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(共77张PPT)
第1讲　小题研透
——三角函数的图象与性质
目录
CONTENTS
课时跟踪检测
锁定高考·明方向
研透高考·攻重点
有的放矢 事半功倍
重难攻坚 快速提升
01
锁定高考·明方向
有的放矢 事半功倍
一、考情分析
高频考点 高考预测
图象变换（三角函数图象的平移、伸缩
变换） 主要以选择题、填空题的形式
考查三角函数的图象变换及解
析式，利用三角函数的性质求
参数、最值、值域、单调区间
及对称性，也可能出现在解答
题的一问，难度中等偏下
图象识别（辨别函数图象、求解析式中
参数值） 图象、性质应用（判断零点个数、解不
等式、考查最值、周期性、单调性、奇
偶性、对称性等） 二、真题感悟
1. （2023·全国乙卷理6题）（三角函数的图象与性质）已知函数f（x）＝
sin （ωx＋φ）在区间（ ， ）上单调递增，直线x＝ 和x＝ 为函
数y＝f（x）的图象的两条相邻对称轴，则f（－ ）＝（　　）
√
解析：　由函数f（x）在区间（ ， ）上单调递增，且直线x＝
和x＝ 是函数f（x）的图象的两条相邻对称轴，得 ＝2（ －
），解得ω＝2，则f（ ）＝ sin （ ＋φ）＝－1，所以φ＝－ ＋
2kπ－ ＝－ ＋2kπ，k∈Z，所以f（x）＝ sin （2x－ ＋2kπ），
k∈Z，则f（－ ）＝ sin （－ ＋2kπ）＝ sin （－ ）＝ .故
选D.
2. （多选）（2024·新高考Ⅱ卷9题）（三角函数的图象与性质）对于函数f
（x）＝ sin 2x和g（x）＝ sin （2x－ ），下列说法中正确的有
（　　）
A. f（x）与g（x）有相同的零点
B. f（x）与g（x）有相同的最大值
C. f（x）与g（x）有相同的最小正周期
D. f（x）与g（x）的图象有相同的对称轴
√
√
解析：　A选项，令f（x）＝ sin 2x＝0，解得x＝ ，k∈Z，即
为f（x）零点，令g（x）＝ sin （2x－ ）＝0，解得x＝ ＋ ，
k∈Z，即为g（x）零点，显然f（x），g（x）零点不同，A选项错
误；B选项，显然f（x）max＝g（x）max＝1，B选项正确；C选项，根据周期公式，f（x），g（x）的周期均为 ＝π，C选项正确；D选项，根据正弦函数的性质f（x）的对称轴满足2x＝kπ＋ x＝ ＋ ，k∈Z，g（x）的对称轴满足2x－ ＝kπ＋ x＝ ＋ ，k∈Z，显然f（x），g（x）图象的对称轴不同，D选项错误.故选B、C.
3. （2023·新高考Ⅱ卷16题）（三角函数的图象与性质）已知函数f（x）
＝ sin （ωx＋φ），如图，A，B是直线y＝ 与曲线y＝f（x）的两个
交点，若｜AB｜＝ ，则f（π）＝ 　－ 　.
－
解析：由题图设点A（x1， ），B（x2， ），则｜AB｜＝x2－x1＝
.由题图可知其中k∈Z，则ω（x2－x1）＝
，解得ω＝4.因为函数f（x）的图象过点（ ，0），所以4× ＋φ
＝2kπ，k∈Z，则φ＝2kπ－ ，k∈Z，所以f（x）＝ sin （4x＋2kπ
－ ）＝ sin （4x－ ＋2kπ）＝ sin （4x－ ），k∈Z. 故f（π）＝
sin （4π－ ）＝ sin ＝－ .
1. 正弦、余弦、正切函数的单调性及对称性
函数 y＝ sin x y＝ cos x y＝tan x
图
象
的
对
称
性 对称
中心 （kπ，0），k∈Z
对称
轴 直线x＝kπ，k∈Z 无对称轴
函数 y＝ sin x y＝ cos x y＝tan x
单调
性 单调递增区间：[2kπ－π，2kπ]，k∈Z； 单调递减区间：[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z
函数 y＝ sin x y＝ cos x y＝tan x
最值 当x＝2kπ＋π，k∈Z
时，y取最小值－1；当
x＝2kπ，k∈Z时，y取
最大值1 无最值
易错提醒　y＝tan x在整个定义域内不单调.
