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(共76张PPT)
第1讲　小题研透
——函数的图象与性质
目录
CONTENTS
课时跟踪检测
锁定高考·明方向
研透高考·攻重点
有的放矢 事半功倍
重难攻坚 快速提升
01
锁定高考·明方向
有的放矢 事半功倍
一、考情分析
高频考点 高考预测
函数图象的识别及应用 在选择、填空题中会继续考查函数
图象的识别、判断及函数单调性、
奇偶性、周期性、对称性的综合应
用；利用图象、研究函数性质、求
方程及不等式的解集也时有出现
函数单调性、奇偶性的判断及应用 函数单调性、奇偶性、对称性、周期
性的综合应用（求值、比较大小、解
不等式等） 二、真题感悟
1. （2024·天津高考4题）（函数的奇偶性）下列函数是偶函数的是
（　　）
√
解析：　对于A，f（－x）＝ ＝ ≠f（x），故f
（x）不是偶函数；对于B，f（－x）＝ ＝ ＝
f（x），故f（x）是偶函数；对于C，f（x）的定义域为{x｜x≠－
1}，不关于原点对称，故f（x）不是偶函数；对于D，f（－x）＝
＝ ＝－ ＝－f（x），故f（x）是奇函
数.故选B.
2. （2024·全国甲卷理7题）（函数图象的识别）函数y＝－x2＋（ex－e－
x） sin x在区间[－2.8，2.8]的图象大致为（　　）
√
解析：　由题知函数y＝f（x）的定义域为R，关于原点对称，f（－
x）＝－（－x）2＋（e－x－ex） sin （－x）＝－x2＋（ex－e－x） sin x
＝f（x），所以函数f（x）为偶函数，函数图象关于y轴对称，排除
A、C；f（1）＝－1＋（e－ ） sin 1＞－1＋（e－ ） sin ＝－1＋
－ ＞0，排除D. 故选B.
3. （2024·新高考Ⅰ卷6题）（分段函数单调性的应用）已知函数f（x）＝
在R上单调递增，则a的取值范围是（　　）
A. （－∞，0] B. [－1，0]
C. [－1，1] D. [0，＋∞）
解析：　因为f（x）在R上单调递增，且x≥0时，f（x）＝ex＋ln
（x＋1）单调递增，则需满足解得－1≤a≤0，即a
的取值范围是[－1，0].故选B.
√
4. （2023·新高考Ⅱ卷4题）（利用函数性质求参数）若f（x）＝（x＋a）
ln 为偶函数，则a＝（　　）
A. －1 B. 0 D. 1
解析：　法一　因为f（x）＝（x＋a）ln 为偶函数，f（－1）
＝（a－1）ln 3，f（1）＝（a＋1）ln ＝－（a＋1）ln 3，所以（a－
1）ln 3＝－（a＋1）ln 3，解得a＝0，故选B.
√
法二　要使函数f（x）有意义，必须满足 ＞0，解得x＜－ 或x＞ .
因为函数f（x）是偶函数，所以对任意x∈（－∞，－ ）∪（ ，＋
∞），都有f（－x）＝f（x），即（－x＋a）·ln ＝（x＋a）
ln ，则（x－a）ln ＝（x＋a）ln 对任意x∈（－∞，－ ）
∪（ ，＋∞）恒成立，所以a＝0.故选B.
5. （2022·全国乙卷理12题）（函数周期性、对称性的应用）已知函数f
（x），g（x）的定义域均为R，且f（x）＋g（2－x）＝5，g（x）
－f（x－4）＝7.若y＝g（x）的图象关于直线x＝2对称，g（2）＝
4，则 f（k）＝（　　）
A. －21 B. －22 C. －23 D. －24
√
解析：　由y＝g（x）的图象关于直线x＝2对称，可得g（2＋x）
＝g（2－x）.在f（x）＋g（2－x）＝5中，用－x替换x，可得f
（－x）＋g（2＋x）＝5，可得f（－x）＝f（x）　①，y＝f（x）
为偶函数.在g（x）－f（x－4）＝7中，用2－x替换x，得g（2－x）
＝f（－x－2）＋7，代入f（x）＋g（2－x）＝5中，得f（x）＋f
（－x－2）＝－2　②，所以y＝f（x）的图象关于点（－1，－1）中
心对称，所以f（1）＝f（－1）＝－1.由①②可得f（x）＋f（x＋2）
＝－2，所以f（x＋2）＋f（x＋4）＝－2，所以f（x＋4）＝f
（x），所以函数f（x）是以4为周期的周期函数.由f（x）＋g（2－
x）＝5可得f（0）＋g（2）＝5，又g（2）＝4，所以可得f（0）＝1，
又f（x）＋f（x＋2）＝－2，所以f（0）＋f（2）＝－2，得f（2）＝－
3，又f（3）＝f（－1）＝－1，f（4）＝f（0）＝1，所以 f（k）＝
6f（1）＋6f（2）＋5f（3）＋5f（4）＝6×（－1）＋6×（－3）＋5×
（－1）＋5×1＝－24.故选D.
