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(共55张PPT)
第3讲　大题专攻
——三角函数与解三角形
目录
CONTENTS
课时跟踪检测
锁定高考·明方向
研透高考·攻重点
有的放矢 事半功倍
重难攻坚 快速提升
01
锁定高考·明方向
有的放矢 事半功倍
一、考情分析
高频考点 高考预测
三角函数的图象、性质与三角恒等变
换的综合问题 解答题中继续考查利用正、余弦定
理求解三角形边、角、面积等问
题，常涉及最值、范围问题.注意
在平面四边形中考查三角形应用，
难度中等偏下
三角形中基本量的计算（涉及最值、
范围问题） 解三角形在平面图形中的应用 二、真题感悟
1. （2024·新高考Ⅰ卷15题）（正、余弦定理及三角形面积公式的应用）记
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 sin C＝ cos
B，a2＋b2－c2＝ ab.
（1）求B；
解：由余弦定理有a2＋b2－c2＝2ab cos C，
对比已知a2＋b2－c2＝ ab，
可得 cos C＝ ＝ ＝ ，
因为C∈（0，π），所以C＝ ，
又 sin C＝ cos B，所以 ＝ cos B，
即 cos B＝ ，又B∈（0，π），所以B＝ .
（2）若△ABC的面积为3＋ ，求c.
解：由（1）可得A＝ ，
则 sin A＝ sin ＝ sin （ ＋ ）＝ × ＋ × ＝ ，由
正弦定理有 ＝ ，
从而a＝ · c＝ c，
又S△ABC＝ ac sin B＝3＋ ，即ac＝4（ ＋1），
将a＝ c代入，解得c＝2 .
2. （2023·新高考Ⅰ卷17题）（正、余弦定理的应用）已知在△ABC中，A
＋B＝3C，2 sin （A－C）＝ sin B.
（1）求 sin A；
解：∵A＋B＝3C，A＋B＋C＝π，
∴4C＝π，则C＝ .
∵2 sin （A－C）＝ sin B＝ sin （π－A－C）＝ sin （A＋C），
∴2 sin A cos C－2 cos A sin C＝ sin A cos C＋ cos A sin C，
则 sin A cos C＝3 cos A sin C，∴ sin A＝3 cos A＞0.
又 sin 2A＋ cos 2A＝1，∴ sin A＝ .
（2）设AB＝5，求AB边上的高.
解：法一　设AB边上的高为h，
由（1）易得 cos A＝ ，则 sin B＝ sin （A＋C）＝ sin （ ＋
A）＝ cos A＋ sin A＝ .
在△ABC中，由正弦定理 ＝ ，
得AC＝ ＝ ＝2 .
又S△ABC＝ ·AC·AB· sin A＝ ·AB·h，
∴h＝AC sin A＝2 × ＝6.
即AB边上的高为6.
法二　由（1）得 sin A＝3 cos A，则A是锐角， cos A＝ ， sin B＝ sin
（A＋C）＝ sin A cos C＋ cos A sin C＝ × ＋ × ＝ .
由正弦定理 ＝ ，得AC＝ ＝ ＝2 ，故AB边上的高
为AC sin A＝2 × ＝6.
1. 正弦定理：在△ABC中， ＝ ＝ ＝2R（R为△ABC的外接圆
半径）.变形：a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C， sin A＝ ，
sin B＝ ， sin C＝ ，a∶b∶c＝ sin A∶ sin B∶ sin C等.
2. 余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bc cos A. 变形：b2＋c2－a2＝
2bc cos A， cos A＝ .
3. 三角形的面积公式：S＝ ab sin C＝ ac sin B＝ bc sin A.
02
研透高考·攻重点
重难攻坚 快速提升
三角函数图象与性质的综合问题
【例1】　已知函数f（x）＝ sin （ ωx－ ）（ω＞0）的图象向左平移
个单位长度后与函数g（x）＝ cos （2x＋φ）（ ｜φ｜＜ ）的图象重合.
（1）求ω和φ的值；
解：由题意得ω＝2，∴f（x）＝ sin （ 2x－ ），
则f（ x＋ ）＝ sin （ 2x＋ ）＝ cos （ 2x＋ ）＝ cos （2x＋φ）.
∵｜φ｜＜ ，∴φ＝ .
（2）若函数h（x）＝f（ x＋ ）＋g（ x－ ），求h（x）的单调递增
区间及图象的对称轴方程.
解：h（x）＝f（ x＋ ）＋g（ x－ ）＝ sin （ 2x＋ ）＋
cos （ 2x＋ ）＝ sin （ 2x＋ ），
令2kπ－ ≤2x＋ ≤2kπ＋ ，k∈Z，
得kπ－ ≤x≤kπ＋ ，k∈Z.
