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(共77张PPT)
第2讲　小题研透
——圆锥曲线的方程与性质
目录
CONTENTS
课时跟踪检测
锁定高考·明方向
研透高考·攻重点
有的放矢 事半功倍
重难攻坚 快速提升
01
锁定高考·明方向
有的放矢 事半功倍
一、考情分析
高频考点 高考预测
椭圆、双曲线、抛物线的标准方程
（曲线的定义、求曲线方程、参数） 高考对这部分知识的考查侧重三个
方面：一是求圆锥曲线的标准方
程；二是求椭圆的离心率、双曲线
的离心率以及渐近线问题；三是抛
物线的性质及应用问题.注意数形
结合、转化与化归思想的应用
椭圆、双曲线、抛物线的几何性质
（离心率、双曲线的渐近线等） 二、真题感悟
1. （2024·新高考Ⅱ卷5题）（椭圆的标准方程）已知曲线C：x2＋y2＝16
（y＞0），从C上任意一点P向x轴作垂线段PP'，P'为垂足，则线段
PP'的中点M的轨迹方程为（　　）
√
解析： 　设点M（x，y），则P（x，y0），P'（x，0），因为M
为PP'的中点，所以y0＝2y，即P（x，2y），又P在圆x2＋y2＝16（y
＞0）上，所以x2＋4y2＝16（y＞0），即 ＋ ＝1（y＞0），即点M
的轨迹方程为 ＋ ＝1（y＞0）.故选A.
2. （2023·新高考Ⅰ卷5题）（椭圆的标准方程及性质）设椭圆C1： ＋y2
＝1（a＞1），C2： ＋y2＝1的离心率分别为e1，e2，若e2＝ e1，
则a＝（　　）
解析： 　法一　由题意知e1＝ ，e2＝ ＝ ，因为e2＝
e1，所以 ＝ × ，得a＝ .故选A.
√
法二　代入验证，若a＝ ，则e1＝ ＝ ＝ ，又e2＝
，所以e2＝ e1，所以a＝ 符合题意，由于是单选题，故选A.
3. （多选）（2023·新高考Ⅱ卷10题）（抛物线的定义及几何性质）设O为
坐标原点，直线y＝－ （x－1）过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的
焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（　　）
A. p＝2
C. 以MN为直径的圆与l相切
D. △OMN为等腰三角形
√
√
解析： 　由于y2＝2px的焦点为（ ，0），直线y＝－ （x－1）
过焦点，所以－ （ －1）＝0，解得p＝2，A正确；联立
消去y得3x2－10x＋3＝0，设M（x1，y1），N
（x2，y2），则x1＋x2＝ ，所以｜MN｜＝x1＋x2＋p＝ ，B不正
确；以MN为直径的圆的圆心的横坐标为 ＝ ，圆心到准线l的距
离d＝ ＋1＝ ＝ ｜MN｜，故以MN为直径的圆与l相切，C正确；
不妨令点M在第一象限，由3x2－10x＋3＝0得x1＝ ，x2＝3，所以y1＝
，y2＝－2 ，所以｜ON｜＝ ＝ ，｜OM｜
＝ ＝ ，又｜MN｜＝ ，所以△OMN不是等腰
三角形，D不正确.故选A、C.
4. （2024·新高考Ⅰ卷12题）（双曲线的标准方程及性质）设双曲线C：
－ ＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y
轴的直线交C于A，B两点，若｜F1A｜＝13，｜AB｜＝10，则C的离
心率为 .
解析：法一　如图，由题意得｜AB｜＝10，｜AF2｜＝
5，又AB∥y轴，故∠AF2F1＝90°，由｜AF1｜＝13，
得｜F1F2｜＝12，故c＝6，由双曲线的定义知，｜
AF1｜－｜AF2｜＝2a，得2a＝8，a＝4，故e＝ ＝ .

法二　由题可知A，B，F2三点横坐标相等，设A在第一象限，将x＝c代
入 － ＝1，得y＝± ，即A（c， ），B（c，－ ），故｜
AB｜＝ ＝10，｜AF2｜＝ ＝5，又｜AF1｜－｜AF2｜＝2a，得｜
AF1｜＝｜AF2｜＋2a＝2a＋5＝13，解得a＝4，代入 ＝5得b2＝20，故
c2＝a2＋b2＝36，即c＝6，所以e＝ ＝ ＝ .
