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(共82张PPT)
第1讲　小题研透
——直线与圆
目录
CONTENTS
课时跟踪检测
锁定高考·明方向
研透高考·攻重点
有的放矢 事半功倍
重难攻坚 快速提升
01
锁定高考·明方向
有的放矢 事半功倍
一、考情分析
高频考点 高考预测
直线的方程及圆的方程 考查重点是直线间的平行和垂直的条件，
与距离有关的问题，直线和圆相结合，求
圆的方程或弦长、面积等，多以选择题、
填空题的形式出现，难度中等
直线（圆）与圆的位置关系 与圆有关的最值问题 对称问题 二、真题感悟
1. （2024·北京高考3题）（点到直线的距离）圆x2＋y2－2x＋6y＝0的圆
心到直线x－y＋2＝0的距离为（　　）
B. 2
C. 3
解析：　化圆的方程为标准方程，得（x－1）2＋（y＋3）2＝10，所
以该圆的圆心（1，－3）到直线x－y＋2＝0的距离为 ＝
＝3 .
√
2. （2024·全国甲卷理12题）（直线与圆的位置关系及弦长问题）已知b
是a，c的等差中项，直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＋4y－1＝0交于
A，B两点，则｜AB｜的最小值为（　　）
A. 1 B. 2
C. 4
解析：　根据题意有2b＝a＋c，即a－2b＋c＝0，所以直线ax＋by
＋c＝0过点M（1，－2）.设圆x2＋y2＋4y－1＝0的圆心为C，连接
CM，则AB⊥CM时，｜AB｜最小，将圆的方程化为x2＋（y＋2）2＝
5，则C（0，－2），所以｜MC｜＝1，所以｜AB｜的最小值为
2 ＝4，故选C.
√
3. （2023·新高考Ⅰ卷6题）（直线与圆相切）过点（0，－2）与圆x2＋y2－
4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则 sin α＝（　　）
A. 1
√
解析：　由x2＋y2－4x－1＝0，得（x－2）2＋y2
＝5，所以圆心为点（2，0），半径为 .如图易知
点（2，0）与点（0，－2）的距离为2 ，所以点
（0，－2）与切点的距离为 ＝
，所以 sin ＝ ， cos ＝ ，所以 sin α＝2
sin cos ＝2× × ＝ .故选B.
4. （2022·新高考Ⅱ卷15题）（对称问题、直线与圆的位置关系）设点A
（－2，3），B（0，a），若直线AB关于y＝a对称的直线与圆（x＋
3）2＋（y＋2）2＝1有公共点，则a的取值范围是 .

解析：法一　由题意知点A（－2，3）关于直线y＝a的对称点为A'（－
2，2a－3），所以kA'B＝ ，所以直线A'B的方程为y＝ x＋a，即
（3－a）x－2y＋2a＝0.由题意知直线A'B与圆（x＋3）2＋（y＋2）2
＝1有公共点，易知圆心为（－3，－2），半径为1，所以
≤1，整理得6a2－11a＋3≤0，解得
≤a≤ ，所以实数a的取值范围是 .
法二　易知（x＋3）2＋（y＋2）2＝1关于y轴对称的圆的方程为（x－
3）2＋（y＋2）2＝1，由题意知该对称圆与直线AB有公共点.设直线AB的
方程为y－3＝k（x＋2），即kx－y＋3＋2k＝0，因为对称圆的圆心为
（3，－2），半径为1，所以 ≤1，解得－ ≤k≤－ ，又k＝
，所以－ ≤ ≤－ ，解得 ≤a≤ ，所以实数a的取值范围是
.
1. 两条直线平行与垂直的判定
已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0（A1，B1不同时为零），直线l2：A2x
＋B2y＋C2＝0（A2，B2不同时为零），则l1∥l2 A1B2－A2B1＝0，且
A1C2－A2C1≠0，l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
易错提醒　直线的截距式方程只适用于截距不为0和不平行于坐标轴
的情形.在设直线方程时，如果是点斜式或斜截式时需要讨论斜率是
否存在.
2. 圆的方程
（1）标准方程：（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0），圆心为（a，
b），半径为r；
（2）一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0），圆心
为（－ ，－ ），半径为r＝ .