1. 函数的性质
（1）单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质.证明函数的单调
性时，规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论.复合函
数的单调性遵循“同增异减”的原则；
（2）奇偶性：①若f（x）是偶函数，则f（x）＝f（－x）；
②若f（x）是奇函数，0在其定义域内，则f（0）＝0；
③奇函数在关于原点对称的区间内有相同的单调性，偶函数在关
于原点对称的区间内有相反的单调性；
（3）周期性：若y＝f（x）对x∈R，f（x＋a）＝f（x－a）或f（x
＋2a）＝f（x）（a＞0）恒成立，则y＝f（x）是周期为2a的
周期函数.
易错提醒　在讨论函数奇偶性，单调性等内容时，易忽略函数的
定义域而导致错解.
2. 常用结论
（1）若函数y＝f（x）满足f（a＋x）＝f（a－x），即f（x）＝f
（2a－x），则y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称；
（2）若函数y＝f（x）满足f（a＋x）＝－f（a－x），即f（x）＝
－f（2a－x），则y＝f（x）的图象关于点（a，0）对称；
（3）若y＝f（x）是偶函数，其图象又关于直线x＝a对称，则f（x）
是周期为2｜a｜的周期函数；
（4）若y＝f（x）是奇函数，其图象又关于直线x＝a对称，则f（x）
是周期为4｜a｜的周期函数；
（5）若f（x＋a）＝－f（x） ，则y＝f
（x）是周期为2｜a｜的周期函数.
02
研透高考·攻重点
重难攻坚 快速提升
函数的图象
考向1　函数图象的识别
【例1】　（1）（2024·保定二模）函数f（x）＝ · cos 2x的部分图象
大致为（　　）
√
解析：设g（x）＝ ，则g（－x）＝ ＝ ＝－g
（x），所以g（x）为奇函数，设h（x）＝ cos 2x，可知h（x）
为偶函数，所以f（x）＝ · cos 2x为奇函数，则B、C错误；易
知f（0）＝0，所以A正确，D错误.故选A.
（2）（2024·河南TOP二十名校调研）如图是函数f（x）＝
（a∈R，b∈N*）的部分图象，则（　　）
A. a＞0，b是奇数 B. a＜0，b是奇数
C. a＞0，b是偶数 D. a＜0，b是偶数
√
解析：当b为偶数时，f（x）恒大于0，不符合题图，所以b为奇
数，当x＝－a时，f（x）＝0，从题图可知此时－a＜0，即a＞0.
故选A.
寻找函数图象与解析式对应关系的方法
（1）知式选图：①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值
域，判断图象的上下位置；②从函数的单调性，判断图象的变化趋
势；③从函数的奇偶性，判断图象的对称性；④从函数的周期性，
判断图象的循环往复；
（2）知图选式：①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值
域；②从图象的变化趋势，观察函数的单调性；③从图象的对称
性，观察函数的奇偶性；④从图象的循环往复，观察函数的周期性.
考向2　函数图象的应用
【例2】　已知f（x）＝不等式f（x＋a）＞f
（2a－x）在[a，a＋1]上恒成立，则实数a的取值范围是 .
解析：作出函数f（x）＝的图象，
如图.要使不等式f（x＋a）＞f（2a－x）在[a，a＋1]
上恒成立，则x＋a＜2a－x在[a，a＋1]上恒成立，即a
＞2x在x∈[a，a＋1]上恒成立，所以a＞2（a＋1），解
得a＜－2.所以实数a的取值范围是（－∞，－2）.
（－∞，－2）
1. 利用函数的图象研究方程或不等式
当方程或不等式不能用代数法求解，但其与函数有关时，常转化为两函
数图象的关系问题，从而利用数形结合求解.
