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(共71张PPT)
第3讲　大题专攻
——直线与圆锥曲线的位置关系
目录
CONTENTS
课时跟踪检测
锁定高考·明方向
研透高考·攻重点
有的放矢 事半功倍
重难攻坚 快速提升
01
锁定高考·明方向
有的放矢 事半功倍
备｜考｜领｜航
一、考情分析
高频考点 高考预测
直线与圆锥曲线的位置关系（包括弦长、中点弦、相切问题） 直线与圆锥曲线的位置关系是高考的必
考内容，涉及直线与圆锥曲线的相交、
相切、弦长、面积以及中点弦等问题，
难度中等
轨迹问题 二、真题感悟
1. （2024·新高考Ⅰ卷16题）（直线与椭圆的位置关系）已知A（0，3）和
P（3， ）为椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）上两点.
（1）求C的离心率；
解：由题意得解得
所以e＝ ＝ ＝ .
（2）若过P的直线l交C于另一点B，且△ABP的面积为9，求l的方
程.
解：法一　kAP＝ ＝－ ，则直线AP的方程为y＝－ x
＋3，即x＋2y－6＝0，
｜AP｜＝ ＝ ，
由（1）知C： ＋ ＝1，
设点B到直线AP的距离为d，则d＝ ＝ ，
则将直线AP沿着与AP垂直的方向平移 个单位长度即可，
此时该平行线与椭圆的交点即为点B，
设该平行线的方程为：x＋2y＋m＝0，
则 ＝ ，解得m＝6或m＝－18，
当m＝6时，联立
解得或
即B（0，－3）或（－3，－ ），
当B（0，－3）时，此时kl＝ ，直线l的方程为y＝ x－3，即3x
－2y－6＝0，
当B（－3，－ ）时，此时kl＝ ，直线l的方程为y＝ x，即x
－2y＝0，
当m＝－18时，联立得2y2－27y＋117＝0，
Δ＝272－4×2×117＝－207＜0，此时该直线与椭圆无交点.
综上直线l的方程为3x－2y－6＝0或x－2y＝0.
法二　同法一得到直线AP的方程为x＋2y－6＝0，
点B到直线AP的距离d＝ ，
设B（x0，y0），则
解得或
即B（0，－3）或（－3，－ ），以下同法一.
2. （2022·新高考Ⅰ卷21题）（直线与双曲线的位置关系）已知点A（2，
1）在双曲线C： － ＝1（a＞1）上，直线l交C于P，Q两点，
直线AP，AQ的斜率之和为0.
（1）求l的斜率；
解：将点A的坐标代入双曲线方程得 － ＝1，
化简得a4－4a2＋4＝0，得a2＝2，
故双曲线C的方程为 －y2＝1.
由题易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b，P
（x1，y1），Q（x2，y2），
联立直线l与双曲线C的方程并整理得（2k2－1）x2＋4kbx＋2b2
＋2＝0，
故x1＋x2＝－ ，x1x2＝ .
kAP＋kAQ＝ ＋ ＝ ＋ ＝0，
化简得2kx1x2＋（b－1－2k）（x1＋x2）－4（b－1）＝0，
故 ＋（b－1－2k） －4（b－1）＝0，
整理得（k＋1）（b＋2k－1）＝0，
又直线l不过点A，即b＋2k－1≠0，故k＝－1.
故直线l的斜率为－1.
（2）若tan∠PAQ＝2 ，求△PAQ的面积.
解：不妨设直线PA的倾斜角为θ ，由题意知
∠PAQ＝π－2θ，
所以tan∠PAQ＝－tan 2θ＝ ＝2 ，
解得tan θ＝ 或tan θ＝－ （舍去），
由得x1＝ ，
所以｜AP｜＝ ｜x1－2｜＝ ，
同理得x2＝ ，所以｜AQ｜＝ ｜x2－2｜＝ .
因为tan∠PAQ＝2 ，所以 sin ∠PAQ＝ ，
故S△PAQ＝ ｜AP｜｜AQ｜ sin ∠PAQ＝ ×
× × ＝ .