3. 直线与圆相切问题
（1）过圆x2＋y2＝r2（r＞0）上一点P（x0，y0）的切线方程为x0x＋
y0y＝r2；
（2）过圆（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0）上一点P（x0，y0）的
切线方程为（x0－a）（x－a）＋（y0－b）（y－b）＝r2；
（3）过圆x2＋y2＝r2（r＞0）外一点P（x0，y0）作圆的两条切线，切
点为A，B，则过A，B两点的直线方程为x0x＋y0y＝r2；
（4）过圆C：（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0）外一点P（x0，
y0）作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在的
直线方程为（x0－a）（x－a）＋（y0－b）（y－b）＝r2；
（5）过圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0）外一点P
（x0，y0）引圆的切线，切点为T，则｜PT｜＝
；
（6）若圆的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0），则过圆外一
点P（x0，y0）的切线长d＝ .
02
研透高考·攻重点
重难攻坚 快速提升
直线的方程
【例1】　（1）（2024·广东六校联考）已知直线l经过直线l1：x＋y＝
2，l2：2x－y＝1的交点，且直线l的一个方向向量v＝（－3，2），则直
线l的方程是（　C　）
A. 3x－2y－1＝0 B. 3x－2y＋1＝0
C. 2x＋3y－5＝0 D. 2x－3y＋1＝0
√
解析：解方程组得即直线l1，l2的交点
为（1，1）.因为直线l的一个方向向量v＝（－3，2），所以直线l
的斜率k＝－ ，则直线l的方程为y－1＝－ （x－1），即2x＋3y
－5＝0.故选C.
（2）（2024·扬州高邮调研）已知实数x，y满足x＋y＋1＝0，则
＋ 的最小值为（　D　）
√
解析： ＋ 表示直线x＋y
＋1＝0上一动点P（x，y）到定点A（1，1），B（2，0）的距离
之和，如图.设点A（1，1）关于直线x＋y＋1＝0的对称点为A'
（x0，y0），则
解得所以A'（－2，－2），则｜A'B｜＝ ＝2 ，所以 ＋ 的最小值为2 .故选D.
1. 两条直线平行与垂直的判定
若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2均存在，则l1∥l2 k1＝k2，
l1⊥l2 k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是
否存在.
2. 解决两类对称问题的关键
一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点所连线段的中点在对
称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”
列出一个方程，联立求解.特别地，当对称轴的斜率为±1时，可类比关
于y＝x的对称问题采用代入法，如（1，3）关于y＝x＋1的对称点为
（3－1，1＋1），即（2，2）.
1. 过两直线x＋y－3＝0，2x－y＝0的交点，且与直线x－3y－1＝0垂直
的直线方程为（　　）
A. 3x＋y＋5＝0 B. x－3y－5＝0
C. 3x＋y－5＝0 D. x－3y＋5＝0
解析：　由解得即直线x＋y－3＝0，2x－y
＝0的交点为（1，2）.因为所求直线与直线x－3y－1＝0垂直，所以所
求直线的斜率为－3，因此所求直线的方程为y－2＝－3（x－1），即
3x＋y－5＝0.故选C.
√
2. （2024·盐城射阳中学学情检测）两条平行直线l1：x－2y＋1＝0与l2：
2x＋my＋2m＝0之间的距离为 .
解析：∵l1∥l2，∴解得m＝－4，∴l2：2x－4y
－8＝0，即x－2y－4＝0，∴l1，l2之间的距离d＝ ＝ .

圆的方程
【例2】　（2024·郑州名校联盟）平面几何中有一个著名的塞尔瓦定理：
三角形任意一个顶点到其垂心（三角形三条高的交点）的距离等于外心
（外接圆圆心）到该顶点对边距离的2倍.若点A，B，C都在圆E上，直
线BC方程为x＋y－2＝0，且｜BC｜＝2 ，△ABC的垂心G（2，2）
在△ABC内，点E在线段AG上，则圆E的标准方程为
.
