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第5讲　大题专攻
——圆锥曲线中的最值、范围问题
目录
CONTENTS
课时跟踪检测
锁定高考·明方向
研透高考·攻重点
有的放矢 事半功倍
重难攻坚 快速提升
01
锁定高考·明方向
有的放矢 事半功倍
备｜考｜领｜航
一、考情分析
高频考点 高考预测
最值问题 在解答题中会继续以椭圆、抛物线、双曲线为几何
载体考查最值、范围问题.主要考查逻辑推理、数
学运算等核心素养
范围问题 二、真题感悟
　（2023·全国甲卷理20题）（最值问题）已知直线x－2y＋1＝0与抛物线
C：y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，｜AB｜＝4 .
（1）求p；
解：设A（x1，y1），B（x2，y2），
把x＝2y－1代入y2＝2px，得y2－4py＋2p＝0，
由Δ1＝16p2－8p＞0，得p＞ .
由根与系数的关系，可得y1＋y2＝4p，y1y2＝2p，
∴｜AB｜＝ · ＝ ·
＝4 ，解得p＝2或p＝－ （舍去），故p＝2.
（2）设F为C的焦点，M，N为C上两点，且 · ＝0，求△MFN面
积的最小值.
解：由（1）知，抛物线的焦点为F（1，0）.
由题意知直线MN的斜率不可能为0，
∴设MN的方程为x＝my＋t，M（x3，y3），N
（x4，y4），
联立消去x得y2－4my－4t＝0，
∴Δ＝16m2＋16t＞0，即m2＋t＞0，
由根与系数的关系得y3＋y4＝4m，y3y4＝－4t，
∵ · ＝0，∴（x3－1，y3）·（x4－1，y4）＝0，
即（x3－1）（x4－1）＋y3y4＝（my3＋t－1）
（my4＋t－1）＋y3y4＝（m2＋1）y3y4＋m（t－
1）（y3＋y4）＋（t－1）2＝（m2＋1）（－4t）＋
m（t－1）·4m＋（t－1）2＝0，
即－4m2t－4t＋4m2t－4m2＋t2－2t＋1＝0，
即4m2＝t2－6t＋1.
设F到MN的距离为d，则d＝ ，
又｜MN｜＝ ｜y3－y4｜＝
· ＝
· ＝4 · ，
∴S△MFN＝ ｜MN｜·d＝
×4 · · ＝2 ·｜t－1｜＝ ·｜t－1｜＝ ｜t－1｜＝（t－1）2.
∵4m2＝t2－6t＋1≥0，解得t≤3－2 或t≥3＋2 ，
∴当且仅当t＝3－2 时，S△MFN取得最小值12－8 .
即△MFN面积的最小值为12－8 .
　圆锥曲线中最值（范围）问题的思维路径
（1）几何法：若题目中的待求量有明显的几何意义，则考虑利用圆锥曲
线的定义、几何性质以及平面几何中的定理等知识确定极端位置后
数形结合求解；
（2）代数法：①构建函数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的
函数关系，则可先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求这
个函数的最值；②构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构
建以待求量为元的不等式求解.
常从以下四个方面考虑：
（ⅰ）利用根的判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（ⅱ）利用已知参数的范围，求新参数的范围，其核心是在两个参数
间建立等量关系；
（ⅲ）利用已知的或隐含的不等关系建立关于参数的不等式，从而求
出参数的取值范围；
（ⅳ）利用基本不等式求出参数的取值范围.
02
研透高考·攻重点
重难攻坚 快速提升
几何法求最值（范围）
【例1】　（2024·西安联考节选）若点P是双曲线C： － ＝1右支上的
一点，点A是圆E：x2＋（y－5）2＝1上的一点，点B是圆F：（x＋5）2
＋y2＝1上的一点，求｜PA｜＋｜PB｜的最小值.
解：如图.双曲线C： － ＝1中，a＝4，b＝3，则c＝ ＝5.
设右焦点为F2（5，0）.
圆E：x2＋（y－5）2＝1的圆心为E（0，5），半径r1＝1，
圆F：（x＋5）2＋y2＝1的圆心为F（－5，0），半径r2＝1，且F（－5，
0）恰为双曲线的左焦点.
连接EF2交双曲线右支于点P，连接PF，则｜EF2｜＝5 .
又点P是双曲线C右支上的一点，则｜PF｜＝｜PF2｜＋2a＝｜PF2｜
＋8，
所以｜PA｜＋｜PB｜≥｜PE｜＋｜PF｜－r1－r2＝｜PE｜＋｜PF2｜
＋8－2≥｜EF2｜＋6＝5 ＋6，当且仅当E，P，F2三点共线（P在EF2
之间）时，等号成立.