1. 椭圆 ＋ ＝1（a＞b＞0）
（1）切线方程：过椭圆上点P（x0，y0）处的切线方程是 ＋
＝1；
（2）椭圆中，长轴是最长的弦，过焦点的所有弦长中，通径最短，通
径长l＝ ；距焦点最短的点是相应的对称轴同侧顶点；
（3）中点弦的斜率：AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M（x0，y0）
为AB的中点，则kAB＝－ （如果焦点在y轴上，则有kAB＝－
），且kOM·kAB＝－ .
2. 双曲线 － ＝1（a＞0，b＞0）
（1）过双曲线上一点P（x0，y0）处的切线方程是 － ＝1；
（2）双曲线上距焦点最近的点是相应的对称轴同侧顶点；
（3）渐近线是双曲线的特定直线，由焦点向渐近线引垂线，焦点到相
应渐近线的距离等于双曲线的虚半轴长b；
（4）AB是双曲线的不平行于对称轴的弦，M（x0，y0）为AB的中
点，则kOM·kAB＝ ，即kAB＝ （如果焦点在y轴上，则有kAB
＝ ）；
（5）过双曲线的焦点作对称轴的垂线，与双曲线交于A，B两点，
则｜AB｜＝ .
3. 抛物线y2＝2px（p＞0）
（1）过抛物线上一点P（x0，y0）处的切线方程是y0y＝p（x＋x0）；
（2）过抛物线y2＝2px外一点P（x0，y0）引两条切线的切点弦方程是
y0y＝p（x＋x0）；
（3）一条直线与抛物线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，O为坐
标原点，当OA与OB垂直时，x1·x2＝4p2；y1·y2＝－4p2；直线
AB过定点（2p，0）；
（4）设AB是抛物线的不平行于对称轴的弦，M（x0，y0）为AB的中
点，则直线AB的斜率k＝ .
02
研透高考·攻重点
重难攻坚 快速提升
直线与圆锥曲线的位置关系
考向1　弦长问题
【例1】　已知椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）的离心率为 ，短轴一个
端点到右焦点的距离为 .
（1）求椭圆C的方程；
解：设椭圆的半焦距为c，依题意得
∴c＝ ，b＝1，∴椭圆C的方程为 ＋y2＝1.
（2）设斜率存在的直线l与椭圆C交于A，B两点，坐标原点O到直线l的
距离为 ，求△AOB面积的最大值.
解：设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y＝kx＋m.
由已知 ＝ ，得m2＝ （k2＋1）.
把y＝kx＋m代入椭圆方程并整理，得（3k2＋1）x2＋6kmx＋3m2－
3＝0.
Δ＝36k2m2－4（3k2＋1）（3m2－3）＝36k2－12m2＋12＞0.
∴x1＋x2＝ ，x1x2＝ .
∴｜AB｜2＝（1＋k2）（x2－x1）2
＝（1＋k2）［ － ］
＝ ＝
＝3＋ ＝3＋ （k≠0）≤3＋ ＝4.
当且仅当9k2＝ ，即k＝± 时等号成立.
当k＝0时，｜AB｜＝ ，综上所述｜AB｜max＝2.
∴当｜AB｜最大时，△AOB的面积取得最大值Smax＝ ×｜AB｜
max× ＝ .
求圆锥曲线中弦长的常用方法
（1）“设而不求法”，利用弦长公式 ·｜x1－x2｜＝
· 或 ·｜y1－y2｜＝
· （k≠0）求弦长，这是求弦长
的一般方法；
（2）特别地，圆中求弦长用垂径定理，抛物线y2＝2px（p＞0）求焦点弦
弦长可用抛物线的焦点弦弦长公式｜AB｜＝x1＋x2＋p.
考向2　中点弦问题
【例2】　已知椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）的离心率为 .
（1）证明：a＝ b；
解：证明：因为e＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ，
所以 ＝ ，所以a＝ b.
（2）若点M（ ，－ ）在椭圆C的内部，过点M的直线l交椭圆C于
P，Q两点，M为线段PQ的中点，且OP⊥OQ，O为坐标原点.求
直线l的方程.
