三角函数的单调性（有界性）、基本不等式等求解.
三角函数中的最值（范围）问题
【例1】　已知函数f（x）＝（2 sin x－ cos x） cos x＋ sin 2x.
（1）设x∈（0，π），求不等式f（x）≤1的解集；
解：f（x）＝（2 sin x－ cos x） cos x＋ sin 2x＝2 sin x cos x－ cos 2x＋ sin 2x＝ sin 2x－ cos 2x＝2 sin （2x－ ），
因为f（x）≤1，所以 sin （2x－ ）≤ ，
所以 ＋2kπ≤2x－ ≤ ＋2kπ，k∈Z，
则 ＋kπ≤x≤ ＋kπ，k∈Z.
又x∈（0，π），所以f（x）≤1的解集为 x｜0＜x≤ 或 ≤x＜π .
（2）若当x∈［ ， ］时，不等式m≥f（x）恒成立，求实数m的取值
范围.
解：不等式m≥f（x）恒成立，等价于m≥f（x）max.
因为x∈［ ， ］，所以 ≤2x－ ≤ .
故当2x－ ＝ ，即x＝ 时，f（x）取得最大值，最大值为f
（ ）＝2.
所以m≥2，即实数m的取值范围为[2，＋∞）.
求三角函数式的最值（范围）问题的注意点
（1）把三角函数式正确地化简成单一函数形式；
（2）根据所给自变量的范围正确地确定ωx＋φ的范围，从而根据三角函
数的单调性求三角函数式的范围.
　函数f（x）＝2 sin （x＋ ）＋ cos 2x的最大值为（　　）
D. 3
√
解析：　f（x）＝2 sin （x＋ ）＋ cos 2x＝2 sin （x＋ ）＋ sin ［2
（x＋ ）］，令θ＝x＋ ，g（θ）＝2 sin θ＋ sin 2θ，所以g'（θ）
＝2 cos θ＋2 cos 2θ＝2 cos θ＋2（2 cos 2θ－1）＝4 cos 2θ＋2 cos θ－
2＝2（2 cos θ－1）（ cos θ＋1），因为 cos θ＋1≥0恒成立，所以令2
cos θ－1＞0，解得θ∈（2kπ－ ，2kπ＋ ）（k∈Z），此时函数g
（θ）单调递增，令2 cos θ－1＜0，解得θ∈（2kπ＋ ，2kπ＋ ）
（k∈Z），此时函数g（θ）单调递减，所以当θ＝2kπ＋ （k∈Z）
时，g（θ）取得最大值，所以g（θ）max＝g（ ）＝2× ＋ ＝
，即f（x）的最大值为 .故选B.
解三角形中的最值（范围）问题
【例2】　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知
（a＋b）（b－a）＝ab，且 cos （A－B）－ cos （A＋B）＝2 sin 2C.
（1）证明：△ABC是直角三角形；
解：证明：（a＋b）（b－a）＝ab，即b2－a2＝ab，　①
因为 cos （A－B）－ cos （A＋B）＝2 sin 2C，所以 sin A sin B＝
sin 2C，
由正弦定理得， × ＝（ ）2，
其中R为△ABC外接圆的半径，所以ab＝c2，　②
由①②得，b2－a2＝c2，即a2＋c2＝b2，
所以△ABC是直角三角形.
（2）求 的取值范围.
解：由（1）知B＝ ，所以 sin C＝ sin （ －A）＝ cos A.
根据正弦定理，得 ＝
＝ sin A＋ cos A＝ sin （A＋ ）.
因为c＜b，所以ac＜ab＝c2，所以a＜c，
所以0＜A＜ ，所以 ＜A＋ ＜ ，
所以 ＜ sin （A＋ ）＜1，
所以1＜ sin （A＋ ）＜ ，
即 ＝ ＋1∈（2，1＋ ）.
所以 的取值范围是（2，1＋ ）.
解与三角形有关的最值（范围）问题的基本步骤
（1）定基本量：根据题意和已知图形，选择相关的边、角作为基本变
量，确定基本变量的范围；
（2）构建函数：将待求范围变量，利用正、余弦定理或三角恒等变换转
化为基本变量的函数；
（3）求最值：利用函数有界性、单调性或基本不等式求最值.
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a＝1， cos A
＝ .
（1）求角B的大小；
解：因为a＝1，所以 cos A＝ ，
由正弦定理 ＝ ＝ ，
可得 cos A＝ ，
整理可得2 sin B cos A＝2 sin C－ sin A，
又因为 sin C＝ sin （A＋B）＝ sin A cos B＋ sin B cos A，
化简可得 sin A＝2 sin A cos B，
而 sin A≠0，则 cos B＝ ，又B∈（0，π），
则B＝ .
（2）如图，D为△ABC外一点，AB＝BD，∠ABC＝∠ABD，求
的最大值.
