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培优点3　
圆锥曲线中二级结论的应用
PART ONE
　　圆锥曲线是高中数学的重要内容之一，知识的综合性较强，因而解题时需要运用多种基础知识，采用多种数学手段，熟记各种定义、基本公式、法则固然重要，但要做到迅速、准确地解题，还要掌握一些常用结论，正确灵活地运用这些结论，一些复杂的问题便能迎刃而解.
椭圆、双曲线的焦点三角形
【例1】　（2023·全国甲卷文7题）设F1，F2为椭圆C： ＋y2＝1的两个
焦点，点P在C上，若 · ＝0，则｜PF1｜·｜PF2｜＝（　　）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 5
√
解析：　法一　∵ · ＝0，∴∠F1PF2＝90°.由题意可知b2＝1，
则 ＝ ｜PF1｜·｜PF2｜＝b2·tan ＝1，解得｜PF1｜·｜PF2｜
＝2.故选B.
法二　由题意，得a2＝5，b2＝1，则c2＝a2－b2＝4.∵ · ＝0，
∴PF1⊥PF2，∴｜PF1｜2＋ ＝｜F1F2｜2＝4c2.∵｜PF1｜＋｜
PF2｜＝2a，∴｜PF1｜·｜PF2｜＝ ＝ ＝2.故选B.
必记结论
　　焦点三角形的面积公式：P为椭圆（双曲线）上异于长轴端点的一
点，F1，F2为其焦点，记∠F1PF2＝θ，则：在椭圆中， ＝
b2·tan ；在双曲线中， ＝ .
如图，F1，F2是椭圆C1： ＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别
是C1，C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心
率是（　　）
√
解析：　设双曲线C2的方程为 － ＝1（a2＞0，b2＞0），则有 ＋
＝ ＝ ＝4－1＝3.又四边形AF1BF2为矩形，所以△AF1F2的面积为
tan 45°＝ ，即 ＝ ＝1.所以 ＝ － ＝3－1＝2.故双曲
线的离心率e＝ ＝ ＝ .
椭圆、双曲线的焦半径
【例2】　如图，F1，F2为椭圆 ＋y2＝1的两焦点，P为椭圆上除长轴端
点外的任一点，∠F1PF2的平分线PM与长轴交于点M（m，0），则m的
取值范围是 .
（－ ， ）
解析：设P（x0，y0），则｜PF1｜＝a＋ex0，｜PF2｜＝a－ex0，由角平
分线性质知， ＝ ，于是得 ＝ m＝e2x0＝
x0，因为x0∈（－2，2），所以m∈（－ ， ）.
1. 若点P（x0，y0）在椭圆 ＋ ＝1（a＞b＞0）上，则｜PF1｜＝a＋
ex0，｜PF2｜＝a－ex0（左加右减）.
2. 若点P（x0，y0）在双曲线 － ＝1（a＞0，b＞0）右支上，则｜
PF1｜＝a＋ex0，｜PF2｜＝－a＋ex0（左支添“－”）.
3. 焦半径的数量关系式：直线l过焦点F与椭圆（双曲线）相交于A，B两
点，则 ＋ ＝ .
必记结论
已知椭圆C： ＋ ＝1，过右焦点F2的直线交椭圆于A，B两点，且｜
AF2｜＝2，则｜AB｜＝ 　 　， cos ∠F1AB＝ 　－ 　.
解析：∵a＝4，b＝2，由 ＋ ＝ ，∴ ＋ ＝
，∴｜BF2｜＝ ，∴｜AB｜＝ ，∴｜AF1｜＝6，｜BF1｜＝ ，
∴ cos ∠F1AB＝ ＝ ＝－ .

－
切线、切点弦方程
【例3】　已知椭圆E： ＋ ＝1，点P为直线l：x＝3上的一点，过点
P作椭圆E的两条切线，切点分别为A，B，连接AB，求证：直线AB过定
点M，并求出定点M的坐标.
解：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（3，y0），
过点P且切点在A处的椭圆E的切线方程为 ＋ ＝1，
同理，过点P且切点在B处的椭圆E的切线方程为 ＋ ＝1.
因为点P在直线PA，PB上，
所以
所以直线AB的方程为 ＋ ＝1，
则直线AB过定点M（2，0）.
1. 已知点P（x0，y0）为椭圆（双曲线）上任一点，则过点P与圆锥曲线
相切的切线方程为：在椭圆中 ＋ ＝1；在双曲线中 － ＝1.
2. 若点P（x0，y0）是椭圆（双曲线）外一点，过点P（x0，y0）作椭圆
（双曲线）的两条切线，切点分别为A，B，则切点弦AB的直线方程
是：在椭圆中 ＋ ＝1；在双曲线中 － ＝1.