∴h（x）的单调递增区间为［kπ－ ，kπ＋ ］，k∈Z.
令2x＋ ＝kπ＋ ，k∈Z，
解得x＝ ＋ ，k∈Z，
∴h（x）图象的对称轴方程为x＝ ＋ ，k∈Z.
解三角函数图象与性质的综合问题的方法
（1）先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y＝A sin
（ωx＋φ）＋B（一角一函数）的形式；
（2）把“ωx＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y＝A sin （ωx＋
φ）＋B的单调性、奇偶性、对称性、最值、极值点、零点.
　（2024·三明质量检测）已知函数f（x）＝ sin ωx＋ cos （ωx＋ ）
（其中ω＞0）图象的两条相邻对称轴间的距离为 .
（1）若f（x）在（0，m）上有最大值无最小值，求实数m的取值范围；
解： f（x）＝ sin ωx＋ cos ωx＝ sin （ωx＋ ），
因为图象相邻两条对称轴间的距离为 ，
所以周期T＝2× ＝π，即ω＝ ＝2，
因此f（x）＝ sin （2x＋ ），
当x∈（0，m）时，2x＋ ∈（ ，2m＋ ），
若f（x）在（0，m）上有最大值无最小值，则由正弦函数图象得
＜2m＋ ≤ ，解得 ＜m≤ ，
即m的取值范围为（ ， ］.
（2）将函数f（x）的图象向右平移 个单位长度，再将图象上所有点的
横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到g（x）的图象，设h
（x）＝g（x）＋ x，求h（x）在（－2π，π）上的极大值点.
解：将f（x）的图象向右平移 个单位长度得y＝ sin ［2（x
－ ）＋ ］＝ sin 2x的图象，再将图象上所有点的横坐标变为原来2
倍（纵坐标不变）得g（x）＝ sin x的图象，
所以h（x）＝g（x）＋ ＝ sin x＋ ，
h'（x）＝ cos x＋ ，x∈（－2π，π），
令h'（x）＝0，得 cos x＝－ ，
则x＝－ 或x＝－ 或x＝ ，
当x∈（－2π，－ ）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，
当x∈（－ ，－ ）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，
当x∈（－ ， ）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，
当x∈（ ，π）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，
所以h（x）的极大值点为－ 和 .
正、余弦定理的应用
考向1　解三角形中的计算问题
【例2】　（2024·新高考Ⅱ卷15题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别
为a，b，c，已知 sin A＋ cos A＝2.
（1）求A；
解：法一（辅助角公式法）　由 sin A＋ cos A＝2，可得 sin
A＋ cos A＝1，即 sin （A＋ ）＝1，
由于A∈（0，π） A＋ ∈（ ， ），故A＋ ＝ ，解得A＝ .
法二（同角三角函数的基本关系法）　由 sin A＋ cos A＝2，又 sin
2A＋ cos 2A＝1，消去 sin A得4 cos 2A－4 cos A＋3＝0 （2 cos A
－ ）2＝0，解得 cos A＝ ，
又A∈（0，π），故A＝ .
（2）若a＝2， b sin C＝c sin 2B，求△ABC的周长.
解：由题设条件和正弦定理， b sin C＝c sin 2B sin B sin
C＝2 sin C sin B cos B，
又B，C∈（0，π），则 sin B sin C≠0，进而 cos B＝ ，
得到B＝ ，
于是C＝π－A－B＝ ， sin C＝ sin （π－A－B）＝ sin （A＋
B）＝ sin A cos B＋ sin B cos A＝ .
法一（基本量法）　由正弦定理可得， ＝ ＝ ，即 ＝
＝ ，
解得b＝2 ，c＝ ＋ ，
故△ABC的周长为2＋ ＋3 .
法二（整体思想法）　由正弦定理 ＝ ＝ ，得 ＝
＝ ＝4，
所以a＋b＋c＝4（ sin A＋ sin B＋ sin C）＝4×（ ＋ ＋
）＝2＋ ＋3 ，
所以△ABC的周长为2＋ ＋3 .
　　在处理三角形中的边角关系时，一般将边角混合的式子全部化为角的
关系式或全部化为边的关系式.式子中若出现边的一次式，一般采用正弦
定理，若出现边的二次式，一般采用余弦定理.
考向2　解三角形中的证明问题
【例3】　在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝
150°，点D满足 ＝2 ，且 ＋ ＝ .
（1）求证：AD＝ a；
解：证明：由题意知 ＝2 ，则CD＝ a，BD＝ a.
