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(共69张PPT)
第2讲　小题研透
——三角恒等变换与解三角形
目录
CONTENTS
课时跟踪检测
锁定高考·明方向
研透高考·攻重点
有的放矢 事半功倍
重难攻坚 快速提升
01
锁定高考·明方向
有的放矢 事半功倍
一、考情分析
高频考点 高考预测
三角函数的化简与求值（正确应用和、差、
倍、半角公式先化简再求值） 继续以选择、填空题的形式
考查三角恒等变换求值，
正、余弦定理的基本应用，
注意与三角函数性质的交汇
问题，难度中等偏下
利用正、余弦定理解三角形（求边、角、面
积、周长） 解三角形的实际应用（计算距离、高度、 角度） 二、真题感悟
1. （2024·新高考Ⅰ卷4题）（两角和与差的余弦公式）已知 cos （α＋β）
＝m，tan αtan β＝2，则 cos （α－β）＝（　　）
A. －3m
D. 3m
√
解析：　因为 cos （α＋β）＝m，所以 cos α cos β－ sin α sin β
＝m，而tan αtan β＝2，即 ＝2，所以 sin α sin β＝2 cos α
cos β，故 cos α cos β－2 cos α cos β＝m，即 cos α cos β＝－m，
从而 cos （α－β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β＝3 cos α cos β＝－
3m.故选A.
2. （2024·全国甲卷理11题）（正、余弦定理的应用）在△ABC中，内角
A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B＝60°，b2＝ ac，则 sin
A＋ sin C＝（　　）
√
解析：　由正弦定理得 sin A sin C＝ sin 2B，因为B＝60°，所以 sin
A sin C＝ sin 2B＝ .由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac· cos B＝a2＋c2－
ac＝ ac，所以a2＋c2＝ ac，所以 sin 2A＋ sin 2C＝ sin A sin C，所
以（ sin A＋ sin C）2＝ sin 2A＋ sin 2C＋2 sin A sin C＝ sin A sin C＝
，又 sin A＞0， sin C＞0，所以 sin A＋ sin C＝ .
3. （2024·新高考Ⅱ卷13题）（两角和的正切公式及同角三角函数的基本关
系）已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α＋tan β＝4，tan
αtan β＝ ＋1，则 sin （α＋β）＝ 　－ 　.
－
解析：法一　由题意得tan（α＋β）＝ ＝ ＝－
2 ，因为α∈（2kπ，2kπ＋ ），β∈（2mπ＋π，2mπ＋ ），
k，m∈Z，则α＋β∈（（2m＋2k）π＋π，（2m＋2k）π＋2π），
k，m∈Z，又因为tan（α＋β）＝－2 ＜0，则α＋β∈（（2m＋
2k）π＋ ，（2m＋2k）π＋2π），k，m∈Z，则 sin （α＋β）＜
0，又 ＝－2 ，联立 sin 2（α＋β）＋ cos 2（α＋β）＝
1，解得 sin （α＋β）＝－ .
法二　由法一得tan（α＋β）＜0， sin （α＋β）＜0，故α＋β为第四
象限角.不妨在角α＋β的终边上选取一点P（1，－2 ），则r＝｜
OP｜＝ ＝3，所以 sin （α＋β）＝－ .
法三　易得tan（α＋β）＝ ＝ ＝－2 .又tan α＋tan β
＝ ＋ ＝ ＝4，所以 sin （α＋β）＝4 cos α cos
β.由α为第一象限角，β为第三象限角，得 cos α＞0， cos β＜0，所以
sin （α＋β）＝4 cos α cos β＜0.由tan（α＋β）＝－2 ，结合 sin 2
（α＋β）＋ cos 2（α＋β）＝1，得 sin （α＋β）＝－ .
4. （2021·全国乙卷理9题）（数学文化）魏晋时期刘徽撰写的《海岛算
经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高.如图，点
E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测
量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为
“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”，则海岛的高AB＝
（　　）
√
解析：　因为FG∥AB，所以 ＝ ，所以GC＝ ·CA. 因为
DE∥AB，所以 ＝ ，所以EH＝ ·AH. 又DE＝FG，所以GC－
EH＝ （CA－AH）＝ ×HC＝ ×（HG＋GC）＝ ×（EG
－EH＋GC）.由题设中信息可得，表目距的差为GC－EH，表高为
DE，表距为EG，则上式可化为，表目距的差＝ ×（表距＋表目
距的差），所以AB＝ ×（表距＋表目距的差）＝
＋表高，故选A.