2. 三角函数图象的两种常见变换
（1）y＝ sin x y＝ sin （x＋φ）
y＝ sin （ωx＋φ） y＝A sin （ωx＋φ）（A＞
0，ω＞0）；
（2）y＝ sin x y＝ sin ωx
y＝ sin （ωx＋φ） y＝A
sin （ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）.
易错提醒　无论哪种变换，每一个变换总是针对自变量x而言的，
即图象变换要看“自变量x”发生多大变化，而不是看角“ωx＋
φ”的变化.
3. 与三角函数的奇偶性相关的结论
（1）若y＝A sin （ωx＋φ）为偶函数，则有φ＝kπ＋ （k∈Z）；若
为奇函数，则有φ＝kπ（k∈Z）；
（2）若y＝A cos （ωx＋φ）为偶函数，则有φ＝kπ（k∈Z）；若为奇
函数，则有φ＝kπ＋ （k∈Z）；
（3）若y＝Atan（ωx＋φ）为奇函数，则有φ＝kπ（k∈Z）.
02
研透高考·攻重点
重难攻坚 快速提升
三角函数的定义与诱导公式
【例1】　（1）（2024·乌鲁木齐第二次质量监测）已知角α（0°＜α＜
360°）的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边上A点坐标为
（ sin 310°， cos 310°），则α＝（　B　）
A. 130° B. 140°
C. 220° D. 230°
√
解析：法一　根据诱导公式有 sin 310°＝ cos （90°－310°）＝ cos （－220°）， cos 310°＝ sin （90°－310°）＝ sin （－220°），所以α＝－220°＋k·360°，k∈Z，又因为0°＜α
＜360°，所以α＝－220°＋360°＝140°，故选B.
法二（排除法）　因为 sin 310°＜0， cos 310°＞0，所以点A在第
二象限，排除C、D；又因为 cos 130°＝－ sin 40°， sin 310°＝－
sin 50°，排除A. 故选B.
（2）（2024·湖北六校新高考联盟学校联考）若实数α满足 cos α＝tan
α，则 ＋ cos 4α＝（　A　）
A. 2
D. 1
√
解析：由 cos α＝tan α＝ ，得 cos 2α＝ sin α.又 cos 2α＋ sin
2α＝1，所以 ＋ cos 4α＝ ＋ sin 2α＝ ＋
sin 2α＝1＋ sin α＋ sin 2α＝1＋ cos 2α＋ sin 2α＝2.
利用公式进行化简求值的策略
（1）利用诱导公式化任意角的三角函数为锐角三角函数的步骤：去负—
脱周—化锐；
（2）利用同角三角函数的关系化简的原则：化切为弦、化异为同、化高
为低、化繁为简等.
　（2024·上饶清源学校段考）已知0＜α＜ ，且 sin （α－ ）＝ ，则
sin （ －α）＝（　　）
√
解析：　因为0＜α＜ ，所以－ ＜α－ ＜ ，又 sin （α－ ）＝ ，
所以 cos （α－ ）＝ ＝ ， sin （ －α）＝ sin （ ＋
－α）＝ cos （ －α）＝ cos （α－ ）＝ .故选C.
　　
三角函数的图象与解析式
【例2】　（1）（2024·新高考Ⅰ卷7题）当x∈[0，2π]时，曲线y＝ sin x与
y＝2 sin （3x－ ）的交点个数为（　C　）
A. 3 B. 4
C. 6 D. 8
√
解析：因为函数y＝ sin x的最小正周期为T＝2π，函数y＝2 sin （3x－ ）的最小正周期为T＝ ，所以在x∈[0，2π]上函数y＝2 sin （3x－ ）的图象恰有三个周期，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示，由图可知，两函数图象有6个交点.故选C.