2. 利用函数的图象研究函数的性质
对于已知或解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图
象研究：
（1）从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；
（2）从图象的对称性，分析函数的奇偶性；
（3）从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性.
1. 已知函数f（x）＝则y＝－f（x）的图象大致为
（　　）
√
解析：　结合题意可得：当x＜0时，f（x）＝x－2＝
为幂函数，其在（－∞，0）上单调递增；当x≥0
时，f（x）＝ ＝ 也为幂函数，其在[0，＋∞）上
单调递增.故函数f（x）＝的大致图象如
图所示.要得到y＝－f（x）的图象，只需将y＝f（x）
的图象沿x轴对称即可.故选C.
2. （2024·金丽衢十二校第二次联考）已知函数f（x）＝
若f（x1）＝f（x2）（x1＜x2），则x2－x1的取值范
围为（　　）
A. [e，＋∞） B. [4－2ln 2，＋∞）
C. [4－2ln 2，e] D. [e－1，＋∞）
√
解析：　作出f（x）的图象，如图.由图象可知 x1
＋1＝ln x2，即x1＝2ln x2－2，所以x2－x1＝x2－2ln x2
＋2，由图象可得x2∈（0，e]，设h（x）＝x－2ln x
＋2，x∈（0，e].则h'（x）＝1－ ＝ ，x∈（0，e].令h'（x）＝ ＝0，则x＝2，当h'（x）＞0时x∈（2，e]，当h'（x）＜0时x∈（0，2），所以h（x）＝x－2ln x＋2在（0，2）上单调递减，在
（2，e]上单调递增.所以h（x）在x＝2时取得最小值，h（2）＝4－2ln 2，可得x2－x1∈[4－2ln 2，＋∞）.故选B.
函数的性质及应用
考向1　函数的单调性与最值
【例3】　（1）已知函数f（x）的定义域为R，且f（1）＝1，对任意的x1
＜x2，有 ＞－1，则不等式f（｜x－1｜）＜2－｜x－1｜
的解集为 ；
（0，2）
解析：对任意的x1＜x2，有 ＞－1，则f（x1）－f（x2）＜x2－x1，即f（x1）＋x1＜f（x2）＋x2，则y＝f（x）＋x在R上是增函数.因为f（｜x－1｜）＜2－｜x－1｜，且f（1）＝1，f（｜x－1｜）＋｜x－1｜＜f（1）＋1，则｜x－1｜＜1，解得0＜x＜2.
（2）已知函数y＝f（x）是定义域为R的奇函数，且当x＜0时，f（x）
＝x＋ ＋1.若函数y＝f（x）在[1，＋∞）上的最小值为3，则实
数a＝ .
4
解析：因为y＝f（x）是定义域为R的奇函数，且当x＜0时，f
（x）＝x＋ ＋1.当x＞0时，－x＜0，则f（－x）＝－x－ ＋1＝
－f（x），所以当x＞0时，f（x）＝x＋ －1，此时f'（x）＝1－
，当a≤1时f'（x）＝1－ ≥0在[1，＋∞）上恒成立，函数f
（x）在[1，＋∞）上单调递增，当x＝1时，函数取得最小值，f
（1）＝1＋a－1＝3，解得a＝3（舍），当a＞1时，x∈[1，
]，f'（x）＜0，函数单调递减；x∈[，＋∞），f'（x）＞0，
函数单调递增，故x＝ 时，函数取得最小值，f（ ）＝2 －1
＝3，解得a＝4，综上，a＝4.
函数单调性应用问题的常见类型及解题策略
（1）比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利
用函数的单调性解决；
（2）在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将
“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解.此时，应特别注意
函数的定义域；
（3）利用单调性求解最值问题，应先确定函数的单调性，然后再由单调
性求解；
（4）利用单调性求参数时，通常要把参数视为已知数，根据函数的图象
或单调性定义，确定函数的单调区间，将其转化到同一单调区间比
较求参数.
