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(共41张PPT)
培优点2　
带绝对值的三角函数性质
PART ONE
　　带绝对值的三角函数性质是高考的热点，解决此类问题常用分类讨论和数形结合思想.
1. y＝｜ sin x｜的图象
y＝｜ sin x｜的图象是将y＝ sin x图象中x轴下方的图象沿x轴对折上去
得到的（x轴上方图象保持不变），如图1.
2. y＝ sin ｜x｜的图象
y＝ sin ｜x｜的图象是将y＝ sin x图象中y轴左边部分除掉，再将y轴右
边的部分对折到左边得到的（y轴右边图象保持不变），如图2.
3. y＝｜ sin x｜＋｜ cos x｜的图象与性质
令f（x）＝｜ sin x｜＋｜ cos x｜，由f（x＋ ）＝｜ sin （x＋ ）｜
＋｜ cos （x＋ ）｜＝｜ cos x｜＋｜－ sin x｜＝｜ sin x｜＋｜ cos x｜
＝f（x），知f（x）是周期函数，最小正周期T＝ .
先作x∈［0， ］部分的函数图象，然后沿x轴向左、向右平移（每次
平移 个单位长度）可得到y＝｜ sin x｜＋
｜ cos x｜（x∈R）的图象，如图3.
因此从图象可以得到它的性质：①定义域为R；②值域为[1， ]；③
图象关于y轴对称，为偶函数；④在［ － ， ］（k∈Z）上单调
递减，在［ ， ＋ ］（k∈Z）上单调递增；⑤最小正周期为 .
【例1】　关于函数f（x）＝ sin ｜x｜，下列说法正确的是
（　　）
A. f（x）的最小值为0
B. f（x）为奇函数
C. f（x）的最小正周期为π
sin ｜x｜型的三角函数问题
√
解析：　f（x）＝ sin ｜x｜＝最小值为－
，所以A不正确；又由f（－x）＝ sin ｜－x｜＝ sin ｜x｜＝f
（x），所以函数f（x）为偶函数，所以B不正确；因为f（ ）＝
sin ＝1，f（π＋ ）＝ sin （π＋ ）＝－1，所以f（ ）≠f（π＋
），π不是f（x）的周期，所以C不正确；当x＜0时，f（x）＝－
sin x，函数f（x）在［－ ，－ ］上单调递减，又因为（－ ，
－ ） ［－ ，－ ］，所以函数f（x）在（－ ，－ ）上单
调递减，D正确.
　　解决关于 sin ｜x｜的三角函数问题的关键是先判断 sin ｜x｜是偶函
数，其次是研究x≥0时的函数性质，最后根据偶函数的对称性即可得到x
＜0的函数性质，从而解决问题.
　（多选）设函数f（x）＝2 sin 2x－3 sin ｜x｜＋1，则（　　）
A. f（x）是偶函数
B. f（x）在[－2π，2π]上有6个零点
√
√
√
解析：　选项A，函数f（x）的定义域为R，由f（－x）＝2 sin 2
（－x）－3 sin ｜－x｜＋1＝2 sin 2x－3 sin ｜x｜＋1＝f（x），可得f
（x）是偶函数，正确；选项B，当x≥0时，f（x）＝2 sin 2x－3 sin x＋
1，由2 sin 2x－3 sin x＋1＝0，可得 sin x＝ 或 sin x＝1，则当x∈[0，2π]
时，x＝ 或x＝ 或x＝ ，又f（x）是偶函数，则当x∈[－2π，0]时，
x＝－ 或x＝－ 或x＝－ ，则f（x）在[－2π，2π]上有6个零点，正确；
选项C，当x≥0时，f（x）＝2 sin 2x－3 sin x＋1＝2（ sin x－ ）2－ ，
则当 sin x＝ 时f（x）取得最小值－ ，又f（x）是偶函数，则f（x）的
最小值为－ ，正确；选项D，f（－ ）＝2 sin 2（－ ）－3 sin ｜－ ｜
＋1＝（1－ ）＋1＜1，f（0）＝2 sin 20－3 sin ｜0｜＋1＝1，则f（－
）＜f（0），则f（x）在［－ ，0］上不单调递减，错误.故选A、B、C.