解：在△BCD中，由 ＝ 可得 sin
∠CDB＝ ，
在△ABC中，由 ＝ 可得 sin ∠CAB＝
，所以 ＝ ，
设AB＝BD＝t（t＞0），由余弦定理CD2＝BD2＋BC2－
2BD·BC· cos ∠CBD，
AC2＝BA2＋BC2－2BA·BC· cos ∠CBA，
可得CD2＝t2＋1＋t，AC2＝t2＋1－t，
因此 ＝ ＝1＋ ≤1＋ ＝3，当且仅当t＝ ，即t
＝1时等号成立，
所以 的最大值为 ，此时AB＝BD＝1.
课时跟踪检测
1. 在△ABC中，AB＝4，BC＝3，则当函数f（B）＝ cos 2B－ cos （B
＋ ）－ sin （B＋ ）＋5取得最小值时，AC＝（　　）
C. 4 D. 2
解析：　因为函数f（B）＝2 cos 2B－1－2 cos （B＋ － ）＋5＝2
cos 2B－2 cos B＋4＝2（ cos B－ ）2＋ ，所以当 cos B＝ 时，函数f
（B）取得最小值，此时，由余弦定理，得AC＝
＝ ＝ .
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√
2. 如图，C，D是两所学校所在地，C，D到一条公路的垂直距离分别为
CA＝8 km，DB＝27 km.为了缓解上下学的交通压力，市政府决定在
AB上找一点P，分别向C，D修建两条垂直的公路PC和PD，设
∠APC＝θ（0＜θ＜ ），则当PC＋PD最小时，AP＝ km.
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解析：由题意得，PC＋PD＝ ＋ ＝ ＋ （0＜θ＜
），令y＝ ＋ （0＜θ＜ ），则y'＝ ，令y'＝
0，则tan θ＝ ，当y'＞0时，tan θ＞ ，当y'＜0时，tan θ＜ .故当tan
θ＝ 时，y取得最小值，此时AP＝ ＝ ＝12.
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3. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＋c＝4，且
sin A， sin B， sin C成等差数列，则△ABC面积的最大值为 .
解析：因为 sin A， sin B， sin C成等差数列，所以2 sin B＝ sin A＋ sin
C. 由正弦定理可得2b＝a＋c，又a＋c＝4，所以2b＝4，即b＝2.所
以由余弦定理可得22＝a2＋c2－2ac cos B＝（a＋c）2－2ac－2ac cos
B，即ac（1＋ cos B）＝6，又22＝a2＋c2－2ac cos B≥2ac－2ac cos
B，即2≥ac（1－ cos B），当且仅当a＝c时等号成立.所以2×6≥ac
（1－ cos B）×ac（1＋ cos B），即2×6≥（ac sin B）2.因为 sin B＞
0，所以0＜ac sin B≤2 ，所以S△ABC＝ ac sin B≤ ，所以△ABC面
积的最大值为 .

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4. （2024·石家庄教学质量检测）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别
为a，b，c，设向量m＝（2 sin A， sin A＋ cos A），n＝（ cos
A， cos A－ sin A），f（A）＝m·n，A∈［ ， ］.
（1）求函数f（A）的最大值；
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解：由题知，f（A）＝m·n＝（2 sin A， sin A＋ cos A）·（ cos A， cos A－ sin A）＝2 sin A· cos A＋ cos 2A－ sin
2A＝ sin 2A＋ cos 2A＝2 sin （2A＋ ）.
因为 ≤A≤ ，所以 ≤2A＋ ≤ ，
所以－1≤ sin （2A＋ ）≤ ，所以f（A）∈[－2， ]，
所以函数f（A）的最大值为 .
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（2）若f（A）＝0，a＝ ， sin B＋ sin C＝ ，求△ABC的面积.
解：因为f（A）＝2 sin （2A＋ ）＝0，
所以2A＋ ＝kπ，k∈Z，
所以A＝ － ，k∈Z.
因为A∈［ ， ］，所以A＝ .
在△ABC中，由正弦定理得，
＝ ＝ ＝ ＝2，
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所以b＋c＝ （ sin B＋ sin C）＝ ，
所以（b＋c）2＝b2＋c2＋2bc＝6，　①
由余弦定理得b2＋c2－2bc cos A＝a2，
即b2＋c2－bc＝3，　②
由①②解得bc＝1，
所以△ABC的面积为 bc sin A＝ ×1× ＝ .
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5. （2024·石景山一模）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，
b，c，且2b sin A－ a＝0.
（1）求角B的大小；
解：因为2b sin A－ a＝0，由正弦定理边化角得：2 sin B
sin A－ sin A＝0，
所以（2 sin B－ ） sin A＝0，
由于在△ABC中， sin A≠0，所以2 sin B－ ＝0，
即 sin B＝ ，又0＜B＜ ，所以B＝ .
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（2）求 cos A＋ cos C的取值范围.
解：由（1）可知B＝ ，所以A＋C＝ ，
所以 cos A＋ cos C＝ cos A＋ cos （ －A）＝ cos A＋ cos cos
A＋ sin sin A
＝ cos A－ cos A＋ sin A＝ cos A＋ sin A＝ sin （A＋ ），
由于在锐角△ABC中，
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所以 ＜A＜ ，
所以 ＜A＋ ＜ ，
所以 sin ＜ sin （A＋ ）≤ sin ，
所以 ＜ sin （A＋ ）≤1，所以 cos A＋ cos C的取值范围为
（ ，1］.
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