即｜PA｜＋｜PB｜的最小值为5 ＋6.
　　若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用直线与
圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决.
如图，点F是抛物线y2＝12x的焦点，点A，B分别在抛物线y2＝12x及圆
（x－3）2＋y2＝16的实线部分上运动，且线段AB总是平行于x轴，求
△FAB周长的取值范围.
解：抛物线的准线l：x＝－3，焦点F（3，0）.
由抛物线定义可得｜AF｜＝xA＋3，
圆（x－3）2＋y2＝16的圆心为（3，0），半径为4，
所以△FAB的周长为｜AF｜＋｜AB｜＋｜BF｜＝xA＋3＋（xB－xA）＋
4＝xB＋7，
由抛物线y2＝12x及圆（x－3）2＋y2＝16，可得交点的横坐标为1，
所以xB∈（1，7），所以xB＋7∈（8，14），
所以△FAB的周长的取值范围是（8，14）.
不等式法求最值（范围）
【例2】　若P，C，D为曲线G：y2＝－4x上的三个动点，∠CPD的平
分线交x轴于点Q（a，0）（a＜－1），点Q到直线PC的距离为1，若
PQ⊥CD，求a的取值范围.
解：设C（x1，y1），D（x2，y2），P（x0，y0）.
设直线PC的方程为x－x0＝m（y－y0），直线PD的方程为x－x0＝n
（y－y0），
∵PQ是∠CPD的平分线，点Q到直线PC的距离为1，∴点Q到直线PD
的距离为1，由 ＝1，
可得（1－ ）m2＋2（x0－a）y0m－（x0－a）2＋1＝0，
同理可得（1－ ）n2＋2（x0－a）y0n－（x0－a）2＋1＝0，
即m，n是关于t的方程（1－ ）t2＋2（x0－a）y0t－（x0－a）2＋1＝
0的两根，∴m＋n＝ .
由得y2＋4my＋4x0－4my0＝0，
∴y0＋y1＝－4m，∴y1＝－4m－y0，同理可得y2＝－4n－y0，
∴y1＋y2＝－4（m＋n）－2y0，
∴kCD＝ ＝ ＝ ＝ ＝ .
∵kPQ＝ ，kPQ·kCD＝－1，
∴ ＝ ，
∴ ＞0，
∵a＜－1，∴16a2＋4a－8＞0，则－4a－9＞0，
∴a＜－ 时满足题意.
∴a的取值范围为（－∞，－ ）.
构造不等式求最值（范围）的方法
（1）利用判别式来构造不等关系；
（2）利用已知参数的范围，在两个参数之间建立函数关系；
（3）利用隐含或已知的不等关系建立不等式；
（4）利用基本不等式求最值（范围）.
　双曲线C的一条渐近线方程是x－2y＝0，且双曲线C过点（2 ，1）.
（1）求双曲线C的方程；
解：由渐近线方程可设双曲线C的方程为x2－4y2＝k
（k≠0），
把点（2 ，1）代入C：x2－4y2＝k（k≠0）可得k＝4，
所以双曲线C的方程为 －y2＝1.
（2）设双曲线C的左、右顶点分别是A1，A2，P为C上任意一点，直线
PA1，PA2分别与直线l：x＝1交于点M，N，求｜MN｜的最小值.
解：由题易知，点P在右支上时｜MN｜取最小值.
由（1）可得A1（－2，0），A2（2，0），设P（x，y），根据双曲
线方程可得 · ＝ ，
设直线PA1，PA2的斜率分别为k1，k2（k1，k2＞0），
则k1k2＝ ，直线PA1的方程为y＝k1（x＋2），令x＝1，得M（1，
3k1），
直线PA2的方程为y＝k2（x－2），令x＝1，得N（1，－k2），
所以｜MN｜＝｜3k1－（－k2）｜＝3k1＋k2≥2 ＝ ，
当且仅当3k1＝k2，即k1＝ ，k2＝ 时，等号成立.
故｜MN｜的最小值为 .
函数法求最值（范围）
【例3】　已知点F（1，0），P为平面内一动点，以PF为直径的圆与y轴
相切，点P的轨迹记为C.
（1）求C的方程；
解：设P（x，y），则以PF为直径的圆的圆心为（ ， ），根据圆与y轴相切，可得 ＝ ｜PF｜＝ ，化简得y2＝4x，
所以C的方程为y2＝4x.
（2）过点F的直线l与C交于A，B两点，过点A且垂直于l的直线交x轴
于点M，过点B且垂直于l的直线交x轴于点N. 当四边形MANB的面
积最小时，求l的方程.