｜ sin x｜型的三角函数问题
【例2】　（多选）已知函数f（x）＝2（ sin x＋｜ sin x｜） cos x，则下
列结论中正确的是（　　）
A. f（x）的最小正周期为π
D. f（x）的值域为[－2，2]
√
√
解析：　f（x＋π）＝2（－ sin x＋｜ sin x｜）·（－ cos x）＝2（ sin x－｜ sin x｜）· cos x≠f（x），所以A错误；f（ ）＝2（ sin ＋｜ sin ｜）· cos ＝0，f（ ＋x）＝2（ cos x＋｜ cos x｜）（－ sin x），f（ －x）＝2（ cos x＋｜ cos x｜）· sin x＝－f（ ＋x），所以f（x）的图象关于点（ ，0）中心对称，B正确；因为f（－ ）＝0，f（0）＝0，f（－ ）＝f（0），所以C错误；因为f（x）＝即f（x）＝k∈Z，所以f（x）的值域为[－2，2]，D正确.
　　解决有关｜ sin x｜的三角函数问题，其关键点在于根据 sin x的符号构
造分段函数，逐段分析函数的图象与性质即可.
　已知函数f（x）＝tan x＋｜tan x｜，则下列结论正确的是（　　）
C. f（x）的值域为[0，＋∞）
√
解析：　f（x）＝tan x＋｜tan x｜＝作出函数f（x）的图象，如图.观察图象，f（x）的最小正周期为π，A错误；f（x）的图象没有对称中心，B错误；f（x）的值域为[0，＋∞），C正确；不等式f（x）＞2，即x∈［kπ， ＋kπ）（k∈Z）时，2tan x＞2，得tan x＞1，解得 ＋kπ＜x＜ ＋kπ，k∈Z，
所以f（x）＞2的解集为（ ＋kπ， ＋kπ）
（k∈Z），故D错误.故选C.
带双绝对值的三角函数问题
【例3】　（多选）（2024·遵义三模）关于函数f（x）＝2 sin ｜x｜＋｜
sin x｜，有以下四个结论，其中正确的有（　　）
A. f（x）的最小正周期为2π
C. 方程xf（x）－1＝0的所有根之和为0
√
√
解析：　因为f（－x）＝2 sin ｜－x｜＋｜－
sin x｜＝2 sin ｜x｜＋｜ sin x｜＝f（x），所以
函数f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）＝2
sin ｜x｜＋｜ sin x｜＝
k∈Z，如图，作出函数f（x）的图象，由图可知，函数f（x）不是周期函数，故A错误；
函数f（x）在［ ， ］上单调递减，故B正确；对于C，显然x＝0时方程xf（x）－1≠0，当x≠0时，则方程xf（x）－1＝0的根即为函数y＝f（x），y＝ 交点的横坐标，因为函数y＝f（x）是偶函数，函数y＝ 是奇函数，所以两个函数的交点不具有对称性，所以方程xf（x）－1＝0的所有根之和显然不为0，故C错误；对于D，当x∈[0，2π]时，ωx∈[0，2ωπ]，因为函数f（ωx）（ω＞0）在[0，2π]上有且仅有5个零点，所以2ωπ∈[4π，5π），所以ω∈［2， ），故D正确.故选B、D.
　　解决此类带双绝对值的三角函数问题，分析函数的奇偶性和周期性是
两个必备的过程.此类问题的解题步骤可以归纳为：①分析奇偶性、周期
性；②去绝对值，写成分段函数；③画出草图，结合图象和对称性的定义
判断，包括代入必要的特殊值.