1. 圆锥曲线的定义
（1）椭圆：｜MF1｜＋｜MF2｜＝2a（2a＞｜F1F2｜）；
（2）双曲线：｜｜MF1｜－｜MF2｜｜＝2a（0＜2a＜｜F1F2｜）；
（3）抛物线：｜MF｜＝d（d为M点到准线的距离）.
2. 圆锥曲线中的重要性质
（1）椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系
①在椭圆中：a2＝b2＋c2，离心率为e＝ ＝ ；
②在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为e＝ ＝ .
（2）双曲线的渐近线方程与焦点坐标
①双曲线 － ＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝± x，
焦点坐标为F1（－c，0），F2（c，0）；
②双曲线 － ＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝± x，
焦点坐标为F1（0，－c），F2（0，c）.
（3）抛物线的焦点坐标与准线方程
①抛物线y2＝±2px（p＞0）的焦点坐标为（± ，0），准线方
程为x＝ ；
②抛物线x2＝±2py（p＞0）的焦点坐标为（0，± ），准线方
程为y＝ .
易错提醒　（1）易混淆椭圆的标准方程与双曲线的标准方程中a，b，c三者之间的关系，导致计算错误；（2）已知双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率时，易忽视讨论焦点所在坐标轴导致漏解.
02
研透高考·攻重点
重难攻坚 快速提升
圆锥曲线的定义及标准方程
【例1】　（1）已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M在C上.若M到
直线x＝－3的距离为5，则｜MF｜＝（　D　）
A. 7 B. 6
C. 5 D. 4
√
解析：因为抛物线C：y2＝8x的焦点为F（2，0），准线方程
为x＝－2，点M在C上，所以点M到准线x＝－2的距离为｜
MF｜，又M到直线x＝－3的距离为5，即｜MF｜＋1＝5，故｜
MF｜＝4.故选D.
（2）（2024·天津高考8题）已知双曲线 － ＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线右支上一点，且直线PF2的斜率为2，△PF1F2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（　C　）
√
解析：由题意可知，∠F1PF2＝90°，又直线PF2的斜率为2，可得
tan∠PF2F1＝ ＝2，根据双曲线定义｜PF1｜－｜PF2｜＝
2a，得｜PF1｜＝4a，｜PF2｜＝2a， ＝ ｜PF1｜｜
PF2｜＝ ×4a×2a＝4a2，又 ＝8，所以a2＝2，所以｜
F1F2｜2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝（4a）2＋（2a）2＝20a2＝40.
又｜F1F2｜2＝4c2，所以c2＝10，又a2＋b2＝c2，所以b2＝8，所以
双曲线的方程为 － ＝1，故选C.
求圆锥曲线标准方程的步骤
（1）设方程：确定圆锥曲线的焦点位置，设出标准方程；
（2）求方程：利用待定系数法求出方程中的系数.特别地，当焦点位置无
法确定时，抛物线方程常设为y2＝2ax或x2＝2ay（a≠0），椭圆方
程常设为mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，且m≠n），双曲线方程常
设为mx2－ny2＝1（mn＞0）.
提醒　（1）双曲线的定义中注意“绝对值”；（2）确定圆锥曲线
方程时需注意焦点位置.
1. （2024·江南十校联考信息卷）与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且满足
短半轴长为2 的椭圆方程是（　　）
解析：　椭圆9x2＋4y2＝36化成标准方程为 ＋ ＝1，焦点在y轴
上，设所求椭圆方程为 ＋ ＝1（a＞b＞0），依题意有
所以a2＝25，b2＝20，所求椭圆方程为 ＋
＝1.故选B.