（2）（多选）已知函数f（x）＝A sin （ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，｜φ｜
＜ ）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（　A　）
√
√
√
解析：对于A，由题图可得，A＝2，最小正周期T＝2×（ π－
π）＝π，所以ω＝ ＝2，所以f（x）＝2 sin （2x＋φ）.由“五点
作图法”知点（－ ，0）为第一个点，所以－ ×2＋φ＝0，所以φ
＝ .所以f（x）＝2 sin （2x＋ ）＝2 cos （2x－ ），故A正确；
对于B，由f（x）＝2 sin （2x＋ ）＞1可得 sin （2x＋ ）＞ ，所
以2kπ＋ ＜2x＋ ＜2kπ＋ （k∈Z），解得x∈（kπ，kπ＋ ）
（k∈Z），故B正确；
对于C，将函数f（x）的图象向右平移 个单位长度，得y＝2 sin ［2（x
－ ）＋ ］＝2 sin 2x的图象.由2x＝kπ＋ （k∈Z），得x＝ ＋
（k∈Z），而方程 ＋ ＝ （k∈Z）无解，所以直线x＝ 不是该函数
图象的对称轴，故C错误；对于D，因为f（ －x）＝2 sin （－2x＋ ）
＝－2 cos 2x＝g（x），所以函数f（x）与g（x）＝－2 cos 2x的图象关
于直线x＝ 对称，故D正确.综上所述，选A、B、D.
由“图”定“式”找“对应”的方法
　　求函数f（x）＝A sin （ωx＋φ）＋B（A＞0，ω＞0）解析式的方
法：
（1）最值定A，B：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为M，最小
值为m，则M＝A＋B，m＝－A＋B，解得B＝ ，A＝
；
（2）T定ω：由周期的求解公式T＝ ，可得｜ω｜＝ ；
（3）点坐标定φ：一般运用代入法求解φ值，注意在确定φ值时，往往以寻
找“五点法”中的某一个点为突破口，即“峰点”“谷点”与三个
“中心点”.
提醒　由y＝A sin ωx的图象得到y＝A sin （ωx＋φ）的图象时，需
平移 个单位长度，而不是｜φ｜个单位长度.
1. 设函数f（x）＝ sin （ωx＋φ）（ω＞0，0＜φ＜π），将函数f（x）的
图象先向右平移 个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标
不变，所得的图象与y＝ cos x图象重合，则（　　）
√
解析：　将函数f（x）的图象向右平移 个单位长度，可得y＝f（x
－ ）＝ sin ［ω（x－ ）＋φ］＝ sin （ωx－ ω＋φ）的图象，再将
横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝ sin （ x－ ω＋φ）
的图象，由于得到的函数的图象与y＝ cos x图象重合，故ω＝2，－ ω
＋φ＝ ＋2kπ（k∈Z），所以φ＝ ＋2kπ（k∈Z），又0＜φ＜π，所
以φ＝ ，故选C.
2. 已知函数f（x）＝A sin （ωx＋φ）＋B（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的
部分图象如图所示，且f（x）的图象关于点（ ，2）中心对称，则f
（φ）＝（　　）
A. 4 B. 3
C. 2 D. 0
√
解析：　由题图可知，A＝B＝2，∵f（0）＝2 sin φ＋2＝3，∴ sin φ
＝ .∵0＜φ＜π，且点（0，3）的横坐标x＝0在f（x）的一个递减区
间内，∴φ＝ .根据五点作图法可知， ×ω＋ ＝π，解得ω＝2，
∴f（x）＝2 sin （2x＋ ）＋2，f（φ）＝2 sin （2× ＋ ）＋2＝
2 sin ＋2＝4，故选A.
三角函数的性质及应用
【例3】　（1）（多选）（2024·九省联考）已知函数f（x）＝ sin （2x
＋ ）＋ cos （2x＋ ），则（　AC　）
B. 曲线y＝f（x）的对称轴为直线x＝kπ，k∈Z
D. f（x）的最小值为－2
√
√
解析：f（x）＝ sin （2x＋ ）＋ cos （2x＋ ）＝ sin
（2x＋π）＝－ sin 2x.对于A，f（x－ ）＝－ sin 2（x－ ）
＝－ sin （2x－ ）＝ cos 2x，故函数f（x－ ）为偶函数，
选项A正确；对于B，令2x＝ ＋kπ，k∈Z，解得x＝ ＋ ，
k∈Z，故曲线y＝f（x）的对称轴为直线x＝ ＋ ，k∈Z，选项B
错误；
对于C，令t＝2x，则当x∈（ ， ）时，t＝2x∈（ ，π），因为y＝
sin t在（ ，π）上单调递减，所以y＝－ sin t在（ ，π）上单调递增，
即f（x）在（ ， ）上单调递增，故选项C正确；对于D，函数f（x）＝
－ sin 2x的最小值为－ ，故选项D错误.综上所述，选A、C.
