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(共38张PPT)
培优点2　
圆锥曲线中的设点、设线技巧
PART ONE
　　解决解析几何问题，在遵循“设——列——解”程序化解题的基础上，应突出点与线“设”的重要性，以达到简化运算的目的.
设点的技巧
【例1】　抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l：x＝1交
C于P，Q两点，且OP⊥OQ. 已知点M（2，0），且☉M与l相切.
（1）求抛物线C和☉M的方程；
解：因为x＝1与抛物线有两个不同的交点，
故可设抛物线C的方程为y2＝2px（p＞0）.
令x＝1，则y＝± ，
根据抛物线的对称性，不妨设P在x轴上方，Q在x轴下方，
故P（1， ），Q（1，－ ），
因为OP⊥OQ，
故1＋ ×（－ ）＝0 p＝ ，
故抛物线C的方程为y2＝x，
因为☉M与l相切，故其半径为1，
故☉M的方程为（x－2）2＋y2＝1.
（2）设A1，A2，A3是C上的三个点，直线A1A2，A1A3均与☉M相切.判断
直线A2A3与☉M的位置关系，并说明理由.
解：设A1（ ，y1），A2（ ，y2），A3（ ，y3），
由直线的两点式可知，直线A1A2的方程为（
－ ）（y－y2）＝（y1－y2）（x－ ），
化简可得x－（y1＋y2）y＋y1y2＝0，
因为直线A1A2与圆M相切，
所以 ＝1 （2＋y1y2）2＝1＋（y1＋y2）2，
整理得（ －1） ＋2y1y2＋3－ ＝0，
又 ＝x2，代入得（ －1）x2＋2y1y2＋3－ ＝0，
同理可得（ －1）x3＋2y1y3＋3－ ＝0，
于是直线A2A3的方程为（ －1）x＋2y1y＋3－ ＝0，
设M到直线A2A3的距离为d，
则有d2＝ ＝1，
此时直线A2A3与☉M也相切，
综上，直线A2A3与☉M相切.
1. 由于抛物线方程中只有一个二次元，所以抛物线上动点的坐标可以用一
个字母来表示.
2. 椭圆与双曲线上的点可借助于三角换元设点，若常规设点，一般是用
“设而不求”的思想方法解决问题.
（2024·大连第一次模拟考试）设F1，F2分别是双曲线C： － ＝1（a
＞0，b＞0）的左、右焦点，点A是双曲线C右支上一点，若△AF1F2的内
切圆M的半径为a（M为圆心），且 λ∈R，使得 ＋3 ＝λ
（O为坐标原点），则双曲线C的离心率为（　　）
A. B.
C. 2 D. 2
√
解析：　不妨设点A在第一象限，M（xM，yM），A（xA，yA），则
＝（xM，yM）， ＝（xM－xA，yM－yA），因为 ＋3 ＝
λ ，所以yM－yA＋3yM＝0，得yA＝4yM＝4a，所以 ＝
·2c·4a＝ ·（｜AF1｜＋｜AF2｜＋2c）·a，又｜AF1｜－｜AF2｜＝
2a，所以｜AF1｜＝3c＋a，｜AF2｜＝3c－a.因为F1（－c，0），所
以｜AF1｜＝ ＝ ＝
＝ ＝ xA＋a，所以3c＝ xA，解
得xA＝3a，所以A（3a，4a），代入双曲线C的方程得 －
＝1，解得b＝ a，所以c＝ ＝ a，所以双曲线C的
离心率e＝ ＝ .故选A.
设线的技巧
【例2】　（2024·贵阳适应性考试）已知椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞
0）的左顶点为A，右焦点为F，椭圆C上的点到F的最大距离是短半轴长
的 倍，且椭圆C过点P（ 1， ）.
（1）求椭圆C的方程；
解：（1）由题意知a＋c＝ b，得（a＋c）2＝3b2，
又a2＝b2＋c2，所以（a＋c）2＝3（a2－c2），
化简得a＝2c，所以b＝ c.
因为椭圆C过点P（ 1， ），所以 ＋ ＝1，
所以 ＋ ＝1，解得c＝1.
所以a＝2，b＝ ，所以椭圆C的方程为 ＋ ＝1.
（2）设过点F的直线l与椭圆C相交于M，N两点，直线l的倾斜角为锐
角.若点P（ 1， ）到直线l的距离为 ，求直线PM与直线PN的
斜率之和.
解：由（1）知，F（1，0），设直线l的方程为x＝my＋1（m＞0），
由点P（ 1， ）到直线l的距离为 ，得 ＝ ，解得m＝2.
联立消去x整理得16y2＋12y－9＝0，Δ＞0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1＋y2＝－ ，y1y2＝－ ，
所以直线PM与直线PN的斜率之和为 ＋ ＝ ＋ ＝1－
· ＝0.