考向2　奇偶性、周期性与对称性
【例4】　（1）（多选）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x＋2）＋f
（x）＝0，且y＝f（2－x）为偶函数，则下列说法一定正确的是
（　BC　）
A. 函数f（x）的周期为2
B. 函数f（x）的图象关于（1，0）对称
C. 函数f（x）为偶函数
D. 函数f（x）的图象关于x＝3对称
√
√
解析：依题意，定义在R上的函数f（x）满足f（x＋2）＝－f
（x），则f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），函数f（x）的周期
为4，A错误；因为函数y＝f（2－x）是偶函数，则f（2－x）＝f
（2＋x），函数f（x）的图象关于x＝2对称，且f（2－x）＝－f
（x），即f（2－x）＋f（x）＝0，函数f（x）的图象关于（1，
0）对称，B正确；由f（2－x）＝f（2＋x）得f（－x）＝f（4＋
x）＝f（x），则函数f（x）为偶函数，C正确；由f（x＋2）＋f
（x）＝0得f（x＋3）＋f（1＋x）＝0，由f（2－x）＝f（2＋x）
得f（3－x）＝f（1＋x），因此f（x＋3）＋f（3－x）＝0，函数
f（x）的图象关于（3，0）对称，D错误.故选B、C.
（2）已知函数f（x）＝a－ （a∈R）是奇函数，则函数f（x）的值
域为 .
解析：法一　由f（x）是奇函数知f（－x）＝－f（x），所
以a－ ＝－a＋ ，得2a＝ ＋ ＝2，所以a＝1，所
以f（x）＝1－ .因为ex＋1＞1，所以0＜ ＜1，所以－1＜1
－ ＜1，所以函数f（x）的值域为（－1，1）.
（－1，1）
法二　函数f（x）的定义域为R，且函数f（x）是奇函数，所以f（0）＝
a－1＝0，即a＝1，所以f（x）＝1－ .因为ex＋1＞1，所以0＜
＜1，所以－1＜1－ ＜1，所以函数f（x）的值域为（－1，1）.
函数的奇偶性、周期性及对称性
（1）奇偶性：具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上，其图象、函
数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可以转化到部分（一
般取一半）区间上，注意偶函数常用结论f（x）＝f（｜x｜）；
（2）周期性：利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在
已知区间上的问题转化到已知区间上求解；
（3）对称性：常围绕图象的对称中心或对称轴设置试题，利用图象对称
中心或对称轴的性质简化所求问题.
1. 已知函数f（x）＝e｜x｜－ cos x，则f（ ），f（0），f（－ ）的大
小关系为（　　）
√
解析：　∵f（x）＝e｜x｜－ cos x，∴f（－x）＝e｜－x｜－ cos （－
x）＝e｜x｜－ cos x＝f（x），∴f（x）为偶函数，∴f（ ）＝f（－
）.当x＞0时，f（x）＝ex－ cos x，则f'（x）＝ex＋ sin x，当x∈
（0，＋∞）时，f'（x）＝ex＋ sin x＞0，∴函数f（x）在（0，＋∞）
上单调递增，∴f（0）＜f（ ）＜f（ ），即f（0）＜f（－ ）＜f
（ ）.
2. 设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（1＋x）＝f（1－x），当－
1≤x＜0时，f（x）＝log2（－6x＋2），则f（ ）＝（　　）
A. －1 B. －2
C. 2 D. 1
√
解析：　因为f（1＋x）＝f（1－x），所以函数f（x）的图象关于
直线x＝1对称.因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，所以函数f
（x）的图象关于点（0，0）对称，所以函数f（x）是以4为周期的周
期函数，又当－1≤x＜0时，f（x）＝log2（－6x＋2），所以f（ ）
＝f（8＋ ）＝f（ ）＝－f（－ ）＝－log2［－6×（－ ）＋2］＝
－log24＝－2，故选B.
03
课时跟踪检测
1. 已知函数f（x）＝则f（log212）＝（　　）
解析：　f（log212）＝f（log212－1）＝f（log26）＝f（log26－1）
＝f（log23）＝ ＋ ＝3＋ ＝ ，故选A.
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√
2. 下列函数中，在定义域内既是增函数，又是奇函数的是（　　）
A. f（x）＝tan x
C. f（x）＝x－ cos x D. f（x）＝ex－e－x
√
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解析：　对于A，f（x）＝tan x为奇函数，但在定义域内不单调，不
符合题意.对于B，f（x）＝－ ，定义域为（－∞，0）∪（0，＋
∞），f（－x）＝－ ＝ ＝－f（x），所以f（x）为奇函数，其在
（－∞，0）和（0，＋∞）上都是单调递增的，但在整个定义域内不单
调，不符合题意.对于C，f（x）＝x－ cos x，f（－x）＝－x－ cos
（－x）＝－x－ cos x≠－f（x），故函数f（x）＝x－ cos x不是奇
函数，不符合题意.对于D，y＝ex和y＝－e－x＝－（ ）x在R上均是增
函数，所以f（x）＝ex－e－x在R上是增函数，又f（－x）＝e－x－ex
＝－f（x），所以f（x）是奇函数，符合题意，故选D.