1. 三角恒等变换常用结论
（1） sin 2α＝ ， cos 2α＝ ；
（2）1＋ cos 2α＝2 cos 2α，1－ cos 2α＝2 sin 2α；
（3）tan α±tan β＝tan（α±β）（1 tan αtan β）.
2. 常用拆角、拼角技巧
2α＝（α＋β）＋（α－β）；α＝（α＋β）－β＝（α－β）＋
β；β＝ － ＝（α＋2β）－（α＋β）；α－β＝（α－
γ）＋（γ－β）； ＋α＝ － 等.
3. 解三角形中常用的结论
（1）在△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B·tan C；
（2）在△ABC中，内角A，B，C成等差数列的充要条件是B＝60°；
（3）△ABC为正三角形的充要条件是A，B，C成等差数列，且a，
b，c成等比数列；
（4）S△ABC＝ （R为△ABC外接圆的半径）；
（5）S△ABC＝ （a＋b＋c）r（r为△ABC内切圆的半径）.
02
研透高考·攻重点
重难攻坚 快速提升
三角恒等变换
【例1】　（1）（2024·九省联考）已知θ∈（ ，π），tan 2θ＝－4tan
（θ＋ ），则 ＝（　A　）
C. 1
√
解析：因为θ∈（ ，π），所以tan θ∈（－1，0）.由tan
2θ＝－4tan（θ＋ ）得 ＝－4× ，化简整理得2tan2θ
＋5tan θ＋2＝0，解得tan θ＝－2（舍去）或tan θ＝－ ，所以
＝ ＝ ＝ ＝ .故选A.
（2）（2024·沈阳教学质量监测）已知 sin （ －θ）＋ cos （ －θ）＝
1，则 cos （2θ－ ）＝（　　）B
√
解析：由 sin （ －θ）＋ cos （ －θ）＝1，得 cos θ＋ cos cos θ
＋ sin sin θ＝1，即 cos θ＋ sin θ＝1，结合辅助角公式得 ×
（ cos θ＋ sin θ）＝1.即 cos cos θ＋ sin sin θ＝ ，即 cos （ －θ）＝ ，又 cos （2θ－ ）＝ cos ［2（θ－ ）］＝2 cos 2（θ－ ）－1， cos （θ－ ）＝ cos （ －θ）＝ ，所以 cos （2θ－ ）＝2×（ ）2－1＝－ .故选B.
三角恒等变换的“四大策略”
（1）常值代换：特别是“1”的代换，1＝ sin 2θ＋ cos 2θ＝tan 45°等；
（2）项的拆分与角的配凑：如 sin 2α＋2 cos 2α＝（ sin 2α＋ cos 2α）＋
cos 2α，α＝（α－β）＋β等；
（3）降幂与升幂：正用二倍角公式升幂，逆用二倍角公式降幂；
（4）弦、切互化：一般是切化弦.
1. 已知α为锐角，且 cos α（1＋ tan 10°）＝1，则α的值为（　　）
A. 20° B. 40°
C. 50° D. 70°
解析：　由 cos α（1＋ tan 10°）＝1可得 cos
α× ＝1，所以 cos α× ＝1，所以 cos α＝
＝ ＝ ＝ cos 40°，又α为锐角，所以α
＝40°，选B.
√
2. 已知a＝ （ sin 14°＋ sin 76°），b＝ ，c＝
，则a，b，c的大小关系为（　　）
A. a＜c＜b B. c＜a＜b
C. a＜b＜c D. b＜a＜c
√
解析：　a＝ （ sin 14°＋ cos 14°）＝ sin （14°＋45°）＝ sin
59°，b＝ ＝ ＝ sin 61°，c＝
＝ ＝
＝ sin 60°，由正弦函数y＝ sin x在（0°，90°）上单调递增知a＜c
＜b，故选A.
正、余弦定理解三角形
【例2】　（1）（2024·济南高三模拟考试）已知a，b，c分别为△ABC
三个内角A，B，C的对边，且a cos C＋ a sin C＝b，则A＝（　A　）
解析：由a cos C＋ a sin C＝b，得 sin A cos C＋ sin A sin C
＝ sin B＝ sin （A＋C）＝ sin A cos C＋ cos A sin C，即 sin A sin C
＝ cos A sin C，又知 sin C≠0，所以 sin A＝ cos A，即tan A＝ ，
又A∈（0，π），所以A＝ ，故选A.