　　在圆锥曲线与直线的问题当中，设直线的方法比较多，常见有以下几
种类型：
（1）当题干中直接或者隐含直线过定点（x0，y0）时，可设点斜式y－y0
＝k（x－x0）.
局限性：不能表示垂直于x轴的直线，需要单独讨论；
（2）当题干中含有过y轴上一定点（0，b）时，或者在解题步骤中需要
x1·x2或x1＋x2，需要消掉y，保留x时，设y＝kx＋b会简化解题步骤
和计算量.
局限性：不能表示垂直于x轴的直线，需要单独讨论；
（3）当题干中含有过x轴上一定点（m，0）时，或者在解题步骤中需要
y1·y2或y1＋y2，需要消掉x，保留y时，设x＝ky＋m会简化解题步
骤和计算量.
局限性：不能表示平行于x轴的直线，需要单独讨论.
已知实数m，n满足2mn＝1.令m＝ ，n＝ ，记动点M（x，y）
的轨迹为E.
（1）求E的方程，并说明E是什么曲线；
解：由题意知2· · ＝1，故x2－y2＝2，所以E的方程
为 － ＝1.
由方程得a＝b＝ ，c＝2，
所以E是以（－2，0），（2，0）为焦点，实轴长为2 的等轴
双曲线.
（2）过点F2（2，0）作相互垂直的两条直线l1和l2，l1和l2与E分别交于
点A，B和C，D，证明：｜AB｜＝｜CD｜.
解：证明：当直线l1垂直于x轴时，则AB为通
径，故｜AB｜＝ ＝2 .
此时l2为x轴，此时｜CD｜为实轴长，故｜CD｜
＝2 ，
所以｜AB｜＝｜CD｜；
当直线l1不垂直于x轴时，设l1：x＝ty＋2，l2：x
＝－ y＋2，t≠0，联立
消去x并整理得（t2－1）y2＋4ty＋2＝0，
因为l1与E交于两点，故t≠±1，
此时Δ＝16t2－4（t2－1）×2＝8（t2＋1）＞0，
所以｜AB｜＝ ｜y1－y2｜
＝ · ＝ ，
同理，得｜CD｜＝ ＝ ，
所以｜AB｜＝｜CD｜.
课时跟踪检测
1. 已知抛物线C的方程为y＝ x2，F为其焦点，点N坐标为（0，－4），
过点F作直线交抛物线C于A，B两点，D是x轴上一点，且满足｜
DA｜＝｜DB｜＝｜DN｜.则直线AB的斜率为（　　）
A. ± B. ±
C. ± D. ±
√
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解析：　设A（x1，y1），B（x2，y2），D（a，0），由题意，F
（0，1），设直线AB的方程为y＝kx＋1，联立直线与抛物线方程，可
得x2－4kx－4＝0，x1x2＝－4.又｜DA｜＝｜DB｜＝｜DN｜＝
，故A（x1，y1），B（x2，y2）是圆x2＋y2－2ax－16＝0上
的点.将y＝kx＋1代入方程，得（1＋k2）x2＋（2k－2a）x－15＝
0.∴－ ＝x1x2＝－4.∴k2＝ ，即k＝± .故选B.
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2. （2024·怀化质检）已知P，Q（yPyQ＜0）分别为直线y＝x和y＝－x
上的点，且△OPQ（O为坐标原点）的面积为2，则线段PQ的中点M
的轨迹方程为（　　）
A. x2－y2＝2 B. x2＋y2＝2
C. y2－x2＝2 D. x2＋y2＝4
√
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解析：　如图所示，不妨设P（a，a），Q（b，－
b），M（x，y），则x＝ ，y＝ ，且∠POQ
＝90°，｜OP｜＝｜ a｜，｜OQ｜＝｜ b｜，
∴S△OPQ＝ ·｜ a｜·｜ b｜＝｜ab｜＝2，∵－
ab＜0，∴ab＞0，则ab＝2，∴x2－y2＝ －
＝ab＝2，∴线段PQ的中点M的轨迹方程
为x2－y2＝2.故选A.