（2）（2024·合肥第一次教学质量检测）已知函数f（x）＝2 sin （3x＋
φ）（－π＜φ＜0）图象的一条对称轴为x＝ ，当x∈[0，t]时，f
（x）的最小值为－ ，则t的最大值为 　 　.

解析：因为函数f（x）＝2 sin （3x＋φ）图象的对称轴为x＝
，所以3× ＋φ＝kπ＋ （k∈Z），所以φ＝kπ－ （k∈Z），因
为－π＜φ＜0，所以k＝0，φ＝－ ，所以函数f（x）＝2 sin （3x－
），当x∈[0，t]时，3x－ ∈［－ ，3t－ ］，因为函数f
（x）的最小值为－ ，所以－ ＜3t－ ≤ ，解得0＜t≤ ，所
以t的最大值为 .
研究三角函数性质的思路
（1）化简转化：将函数解析式进行化简，转化为y＝A sin （ωx＋φ）＋B
的形式，通过整体代换，结合正弦函数y＝ sin x的性质求解；
（2）三类问题：
①求单调区间：将ωx＋φ作为一个整体代入正弦函数的单调递增
（减）区间，求出x的范围即为原函数的单调递增（减）区间；
②求函数在闭区间上的最值：先根据x所在的区间求出ωx＋φ的取值
范围，再结合正弦函数的图象确定函数的最值；
③判断对称轴或对称中心：可根据对称轴经过图象的最高点或最低
点，对称中心的横坐标一定是y＝A sin （ωx＋φ）的零点进行判断.
提醒　尽量把ω化成ω＞0的形式，避免出现错误.
1. （2024·天津高考7题）已知函数f（x）＝ sin 3（ωx＋ ）的最小正周
期为π，则f（x）在［－ ， ］的最小值为（　　）
C. 0
√
解析：　由f（x）的最小正周期为π，可得π＝ ，所以ω＝ ，所以
f（x）＝ sin （2x＋π）＝－ sin 2x.当x∈［－ ， ］时，2x∈［－
， ］， sin 2x∈［－ ， ］，－ sin 2x∈［－ ， ］，所以f
（x）min＝－ ，故选A.
2. 已知函数f（x）＝ a sin ax＋ a cos ax＋b（a＞0）的值域为[－1，
3]，则f（x）的单调递增区间为 .
解析：f（x）＝ a sin ax＋ a cos ax＋b＝a sin （ax＋ ）＋b.因为
a＞0，且函数f（x）的值域为[－1，3]，则解得
所以f（x）＝2 sin （2x＋ ）＋1，由2kπ－ ≤2x＋ ≤2kπ
＋ （k∈Z），得kπ－ ≤x≤kπ＋ （k∈Z），因此，函数f（x）
的单调递增区间为［kπ－ ，kπ＋ ］（k∈Z）.
［kπ－ ，kπ＋ ］（k∈Z）
03
课时跟踪检测
1. 在平面直角坐标系中，角α的顶点在坐标原点，始边在x轴的非负半
轴，终边过点（x，4）且tan（－π＋α）＝－2，则 cos α＝（　　）
解析：　∵角α的终边过点（x，4）且tan（－π＋α）＝tan α＝－
2，∴ ＝－2，∴x＝－2，∴ cos α＝ ＝－ ，故选B.
√
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2. 若f（x）＝ sin （ 2x＋ ）在区间[－t，t]上单调递增，则实数t的取
值范围为（　　）
D. （0，π]
解析：　∵0∈[－t，t]，∴只需考虑正弦型函数的含0的单调递增区
间.由－ ≤2x＋ ≤ ，得－ ≤x≤ ，∴－ ≤－t＜t≤ ，解得0
＜t≤ .