√
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知A＝60°，
b＋c＝6，且△ABC的面积为2 ，则△ABC内切圆的半径为 　
.
解析：因为△ABC的面积为2 ，A＝60°，所以 bc sin A＝
2 ，解得bc＝8.又b＋c＝6，由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc
cos A＝（b＋c）2－3bc＝12，所以a＝2 ，所以△ABC的周长为
a＋b＋c＝2 ＋6.设△ABC内切圆的半径为r，则S△ABC＝ （a＋
b＋c）r＝ ×（2 ＋6）r＝2 ，解得r＝ －1.
－1
利用正、余弦定理解三角形的解题策略
（1）涉及边与角的余弦的积时，常用正弦定理将边化为角，涉及边的平
方时，一般用余弦定理；
（2）涉及边a，b，c的齐次式时，常用正弦定理转化为角的正弦值，再
利用三角公式进行变形；
（3）涉及正、余弦定理与三角形面积的综合问题，求三角形面积时用S＝
ab sin C形式的面积公式.
提醒　利用正弦定理求角时，易忽视条件出现增根致误.
1. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，a2＋bc＝b2＋c2，
a sin B＝2c sin A，则B＝（　　）
解析：　由a sin B＝2c sin A及正弦定理，得ab＝2ca，∴b＝2c.又
a2＋bc＝b2＋c2，∴a2＋2c2＝4c2＋c2，即a2＝3c2，∴a＝ c.∴ cos
B＝ ＝ ＝0.又B∈（0，π），∴B＝ .
√
2. （2024·嘉定第一中学期中）在钝角△ABC中，角A，B，C所对的边分
别为a，b，c，若a＝1，b＝2，则最大边c的取值范围是（　　）
解析：　∵△ABC是钝角三角形，a＝1，b＝2，且c是最大边，∴由
余弦定理得 cos C＝ ＜0，即5－c2＜0，解得c＞ .又c＜a
＋b＝3，∴边c的取值范围是（ ，3）.故选D.
√
解三角形的实际应用
【例3】　（2024·济南调研）山东省科技馆新馆（如图1）目前成为济南科
教新地标，其主体建筑采用与地形吻合的矩形设计，将数学符合“∞”完
美嵌入其中，寓意无限未知、无限发展、无限可能和科技无限.如图2，为
了测量科技馆最高点A与其附近一建筑物楼顶B之间的距离，无人机在点
C测得点A和点B的俯角分别为75°，30°，随后无人机沿水平方向飞行
600米到点D，此时测得点A和点B的俯角分别为45°和60°（A，B，
C，D在同一铅垂面内），则A，B两点之间的距离为 米.
100
解析：由题意，∠DCB＝30°，∠CDB＝60°，所以∠CBD＝90°，则
在Rt△CBD中，BD＝ CD＝300，BC＝ CD＝300 .因为∠DCA＝
75°，∠CDA＝45°，所以∠CAD＝60°.
法一　在△ACD中，由正弦定理 ＝ 得， ＝ ，
所以AC＝ × ＝200 .在△ABC中，∠ACB＝∠ACD－∠DCB＝
75°－30°＝45°，由余弦定理得，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC· cos
∠ACB＝（200 ）2＋（300 ）2－2×200 ×300 × ＝150
000，所以AB＝100 ，故A，B两点之间的距离为100 米.
法二　 cos 15°＝ sin 75°＝ sin （45°＋30°）＝ .在△ACD中，
由正弦定理 ＝ 得， ＝ ，所以AD＝
× ＝100（3 ＋ ）.在△ABD中，∠ADB＝∠CDB－∠CDA＝
60°－45°＝15°，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD· cos
∠ADB＝[100（3 ＋ ）]2＋3002－2×100（3 ＋ ）
×300× ＝150 000，所以AB＝100 ，故A，B两点之间的距离
为100 米.
解三角形实际应用问题的步骤
（1）分析：理解题意，明确已知与所求，画出示意图；
（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有
关的三角形中，建立解三角形问题的数学模型；
（3）求解：解三角形，求得数学模型的解；
（4）检验：检验所求出的解是否具有实际意义，从而得出实际问题的解.