（x－3）2＋（y
－3）2＝18
解析：由△ABC的垂心G（2，2）到直线BC距离d＝ ，设圆E半径为
r，由塞尔瓦定理可得r＋｜EG｜＝2（｜EG｜＋ ），由圆的几何性质
可得（｜EG｜＋ ）2＋（ ）2＝r2，联立解得｜EG｜＝ ，r＝
3 ，因为直线BC方程为x＋y－2＝0，所以直线EG方程为y＝x，设E
（a，a），则E到直线BC距离d'＝ ＝2 .解得a＝－1（舍
去）或a＝3，所以圆E的标准方程为（x－3）2＋（y－3）2＝18.
求圆的方程的2种方法
（1）几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，从而
求得圆的基本量和方程；
（2）代数法：用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从
而求得圆的方程.
1. （2024·深圳宝安中学期中）由曲线x2＋y2＝2｜x｜＋2y围成的图形的
面积为（　　）
A. 2π B. 3π
C. 2π＋3 D. 3π＋2
解析：　当x≥0时，曲线为x2＋y2＝2x＋2y，即（x－1）2＋（y－1）2＝2；当x＜0时，曲线为x2＋y2＝－2x＋2y，即（x＋1）2＋（y－1）2＝2.画出图象如图，故所求面积为两个圆的面积减去一个重叠部分的面积，且圆的半径为 ，两圆对称，即2πr2－2（ πr2－ × × ）＝3π＋2.故选D.
√
2. （多选）（2024·贵州一模）已知点P（4m＋3，－3m－4）， 点Q在
圆C：（x－1）2＋y2＝1上，则（　　）
A. 点P在直线3x＋4y＋7＝0上
B. 点P可能在圆C上
C. ｜PQ｜的最小值为1
D. 圆C上有2个点到点P的距离为1
√
√
解析：　圆C：（x－1）2＋y2＝1的圆心为C（1，0），半径为r＝
1，对选项A，由P（4m＋3，－3m－4）得消去参数
m得3x＋4y＋7＝0，所以点P在直线3x＋4y＋7＝0上，故A正确；对
选项B，因为圆心C到直线3x＋4y＋7＝0的距离d＝ ＝2＞r，
可知直线3x＋4y＋7＝0与圆C相离，结合选项A可知：点P不可能在圆
C上，故B错误；对选项C，结合选项B可知｜PQ｜的最小值为d－r＝
1，故C正确；对选项D，因为d＝r＋1，可知圆C上有且仅有1个点到
点P的距离为1，故D错误.故选A、C.
直线（圆）与圆的位置关系
【例3】　（1）已知圆C1：（x＋2）2＋（y－3）2＝5与圆C2相交于A
（0，2），B（－1，1）两点，且四边形C1AC2B为平行四边形，则圆C2
的方程为（　　）
A. （x－1）2＋y2＝5
√
解析：设圆C2的圆心坐标为（a，b），连接AB，C1C2.因为
C1（－2，3），A（0，2），B（－1，1），所以｜AC1｜＝｜
BC1｜＝ ，所以平行四边形C1AC2B为菱形，所以C1C2⊥AB且｜
AC2｜＝ .可得解得或
则圆心C2的坐标为（1，0）或（－2，3）（舍去）.因为
圆C2的半径为 ，所以圆C2的方程为（x－1）2＋y2＝5.故选A.
（2）（多选）（2024·贵阳适应性考试）已知圆C：（x－1）2＋（y－
2）2＝9，直线l：m（x＋y＋1）＋y－x＝0，m∈R，则下列说法
正确的是（　　）
A. 直线l过定点（－1，－1）
B. 直线l与圆C一定相交
√
√
解析：对于A，由m（x＋y＋1）＋y－x＝0对于任意的m成立，可
得所以x＝y＝－ ，直线l过定点（－ ，－ ），
A错误.对于B，将定点（－ ，－ ）代入圆C的方程得（－ －
1）2＋（－ －2）2＝ ＜9，可知点（－ ，－ ）在圆（x－1）
2＋（y－2）2＝9的内部，所以直线l与圆C一定相交，B正确.对于
C，直线l平分圆C即直线l过圆C的圆心，将圆心坐标（1，2）代
入直线l的方程得m（1＋2＋1）＋2－1＝0，得m＝－ ，C正确.