√
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3. （2024·北京高考6题）设函数f（x）＝ sin ωx（ω＞0）.已知f（x1）
＝－1，f（x2）＝1，且｜x1－x2｜的最小值为 ，则ω＝（　　）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析：　因为f（x）＝ sin ωx∈[－1，1]，且f（x1）＝－1，f
（x2）＝1，｜x1－x2｜min＝ ，所以f（x）的最小正周期T＝2× ＝
π，所以ω＝ ＝2.
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4. （多选）将函数y＝ sin （3x－ ）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长
度，得到了一个奇函数的图象，则φ的值可能为（　　）
解析：　将函数y＝ sin （3x－ ）的图象向右平移φ（φ＞0）个单
位长度，得到y＝ sin （3x－3φ－ ）的图象，因为函数y＝ sin （3x－
3φ－ ）为奇函数，所以－3φ－ ＝kπ，k∈Z，即φ＝－ － ，
k∈Z，结合选项，故选B、C.
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5. 如图，某地一天6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝A sin （ωx＋
φ）＋b，A＞0，0＜φ＜π，则这段曲线的函数解析式为
.
y＝10 sin
（ x＋ ）＋20，x∈[6，14]
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解析：从题图中可以看出，6～14时的图象是函数y＝A sin （ωx＋φ）
＋b的半个周期，所以A＝ ×（30－10）＝10，b＝ ×（30＋10）＝
20.又 × ＝14－6，所以ω＝ .又 ×6＋φ＝ ＋2kπ，k∈Z，0＜φ
＜π，所以φ＝ ，所以y＝10 sin （ x＋ ）＋20，x∈[6，14].
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6. 古代文人墨客善于在纸扇上题字题画，题字题画的部分多为扇环.已知
某扇环如图，其中外弧线的长为60 cm，内弧线的长为20 cm，连接外弧
与内弧的两端的线段长均为18 cm，则该扇环所在扇形的中心角的弧度
数为 .

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解析：如图，依题意可得 的长为60 cm， 的长为
20 cm.设扇形AOB的中心角的弧度数为α，则 ＝
α·OA， ＝α·OC，所以 ＝ ＝3，即OA＝
3OC. 因为AC＝18 cm，所以OC＝9 cm，所以该扇环
所在的扇形的中心角的弧度数α＝ ＝ .
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7. 已知a＝（ sin α，1－4 cos 2α），b＝（1，3 sin α－2），α∈
（0， ）.若a∥b，则tan（α－ ）＝（　　）
√
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解析：　因为a∥b，所以1－4 cos 2α＝ sin α（3 sin α－2），即1
－4（1－2 sin 2α）＝3 sin 2α－2 sin α，所以5 sin 2α＋2 sin α－3＝
0，解得 sin α＝ 或 sin α＝－1.又α∈（0， ），所以 sin α＝ ，所
以tan α＝ ，所以tan（α－ ）＝ ＝ ＝－ .故选B.
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8. （2024·武汉华中师范大学附属中学期中）已知函数f（x）＝ sin ωx
（ω＞0）的图象的一部分如图1，则图2中的函数图象对应的函数是
（　　）
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解析：　由题图1、2知，函数的周期先变为原来的 倍，得到的图象
再向右平移 个单位长度，所以得到y＝f（2x－1）的图象.故选D.
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9. 已知函数y＝g（x）的图象与函数y＝ sin 2x的图象关于直线x＝π对
称，将函数y＝g（x）的图象向右平移 个单位长度后得到函数y＝f
（x）的图象，则函数y＝f（x）在x∈［0， ］时的值域为（　　）
D. [0，1]
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解析：　由函数y＝g（x）的图象与函数y＝ sin 2x的图象关于直线x
＝π对称得，g（x）＝－ sin 2x，因为将函数y＝g（x）的图象向右平
移 个单位长度后得到函数y＝f（x）的图象，所以f（x）＝－ sin 2
（x－ ）＝－ sin （2x－ ），则当x∈［0， ］时，2x－ ∈［－
， ］，所以 sin （2x－ ）∈［－1， ］，所以f（x）∈［－
，1］.故选C.