必记结论
已知椭圆C： ＋y2＝1，直线l：y＝x＋3，则椭圆C上的点到直线l距离
的最大值为（　　）
√
解析：　法一　取椭圆上任意一点P，易知当过点P的直线l1与直线l平
行且与椭圆C相切时，点P到直线l的距离取得最值.设直线l1的方程为y＝
x＋k，与椭圆C的方程联立，得消去x得3y2－2ky＋k2－2
＝0，令Δ＝4k2－12（k2－2）＝0，得k＝± ，数形结合知，当k＝－
时，点P到直线l的距离最大，最大值为 ＝ .故选C.
法二　设P（x0，y0）为椭圆C上一点，则过点P的椭圆C的切线方程为
＋y0y＝1，易知当切线与直线l平行时，点P到直线l的距离取得最值，
所以x0＝－2y0，又P（x0，y0）在椭圆C上，所以 ＋ ＝1，即2 ＋
＝1，得y0＝± ，则点P的坐标为（ － ， ）或（ ，－ ）.
易知点P的坐标为（ ，－ ）时，点P到直线l的距离最大，最大值为
＝ .故选C.
椭圆、双曲线的第三定义
【例4】　已知椭圆C： ＋y2＝1，A，B为长轴端点，点M1，
M2，…，M5是AB的六等分点，分别过这五点作斜率为k（k≠0）的一组
平行线，交椭圆C于P1，P2，…，P10，则直线AP1，AP2，…，AP10这10
条直线的斜率乘积为（　　）
√
解析：　如图所示，由椭圆的性质可得
· ＝ · ＝－ ＝－ .由椭圆的对
称性可得 ＝ ， ＝ ，所以
· ＝－ .同理可得 · ＝
· ＝ · ＝ · ＝－ .所以直
线AP1，AP2，…，AP10这10条直线的斜率乘积
为（－ ）5＝－ .故选B.
必记结论
　　已知点P为椭圆（双曲线）上异于A，B的任一点，A，B为长轴（实
轴）端点，则椭圆中kPA·kPB＝－ ，双曲线中kPA·kPB＝ .
椭圆C： ＋ ＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2斜
率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（　　）
√
解析：　设P点坐标为（x0，y0），则 ＋ ＝1， ＝ ，
＝ ，于是 · ＝ ＝ ＝－ .故 ＝－
· .∵ ∈[－2，－1]，∴ ∈［ ， ］.
圆锥曲线的垂径定理
【例5】　已知双曲线E的中心为原点，F（3，0）是E的焦点，过F的直
线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为M（－12，－15），则E的方
程为（　　）
√
解析：　由题意可知kAB＝ ＝1，kMO＝ ＝ ，由双曲线的垂径
定理得kMO·kAB＝ ，即 ＝ ，又9＝a2＋b2，联立解得a2＝4，b2＝5，
故双曲线E的方程为 － ＝1.
1. 若AB是椭圆 ＋ ＝1（a＞b＞0）的不平行于对称轴的弦，M
（x0，y0）为AB的中点，则kOM·kAB＝e2－1＝－ .
2. 若AB是双曲线 － ＝1（a＞0，b＞0）的不平行于对称轴的弦，M
（x0，y0）为AB的中点，则kOM·kAB＝e2－1＝ .
必记结论
椭圆 ＋ ＝1中以点M（2，1）为中点的弦所在的直线方程为（　　）
A. 4x＋9y－17＝0
B. 4x－9y－17＝0
√
解析：　设以点M（2，1）为中点的弦的两端点为A（x1，y1），B
（x2，y2），则有两式相减得 ＋ ＝0，因为M
（2，1）为中点，所以 ＝2， ＝1，所以斜率k＝ ＝－
＝－ （ 或直接利用结论k＝－ · ＝－ × ＝－ ），所以
所求直线方程为y－1＝－ （x－2），即4x＋9y－17＝0.
双曲线中有关渐近线的距离
【例6】　（2024·长春模拟）已知F1，F2分别是双曲线C： － ＝1
（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线C上的动点，｜F1F2｜＝
10，｜PF1｜－｜PF2｜＝6，点P到双曲线C的两条渐近线的距离分别为
d1，d2，则 ＝（　　）
D. 2
√
解析：　由｜F1F2｜＝2c＝10，得c＝5.因为｜PF1｜－｜PF2｜＝2a＝
6，所以a＝3.又因为c2＝a2＋b2，所以b＝4，所以d1d2＝ ＝ ，所
以 ＝ .
1. 双曲线的焦点到渐近线的距离为常数b.