解：由题意可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l：y＝k
（x－1），A（x1，y1），B（x2，y2），
联立 k2x2－2（k2＋2）x＋k2＝0，
所以x1＋x2＝ ，x1x2＝1，
设直线l的倾斜角为θ，则｜AM｜＝｜AF｜｜tan θ｜，｜BN｜
＝｜BF｜｜tan θ｜，
所以｜AM｜＋｜BN｜＝｜AF｜｜tan θ｜＋｜BF｜｜tan θ｜
＝｜AB｜｜tan θ｜＝｜AB｜｜k｜，
因为｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝x1＋x2＋2＝ ＋2＝
，
由题意可知四边形MANB为梯形，所以S＝ ｜AB｜·（｜AM｜
＋｜BN｜）＝ ＝ ＝ ，
设t＝｜k｜＞0，则S（t）＝ ＝8（t＋ ＋ ），
所以S'（t）＝8（1－ － ）＝8（ ）＝
8 ，
当t＞ 时，S'（t）＞0，S（t）单调递增，当0＜t＜ 时，S'
（t）＜0，S（t）单调递减，
所以当t＝ ，即｜k｜＝ 时，面积最小，此时k＝± ，
故直线l的方程为y＝± （x－1），即 x－y－ ＝0或 x＋
y－ ＝0.
构造函数法求最值（范围）的策略
　　先要恰当地引入变量（如点的坐标、角、斜率等），把所求最值（范
围）的几何量（代数式）表示为某个函数，然后利用函数方法（单调性或
导数）进行求解.
设过原点O的直线l1在第一、三象限内分别交双曲线E：x2－ ＝1于A，
C两点，过原点O的直线l2在第二、四象限内分别交双曲线E于B，D两
点，若直线AD过双曲线的右焦点F，求四边形ABCD面积的最小值.
解：由双曲线的对称性，知｜OA｜＝｜OC｜，｜OB｜＝｜OD｜，
所以四边形ABCD为平行四边形，
所以S四边形ABCD＝4S△OAD.
由题意知直线AD的斜率不为零，设AD的方程为x＝my＋2
（m≠± ）.
联立消去x，得（3m2－1）y2＋12my＋9＝0.
Δ＝36（m2＋1）＞0，
设A（x1，y1），D（x2，y2），
则y1＋y2＝ ，y1y2＝ .
因为A，D均在双曲线右支上，
所以
所以
解得0≤m2＜ .
所以S△OAD＝ ×｜OF｜×｜y1－y2｜
＝ ，
＝
＝ （0≤m2＜ ）.
令 ＝t（1≤t＜ ），
则m2＝t2－1，所以S△OAD＝ ＝ （1≤t＜ ）.
令函数f（t）＝ －3t，易得f（t）在区间［1， ）上单调递减，
所以当t＝1时，（S△OAD）min＝6.
所以四边形ABCD面积的最小值为24.
03
课时跟踪检测
1. （2024·上海春招20题节选）在平面直角坐标系xOy中，已知点A为椭圆
Γ： ＋ ＝1上一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点.
（1）若点A的横坐标为2，求｜AF1｜；
解：由题意可知a＝ ，b＝ ，故c＝ ＝2，所
以F1（－2，0），F2（2，0）.
设点A的坐标为（x1，y1），由题意知x1＝2，则 ＝ ，
所以｜AF1｜＝ ＝ .
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（2）设Γ的上、下顶点分别为M1，M2，记△AF1F2的面积为S1，
△AM1M2的面积为S2，若S1≥S2，求｜OA｜的取值范围.
解：由已知，得S1＝ ×4×｜y1｜＝2｜y1｜，S2＝ ×2
×｜x1｜＝ ｜x1｜，且x1≠0，y1≠0.
由题意可得2｜y1｜≥ ｜x1｜，则｜x1｜≤ ｜y1｜，又 ＋
＝1，所以 ＝6（1－ ），
所以0＜ ＝6（1－ ）≤2 ，
1
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解得 ≤ ＜2，
因此｜OA｜＝ ＝ ∈（ ， ］.
故｜OA｜的取值范围为（ ， ］.
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2. 已知双曲线C的方程为 － ＝1（a＞0，b＞0），离心率为2，右顶
点为（1，0）.
（1）求双曲线C的标准方程；
解：由离心率e＝ ＝2，
又c2＝a2＋b2，所以b2＝3a2，
又右顶点为（1，0），
所以a2＝1，所以b2＝3，
故双曲线C的标准方程为x2－ ＝1.
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（2）过E（0，2）的直线l与双曲线C的一支交于M，N两点，求
· 的取值范围.
解：设直线l的方程为y＝kx＋2，
设M（x1，y1），N（x2，y2），
则由
得（3－k2）x2－4kx－7＝0，
因为直线l与双曲线C的一支交于M，N两点，
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所以
解得3＜k2＜7.