解：由（1）知，椭圆C的方程为 ＋ ＝1，即x2＋3y2＝
3b2，当点M（ ，－ ）在椭圆C的内部时，（ ）2＋3×（－
）2＜3b2，可得b＞ .
设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则
所以 ＝－ ，由已知可得
两式作差得（x1＋x2）（x1－x2）＋3（y1＋y2）（y1－y2）＝0，
所以 ＝－ ＝－ ×（－ ）＝ ，
所以直线l的方程为y－（－ ）＝ （x－ ），即y＝ x－ ，
所以直线l的方程为 x－y－ ＝0.
中点弦问题的解决方法
（1）对于中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使
用根与系数的关系时，要注意使用条件Δ＞0，在用“点差法”时，
要检验直线与圆锥曲线是否相交；
（2）用“点差法”求解中点弦问题的解题步骤
考向3　切线问题
【例3】　若P是椭圆E： ＋y2＝1内的一点（不在E的轴上），过点P
作直线交E于A，B两点，且点P为AB的中点，椭圆E1： ＋ ＝1（m
＞n＞0）的离心率为 ，点P也在E1上，求证：直线AB与E1相切.
证明：由条件可知，直线AB的斜率必存在，设直线AB的方程为y＝kx
＋d，
由得（1＋4k2）x2＋8kdx＋4d2－4＝0，Δ1＞0.
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝ ，y1＋y2＝k（x1＋x2）
＋2d＝ ，
所以点P的坐标为（ ， ）.
因为椭圆 ＋ ＝1（m＞n＞0）的离心率e＝ ，所以 ＝ ，得
m2＝4n2.
由得（4k2＋1）x2＋8kdx＋4d2－4n2＝0，Δ2＝16
（4n2k2－d2＋n2）.
因为点P在椭圆E1上，所以（ ）2＋4（ ）2＝4n2，
所以4k2d2＋d2＝n2（1＋4k2）2，所以d2＝n2（1＋4k2），
所以Δ2＝16（4n2k2－d2＋n2）＝0，
所以直线AB与椭圆E1相切.
判断（证明）直线l与圆锥曲线C相切的一般思路
　　将直线l的方程f1（x，y）＝0与圆锥曲线C的方程f2（x，y）＝0联
立，即消去y（或x）得ax2＋bx＋c＝0（或ay2＋by＋
c＝0）：
（1）若a≠0且方程ax2＋bx＋c＝0（或ay2＋by＋c＝0）的判别式Δ＝0
时，直线l与圆锥曲线C相切；
（2）若a＝0时，直线l与圆锥曲线C不相切.
1. （2024·郑州第三次质量检测）已知椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）的
左、右顶点分别为A1和A2，离心率为 ，且经过点P（－2， ），过
点P作PH垂直x轴于点H. 在x轴上存在一点A（异于H），使得
＝ .
（1）求椭圆C的标准方程；
解：由题意得e2＝1－ ＝ ，将P（－2， ）代入椭圆方
程得 ＋ ＝1，联立方程组，
解得所以椭圆C的方程为 ＋ ＝1.
（2）判断直线AP与椭圆C的位置关系，并证明你的结论.
解：直线AP与椭圆C相切.
理由如下：
设A（x，0），由 ＝ ，
得 ＝ ，解得x＝－8，
此时A（－8，0），直线AP的方程为y
＝ （x＋8），
联立直线AP与椭圆C的方程，得
消y得，x2＋4x＋4＝0，解得x＝－2.
由方程组只有一组解，所以直线AP与椭圆C相切.
2. 已知抛物线T：y2＝2px（p＞0）和椭圆C： ＋ ＝1，过抛物线T
的焦点F的直线l交抛物线T于A，B两点，线段AB的中垂线交椭圆C
于M，N两点.
（1）若F恰是椭圆C的焦点，求p的值；
解：在椭圆中，c2＝a2－b2＝2，所
以c＝ ，由 ＝ ，得p＝2 .
（2）若p∈N*，且MN恰好被AB平分，求△OAB的面积.