2. 双曲线的顶点到渐近线的距离为常数 .
3. 双曲线上任意一点P到两渐近线的距离乘积为定值 .
必记结论
　过双曲线x2－y2＝2上任意一点P（m，n）分别作两条渐近线的垂线，
垂足分别为A，B，则四边形OAPB的面积为（　　）
B. 1
C. 2 D. 4
解析：　双曲线x2－y2＝2的渐近线为x＋y＝0或x－y＝0，直线x＋y＝
0与x－y＝0相互垂直，又PA⊥OA，PB⊥OB，所以四边形OAPB为矩
形，所以四边形OAPB的面积为｜PA｜×｜PB｜＝ ＝1，故选B.
√
抛物线的焦点弦
【例7】　过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是
原点，若｜AF｜＝3，则△AOB的面积为（　　）
√
解析：　∵y2＝4x，∴p＝2，又由题意知 ＋ ＝ ，∴ ＋
＝ ＝1，∴｜BF｜＝ .设∠AFx＝θ（0＜θ＜π），由｜AB｜
＝｜AF｜＋｜BF｜＝ ＝ ，即3＋ ＝ ，∴ sin 2θ＝ ， sin
θ＝ ，则△AOB的面积S△AOB＝ ＝ ＝ ，故选C.
（1）x1x2＝ ，y1y2＝－p2；
（2）焦半径｜AF｜＝x1＋ ＝ ，｜BF｜＝x2＋ ＝ ；
（3）焦点弦长｜AB｜＝x1＋x2＋p＝ ，且 ＋ ＝ ；
（4）S△OAB＝ （O为坐标原点）.
必记结论
　　若倾斜角为α（α≠ ）的直线l经过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦
点，且与抛物线相交于A（x1，y1），B（x2，y2）（y1＞y2）两点，则
已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F作两条相互垂直的直线l1，l2，
直线l1与C相交于A，B两点，直线l2与C相交于D，E两点，则｜AB｜
＋｜DE｜的最小值为（　　）
A. 16 B. 14
C. 12 D. 10
√
解析：　如图，设直线l1的倾斜角为θ，θ∈（0，
），则直线l2的倾斜角为 ＋θ，由抛物线的焦点弦弦长
公式知｜AB｜＝ ＝ ，｜DE｜＝
＝ ，∴｜AB｜＋｜DE｜＝ ＋ ＝
＝ ≥16，当且仅当 sin 2θ＝1，即θ＝ 时取等
号.∴｜AB｜＋｜DE｜的最小值为16.
课时跟踪检测
1. 已知椭圆C： ＋ ＝1的两焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点，且
∠F1PF2＝ ，则△PF1F2的面积为（　　）
A. 6
解析：　设∠F1PF2＝θ，根据焦点三角形面积公式可知，
＝b2tan ＝6·tan ＝2 .
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√
2. 已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过点F的
直线与抛物线C交于A，B两点，若 · ＝－12，则抛物线C的方程
为（　　）
A. x2＝8y B. x2＝4y
C. y2＝8x D. y2＝4x
解析：　设抛物线为y2＝2px（p＞0），A（x1，y1），B（x2，
y2），则x1x2＝ ，y1y2＝－p2，得 · ＝x1x2＋y1y2＝ －p2＝－
p2＝－12，得p＝4，即抛物线C的方程为y2＝8x.故选C.
√
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3. 已知A，B是椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）的左、右顶点，M是椭
圆上不同于A，B的任意一点，若直线AM，BM的斜率之积为－ ，则
椭圆C的离心率为（　　）
解析：　椭圆上不同于A，B的任意一点与左、右顶点的斜率之积为
－ ，∴－ ＝－ ，∴ ＝ ，∴椭圆的离心率e＝ ＝
＝ .
√
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4. 如图，A，B分别是椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）的左、右顶点，
点P在以AB为直径的圆O上（点P异于A，B两点），线段AP与椭圆
C交于另一点Q，若直线BP的斜率是直线BQ的斜率的4倍，则椭圆C
的离心率为（　　）
√
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解析：　根据椭圆的第三定义可知kAQ·kBQ＝e2－1，又
所以kAQ·kBP＝4kAQ·kBQ＝4（e2－1）＝－1 e＝ .
故选C.