　我国油纸伞的制作工艺巧妙.如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄AP
始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，且AB＝AC，从而保证伞
圈D能够沿着伞柄滑动.如图2，伞完全收拢时，伞圈D已滑到D'的位置，
且A，B，D'三点共线，AD'＝40 cm，B为AD'的中点，当伞从完全张开到
完全收拢，伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离为24 cm，则当伞完全张开时，
∠BAC的余弦值是（　　）
√
解析：　依题意分析可知，当伞完全张开时，AD＝40－24＝16
（cm），因为B为AD'的中点，所以AB＝AC＝ AD'＝20（cm），当伞完
全收拢时，AB＋BD＝AD'＝40（cm），所以BD＝20（cm），在△ABD
中， cos ∠BAD＝ ＝ ＝ ，所以 cos ∠BAC＝
cos 2∠BAD＝2 cos 2∠BAD－1＝2× －1＝－ .
03
课时跟踪检测
1. （2024·衡水武强中学期中）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为
a，b，c，且a＝ ，b＝ ，A＝30°，则c＝（　　）
解析：　在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A，则2＝
6＋c2－2 c× ，即c2－3 c＋4＝0，解得c＝ 或c＝2 .故
选C.
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2. （2024·甘肃高考诊断考试）已知 sin （α＋ ）－ sin α＝ ，则 sin
（2α－ ）＝（　　）
解析：　因为 sin （α＋ ）－ sin α＝ cos α－ sin α＝ cos （α
＋ ）＝ ，所以 sin （2α－ ）＝ sin ［2（α＋ ）－ ］＝－ cos
［2（α＋ ）］＝1－2 cos 2（α＋ ）＝－ .故选B.
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3. 为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距30 m的楼的楼顶C处测得塔顶
A的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，则塔AB的高度为（　　）
解析：　如图，依题得∠ACE＝30°，∠ECB＝45°，
DB＝30，所以CE＝30，BE＝30.由 ＝ ，得
AE＝10 ，所以AB＝BE＋AE＝（30＋10 ）m.
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4. （2024·西安五校联考）在平面直角坐标系xOy中，锐角θ的大小如图所
示，则 ＝（　　）
A. －2 B. 2
D. 3
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解析：　由题图及正切函数的定义可知，tan（θ＋ ）＝ ＝5，即
＝5，解得tan θ＝ .所以 ＝ ＝
＝ ＝2，故选B.
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5. （2024·南宁第一次适应性测试）已知0＜α＜ ＜β＜π， cos β＝－
， sin （α＋β）＝ ，则tan α＝ 　 　.
解析：由题意知 sin β＝ ，∵0＜α＜ ＜β＜π，∴ ＜α＋β＜
，又 sin （α＋β）＝ ，∴ cos （α＋β）＝－ ，∴ sin α＝ sin
[（α＋β）－β]＝ sin （α＋β） cos β－ cos （α＋β） sin β＝
×（－ ）＋ × ＝ ，∴ cos α＝ ，∴tan α＝ ＝ .

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6. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2 ，b
＝2c， cos A＝－ ，则S△ABC＝ 　 　.
解析：因为a＝2 ，b＝2c， cos A＝ ＝－ ，所以
＝－ ，解得c＝2，b＝4.因为A∈（0，π），所以 sin A＝
，所以S△ABC＝ bc sin A＝ ×2×4× ＝ .

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7. （2024·广雅中学教学检测）已知α，β∈（0， ），2tan α＝
，则tan（2α＋β＋ ）＝（　　）
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解析：　2tan α＝ 2 ＝ ＝ sin α＋
sin α sin β＝ cos α cos β sin α＝ cos α cos β－ sin α sin β＝ cos
（α＋β），因为α，β∈（0， ），所以α＋α＋β＝ ，所以tan
（2α＋β＋ ）＝tan ＝－ ，故选B.
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8. 已知函数f（x）＝ sin x－2 cos x，设当x＝θ时，f（x）取得最大值，
则 cos θ＝（　　）
解析：　f（x）＝ sin x－2 cos x＝ sin （x－φ），其中 cos φ＝
， sin φ＝ ，则f（θ）＝ sin （θ－φ）＝ ，因此θ－φ＝
＋2kπ，k∈Z，则 cos θ＝ cos （ φ＋ ＋2kπ）＝－ sin φ＝－ .