因此 · ＝（x1，y1－2）·（x2，y2－2）
＝x1x2＋（y1－2）（y2－2）
＝x1x2＋k2x1x2
＝（k2＋1）x1x2＝7
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＝7（1＋ ），
因为3＜k2＜7，所以0＜k2－3＜4，
所以 ＞1，
所以 · ＝7（1＋ ）＞14，
故 · 的取值范围为（14，＋∞）.
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3. 已知椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）的短轴长为2，且离心率为 .
（1）求椭圆C的方程；
解：由题可知， ＝ ，2b＝2，又a2＝b2＋c2，
解得a2＝3，b2＝1，
∴椭圆C的方程为 ＋y2＝1.
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（2）设与圆O：x2＋y2＝ 相切的直线l交椭圆C于A，B两点（O为
坐标原点），求线段AB长度的最大值.
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解：设A（x1，y1），B（x2，y2），
①当AB⊥x轴或y轴时，
易得｜AB｜＝ .
②当AB与x轴，y轴都不垂直时，设直线AB的
方程为y＝kx＋m（k≠0），
由已知 ＝ ，
得m2＝ （k2＋1），
把y＝kx＋m代入椭圆方程消去y，
整理得（3k2＋1）x2＋6kmx＋3m2－3＝0，
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则Δ＝36k2m2－4（3k2＋1）（3m2－3）
＝36k2－12m2＋12＞0，
故x1＋x2＝ ，x1x2＝ ，
｜AB｜2＝（1＋k2）（x1－x2）2
＝（1＋k2）·［ － ］
＝
＝
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＝
＝3（1＋ ）
＝3＋ ≤3＋ ＝4，
∴｜AB｜≤2，当且仅当9k2＝ ，即k＝±
时等号成立，
综上可知，｜AB｜的最大值为2.
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4. 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作
《圆锥曲线论》一书中.阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是若
平面内动点M与两定点Q，P的距离的比值 ＝λ（λ＞0，
λ≠1）是一个常数，那么动点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直
线PQ上.已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为x2＋y2＝4，定
点分别为椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）的右焦点F与右顶点A，且
椭圆C的离心率为e＝ .
（1）求椭圆C的标准方程；
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解：法一（特殊值法）　令M（±2，0），则由题意可得
＝ ，且a＝2c，
得c2＝2，∴a2＝8，b2＝a2－c2＝6，
故椭圆C的标准方程为 ＋ ＝1.
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法二（定义法）　设M（x，y），由题意可得 ＝
＝λ（λ＞0，λ≠1），整理得x2＋y2＋ x
＋ ＝0，
则又 ＝ ，得a＝2 ，c＝ .
∴b2＝a2－c2＝6，故椭圆C的标准方程为 ＋ ＝1.
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法三　设M（x，y），则y2＝4－x2，由题意可得 ＝
＝ ＝ ，
∵ 为常数，∴ ＝ ，又 ＝ ，得a2＝8，c2＝2，∴b2＝a2－c2
＝6，
∴椭圆C的标准方程为 ＋ ＝1.
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（2）如图，过右焦点F斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆C相交于B，
D（点B在x轴上方）两点，点S，T是椭圆C上异于B，D的两
点，SF平分∠BSD，TF平分∠BTD.
①求 的取值范围；
②将点S，F，T看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若△SFT外接圆的面积为 ，求直线l的方程.
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解： ①由 ＝ ＝ ，且 ＝
，得 ＝ .
令 ＝μ，则 ＝μ ，设D（x0，y0），则由（1）可得3 ＋
4 ＝24，且B（ （μ＋1）－μx0，－μy0）.
又直线l的斜率k＞0，∴x0∈（－2 ， ）.
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将代入3x2＋4y2－24＝0得3[（1＋μ）－
μx0]2＋4μ2 －24＝0，
化简得（μ＋1）（5μ－3－ μx0）＝0，
∵μ＞0，∴μ＝ ∈（ ，1），即 的取值范围为（ ，1）.
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②由①知， ＝ ＝ ，由阿波罗尼斯
圆的定义知，S，T，F在以B，D为定点的阿波罗尼
斯圆上，设该圆的圆心为C1，半径为r，与直线l的另
一个交点为N，
则有 ＝ ＝ ，
得r＝ .
又 ＝πr2＝ π，故r＝ ，
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∴ － ＝ .
又｜DF｜＝ ＝
＝2 － x0，
∴ － ＝ － ＝ － ＝
＝ ，
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解得x0＝－ ，y0＝－ ＝－ ，
∴k＝ ＝ ，
∴直线l的方程为y＝ x－ .
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