√
2. （2024·浙江9＋1联盟联考）应用抛物线和双曲线的光学性质，可以设
计制造反射式天文望远镜，这种望远镜的特点是，镜筒可以很短而观察
天体运动又很清楚.某天文仪器厂设计制造的一种反射式望远镜，其光
学系统的原理如图（中心截口示意图）所示.其中，一个反射镜PO1Q
弧所在的曲线为抛物线，另一个反射镜MO2N弧所在的曲线为双曲线一
个分支.已知F1，F2是双曲线的两个焦点，其中F2同时又
是抛物线的焦点，且∠NF2F1＝45°，tan∠NF1F2＝ ，
△NF1F2的面积为10，｜O1F2｜＝8，则抛物线方程为 .
y2＝32（x＋3）
解析：设F1（－c，0），F2（c，0），N（x0，y0）（x0＞0，y0＞
0）.由tan∠NF1F2＝ ，∠NF2F1＝45°，有解得x0＝
c，y0＝ c，由 ＝ ｜F1F2｜y0＝ c2＝10，解得c＝5，则由｜
O1F2｜＝8，得O1（－3，0），故抛物线方程为y2＝32（x＋3）.
椭圆、双曲线的几何性质
【例2】　（1）（2024·聊城二模）已知双曲线C： － ＝1（a＞0，b
＞0）的右焦点为F，一条渐近线的方程为y＝2x，若直线y＝kx与C在第
一象限内的交点为P，且PF⊥x轴，则k＝（　C　）
√
解析：因为双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞
0）的渐近线方程为y＝± x，依题意有 ＝2，即b＝
2a c＝ a，又右焦点为F（c，0），且PF⊥x
轴，所以P（c， ），所以k＝kOP＝ ＝ ＝
＝ ，故选C.
（2）（多选）（2024·长沙新高考适应性考试）某彗星的运行轨道是以太
阳为一个焦点的椭圆.测得轨道的近日点（距离太阳最近的点）与太
阳中心的距离为d1，远日点（距离太阳最远的点）与太阳中心的距
离为d2，并且近日点、远日点及太阳中心在同一条直线上，则
（　BC　）
A. 轨道的焦距为d2＋d1
√
√
解析：设该椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，由题意
可知a－c＝d1，a＋c＝d2，所以a＝ ，c＝ ，b2＝a2－
c2＝d1d2，即b＝ ，椭圆的焦距为d2－d1，离心率e＝ ＝
，短轴长为2b＝2 ，所以A错误，B、C正确；因为e＝
＝ ＝ ＝ ＝－1＋ ，所以当 越大时，椭
圆的离心率e越小，即椭圆越圆，所以D错误.综上，选B、C.
1. 椭圆、双曲线的离心率（范围）的求法
求椭圆、双曲线的离心率（范围），关键是根据已知条件确定a，b，
c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求 的值.
2. 双曲线的渐近线的求法及用法
（1）求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得；
（2）用法：①可得 或 的值；②利用渐近线方程设所求双曲线的
方程.
1. （2024·菏泽三模）已知F（c，0）为双曲线C： － ＝1（a＞0，b
＞0）的右焦点，直线x＝c与C的两条渐近线分别交于A，B两点，O
为坐标原点，△OAB是面积为4的直角三角形，则C的方程为（　　）
A. x2－y2＝1
√
解析：　由△OAB为直角三角形，及双曲线的对称性知OA⊥OB，
且｜OA｜＝｜OB｜，则C的渐近线方程为y＝±x，即a＝b，由
△OAB的面积为4，得 ×2c×c＝4，解得c＝2，又a2＋b2＝c2＝4，
因此a＝b＝ ，所以C的方程为 － ＝1.故选B.
2. （2024·广州综合测试）设B，F2分别是椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞
0）的右顶点和上焦点，点P在C上，且 ＝2 ，则C的离心率为
（　　）
√
解析：　由题意，得B（b，0），F2（0，c），则 ＝（－b，
c）.设P（x，y），则 ＝（x，y－c）.由 ＝2 ，得
所以因为点P在椭圆C上，所以 ＋ ＝
1，所以 ＝ ，所以e＝ ＝ ，故选A.
抛物线的几何性质
【例3】　（2024·菏泽三模）已知抛物线C：y2＝8x，点P在C的准线
上，过C的焦点F的直线与C相交于A，B两点，则｜AB｜的最小值
为 ，若△ABP为等边三角形，则｜AB｜＝ .