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9. 在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边， ＝ sin 2 ，则
△ABC的形状为（　　）
A. 直角三角形
B. 等边三角形
C. 等腰三角形或直角三角形
D. 等腰直角三角形
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解析：　由 cos B＝1－2 sin 2 ，得 sin 2 ＝ ，所以 ＝
，即 cos B＝ .由余弦定理得 ＝ ，即a2＋c2－b2＝
2a2，所以a2＋b2＝c2.所以△ABC为直角三角形，但无法判断两直角边
是否相等.
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10. 已知tan α＝ ，tan β＝－ ，且α，β∈（0，π），则2α－β＝
（　　）
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解析：　因为tan α＝ ，tan β＝－ ，则tan 2α＝ ＝
＝ ，tan（2α－β）＝ ＝ ＝1.因为
α，β∈（0，π），tan α＞0，tan β＜0，则0＜α＜ ， ＜β＜π.
又tan 2α＞0，有0＜2α＜ ，于是得－π＜2α－β＜0.因此，2α－
β＝－ .
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11. （多选）（2024·青岛第一中学模块考试）在△ABC中，以下各条件分
别能得出△ABC为等边三角形的是（　　）
A. 已知a＋b＝2c且A＋B＝2C
C. 已知a＋b＝2c且a2＋b2＝2c2
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解析： 　对于A，因为A＋B＝2C，所以C＝ ，由余弦定理得，
c2＝a2＋b2－2ab cos C＝a2＋b2－ab，又a＋b＝2c，所以（ ）2
＝a2＋b2－ab，所以3（a－b）2＝0，所以a＝b，所以A＝B＝C＝
，所以△ABC为等边三角形；对于B，因为 sin A＝ ，0＜A＜π，所
以A＝ 或A＝ ，当A＝ 时，b＝c，所以A＝B＝C＝ ，所以
△ABC为等边三角形；当A＝ 时，b＝c，所以△ABC为等腰三角形
但不是等边三角形；
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对于C，因为a＋b＝2c且a2＋b2＝2c2，所以a2＋b2＝ （a＋b）2，所以
（a－b）2＝0，所以a＝b，又a＋b＝2c，所以a＝b＝c，所以△ABC
为等边三角形；对于D，因为 ＝ ，所以 ＝ ，即 sin A cos A＝
sin B cos B，所以 sin 2A＝ sin 2B，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，所以A＝
B或A＋B＝ ，当A＝B时，A＝ ，所以A＝B＝C＝ ，所以△ABC为
等边三角形；当A＋B＝ 时，A＝ ，所以B＝ ，C＝ ，所以△ABC
为直角三角形，故选A、C.
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12. （多选）已知 cos （α＋β）＝－ ， cos 2α＝－ ，其中α，β为
锐角，则下列各式正确的是（　　）
√
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解析：　因为0＜α＜ ，所以0＜2α＜π，又 cos 2α＝－ ，所以
sin 2α＝ ＝ ，故A正确；因为0＜α＜ ，0＜β＜ ，所
以0＜α＋β＜π，又 cos （α＋β）＝－ ，所以 sin （α＋β）＝
＝ ，所以 cos （α－β）＝ cos [2α－（α＋
β）]＝ cos 2α cos （α＋β）＋ sin 2α· sin （α＋β）＝（ － ）×
（ － ）＋ × ＝ ，故B正确；
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cos （α－β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β＝ 　①， cos （α＋β）
＝ cos α cos β－ sin α sin β＝－ 　②，①＋②得，2 cos α cos β＝
，所以 cos α cos β＝ ，故C不正确；①－②得，2 sin α sin β＝ ，
所以 sin α sin β＝ ，所以tan αtan β＝ ＝ ＝3，故D不正确.
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13. （2024·东北三校联合模拟考试）在△ABC中，BC＝2 ，S△ABC＝
· ，则△ABC外接圆的半径为 .
解析：因为S△ABC＝ · ，所以 ×AB×AC× sin A＝ ×｜
｜×｜ ｜× cos A，又AB＝｜ ｜，AC＝｜ ｜，所以 sin
A＝ cos A，又 sin 2A＋ cos 2A＝1，所以 sin 2A＝ ，因为A∈（0，
π），所以 sin A＞0，则 sin A＝ ，记△ABC的外接圆半径为R，则由
正弦定理得2R＝ ＝ ＝6，所以R＝3.