对于D，记直线l被圆C截得的弦的长为t，圆心（1，2）到直线l的
距离为d，圆C的半径为r，根据弦长、半径与圆心到直线的距离
之间的关系，得（ ）2＝r2－d2＝9－d2.又d2≤ ，所以t≥ ，
D错误.故选B、C.
直线（圆）与圆的位置关系的解题思路
（1）数形结合：讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结
合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量；
（2）巧用垂直：直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心
到切线的距离等于半径”建立切线与斜率的等式，求切线方程一般
选择点斜式；
（3）弦长公式：将弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示，l＝
2 （其中l为弦长，r为圆的半径，d为圆心到直线的距
离）.
1. 圆x2＋（y－2）2＝4与圆x2＋2mx＋y2＋m2－1＝0至少有三条公切线，
则实数m的取值范围是（　　）
√
解析：　将x2＋2mx＋y2＋m2－1＝0化为标准方程得（x＋m）2＋y2
＝1，即圆心为（－m，0），半径为1.圆x2＋（y－2）2＝4的圆心为
（0，2），半径为2.因为圆x2＋（y－2）2＝4与圆x2＋2mx＋y2＋m2－
1＝0至少有三条公切线，所以两圆的位置关系为外切或外离，所以
≥2＋1，即m2≥5，解得m∈（－∞，－ ]∪[，＋∞）.
故选D.
2. （2024·贵阳质监）过点P（－1，3 ）作圆C：x2＋y2－4x－5＝0的
两条切线，切点分别为A，B，则劣弧 的长度是（　　）
A. 2π
D. π
√
解析：　如图，由圆的切点弦方程可知，切点弦AB
的方程为x0x＋y0y－4· －5＝0.又P（－1，
3 ），∴－1·x＋3 y－4× －5＝0，即x－
y＋1＝0.取AB中点H，连接CH，AC，则CH⊥AB，将圆C的方程化成标准方程，得（x－2）2＋y2＝9，圆心C（2，0），半径r＝3，∴B（－1，0），∴PB⊥x轴，直线x＝－1为圆的一条切线.设直线AB的倾斜角为α，斜率为k，则k＝tan α＝ ，∴α＝ .在Rt△CHB中，∠BCH＝ ，∴∠ACB＝2∠BCH＝ .劣弧 ＝ ×3＝2π.
3. （2024·苏州3月适应性考试）在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝k
（x－3 ）上存在一点P，圆x2＋（y－1）2＝1上存在一点Q，满足
＝3 ，则实数k的最大值为（　　）
A. 0 B. 3
√
解析：　根据题意，设点P（x，y），由 ＝3 可得Q（ ，
），又点Q在圆x2＋（y－1）2＝1上，可得（ ）2＋（ －1）2＝1，
即x2＋（y－3）2＝9，所以点P既在直线y＝k（x－3 ）上，又在以
（0，3）为圆心，半径为3的圆x2＋（y－3）2＝9上，即直线和圆有公
共点，所以圆心到直线距离d＝ ≤3，解得－ ≤k≤0，所
以实数k的最大值为0.故选A.
隐圆问题
【例4】　（2024·郑州第二次质量预测）在平面直角坐标系xOy中，设A
（2，4），B（－2，－4），动点P满足 · ＝－1，则tan∠PBO的最
大值为（　　）
√
解析：　设P（x，y），则 ＝（－x，－y）， ＝（2－x，4－
y），由 · ＝－1，得－x（2－x）－y（4－y）＝－1，即x2＋y2－
2x－4y＋1＝0，即（x－1）2＋（y－2）2＝4，所以点P的轨迹是以C
（1，2）为圆心，半径r＝2的圆.因为点B（－2，－4），所以kOB＝kOC
＝2，所以O，B，C三点共线，且点O在B，C之间，则∠PBO＝
∠PBC，所以当直线PB与圆C相切时，∠PBC最大，即tan∠PBC取最大
值.｜BC｜＝ ＝3 ，当PB与圆C相切时，｜
PB｜＝ ＝ ＝ ，所以（tan∠PBC）max＝
＝ ＝ ，故选C.