8
24
解析：由已知得F（2，0），准线方程为x＝－2，设直线AB的方程为x＝
my＋2，A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB的中点M（x0，y0），如图1
所示，联立消去x并整理得y2－8my－16＝0，则y1＋y2＝
8m，y1y2＝－16，所以x1＋x2＝m（y1＋y2）＋4＝8m2＋4，所以x0＝
＝4m2＋2，y0＝ ＝4m，即M（4m2＋2，4m），
所以｜AB｜＝x1＋x2＋4＝8m2＋8.故当m＝0时，
｜AB｜min＝8.若△ABP为等边三角形，则m≠0，
如图2所示，则设直线PM的方程为y－4m＝－m（x－4m2－2），即y＝－mx＋4m3＋6m，所以点P（－2，4m3＋8m），又｜PM｜＝ ｜AB｜，所以（4m2＋4）2＋（4m＋4m3）2＝ （8m2＋8）2，解得m2＝2，所以｜AB｜
＝8m2＋8＝24.
　　利用抛物线的几何性质解题时，要注意利用定义构造与焦半径相关的
几何图形（如三角形、直角梯形等）来沟通已知量与p的关系，灵活运用
抛物线的焦点弦的特殊结论，使问题简单化且减少数学运算.
1. 已知直线x＋2y＋2＝0与抛物线C：y2＝ax相切，则C的焦点坐标为
（　　）
B. （－1，0）
D. （1，0）
解析：　依题意，联立消去x，得y2＋2ay＋2a＝
0，则Δ＝4a2－8a＝0，由a≠0，所以a＝2，故抛物线C的方程为y2＝
2x，则其焦点坐标为（ ，0）.故选C.
√
2. 抛物线C：y2＝2px（p＞0）在其上一点处的切线方程为y－x－1＝
0，点A，B为C上两动点，且｜AB｜＝6，则AB的中点M到y轴距离
的取值范围为（　　）
A. [2，＋∞）
C. [3，＋∞）
√
解析：　依题意，因切线斜率为1，故切点必在第一
象限，设切点为（ ，y0），由y＝ 求导可得y'
＝ ，依题， ＝1，化简得y0＝p，故切点为
（ ，p），代入y－x－1＝0中，解得p＝2，故C：y2＝4x.如图，设点A（x1，y1），B（x2，y2），则M（ ， ），点M到y轴的距离为d＝ ＝ －1＝ －1≥
－1＝2，当且仅当线段AB经过点F时，等号成立.故AB的中点M到y轴距离的取值范围为[2，＋∞）.故选A.
03
课时跟踪检测
1. （2024·蚌埠第三次质量检测）已知曲线C： ＋ ＝1（m≠0），则
“m∈（0，4）”是“曲线C的焦点在x轴上”的（　　）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
√
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解析： 　若m∈（0，4），则曲线C： ＋ ＝1表示焦点在x轴上的
椭圆，故充分性成立；若曲线C的焦点在x轴上，也有可能是m＜0，此
时曲线C表示焦点在x轴上的双曲线，故必要性不成立，故选A.
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2. 已知椭圆E： ＋ ＝1的两焦点分别为F1，F2，A是椭圆E上一点，
当△F1AF2的面积取得最大值时，∠F1AF2＝（　　）
√
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解析：　由题意得b＝ ，c＝ ＝1，所以｜F1F2｜＝2c＝2，
所以 ＝ ×2×｜yA｜＝｜yA｜，则当｜yA｜最大时，△F1AF2
面积最大，此时点A为椭圆的上顶点或下顶点，则tan∠F1AO＝ ＝
，因为∠F1AO∈（0， ），
所以∠F1AO＝ ，所以∠F1AF2＝ .
故选C.
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3. 已知直线l：x－ y－6＝0经过双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞
0）的焦点，且与双曲线C的一条渐近线平行，则C的实轴长为
（　　）
解析：　由题意知直线l过点（6，0），则c＝6.∵直线l与双曲线C
的一条渐近线平行，∴ ＝ ，∴b＝ ，∴c2＝a2＋b2＝ ＝36，
得a＝2 ，∴C的实轴长为4 .