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5. 已知双曲线C的左、右焦点分别为F1（－ ，0），F2（ ，0），过
F2的直线与C的右支交于A，B两点.若 ＝2 ，｜AB｜＝｜
F1B｜，则双曲线C的方程为（　　）
√
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解析：　如图，令｜F2B｜＝t，则｜AF2｜＝2t，
∴｜AB｜＝3t，｜F1B｜＝3t，又 ＋
＝ ，∴ ＋ ＝ ，即 ＝ ，又｜F1B｜－｜
F2B｜＝2a，∴3t－t＝2a，∴2t＝2a，∴t＝a，
∴ ＝ ，即3b2＝4a2，又c＝ ，∴a2＋b2＝7，解
得b2＝4，a2＝3，故双曲线C的方程为 － ＝1.
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6. 已知双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0），过原点O的直线交C于
A，B两点（点B在右支上），双曲线右支上一点P（异于点B）满足
· ＝0，直线PA交x轴于点D，若∠ADO＝∠AOD，则双曲线C
的离心率为（　　）
B. 2 D. 3
解析：　如图，∵ · ＝0，∴BA⊥BP，令kAB
＝k，∵∠ADO＝∠AOD，∴kAP＝－kAB＝－k，又
BA⊥BP，∴kPB＝－ ，依题意知kPB·kPA＝ ，∴
－ ·（－k）＝ ，∴ ＝1，即e＝ .
√
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7. （多选）已知斜率为 的直线l经过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦
点F，与抛物线C交于A，B两点（点A在第一象限），与抛物线的准
线交于点D，若｜AB｜＝8，则以下结论正确的是（　　）
B. ｜AF｜＝6
C. ｜BD｜＝2｜BF｜ D. F为AD中点
√
√
√
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解析： 　设直线AB的倾斜角为θ，则θ＝ ，利用抛物线的焦点
弦的性质，由｜AB｜＝ ＝8，则p＝3，｜AF｜＝ ＝6，｜
BF｜＝ ＝2， ＋ ＝ ＝ ，过点B作准线的垂线，
垂足为B'，在Rt△DBB'中， cos θ＝ ，所以｜BD｜＝4，｜
DF｜＝｜BF｜＋｜BD｜＝6，因此F为AD中点.故选B、C、D.
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8. （多选）（2024·泸州阶段练习）已知双曲线C： － ＝1（a＞0，b
＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过右焦点F2的直线l与双曲线的右
支交与A，B两点，则下列说法中正确的是（　　）
B. 若｜AB｜＝m，则△F1AB的周长为2m＋4a
√
√
√
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解析：　弦AB的最小值为通径 ，故A正确；由双曲线的定义
得｜AF1｜－｜AF2｜＝2a，｜BF1｜－｜BF2｜＝2a，所以｜AF1｜
＝｜AF2｜＋2a，｜BF1｜＝｜BF2｜＋2a，｜AF1｜＋｜BF1｜＝｜
AF2｜＋2a＋｜BF2｜＋2a＝｜AB｜＋4a，则△F1AB的周长为｜
AF1｜＋｜BF1｜＋｜AB｜＝2｜AB｜＋4a＝2m＋4a，故B正确；根
据双曲线中的垂径定理可得kAB·kOM＝ ，故C正确；若直线AB的斜率
为 ，所以 ＜ ，所以b2＜3a2，所以c2＜4a2，所以e＝ ∈（1，
2），故D错误.故选A、B、C.
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9. 已知双曲线 － ＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，
过F2作渐近线的垂线交双曲线的左支于点P，已知 ＝ ，则双曲
线的渐近线方程为 .
y＝±2x
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解析：依题意， ＝ ，｜PF2｜－｜PF1｜＝2a，则｜PF2｜＝
4a，｜PF1｜＝2a.令双曲线的半焦距为c，又点F2（c，0）到渐近线
的距离为b，则有 cos ∠PF2F1＝ .在△PF1F2中，由余弦定理得｜
F1F2｜2＋｜PF2｜2－2｜F1F2｜｜PF2｜ cos ∠PF2F1＝｜PF1｜2，即
（2c）2＋（4a）2－2·2c·4a· ＝（2a）2，整理得c2＋3a2－4ab＝0，
即4a2－4ab＋b2＝0，解得b＝2a，所以双曲线的渐近线方程为y＝
±2x.
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10. 已知P是椭圆 ＋ ＝1（a1＞b1＞0）和双曲线 － ＝1（a2＞0，
b2＞0）的一个交点，F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，e1，e2分别
为椭圆和双曲线的离心率，若∠F1PF2＝ ，则e1·e2的最小值
为

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解析：因为点P为椭圆和双曲线的公共点，F1，F2是两曲线的公共焦
点，则由焦点三角形的面积公式得 ＝ tan ＝ ，化简得
＝3 ，即 －c2＝3（c2－ ），等式两边同除c2，得 －1＝3
－ ，所以4＝ ＋ ≥ ，解得e1·e2≥ ，所以e1·e2的最小值为
.
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