发现隐圆的主要方法
（1）由定义可以判断（动点到定点的距离为定值）；
（2）由两定点A，B，动点P满足 · ＝λ（λ是常数），求出点P的
轨迹方程确定圆；
（3）由两定点A，B，动点P满足｜PA｜2＋｜PB｜2是定值，确定圆；
（4）由两定点A，B，动点P满足 ＝λ（λ＞0，λ≠1），确定圆
（阿波罗尼斯圆）.
已知圆C：（x－2）2＋y2＝2，直线l：y＝k（x＋2）与x轴交于点A，
过l上一点P作圆C的切线，切点为T，若｜PA｜＝ ｜PT｜，则实数k
的取值范围是（　　）
√
解析：　由题意知A（－2，0），C（2，0），设P（x，y），则由｜
PA｜＝ ｜PT｜，得｜PA｜2＝2｜PT｜2＝2（｜PC｜2－2），故（x
＋2）2＋y2＝2[（x－2）2＋y2－2]，化简得（x－6）2＋y2＝36，所以满
足｜PA｜＝ ｜PT｜的点P在以（6，0）为圆心，6为半径的圆上.由题
意知，直线y＝k（x＋2）与圆（x－6）2＋y2＝36有公共点，所以d＝
≤6，解得－ ≤k≤ .
03
课时跟踪检测
1. 已知直线l：ax＋y－2＋a＝0在x轴与y轴上的截距相等，则实数a＝
（　　）
A. 1 B. －1
C. －2或1 D. 2或1
解析：　当a＝0时，直线l：y＝2，此时不符合题意，应舍去；当
a≠0时，由直线l：ax＋y－2＋a＝0可得，横截距为 ，纵截距为2
－a.由 ＝2－a，解得a＝1或a＝2.经检验，a＝1，2均符合题意，
故a的值是2或1.
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2. （2024·金溪、广昌、南丰月考）点（0，1）到直线kx＋y＋k＝0的最
大距离为（　　）
A. 2
D. 1
解析：　由题意知，直线kx＋y＋k＝0即（x＋1）k＋y＝0，所以该
直线恒过定点（－1，0），则点（0，1）到直线kx＋y＋k＝0的最大距
离即为点（0，1）到定点（－1，0）的距离，即d＝ .故选C.
√
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3. （2024·石家庄教学质量检测）已知圆O1：x2＋y2＝5与圆O2：x2＋y2－
2x－4y＝0交于A，B两点，则｜AB｜＝（　　）
解析：　因为圆O1：x2＋y2＝5，所以O1（0，0），半径r1＝ ，又
圆O2：x2＋y2－2x－4y＝0，圆O1与圆O2交于A，B两点，所以直线
AB的方程为2x＋4y－5＝0，所以点O1（0，0）到直线AB的距离d＝
＝ ，所以｜AB｜＝2 ＝2 ＝ ，故选C.
√
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4. （多选）已知△ABC三边所在直线分别为AB：x－2y＋2＝0，BC：x
＋3y－3＝0，AC：2x－y－6＝0，则（　　）
A. AB边上的高所在直线方程为2x＋y－6＝0
D. △ABC是直角三角形
√
√
√
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解析：　由得B（0，1）.由
得C（3，0）.由得A（ ， ）.易得kAB＝ ，所
以AB边上的高所在直线的斜率为－2，则方程为y－0＝－2（x－3），
即2x＋y－6＝0，故A正确.AB边上的高的长度为点C到直线AB的距离
＝ ，故B正确.因为｜AB｜＝
＝ ，所以△ABC的面积为 × × ＝ ，故C正确.由斜率的关
系可知，△ABC的任意两边均不垂直，故D错误.选A、B、C.
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5. 已知圆心的坐标为（2，－3），一条直径的两个端点恰好在两个坐标轴
上，则这个圆的一般方程为 .
解析：因为直径所对的圆周角是直角，所以圆恰好过原点，故半径为
＝ ，所以圆的标准方程为（x－2）2＋（y＋3）2＝
13，化为一般方程为x2＋y2－4x＋6y＝0.
x2＋y2－4x＋6y＝0
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6. 与直线2x－y＋1＝0关于x轴对称的直线的方程为 .