√
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4. （多选）如图所示，一个底面半径为 的圆柱被与其底面成45°角的
平面所截，截面是一个椭圆，则下列说法正确的是（　　）
A. 椭圆的长轴长为4
√
√
√
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解析：　圆柱的底面半径是 ，直径是2 ，所以椭圆的长轴长
2a＝ ＝4，a＝2，A正确；短轴长2b＝2 ，b＝ ，则c＝
＝ ，离心率e＝ ＝ ，B错误；建立适当的坐标系，椭圆
的方程可以为 ＋ ＝1，C正确；椭圆上的点到焦点的距离的最小值
是a－c＝2－ ，D正确.故选A、C、D.
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5. （2024·北京高考13题）若直线y＝k（x－3）与双曲线 －y2＝1只有
一个公共点，则k的一个取值为 .
解析：由题意，知该双曲线的渐近线方程为y＝± x，直线y＝k（x－
3）过定点（3，0）.因为点（3，0）在双曲线内，所以要使过该点的直
线与双曲线只有一个公共点，则该直线与双曲线的渐近线平行，所以k
＝± .
（答案不唯一）
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6. （2024·湖北十一校联考）已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，过抛物
线C上一点M作其准线的垂线，垂足为N，若∠NFM＝ ，则点M的
横坐标为 .
解析：如图，由抛物线的定义知，｜MN｜＝｜MF｜，
所以∠MNF＝∠MFN＝∠NFO＝ ，△MFN为正三角
形.因为2p＝8，所以p＝4，所以｜NF｜＝ ＝2p＝
8，所以｜MF｜＝｜NF｜＝8，又｜MF｜＝xM＋ ＝xM
＋2，所以xM＝6.
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7. （2024·安庆二模）设F是椭圆C： ＋ ＝1的一个焦点，过椭圆C中
心的直线交椭圆于P，Q两点，则△PQF的周长的最小值为（　　）
A. 12 B. 14
C. 16 D. 18
√
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解析：　由椭圆的对称性可知P，Q两点关于原点对称，设椭圆的另
一个焦点为F1，则四边形PFQF1为平行四边形，由椭圆定义可知｜
PF｜＋｜PF1｜＋｜QF｜＋｜QF1｜＝4a＝20，又｜PF｜＝｜
QF1｜，｜PF1｜＝｜QF｜，所以｜PF｜＋｜QF｜＝10，又PQ过原
点，所以｜PQ｜min＝2b＝6，所以△PQF的周长的最小值为10＋6＝
16.故选C.
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8. （2024·济洛平许第三次质量检测）过抛物线y2＝4x的焦点F作斜率为k
的直线与抛物线交于A，B两点，点M的坐标为（－1，1），若
· ＝0，则k＝（　　）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
√
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解析：　由题知抛物线y2＝4x的焦点F（1，0），则直线方程为y＝k
（x－1），联立消去x得ky2－4y－4k＝0，设A（x1，
y1），B（x2，y2），则y1＋y2＝ ，y1y2＝－4，则x1＋x2＝ ＋2
＝ ，x1x2＝ ＝1，又因为 · ＝0，所以（x1＋1，y1－
1）·（x2＋1，y2－1）＝x1x2＋x1＋x2＋1＋y1y2－（y1＋y2）＋1＝0，
所以1＋ ＋1－4－ ＋1＝0，解得k＝2，故选B.
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9. （2024·苏州3月适应性考试）在平面直角坐标系xOy中，设直线l：x＋
y＋1＝0与双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线都相交
且交点都在y轴左侧，则双曲线C的离心率e的取值范围是（　　）
√
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解析：　因为双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线方
程为y＝± x，又l：x＋y＋1＝0与双曲线的两条渐近线都相交且交点
都在y轴左侧，由图知，－ ＞－1，即 ＜1，所以离心率e＝ ＝
＝ ＜ ＝ ，又e＞1，
所以1＜e＜ ，故选B.
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10. 抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，直线l过点F且与抛物线交于点
M，N（点N在x轴上方），点E为x轴上F右侧的一点，如图所示，
若｜NF｜＝｜EF｜＝3｜MF｜，S△MNE＝12 ，
则p＝（　　）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 9
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解析：　设N（x1，y1），M（x2，y2），F（ ，0），由
＝3，得又 则 －9
＝2p（x1－9x2），即（y1＋3y2）（y1－3y2）＝2p（x1－9x2），所
以x1－9x2＝0.由 则N（ p， p），M
（ p，－ p），所以kMN＝ ，即∠NFE＝60°，又｜NF｜＝｜
FE｜＝2p，所以S△NFE＝ ×2p×2p× ＝ p2，又S△MNE＝
S△NFE，所以 × p2＝12 p＝3.