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10. （2024·湘豫名校联考）已知函数f（x）＝2 sin （ωx＋φ）＋1
（ω∈N*，－π＜φ＜－ ）的图象过原点，且关于点（ ，1）对称，
若函数f（x）在［0， ］上单调，则f（x）图象的相邻两条对称轴
之间的距离为（　　）
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解析：　因为f（0）＝2 sin φ＋1＝0，所以φ＝2kπ－ 或φ＝2kπ－
，k∈Z. 又－π＜φ＜－ ，所以φ＝－ ，所以f（x）＝2 sin （ωx
－ ）＋1.因为f（x）的图象关于点（ ，1）对称，所以 ω－
＝kπ，k∈Z，所以ω＝ ＋6，k∈Z. 因为x∈［0， ］，ω＞0，
所以ωx－ ∈［－ ， － ］.又函数f（x）在［0， ］上单
调，所以 0＜ω≤6.因为ω∈N*，所以当k＝0时，ω
＝6.因为f（x）图象的相邻两条对称轴之间的距离为半个周期，所以
＝ × ＝ .故选D.
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11. （多选）已知函数f（x）＝Atan（ωx＋φ）（ω＞0，｜φ｜＜ ）的
部分图象如图所示，则下列说法正确的是（　　）
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√
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解析：　由图象可知，函数f（x）的最小正周期为T＝2×（
－ ）＝ ，故A正确；由ω＝ ＝ ＝2得f（x）＝Atan（2x＋φ），
∴f（ ）＝Atan（2× ＋φ）＝0，∴ ＋φ＝kπ（k∈Z），∴φ＝
kπ－ （k∈Z），又∵｜φ｜＜ ，∴φ＝ ，∴ sin φ＝ ，故B正
确；由题图得点（0，1）在f（x）图象上，则f（0）＝Atan ＝1，
∴A＝1.∴f（x）＝tan（2x＋ ），故C正确；∵f（x）＝tan（2x＋ ），令2x＋ ＝ （k∈Z），∴x＝－ ＋ （k∈Z），∴f（x）图象的对称中心为点（ ＋ ，0）（k∈Z），故D错误.
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12. （多选）（2024·福建适应性练习卷）在平面直角坐标系xOy中，角φ
的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P（1，－
），函数f（x）＝ sin （2x＋φ），则（　　）
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解析：由题意得 sin φ＝－ 且φ的终边在第四象限，所以φ＝－
＋2kπ，k∈Z，因此f（x）＝ sin （2x－ ＋2kπ）＝ sin （2x－
）.对于A，当x＝－ 时，2x－ ＝2×（－ ）－ ＝－ ，f（－
）＝ sin （－ ）＝－1，所以f（x）的图象关于直线x＝－ 对
称，故A正确；对于B，当x＝ 时，2x－ ＝2× － ＝－ ，所以
f（ ）＝ sin （－ ）＝－ ≠0，所以f（x）的图象不关于点（ ，
0）对称，故B错误；
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对于C，当x∈（－ ， ）时，2x－ ∈（－ ， ），结合y＝ sin x在
（－ ， ）上的图象可知f（x）在（－ ， ）内有极小值点，无极大
值点，故C错误；对于D，当x∈（ ， ）时，2x－ ∈（ ， ），结
合y＝ sin x在（ ， ）上的图象知f（x）在（ ， ）上单调递减，故
D正确.综上，选A、D.
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13. 已知函数f（x）＝2 sin （ωx＋φ）（ ω＞0，φ∈ ）的部分图象
如图，其中f（0）＝1，MN＝ ，则点M的坐标为 .
（－1，2）
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解析：∵f（0）＝2 sin φ＝1，∴ sin φ＝ .∵φ∈ ，∴φ＝ .
又MN＝ ＝ ，且ω＞0，∴ω＝ ，∴f（x）＝2 sin
.令2 sin （ x＋ ）＝2，结合题图得 x＋ ＝ ，解得x
＝－1，故点M的坐标为（－1，2）.
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14. （2024·合肥第一中学教学质量检测）已知 sin α＝ ， cos α＝－
，且α为第二象限角，则 ＝ .