解析：直线2x－y＋1＝0的斜率为k＝2，与x轴交于点A（ － ，0），
直线2x－y＋1＝0关于x轴对称的直线的斜率为k'＝－2，并且过点A，
由直线的点斜式方程得y－0＝－2（ x＋ ），即2x＋y＋1＝0，所以所
求直线的方程为2x＋y＋1＝0.
2x＋y＋1＝0
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7. （2024·九省联考）已知Q为直线l：x＋2y＋1＝0上的动点，点P满足
＝（1，－3），记P的轨迹为E，则（　　）
B. E是一条与l相交的直线
D. E是两条平行直线
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解析：　设Q（－1－2a，a）（a∈R），P（x，y），故 ＝
（x＋1＋2a，y－a）＝（1，－3），所以整理得
消去a可得x＋2y＋6＝0，所以轨迹E的方程为x＋2y＋6
＝0，易知E为一条与直线l平行的直线，所以A、B、D都是错误的.直
线x＋2y＋6＝0与直线x＋2y＋1＝0的距离d＝ ＝ ，因此E
上的点到l的距离均为 ，故C正确.综上所述，选C.
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8. （2024·营口期末）若M，N为圆C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0上任意两
点，P为直线3x－4y＋12＝0上一个动点，则∠MPN的最大值是
（　　）
A. 45° B. 60°
C. 90° D. 120°
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解析：　如图，过点P作圆C的两条切线，切点分别
为M，N，根据切线的性质得∠PMC＝90°，在
Rt△CPM中， sin ∠CPM＝ ，根据已知可得｜
MC｜＝1，则当｜PC｜越小，则 sin ∠CPM越大.因为
0°＜∠CPM＜90°，所以 sin ∠CPM越大，∠CPM越大.当PC与直线3x－4y＋12＝0垂直时，∠CPM最大，根据切线的性质可得∠MPN＝2∠CPM，此时｜PC｜＝ ＝2，则 sin ∠CPM＝ ，即∠CPM＝30°，故∠MPN的最大值为2∠CPM＝60°.
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9. 已知曲线C1：x2＋y2－4x－6y＋12＝0与曲线C2：（y－4）（3x＋4y
－m）＝0恰有三个不同的公共点，则实数m的取值范围为（　　）
A. （13，22） B. （22，23）
C. （13，23） D. （13，22）∪（22，23）
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解析：　C1：x2＋y2－4x－6y＋12＝0，即C1：（x－2）2＋（y－
3）2＝1，∵C2：（y－4）（3x＋4y－m）＝0，∴y＝4或3x＋4y－m
＝0，∵C1的圆心（2，3）到y＝4的距离为1，∴y＝4与C1相切于点
（2，4），C2与C1交于不同的三点，即3x＋4y－m＝0与C1有2个交
点，且不交于点（2，4），记d为圆心（2，3）到3x＋4y－m＝0的距
离，则d＝ ＝ ＜1，∴｜18－m｜＜5 13＜m＜
23，又∵直线不经过（2，4） 3×2＋4×4－m≠0 m≠22，∴m∈
（13，22）∪（22，23）.故选D.
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10. 设O为坐标原点，曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0上有两点P，Q，它们
关于直线x＋my＋4＝0对称，且 · ＝0，则直线PQ的方程为
（　　）
A. y＝－x－1 B. y＝－x＋1
C. y＝x－1 D. y＝x＋1
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解析：　曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，即曲线（x＋1）2＋（y－3）
2＝9，表示圆心为（－1，3），半径为3的圆，因为点P，Q在圆上且
关于直线x＋my＋4＝0对称，所以圆心在直线x＋my＋4＝0上，代入
可得m＝－1，即直线方程为x－y＋4＝0.由题意知直线PQ与直线x
－y＋4＝0垂直，所以可设直线PQ：y＝－x＋b，P（x1，y1），Q
（x2，y2），将y＝－x＋b代入圆的方程，整理得2x2＋2（4－b）x
＋b2－6b＋1＝0，Δ＝4（4－b）2－4×2×（b2－6b＋1）＞0，解得2
－3 ＜b＜2＋3 ，由根与系数的关系得x1＋x2＝－（4－b），
x1x2＝ ，y1y2＝b2－b（x1＋x2）＋x1x2＝ ＋4b.因为
· ＝0，所以x1x2＋y1y2＝0，即b2－6b＋1＋4b＝0，解得b＝1∈
（2－3 ，2＋3 ），所以直线PQ的方程为y＝－x＋1，故选B.