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11. （多选）（2024·新高考Ⅱ卷10题）抛物线C：y2＝4x的准线为l，P为
C上动点.过P作☉A：x2＋（y－4）2＝1的一条切线，Q为切点.过P
作l的垂线，垂足为B. 则（　　）
A. l与☉A相切
C. 当｜PB｜＝2时，PA⊥AB
D. 满足｜PA｜＝｜PB｜的点P有且仅有2个
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解析：　对于A，易知l：x＝－1，故l与☉A相切，
A正确；对于B，A（0，4），☉A的半径r＝1，当P，
A，B三点共线时，P（4，4），所以｜PA｜＝4，｜
PQ｜＝ ＝ ＝ ，故B正确；
对于C，当｜PB｜＝2时，P（1，2），B（－1，2）或
P（1，－2），B（－1，－2），易知PA与AB不垂直，
故C错误；对于D，法一（直接法）　
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设P（ ，t），由PB⊥l可得B（－1，t），又A（0，
4），｜PA｜＝｜PB｜，根据两点间的距离公式，
＝ ＋1，整理得t2－16t＋30＝0，Δ＝162
－4×30＝136＞0，则关于t的方程有两个解，即存在两个这
样的P点，D选项正确.故选A、B、D.
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法二（利用抛物线定义转化）　根据抛物线的定义，｜PB｜＝｜
PF｜，这里F（1，0），于是｜PA｜＝｜PB｜时P点的存在性问题
转化成｜PA｜＝｜PF｜时P点的存在性问题，A（0，4），F（1，
0），AF中点（ ，2），AF中垂线的斜率为－ ＝ ，于是AF的中
垂线方程为：y＝ x＋ ，与抛物线y2＝4x联立可得y2－16y＋30＝
0，Δ＝162－4×30＝136＞0，即AF的中垂线和抛物线有两个交点，即
存在两个P点，使得｜PA｜＝｜PF｜，D选项正确.
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12. （多选）（2024·合肥第一次质量检测）已知椭圆C： ＋ ＝1的
左、右顶点分别为A，B，左焦点为F，M为C上异于A，B的一点，
过点M且垂直于x轴的直线与C的另一个交点为N，交x轴于点T，则
（　　）
A. 存在点M，使∠AMB＝120°
D. △FMN周长的最大值为8
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解析：　对于A，设椭圆的上顶点为E，则在Rt△BOE中，
tan∠OEB＝ ＝ ＝ ＜ ，则∠AEB＜120°，故A错误；对于
B，设M（m，n），则T（m，0），N（m，－n），且 ＋ ＝
1，即4－m2＝2n2，又A（－2，0），B（2，0），则 · ＝（－2
－m，0）·（2－m，0）＝－（2＋m）（2－m）＝－（4－m2）＝－
2n2，又2 · ＝－2n2，故 · ＝2 · ，则B正确；对于
C，F（－ ，0）， · ＝（m＋ ，n）·（m＋ ，－n）
＝（m＋ ）2－n2＝（m＋ ）2－ ＝ ＋2 m，－2＜m
＜2，则当m＝－ 时， · 取最小值－ ，故C正确；
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对于D，设椭圆的右焦点为F'，△FMN的周长为：｜MF｜＋｜NF｜
＋｜MN｜＝4－｜MF'｜＋4－｜NF'｜＋｜MN｜＝8－（｜MF'｜
＋｜MF'｜－｜MN｜）≤8，当且仅当M，N，F'三点共线时，等号
成立，故D正确，故选B、C、D.
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13. （2024·阜阳一模）抛物线C1：y2＝2px（p＞0）绕其顶点逆时针旋转
θ（0＜θ＜ ）之后，得到抛物线C2，其准线方程为 x＋y＋4＝
0，则抛物线C1的焦点坐标为 .