－
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解析：因为 sin α＝ ， cos α＝－ ，且α为第二象限角，所
以解得m＜－2或m＞ .因为 sin 2α＋ cos 2α＝
（ ）2＋（－ ）2＝ ＝1，整理得2m2－7m＋3＝
0，即（2m－1）（m－3）＝0，解得m＝ （舍去）或m＝3，所以
sin α＝ ＝ ， cos α＝－ ＝－ ，所以tan α＝ ＝ ×
（－ ）＝－ ，因此 ＝ ＝
－1＋ ＝－1－ ＝－ .
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15. （2024·沈阳第四十中学月考）如图，已知函数f（x）＝2 sin （ωx＋
φ）（ω＞0，｜φ｜＜ ）的图象与x轴的交点中，离y轴最近的是点
M，点N为y＝f（x）图象的一个最高点，若点M，N均在函数g
（x）＝－3x2＋x＋2的图象上，则φ＝ .

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解析：令g（x）＝0，得x1＝1，x2＝－ .∵离y轴最近的是点M，
∴M（－ ，0）.令g（x）＝2，得x'1＝0，x'2＝ .当N（0，2）时，
易得φ＝ （舍去），∴N（ ，2）.∵由题意及图象可知， ＝ －
（－ ）＝1，∴T＝4，ω＝ ，又∵f（x）＝2 sin （ωx＋φ）＝2 sin
［ω（x＋ ）］，∴函数f（x）的图象是由y＝2 sin ωx的图象向左
平移了 个单位长度得到的且｜φ｜＜ ，即 ＝－xM＝ ，∴φ＝ ω
＝ .
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16. 如图是古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆
构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边AB，直角边
BC，AC. 若BC＝2 ，AC＝2，E为半圆弧 的中点，F为半圆
弧 上的任一点，则 · 的最大值为（　　）
D. 4
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解析：　如图，分别以CB，CA所在直线为x轴、
y轴建立平面直角坐标系，则A（0，2），B
（2 ，0），O1（ ，0），O2（0，1），E
（ ，－ ），半圆弧 的方程为x2＋（y－1）
2＝1（x≤0）.设F（ cos θ，1＋ sin θ）， ≤θ≤ ，则 ＝（－ ，－ ）， ＝（ cos θ，－1＋ sin θ）.所以 · ＝－ cos
θ＋ － sin θ＝ － sin （θ＋ ）.因为 ≤θ≤ ，所以 ≤θ＋ ≤ ，当θ＝ 时， sin （θ＋ ）取得最小值－1，此时 · 取得最大值 ＋ .故选B.
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17. （多选）（2024·南京、盐城调研测试）已知函数f（x）＝a sin πx＋b
cos πx（b＞0）的图象关于点（ ，0）对称，若｜f（x1）－f
（x2）｜＝｜f（x3）－f（x4）｜＝｜f（x5）－f（x6）｜＝4b（0＜
x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6），则下列说法中正确的有（　　）
B. 函数f（x）的最大值为4b
C. ｜x1－x2｜的最小值为1
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解析：　对于选项A，∵f（x）的图象关于点（ ，0）对称，∴f（ ）＝0，即 a＋ b＝0，∴a＝－ b，故A正确；对于选项B，f（x）＝－ b sin πx＋b cos πx＝2b cos （πx＋ ），又∵b＞0，∴f（x）的最大值为2b，最小值为－2b，故B错误；对于选项C，由｜f（x1）－f（x2）｜＝4b，则可推断f（x1）与f（x2）一个是最大值，另一个是最小值，∴｜x1－x2｜的最小值为 ＝ ＝1（T为f（x）的最小正周期），故C正确；对于选项D，
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作出f（x）的大致图象，如图所示，令πx＋ ＝kπ，
k∈Z，∴f（x）图象的对称轴方程为x＝k－ ，k∈Z，
结合C中分析与｜f（x1）－f（x2）｜＝｜f（x3）－f
（x4）｜＝｜f（x5）－f（x6）｜＝4b得当 xi最小时，f（x1）＝f（x3）＝f（x5）＝－2b，f（x2）＝f（x4）＝f（x6）＝2b，∴对应的x1，x2，…，x6如图所示，即 xi的最小值为（1－ ）＋（2－ ）＋…＋
（6－ ）＝19，故D错误.
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