在△ABD中， sin ∠BAD＝ ＝ ，在△ACD中， sin
∠CAD＝ ＝ ，
又 ＝ ＝ ＝ ，
所以 ＋ ＝ ＋ ＝ · ＋ · ＝ ，
即6AD＝2a，所以AD＝ a.
（2）求 的值.
解：在△ABD中，由余弦定理得 cos ∠ADB＝ ＝ ，
在△ACD中，由余弦定理得 cos ∠ADC＝ ＝ .
∠ADB＋∠ADC＝180°，则∠ADB＝180°－∠ADC，
即 ＝－ ，整理可得a2－b2＝2c2.
在△ABC中，由余弦定理得 cos A＝ ＝－ ，
即－ ＝－ ＝－ ，所以c＝ b，
所以a2－b2＝6b2，即a＝ b，所以 ＝ ＝ ＝ .
　　三角形中的证明问题有两类：一是角的关系，可以利用三角恒等变换
转化为同名三角函数，或是某个三角函数值求角；二是边的关系，可以利
用正、余弦定理转化为边的关系，证明时可从复杂的一边入手，证明两边
相等，也可用比较法，左边－右边＝0.
　（2024·阜阳模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，
且a sin A cos B＋b sin A cos A＝ a cos C.
（1）求角C的大小；
解：因为a sin A cos B＋b sin A cos A＝ a cos C，
所以根据正弦定理得 sin A sin A cos B＋ sin A sin B cos A＝ sin
A cos C，
因为 sin A≠0，所以 sin A cos B＋ sin B cos A＝ cos C，即 sin
（A＋B）＝ cos C，即 sin C＝ cos C.
因为 cos C≠0，所以tan C＝ .
因为0＜C＜π，所以C＝ .
（2）若a＝3，且 · ＝1，求△ABC的面积.
解： · ＝bc cos A＝1.
因为a2＝b2＋c2－2bc cos A，
所以b2＋c2＝9＋2bc cos A＝11，　①
因为c2＝a2＋b2－2ab cos C，
所以b2－c2＝2ab cos C－a2＝2×3×b× cos －32＝3b－9.　②
联立①②可得2b2－3b－2＝0，解得b＝2（负值舍去），
故△ABC的面积为 ab sin C＝ ×3×2× ＝ .
03
课时跟踪检测
1. （2024·天津高考16题）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，
b，c.已知 cos B＝ ，b＝5， ＝ .
（1）求a的值；
解：由 ＝ 得a＝ c，
由余弦定理得a2＋c2－b2＝2ac cos B，
即 c2＋c2－25＝2· c·c· ，
得 c2－25＝ c2，得c＝6，故a＝ c＝4.
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（2）求 sin A的值；
解：因为 cos B＝ ，所以 sin B＝ ＝ ，
由正弦定理得 ＝ ，即 ＝ ，
得 sin A＝ .
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（3）求 cos （B－2A）的值.
解：因为a＜b，所以A＜B，则 cos A＞0，
由 sin A＝ ，得 cos A＝ ，
则 cos 2A＝2 cos 2A－1＝ ，
sin 2A＝2 sin A cos A＝ .
故 cos （B－2A）＝ cos B cos 2A＋ sin B sin 2A＝ × ＋
× ＝ .
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2. 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 sin C sin （A
－B）＝ sin B sin （C－A）.
（1）证明：2a2＝b2＋c2；
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解： 证明：法一　由 sin C sin （A－B）＝ sin B· sin （C－
A）可得， sin C sin A cos B－ sin C cos A sin B＝ sin B sin C cos A－
sin B cos C sin A，
结合正弦定理 ＝ ＝ 可得ac cos B－bc cos A＝bc cos A
－ab cos C，
即ac cos B＋ab cos C＝2bc cos A. （*）
由余弦定理可知ac cos B＝ ，ab cos C＝ ，2bc
cos A＝b2＋c2－a2，代入（*）式整理得2a2＝b2＋c2.
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法二　因为A＋B＋C＝π，
所以 sin C sin （A－B）＝ sin （A＋B） sin （A－B）＝ sin 2A cos 2B－
cos 2A sin 2B＝ sin 2A（1－ sin 2B）－（1－ sin 2A） sin 2B＝ sin 2A－ sin
2B，
同理有 sin B sin （C－A）＝ sin （C＋A） sin （C－A）＝ sin 2C－ sin
2A，
所以 sin 2A－ sin 2B＝ sin 2C－ sin 2A，
由正弦定理可得2a2＝b2＋c2.
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（2）若a＝5， cos A＝ ，求△ABC的周长.
解：由（1）及a2＝b2＋c2－2bc cos A得，a2＝2bc cos A，
所以2bc＝31.