　（多选）设函数f（x）＝ cos ｜2x｜＋｜ sin x｜，则（　　）
A. f（x）是偶函数
B. f（x）的最小正周期为π
C. f（x）的最小值为0
D. f（x）在[0，2π]上有3个零点
√
√
√
解析：　因为函数f（x）定义域为R，而且f（－x）＝ cos ｜2x｜
＋｜ sin x｜＝f（x），所以f（x）是偶函数，A正确；因为函数y＝
cos ｜2x｜的最小正周期为π，y＝｜ sin x｜的最小正周期为π，所以f
（x）的最小正周期为π，B正确；f（x）＝ cos ｜2x｜＋｜ sin x｜＝ cos
2x＋｜ sin x｜＝1－2 sin 2x＋｜ sin x｜＝－2（｜ sin x｜－ ）2＋ ，
而｜ sin x｜∈[0，1]，所以当｜ sin x｜＝1时，f（x）的最小值为0，C正
确；由上可知f（x）＝0可得1－2 sin 2x＋｜ sin x｜＝0，解得｜ sin x｜＝
1或｜ sin x｜＝－ （舍去），因此在[0，2π]上只有x＝ 或x＝ 共2个
零点，所以D不正确.故选A、B、C.
课时跟踪检测
1. 如图，曲线对应的函数是（　　）
A. y＝｜ sin x｜ B. y＝ sin ｜x｜
C. y＝－ sin ｜x｜ D. y＝－｜ sin x｜
解析：　注意到图象所对应的函数值有正有负，因此排除A、D，又
当x∈（0，π）时， sin ｜x｜＞0，而图中显然是小于零，因此排除B.
故选C.
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2. 已知函数f（x）＝｜tan（ x－ ）｜，则下列说法正确的是（　　）
B. f（x）的值域是{y｜y∈R，且y≠0}
√
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解析：　函数f（x）的最小正周期为2π，故A错；f（x）的值域为
[0，＋∞），故B错；当x＝ 时， x－ ＝ ≠ ，k∈Z，所以x＝
不是f（x）的对称轴，故C错；令kπ－ ＜ x－ ＜kπ，k∈Z，可
得2kπ－ ＜x＜2kπ＋ ，k∈Z，所以f（x）的单调递减区间是
（2kπ－ ，2kπ＋ ），k∈Z，故D正确.
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3. 函数f（x）＝2｜ sin x｜＋ cos 2x在［－ ， ］上的单调递减区间为
（　　）
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解析：　因为函数f（x）＝2｜ sin x｜＋ cos 2x在［－ ， ］上满
足f（－x）＝f（x），所以f（x）为偶函数；当0≤x≤ 时，则有f
（x）＝2 sin x＋ cos 2x＝－2 sin 2x＋2 sin x＋1＝－2（ sin x－ ）2＋
，所以x∈［ ， ］时，由复合函数的单调性可知，正弦函数单调递
增，二次函数单调递减，函数f（x）单调递减；所以0≤x≤ 时，单
调递减区间为［ ， ］，又因为其为偶函数，所以单调递减区间为
［－ ，0］和［ ， ］.故选B.
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4. 对于函数f（x）＝ （ sin x＋ cos x）－ ｜ sin x－ cos x｜，下列说法
正确的是（　　）
A. f（x）的值域为[－1，1]
B. 函数f（x）的最小正周期是π
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解析：　f（x）＝作出函数f（x）的图象如图所示，f（x）的值域为［－1， ］，故A错；f（x）的最小正周期是2π，故B错；当且仅当x＝ ＋2kπ（k∈Z）时，f（x）取得最大值，故C错；当且仅当x∈（2kπ， ＋2kπ）（k∈Z）时，f（x）＞0，故D对.