解：设直线l：x＝my＋
（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），
联立方程消去x得y2－2mpy
－p2＝0，
Δ＝4m2p2＋4p2＞0，则
设AB的中点为G（x0，y0），则y0＝mp，
x0＝m2p＋ ，
设M（x3，y3），N（x4，y4），则直线MN的斜率为－m，
由 ＋ ＝1， ＋ ＝1，相减得到
＋ ＝0，即 －my0＝0，
即 －m2p＝0，解得m2＝ ，
由点G在椭圆内，得 ＋ ＜1，解得p2＜2，
因为p∈N*，所以p＝1，
所以S△OAB＝ × ｜y1－y2｜＝ ＝ .
轨迹问题
【例4】　（2024·唐山二模）已知椭圆C的右焦点为F（1，0），其四个
顶点的连线围成的四边形面积为4 ；菱形ABDE内接于椭圆C.
（1）求椭圆C的标准方程；
解：根据题意设椭圆C的标准方程为 ＋ ＝1（a＞b＞0），
由已知得， ×2a×2b＝4 ，即ab＝2 ，由c＝1可得，a2－b2
＝1，
联立解得，a＝2，b＝ ，
故椭圆C的标准方程为 ＋ ＝1.
（2）坐标原点O在边AB上的投影为点P，求点P的轨迹方程.
解：①如图，当直线AB的斜率存在时，设
其方程为y＝kx＋m，
由得（3＋4k2）x2＋8kmx＋4m2
－12＝0，
由题意Δ＝64k2m2－4（3＋4k2）（4m2－12）＝
48（4k2－m2＋3）＞0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝－
，x1x2＝ ，
于是y1y2＝（kx1＋m）（kx2＋m）
＝k2x1x2＋km（x1＋x2）＋m2
＝ ＋km（－ ）＋m2
＝
＝ .
∵四边形ABDE为菱形，∴OA⊥OB，
∴ · ＝0，
即x1x2＋y1y2＝ ＋ ＝0，
∴7m2＝12（k2＋1），即m2＝ .（*）
依题意，OP⊥AB，故点O到直线AB：kx－y
＋m＝0的距离为d＝｜OP｜＝ ，
两边平方并将（*）代入可得，｜OP｜2＝
＝ ＝ ，
设点P（x，y），则x2＋y2＝ ，
即点P的轨迹方程为x2＋y2＝ .
②当直线AB的斜率不存在时，四边形ABDE为
正方形，
此时求得P（± ，0），
也适合x2＋y2＝ ，
综上可得点P的轨迹方程为x2＋y2＝ .
动点轨迹问题的解题思路
（1）求动点的轨迹方程，常用的方法有：①直接法；②定义法；③相关
点法（代入法）；④参数法；
（2）判断动点的轨迹，通常用定义直接判断，若较复杂的问题可先求出
轨迹方程，再判断轨迹.
　已知A（－1，0），B为圆C：（x－1）2＋y2＝8上的动点，线段AB的
垂直平分线交BC于点P.
（1）求｜PA｜＋｜PC｜的值，并求点P的轨迹E的方程；
解：由已知得圆C的圆心坐标为C（1，0），半径r＝2 .
因为点P在线段AB的垂直平分线上，所以｜PA｜＝｜PB｜，
又r＝｜PB｜＋｜PC｜，
所以｜PA｜＋｜PC｜＝2 ，
所以结合椭圆的定义知，点P的轨迹E是以A，C分别为左、右焦点
的椭圆.
设点P的轨迹E的方程为 ＋ ＝1（a＞b＞0），半焦距为c（c
＞0），
则所以a＝ ，结合a2＝b2＋c2，得b＝1，
所以点P的轨迹E的方程为 ＋y2＝1.
（2）若过点A的直线l交轨迹E于M，N两点，求△CMN面积的最大值.
解：由已知可得直线l的斜率不为0，则可设l的方程为x＝my
－1，M（x1，y1），N（x2，y2），
由消去x并整理得，（m2＋2）y2－2my－1＝0，Δ
＞0，则
所以S△CMN＝ ｜AC｜｜y1－y2｜＝｜y1－y2｜＝
＝ ＝ .