（2，0）
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解析：由抛物线C1：y2＝2px（p＞0）绕其顶点逆时针旋转θ（0＜θ
＜ ）之后，得到抛物线C2，易知C1的焦点到其准线的距离d1与C2的
焦点到其准线的距离d2相等.由抛物线C2的顶点到其准线的距离与到其
焦点的距离相等，又抛物线C2的顶点到其准线的距离为 ＝
2，则d1＝d2＝2×2＝4，即p＝4，所以抛物线C1的焦点坐标为（2，0）.
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14. 已知椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0），其左、右焦点分别为F1，
F2，其离心率为e＝ ，点P为该椭圆上一点，且满足∠F1PF2＝ ，
已知△F1PF2的内切圆的面积为3π，则该椭圆的长轴长为 .
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解析：由e＝ ，得 ＝ ，即a＝2c，①.设△F1PF2的内切圆的半径
为r，因为△F1PF2的内切圆的面积为3π，所以πr2＝3π，解得r＝
（舍负），在△F1PF2中，根据椭圆的定义及焦点三角形的面积公式，
知 ＝b2tan ＝ r（2a＋2c），即 b2＝ （a＋c），
②.又a2＝b2＋c2，③.联立①②③得c＝3，a＝6，b＝3 ，所以该
椭圆的长轴长为2a＝2×6＝12.
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15. （2024·太原高三模拟考试）已知双曲线x2－ ＝1的左、右焦点分别
是F1，F2，点P在双曲线C上，且满足 · ＝9，则点P到双曲线
C两条渐近线的距离之和为 .
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解析：由题意可知，F1（－2，0），F2（2，0），由双曲线的对称
性，不妨设点P在双曲线的第一象限内，设P（x0，y0），且x0＞0，
y0＞0，则 ＝（x0＋2，y0）， ＝（x0－2，y0）.由 · ＝
9，得 －4＋ ＝9，即 ＋ ＝13　①.又点P在双曲线上，所以
－ ＝1　②，由①②得即P（2，3）.又双曲线x2－ ＝
1的渐近线方程为y＝± x，化为一般式为 x－y＝0， x＋y＝
0，则点P（2，3）到两条渐近线的距离之和为 ＋
＝2 .
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16. （2024·浙江数海漫游模拟）已知F是椭圆C： ＋ ＝1的左焦点，
点M在C上，N在圆P：x2＋（y－3）2＝2x上，则｜MF｜－｜
MN｜的最大值为 .
解析：由圆P：x2＋（y－3）2＝2x，可得（x－1）2＋（y－3）2＝
1，可得圆P的圆心坐标为P（1，3），半径r＝1，由椭圆C： ＋
＝1，可得a＝2，设椭圆的右焦点为F1（1，0），根据椭圆的定义可
得｜MF｜＝2a－｜MF1｜，所以｜MF｜－｜MN｜＝2a－（｜
MF1｜＋｜MN｜），又由｜MN｜min＝｜MP｜min－r，
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如图所示，当点P，M，N，F1四点共线时，即P，N'，M'，F1时，｜MF1｜＋｜MN｜取得最小值，（｜MF1｜＋｜MN｜）min＝（｜MF1｜＋｜MP｜）min－r＝｜PF1｜－r＝3－1＝2，所以（｜MF｜－｜MN｜）max＝2×2－2＝2.
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17. 两光滑的曲线相切，那么它们在公共点处的切线相同.如图所示，一列
圆Cn：x2＋（y－an）2＝ （an＞0，rn＞0，n＝1，2，…）逐个外
切，且均与曲线y＝x2相切，若r1＝1，则a1＝ ，rn＝ .

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解析：由题意得y'＝2x，圆C1的圆心为（0，a1），半径r1＝1，设圆
C1与曲线y＝x2相切于点（x1， ）（x1≠0），则
解得a1＝ .圆Cn的圆心为
（0，an），半径为rn，设圆Cn与曲线y＝x2相切于点（xn， ）
（xn≠0），则
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解得an＝ ＋ ，又an＋1＝an＋rn＋rn＋1，所以 ＋ ＝ ＋ ＋rn＋rn＋1，则（rn＋1－ ）2＝（rn＋ ）2，因为rn≥1，所以rn＋1＝rn＋1，所以{rn}是以1为首项，1为公差的等差数列，所以rn＝n.
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