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3. （多选）（2024·南宁第一次适应性测试）已知抛物线C：y2＝4x的焦
点为F，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，l1与C交于P，Q两点，l2
与C交于M，N两点，线段PQ的中点为G，线段MN的中点为H，则
（　　）
A. 当｜PF｜＝2｜QF｜时，｜MN｜＝36
B. ｜PQ｜＋｜MN｜的最小值为18
C. 直线GH过定点（4，0）
D. △FGH的面积的最小值为4
√
√
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解析：　对于A，由题意得F（1，0），设直线l1的方程为x＝my＋
1，则直线l2的方程为x＝－ y＋1，由得y2－4my－4＝
0，易知Δ＞0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1＋y2＝4m，y1y2＝
－4，设M（x3，y3），N（x4，y4），同理得y3＋y4＝－ ，y3y4＝－
4，又｜PF｜＝2｜QF｜，所以y1＝－2y2，所以m2＝ ，所以｜MN｜
＝x3＋x4＋2＝－ （y3＋y4）＋2＋2＝ ＋4＝36，故A正确.对于B，
由A知｜MN｜＝x3＋x4＋2＝－ （y3＋y4）＋2＋2＝ ＋4，又｜
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PQ｜＝x1＋x2＋2＝m（y1＋y2）＋2＋2＝4m2＋4，所以｜PQ｜＋｜
MN｜＝ ＋4＋4m2＋4≥16，当且仅当4m2＝ ，即m＝±1时，等号
成立，故B错误.对于C，由A知，G（2m2＋1，2m），H（ ＋1，－
），所以直线GH：y－2m＝ （x－2m2－1），令y＝0，得x
＝3，所以直线GH过定点（3，0），故C错误.对于D，因为直线GH过
定点A（3，0），所以S△FGH＝ ｜FA｜·｜yG－yH｜＝｜yG－yH｜
＝｜2m＋ ｜≥4，当且仅当m＝±1时，等号成立，故D正确.综上，
选A、D.
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4. （2024·南充诊断）已知椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）的左、右焦点
分别为F1，F2，P为C上异于左、右顶点的一点，M为△PF1F2的内
心，若5 ＋3 ＋3 ＝0，则该椭圆的离心率是 　 　.

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解析：设P（x0，y0），M（x，y），由题可得F1（－c，0），F2
（c，0），则 ＝（－c－x，－y）， ＝（c－x，－y），
＝（x0－x，y0－y），因为5 ＋3 ＋3 ＝0，所以5（－c
－x，－y）＋3（c－x，－y）＋3（x0－x，y0－y）＝（0，0），则
可得y＝ ，所以△PF1F2的内切圆半径为 ，由椭圆定义可
得｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，又｜F1F2｜＝2c，所以 ＝ （｜
PF1｜＋｜PF2｜＋｜F1F2｜）× ＝ ｜F1F2｜×｜y0｜，即
（2a＋2c）× ＝ ×2c×｜y0｜，即3a＝8c，所以椭圆的离
心率e＝ ＝ .
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5. （2024·潍坊模拟）已知椭圆E： ＋ ＝1（a＞b＞0）中，点A，C
分别是E的左、上顶点，｜AC｜＝ ，且E的焦距为2 .
（1）求E的方程和离心率；
解：因为｜AC｜＝ ，所以a2＋b2＝5.
因为焦距为2 ，所以半焦距c＝ ，则a2－b2＝3，
解得a2＝4，b2＝1，
所以椭圆E的方程为 ＋y2＝1，其离心率e＝ .
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（2）过点（1，0）且斜率不为零的直线交椭圆于R，S两点，设直
线RS，CR，CS的斜率分别为k，k1，k2，若k1＋k2＝－3，求k
的值.
解：由（1）知C（0，1）.
设R（x1，y1），S（x2，y2），x1x2≠0，所以k1＝ ，k2＝ .
由题意得直线RS：y＝k（x－1）（k≠±1且k≠0），
代入 ＋y2＝1，得（4k2＋1）x2－8k2x＋4k2－4＝0，
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则有x1＋x2＝ ，x1x2＝ .
因为k1＋k2＝－3，
所以k1＋k2＝ ＋ ＝ ＝
＝－3，
即（2k＋3）x1x2－（k＋1）（x1＋x2）＝0，
所以（2k＋3） －（k＋1） ＝0，
整理得k2－2k－3＝0，
又k≠±1，所以k＝3，即k的值为3.
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6. （2024·济南模拟）已知双曲线C： －y2＝1的左、右顶点分别为A1，
A2，过点P（4，0）的直线l与双曲线C的右支交于M，N两点.
（1）若直线l的斜率k存在，求k的取值范围；
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解：设M（x1，y1），N（x2，y2），直线l的方程为x＝
my＋4（m≠0），
联立x＝my＋4与 －y2＝1，消去x可得（m2－4）y2＋8my＋12
＝0.
由
可得－2＜m＜0或0＜m＜2.
由k＝ 可得k的取值范围为（ －∞，－ ）∪（ ，＋∞）.
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（2）记直线A1M，A2N的斜率分别为k1，k2，求 的值；
解：由题意得A1（－2，0），A2（2，0）.
由根与系数的关系可知y1＋y2＝－ ，y1y2＝ .
于是2my1y2＝－3（y1＋y2）.
因此 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝
＝ ＝－ .
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（3）设G为直线A1M与直线A2N的交点，△GMN，△GA1A2的面积分
别为S1，S2，求 的最小值.
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解：由（2）可知k2＝－3k1，于是直线A1M与直线A2N的方程分别为y＝k1（x＋2），y＝－3k1（x－2），
由可得交点G的横坐标为xG＝1，
如图，于是 ＝
＝ · ＝ · ＝
＝
＝ ＝－1＋ ≥－1＋ ＝3，
故 的最小值为3，当且仅当m＝0时等号成立.
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