令t＝m2＋1（t≥1），则S△CMN＝ ＝ ＝
≤ ＝ ，当且仅当t＝ ＝1，即m＝0时取等号，
所以△CMN面积的最大值为 .
03
课时跟踪检测
1. （2024·重庆学业质量调研）已知双曲线 －y2＝1的左、右顶点分别为
A1，A2，点P（x1，y1），Q（x1，－y1）是双曲线上不同的两个动点.
（1）求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程；
1
2
3
4
解：由A1，A2为双曲线的左、右顶点，知A1（－ ，
0），A2（ ，0），
则直线A1P：y＝ （x＋ ），
直线A2Q：y＝ （x－ ），
两式相乘，得y2＝ （x2－2），
而点P（x1，y1）在双曲线上，
∴ － ＝1，即 ＝ ，
故所求轨迹E的方程为y2＝－ （x2－2），
即 ＋y2＝1.
1
2
3
4
（2）若过点H（0，h）（h＞1）的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一
个交点，且l1⊥l2，求h的值.
解：设l1：y＝kx＋h，则由l1⊥l2，知l2：y＝－ ＋h.
将l1：y＝kx＋h代入 ＋y2＝1，得 ＋（kx＋h）2＝1，
即（1＋2k2）x2＋4khx＋2h2－2＝0，
由l1与轨迹E只有一个交点，知Δ＝16k2h2－4（1＋2k2）（2h2－
2）＝0，即1＋2k2＝h2.
同理，由l2与轨迹E只有一个交点知1＋ ＝h2.
消去h2，得 ＝k2，即k2＝1，
∴h2＝1＋2k2＝3，∴h＝ .
1
2
3
4
2. 已知椭圆 ＋ ＝1和点P（4，2），直线l经过点P且与椭圆交于A，
B两点.
（1）当直线l的斜率为 时，求线段AB的长度；
1
2
3
4
解：直线l的方程为y－2＝ （x－4），即y＝ x.
设A（x1，y1），B（x2，y2），联立
消去y，整理得x2－18＝0，则x1＋x2＝0，x1x2＝－18.
于是｜AB｜＝ ·｜x1－x2｜
＝ ＝ ×6 ＝3 ，
所以线段AB的长度为3 .
1
2
3
4
（2）当点P恰好为线段AB的中点时，求l的方程.
解：法一（根与系数的关系、中点坐标公式法）　由题意
知，直线l的斜率存在，设l的斜率为k，
则其方程为y－2＝k（x－4）.
联立
消去y，得（1＋4k2）x2－（32k2－16k）x＋（64k2－64k－20）
＝0.
1
2
3
4
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝ .
因为线段AB的中点恰好为P（4，2），
所以 ＝ ＝4，解得k＝－ ，且满足Δ＞0.
所以直线l的方程为y－2＝－ （x－4），即y＝－ x＋4.
法二（点差法）　设A（x1，y1），B（x2，y2），则有
1
2
3
4
两式相减得 ＋ ＝0，
整理得kAB＝ ＝－ .
因为P（4，2）是线段AB的中点，
所以x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，所以kAB＝－ ＝－ ，
所以直线AB的方程为y－2＝－ （x－4），即y＝－ x＋4.
1
2
3
4
法三（共线法）　设A（x，y），由于点P（4，2）为线段AB的
中点，因此B（8－x，4－y）.
因为A，B两点都在椭圆上，
所以
①－②，得x＋2y－8＝0.
即点A的坐标满足这个方程，根据对称性，点B的坐标也满足这
个方程，而过A，B两点的直线只有一条，故所求直线的方程为x
＋2y－8＝0.
1
2
3
4
3. 已知抛物线C1：y2＝2px（p＞0）与C2：x2＝2qy（q＞0）都经过点A
（4，8）.
（1）若直线l与C1，C2都相切，求l的方程；
解：将点A（4，8）代入y2＝2px（p＞0）中，得64＝
8p，解得p＝8.
将点A（4，8）代入x2＝2qy（q＞0）中，得16＝16q，解得q＝1，
所以C1的方程为y2＝16x，C2的方程为x2＝2y.