因为b2＋c2＝2a2＝50，所以（b＋c）2＝b2＋c2＋2bc＝81，
得b＋c＝9，
所以△ABC的周长l＝a＋b＋c＝14.
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3. 在四边形ABCD中，AB∥CD.
（1）求证：AD· sin ∠BAD＝BC· sin ∠BCD；
解：证明：因为AB∥CD，所以∠ABD＝∠BDC，
在△ABD中，由正弦定理可知 ＝ .
在△BCD中，由正弦定理可知， ＝ ，
所以AD· sin ∠BAD＝BD· sin ∠ABD，
BC· sin ∠BCD＝BD· sin ∠BDC，
故有AD· sin ∠BAD＝BC· sin ∠BCD.
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（2）若AD＝1，AB＝3，BC＝ ，∠BAD＝2∠BCD，求△BCD外
接圆的面积.
解：由（1）可知，AD· sin ∠BAD＝BC· sin ∠BCD，设
∠BAD＝2∠BCD＝2α，
又因为AD＝1，BC＝ ，可得 sin 2α＝ sin α，
即2 sin α cos α＝ sin α，解得 cos α＝ ，
所以α＝ .
在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD· cos 2α
＝32＋12－2×3×1× cos ＝7，故BD＝ .
在△BCD中，由正弦定理可知，2R＝ ，所以R＝ ，
所以△BCD的外接圆的面积为S＝πR2＝7π.
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4. 已知函数f（x）＝ sin 2x－ cos 2x，x∈R.
（1）若h（x）＝f（x＋t）的图象关于点（ ，0）对称，且t∈
（0， ），求t的值；
解：f（x）＝ sin 2x－ cos 2x＝2（ sin 2x－ cos 2x）
＝2 sin （2x－ ）.
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法一　易知f（x）的图象关于点（ ，0）对称，把f（x）的图象向左平
移 个单位长度，所得图象关于点（ ，0）对称，因此t＝ .
法二　由题知，h（ ）＝f（ ＋t）＝2 sin ［2（ ＋t）－ ］＝2 sin
（2t＋ ）＝0，
所以2t＋ ＝kπ，k∈Z，所以t＝ kπ－ ，k∈Z，又t∈（0， ），所
以t＝ .
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（2）不等式｜f（x）－m｜＜3对任意的x∈［ ， ］恒成立，求实
数m的取值范围.
解： ｜f（x）－m｜＜3对任意的x∈［ ， ］恒成立，即m－3＜f（x）＜m＋3对任意的x∈［ ， ］恒成立，
由（1）知f（x）＝2 sin （2x－ ），令θ＝2x－ ，则当x∈［ ， ］时，θ∈［ ， ］，
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所以当θ∈［ ， ），即x∈［ ， ）时，f（x）单调递增，当θ∈
（ ， ］，即x∈（ ， ］时，f（x）单调递减，又f（ ）＝1，f
（ ）＝ ，所以当x∈［ ， ］时，f（x）max＝f（ ）＝2，f（x）
min＝（ ）＝1，
所以解得－1＜m＜4.故m的取值范围为（－1，4）.
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5. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为
sin （ －A） sin A.
（1）求C；
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解：由题意得， bc sin A＝ sin （ －A）· sin A，
因为A∈（0，π），所以 sin A≠0，
则b＝ c· sin （ －A），
即 sin B＝ sin C sin （ －A），
所以 sin （A＋C）＝2 sin C sin （ －A），
即 sin A cos C＋ cos A sin C
＝2 sin C（ cos A－ sin A），
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化简得 sin A cos C＋ sin A sin C＝0，
因为 sin A≠0，所以 cos C＋ sin C＝0，即tan C＝－ .
又C∈（0，π），所以C＝ .
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（2）若点D满足 ＝ ，且c＝ ，｜ ｜＝2 ，求a，b.
解：由c2＝a2＋b2－2ab cos C，c＝ ，C＝ ，
得a2＋b2＋ab＝7.　①
因为 ＝ － ，
所以 ＝ ＋ －2 · ，
即｜ ｜2＝｜ ｜2＋｜ ｜2－2｜ ｜·｜ ｜· cos C，
因为 ＝ ，所以 ＝ ＋ ＝2 ，故｜ ｜＝2｜
｜＝2b，
又｜ ｜＝a，所以｜ ｜2＝（2b）2＋a2－4ab cos C，
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则a2＋4b2＋2ab＝12，　②
由①②得12（a2＋b2＋ab）＝7（a2＋4b2＋2ab），
整理得（5a＋8b）（a－2b）＝0，所以a＝2b.　③
将③代入①，解得b＝1（负值舍去），则a＝2.
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