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14. （2024·广州综合测试）已知α，β是函数f（x）＝3 sin （2x＋ ）
－2在（0， ）上的两个零点，则 cos （α－β）＝ 　 　.
解析：因为α，β是函数f（x）在（0， ）上的两个零点，所以 sin
（2α＋ ）＝ ， sin （2β＋ ）＝ ，且2α＋ ∈（ ， ），2β
＋ ∈（ ， ），所以2α＋ ＋2β＋ ＝π，所以α＋β＝ ，所以
cos （α－β）＝ cos ［α－（ －α）］＝ cos （2α－ ）＝ cos
［（2α＋ ）－ ］＝ sin （2α＋ ）＝ .

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15. （2024·郑州第二次质量预测）在△ABC中，内角A，B，C的对边分
别为a，b，c，已知a＝ ，b＝4，c· cos B＋a＝0，则c
＝ 　 　；点D在线段AB上，且∠CDA＝ ，则CD＝ 　 　.


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解析：由c· cos B＋a＝0，得c· ＋a＝0，化简得3a2＋c2－b2
＝0.又因为a＝ ，b＝4，所以c＝ ， cos A＝ ＝
＝ ，因为A∈（0，π），所以 sin A＝ ＝ .
因为点D在线段AB上，且∠CDA＝ ，所以 sin ∠CDA＝ .在
△ACD中，由正弦定理得， ＝ ，即 ＝ ，则CD＝ .
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16. 早期天文学家常采用“三角法”测量行星的轨道半径.假设一种理想状
态：地球E和某小行星M绕太阳S在同一平面上的运动轨道均为圆，
三个星体的位置如图所示.地球在E0位置时，测出∠SE0M＝ ；行星
M绕太阳运动一周回到原来位置，地球运动到了E1位置，测出∠SE1M
＝ ，∠E1SE0＝ .若地球的轨道半径为R，则下列选项中与行星M
的轨道半径最接近的是（参考数据： ≈1.7）（　　）
A. 2.1R B. 2.2R
C. 2.3R D. 2.4R
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解析：　如图，连接E0E1，在△SE0E1中，SE0＝SE1
＝R，∠E1SE0＝ ，则△SE0E1是正三角形，E0E1＝
R. 由∠SE0M＝ ，∠SE1M＝ ，得∠E1E0M＝
，∠E0E1M＝ ，在△ME0E1中，∠E0ME1＝ ，由
正弦定理得 ＝ ，则E1M＝ ＝ R，在
△SME1中，由余弦定理得SM＝
＝
≈ R，与2.1R最接近.故选A.
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17. （多选）（2024·重庆第一中学月考）已知点D是△ABC的边BC上的
点，且AB＝6，AC＝8，∠BAC≥ ，以下结论正确的有（　　）
A. △ABD外接圆面积的最小值为36π
√
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解析：　对于A，根据正弦定理可得△ABD外接圆的半径r＝
≥3，所以△ABD外接圆面积的最小值为9π，A错误；对于B，
因为 ＝ （ ＋ ）， · ＝｜ ｜｜ ｜· cos ∠BAC＝
－24，所以｜ ｜＝ ＝
· ＝ ，B正确；
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对于C，因为AB＝6，AC＝8，∠BAC＝ ，所以BC＝10.由角平分线定
理可得AB∶AC＝BD∶CD，所以CD＝ ，所以S△ACD＝ ·CD·CA· sin
∠BCA＝ × ×8× ＝ ，C正确；对于D，设∠BAD＝α，∠CAD＝
β.在△ADC中，由正弦定理得 ＝ .因为α＋C＝ ，所以 sin C＝
sin （ －α）＝ cos α，即 ＝ .在△ABC中，α＋β＋B＋C＝π，
所以β＋B＝ .同理，在△ABD中有 ＝ .
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因为D是BC的中点，所以BD＝CD，则 ＝ ＝ ，所以 sin 2α＝
sin 2β，故α＋β＝ 或α＝β.当α＝β时，α＋B＝ ，则AD⊥BC，
此时△ABC是等腰三角形.而AB≠AC，矛盾，所以α≠β，所以∠BAC
＝ ，D正确.故选B、C、D.
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