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11. （多选）（2024·沧州模拟）已知圆C1：x2＋y2－2x－2y－2＝0，圆
C2：x2＋y2－8x－10y＋32＝0，则下列选项正确的是（　　）
A. 直线C1C2的方程为4x－3y－1＝0
B. 圆C1和圆C2共有4条公切线
C. 若P，Q分别是圆C1和圆C2上的动点，则｜PQ｜的最大值为10
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解析：　由题意得，圆C1：（x－1）2＋（y－1）2＝4的圆心C1
（1，1），半径r1＝2，圆C2：（x－4）2＋（y－5）2＝9的圆心C2
（4，5），半径r2＝3，对于A，直线C1C2的方程为 ＝ ，即4x
－3y－1＝0，所以A正确；对于B，因为｜C1C2｜＝
＝5且r1＋r2＝2＋3＝5，可得｜C1C2｜＝r1
＋r2，所以圆C1与圆C2外切，所以两圆的公切线共有3条，所以B错
误；对于C，因为｜C1C2｜＝5，所以｜PQ｜的最大值为｜C1C2｜＋
r1＋r2＝10，所以C正确；对于D，当｜C1C2｜为圆的直径时，该圆在
经过点C1，C2的所有圆中面积最小，此时圆的面积为π（ ）2＝ π，
所以D正确.故选A、C、D.
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12. （多选）已知点P在圆（x－5）2＋（y－5）2＝16上，点A（4，
0），B（0，2），则（　　）
A. 点P到直线AB的距离小于10
B. 点P到直线AB的距离大于2
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解析：　由题意可知直线AB的方程为 ＋ ＝1，即x＋2y－4＝0，则圆心（5，5）到直线AB的距离d＝ ＝ ＞4，
∴直线AB与圆（x－5）2＋（y－5）2＝16相离，∴点P到直线AB的距离的取值范围为［ －4， ＋4］，∵ －4∈（0，1）， ＋4∈（8，9），∴选项A正确，选项B错误.过点B作圆的两条
切线，切点分别为P1，P2，
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如图，当点P在切点P1的位置时，
∠PBA最小，当点P在切点P2的位置时，
∠PBA最大，易知｜P1B｜＝｜P2B｜，圆心
（5，5）到点B的距离为 ，圆的半径为4，
∴｜P1B｜＝｜P2B｜＝ ＝ ＝
3 ，故选项C、D均正确.故选A、C、D.
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13. （多选）在平面直角坐标系xOy中，A（－2，0），B（4，0），点P
满足 ＝ ，设点P的轨迹为C，下列结论正确的是（　　）
A. C的方程为（x＋4）2＋y2＝9
C. 当A，B，P三点不共线时，射线PO是∠APB的平分线
D. 在C上存在点M，使得｜MO｜＝2｜MA｜
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解析： 　设点P（x，y），则 ＝ ＝ ，化简
整理得x2＋y2＋8x＝0，即（x＋4）2＋y2＝16，故A错误；当D（－
1，0），E（2，0），P（0，0）时， ＝ ，故B正确；对于C
选项，当A，B，P三点不共线时，由 ＝ ＝ ，可得射
线PO是∠APB的平分线，故C正确；
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对于D选项，设M（x0，y0），由｜MO｜＝2｜MA｜可得 ＝
2 ，整理得3 ＋3 ＋16x0＋16＝0，又点M在圆上，
故满足 ＋ ＋8x0＝0，联立解得x0＝2，y0无实数解，于是D错误.故选
B、C.
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14. （2024·温州高三统一测试）已知圆x2＋y2＝16与直线y＝－ x交于
A，B两点，则经过点A，B，C（8，0）的圆的方程为
.