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5. （多选）已知函数f（x）＝ sin ｜x｜＋｜ cos x｜，则下列叙述正确的
有（　　）
A. 2π是函数y＝f（x）的一个周期
B. 函数y＝f（x）是偶函数
√
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解析：　对于A，f（－ ）＝ sin ＋｜ cos ｜＝1，f（ ）＝ sin
＋｜ cos ｜＝－1≠f（－ ），则2π不是函数y＝f（x）的一个周
期，故A错误；对于B，f（－x）＝ sin ｜－x｜＋｜ cos （－x）｜＝
sin ｜x｜＋｜ cos x｜＝f（x），则函数f（x）为偶函数，故B正确；
对于C，当x∈［ ， ］时，f（x）＝ sin x－ cos x＝ sin （x－
），x－ ∈［ ，π］，可知函数f（x）在［ ， ］上单调递减，
故C正确；
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对于D，当x＞0时，f（x）＝ sin x＋｜ cos x｜，此时f（ ）＝ sin
＋｜ cos ｜＝ ，f（ ）＝ sin ＋｜ cos ｜＝－1，即f（ ）－f
（ ）＝ ＋1＞ ，故D错误.
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6. 已知函数f（x）＝ sin （ωx＋ ）（ω＞0），且函数y＝｜f（x）｜
的最小正周期为2π，则函数y＝｜f（x）｜的单调递增区间为
.
解析：函数f（x）＝ sin （ωx＋ ）（ω＞0），且函数y＝｜f
（x）｜的最小正周期为2π，所以ω＝ ，令kπ＜ x＋ ＜kπ＋ ，解
得2kπ－ ＜x＜2kπ＋ ，故函数的单调递增区间为（2kπ－ ，2kπ
＋ ）（k∈Z）.
（2kπ
－ ，2kπ＋ ）（k∈Z）
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7. 已知函数f（x）＝｜ sin ωx｜＋｜ cos ωx｜（ω＞0）在区间（ ，π）
上单调递增，则ω的取值范围是 .
（0， ］
解析：f（x）＝ ＝ ＝
，ω＞0.令2kπ≤4ωx≤（2k＋1）π，k∈Z，得≤x≤ ，k∈Z，即f（x）的单调递增区间为［ ， ］， k∈Z，ω＞0，
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所以只需k∈Z，解得
2k≤ω≤ ，k∈Z，ω＞0，则解得－ ＜k≤ .又
k∈Z，所以k＝0，所以0＜ω≤ ，即ω的取值范围是（0， ］.
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8. 设O为坐标原点，定义非零向量 ＝（a，b）的“相伴函数”为f
（x）＝a sin x＋b cos x（x∈R）， ＝（a，b）称为函数f（x）
＝a sin x＋b cos x的“相伴向量”.
（1）设函数g（x）＝2 sin （ －x）－ cos （ ＋x），求函数g
（x）的相伴向量 ；
解：因为g（x）＝2 sin （ －x）－ cos （ ＋x）＝2（
cos x－ sin x）－（ cos x－ sin x）＝－ sin x＋ cos x，所以
函数g（x）的相伴向量为 ＝（－ ， ）.
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（2）记 ＝（0，2）的“相伴函数”为f（x），若方程f（x）＝k
＋1－2 ｜ sin x｜在区间x∈[0，2π]上有且仅有四个不同的实
数解，求实数k的取值范围.
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解：由题意， ＝（0，2）的“相伴函数”f（x）＝
0× sin x＋2× cos x＝2 cos x，
方程f（x）＝k＋1－2 ｜ sin x｜即2 cos x＝k＋1－2 ｜ sin
x｜，x∈[0，2π]，
则方程2 cos x＝k＋1－2 ｜ sin x｜，x∈[0，2π]有四个实数解，
所以k＝2 cos x－1＋2 ｜ sin x｜，x∈[0，2π]有四个实数解，
令h（x）＝2 cos x－1＋2 ｜ sin x｜，x∈[0，2π]，
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①当x∈[0，π]时，h（x）＝2 cos x－1＋2 sin x＝4 sin （x
＋ ）－1，
②当x∈（π，2π]时，h（x）＝2 cos x－1－2 sin x＝－4 sin
（x－ ）－1，
作出h（x）的图象，如图，由图可知，
当1≤k＜3时，函数h（x）与y＝k有
四个交点，即实数k的取值范围为[1，3）.
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