由题意知，直线l斜率存在且不为0，设直线l的方程为y＝kx＋m.
1
2
3
4
联立消去x，得ky2－16y＋16m＝0，
因为直线l与C1相切，所以Δ＝（－16）2－4×16km＝0，整理
得km＝4.　①
联立消去y，得x2－2kx－2m＝0，
因为直线l与C2相切，所以Δ'＝4k2＋8m＝0.　②
由①②解得k＝m＝－2.
所以直线l的方程为y＝－2x－2，即2x＋y＋2＝0.
1
2
3
4
（2）若点M，N分别在C1，C2上，且 ＋ ＝ ，求△AMN的
面积.
解：因为点M，N分别在C1，C2上，可设M（ ，a），N
（b， ），
由 ＋ ＝ ，得（8－b－ ，16－a－ ）＝（9，18），
即化简得
1
2
3
4
由2×③－④，可得2b－a＋ － ＝0，整理得（2b－a）
（2b＋a－8）＝0.
（ⅰ）若2b－a＝0，由④知b2＋4b＋4＝0，所以b＝－2，a＝－
4，所以M（1，－4），N（－2，2）；
（ⅱ）若2b＋a－8＝0，由④知b2－4b＋20＝0，方程无解.
所以直线MN的方程为y－2＝ （x＋2），即2x＋y＋2＝0，
1
2
3
4
｜MN｜＝ ＝3 ，
点A到直线MN的距离为 ＝ ，
所以△AMN的面积S△AMN＝ ×3 × ＝27，
所以△AMN的面积为27.
1
2
3
4
4. （2024·连云港阶段性调研）已知椭圆E： ＋ ＝1（a＞b＞0）的离
心率为 ，椭圆上的点到焦点的最远距离是2＋ .
（1）求椭圆E的方程；
解：由椭圆E的离心率为 ，故 ＝ ，
由椭圆上的点到焦点的最远距离是2＋ ，故a＋c＝2＋ ，
解得a＝2，c＝ ，故b2＝a2－c2＝1，
即椭圆E的方程为 ＋y2＝1.
1
2
3
4
（2）椭圆上有四个动点A，B，C，D，且AD与BC相交于点P.
①若点P的坐标为（4，2），A为椭圆的上顶点，B为椭圆的右顶
点，求CD的斜率；
②若直线AB与CD的斜率均为－ 时，求直线OP的斜率.
1
2
3
4
解：①由椭圆E的方程为 ＋y2＝1，则A（0，1），B
（2，0），则lAD：y＝ x＋1，即lAD：y＝ x＋1，
lBC：y＝ （x－2），即lBC：y＝x－2，
联立直线AD与椭圆方程，有
消去y可得5x2＋8x＝0，
1
2
3
4
解得x＝0或x＝－ ，由A（0，1），故xD＝－ ，则yD＝ ，即
D（－ ， ），
联立直线BC与椭圆方程，有消去y可得5x2－16x
＋12＝0，
解得x＝ 或x＝2，由B（2，0），故xC＝ ，则yC＝－ ，故C
（ ，－ ），
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则kCD＝ ＝－ .
②设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，
y4），P（m，n），
设 ＝λ （λ≠0），
则有即
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3
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由A在椭圆E上，故 ＋ ＝1，
D在椭圆E上，故有 ＋（ ）2＝1，
化简得λ2 ＋2mλx1＋m2＋4λ2 ＋8nλy1＋4n2＝4λ2＋8λ＋4，
由 ＋ ＝1，即有λ2 ＋4λ2 ＝4λ2，
则有2mλx1＋8nλy1＋m2＋4n2＝8λ＋4，
由直线AB与CD的斜率均为－ ，故AB∥CD，
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则有 ＝λ （λ≠0），同理可得2mλx2＋8nλy2＋m2＋
4n2＝8λ＋4，
故直线lAB：2mλx＋8nλy＋m2＋4n2＝8λ＋4，
即有－ ＝－ ＝－ ，即 ＝ ，
则kOP＝ ＝ .
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