（x－3）2
＋（y－ ）2＝28
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解析：法一　联立得解得或不
妨取A（2，－2 ），B（－2，2 ），设所求圆的方程为x2＋y2＋
Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0），则
解得满足D2＋E2－4F＞0，∴所求圆的方程为x2＋y2－
6x－2 y－16＝0，即（x－3）2＋（y－ ）2＝28.
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法二　显然直线y＝－ x过圆x2＋y2＝16的圆心，故AB为圆x2＋y2＝16
的直径，AB的垂直平分线的方程为y＝ x.联立得解得
或不妨取A（2，－2 ），B（－2，2 ），则
kAC＝ ＝ ，AC的中点坐标为（5，－ ），∴AC的垂直平分线的方
程为y－（－ ）＝－ （x－5），即y＝－ x＋4 .联立得
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解得∴所求圆的圆心坐标为（3， ），半
径为 ＝2 ，∴所求圆的方程为（x－3）2＋
（y－ ）2＝28.
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15. 已知两点A（－4，8），B（2，4），点C在直线y＝x＋1上，则｜
AC｜＋｜BC｜的最小值为 .
解析：依题意，设B（2，4）关于直线y＝x＋1的对称点为B'（m，
n），∴解得∴B'（3，3），连接AB'交直
线y＝x＋1于点C'，

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如图，在直线y＝x＋1上任取点C，连接AC，BC，B'C，显然直线y＝x＋1垂直平分线段BB'，则有｜AC｜＋｜BC｜＝｜AC｜＋｜B'C｜≥｜AB'｜，当且仅当点C与C'重合时取等号，∴（｜AC｜＋｜BC｜）min＝｜AB'｜＝ ＝ ，
故｜AC｜＋｜BC｜的最小值为 .
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16. （2024·岳阳质量监测）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是圆x2＋y2
＝16上的两点，若∠AOB＝ ，则｜x1＋y1－2｜＋｜x2＋y2－2｜的最
大值为（　　）
A. 16 B. 12 C. 8 D. 4
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解析：　因为A（x1，y1），B（x2，y2）在圆
x2＋y2＝16上，∠AOB＝ ，又｜OA｜＝｜
OB｜＝4，则△AOB是等腰直角三角形，｜x1＋
y1－2｜＋｜x2＋y2－2｜表示A，B到直线x＋y
－2＝0的距离之和的 倍，原点O到直线x＋y
－2＝0的距离为d＝ ＝ ，如图所示，
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AC⊥CD，BD⊥CD，E是AB的中点，作EF⊥CD于F，且OE⊥AB，｜AC｜＋｜BD｜＝2｜EF｜，｜OE｜＝ ｜AB｜＝2 ，｜EF｜≤｜OE｜＋d＝3 ，当且仅当O，E，F三点共线，且E，F在O的两侧时等号成立，又｜EF｜＝ （｜BD｜＋｜AC｜），故｜BD｜＋｜AC｜的最大值为6 ，故｜x1＋y1－2｜＋｜x2＋y2－2｜的最大值为 ×6 ＝12.故选B.
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17. 过圆x2＋y2＝16上的动点作圆C：x2＋y2＝4的两条切线，两个切点之
间的线段称为切点弦，则圆C内不在任何切点弦上的点形成的区域的
面积为 .
解析：如图所示，过圆x2＋y2＝16上一动点P作圆C
的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则｜
OP｜＝4，｜OA｜＝｜OB｜＝2，｜PB｜＝｜
PA｜＝ ＝2 ，则 sin ∠OPA
＝ ＝ ，且∠OPA为锐角，∴∠OPA＝30°，同理可得∠OPB＝30°，∴∠APB＝60°，则△APB为等边三角形，连接OP交AB于点M，∵OP为∠APB的角平分线，则M为AB的中点，∴OM⊥AB，
π
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且∠OAB＝90°－∠PAB＝30°，∴｜OM｜＝ ｜
OA｜＝1，则圆C内不在任何切点弦上的点到圆C的圆
心的距离应小于｜OM｜，即圆C内的这些点构成了以
原点为圆心，半径为1的圆的内部，因此圆C内不在任何
切点弦上的点形成的区域的面积为π×12＝π.
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