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3. 已知对数函数f（x）＝logax（a＞0且a≠1），将函数f（x）的图象
上所有点的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的3倍，得到函数g（x）的
图象，再将g（x）的图象向上平移2个单位长度，所得图象恰好与函数
f（x）的图象重合，则a的值是（　　）
√
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解析：　将函数f（x）的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标扩大为
原来的3倍，可得到函数g（x）的图象，所以g（x）＝loga ，即g
（x）＝logax－loga3.将g（x）的图象向上平移2个单位长度，所得图
象的函数解析式为y＝logax－loga3＋2，该函数图象恰好与函数f（x）
的图象重合，所以－loga3＋2＝0，所以a2＝3.又a＞0且a≠1，则a＝
，故选D.
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4. （2024·六盘水联考）已知函数f（x）＝x3＋x＋1，若f（1－x）＋f
（2x）＞2，则x的取值范围是（　　）
A. （－∞，－1） B. （－∞，1）
C. （－1，＋∞） D. （1，＋∞）
解析：　令g（x）＝f（x）－1＝x3＋x，易知g（x）为奇函数且g
（x）在R上单调递增.由f（1－x）＋f（2x）＞2得f（1－x）－1＋f
（2x）－1＞0，则g（1－x）＋g（2x）＞0，所以g（1－x）＞－g
（2x）＝g（－2x），所以1－x＞－2x，解得x＞－1.故选C.
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5. （多选）已知函数f（x）＝｜x－1｜－1，下列结论正确的是（　　）
A. f（x）是偶函数
B. f（x）在（0，＋∞）上单调递增
C. f（x）的图象关于直线x＝1对称
D. f（x）的图象与x轴围成的三角形的面积为1
√
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解析：　因为f（－x）＝｜－x－1｜－1＝｜x
＋1｜－1≠f（x），所以f（x）不是偶函数，A错
误；f（x）＝可知当0＜x＜1时，
f（x）单调递减，B错误；f（2－x）＝｜2－x－
1｜－1＝｜1－x｜－1＝｜x－1｜－1＝f（x），
所以f（x）的图象关于直线x＝1对称，C正确；作
出f（x）的部分图象如图所示，f（x）的图象与x
轴的两个交点分别为点（0，0）和点（2，0），f
（1）＝－1，所以f（x）的图象与x轴围成的三角
形的面积为 ×2×1＝1，D正确.故选C、D.
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6. （2024·开封第二次质量检测）若函数f（x）＝是奇
函数，则实数a＝ .
解析：因为函数f（x）是奇函数，所以f（－x）＝－f（x），当x＞0
时，－x＜0，f（－x）＝－a2x－1，－f（x）＝－x－a，则－a2x－
1＝－x－a，可得a＝1.
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7. （2024·哈尔滨第三中学第一次验收）若函数f（2x－1）的定义域为[－
1，1]，则函数y＝ 的定义域为（　　）
A. （－1，2] B. [0，2]
C. [－1，2] D. （1，2]
解析：　由函数f（2x－1）的定义域为[－1，1]，即－1≤x≤1，得
－3≤2x－1≤1，因此由函数y＝ 有意义，得
解得1＜x≤2，所以函数y＝ 的定义域为
（1，2].故选D.
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8. 已知函数f（x）对任意的x∈R都有f（x＋8）＝－f（x），若y＝f
（x＋2）的图象关于点（－2，0）对称，且f（3）＝3，则f（43）＝
（　　）
A. 0 B. －3
C. 3 D. 4
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解析：　由于 y＝f（x＋2）的图象关于点（－2，0）对称，故y＝f
（x）的图象关于点（0，0）对称，即y＝f（x）为奇函数，又f（x＋
8）＝－f（x），则f（x＋16）＝－f（x＋8）＝f（x），即16为f
（x）的周期，令x＝－3代入f（x＋8）＝－f（x），则f（5）＝－f
（－3）＝f（3）＝3，故f（43）＝f（43－3×16）＝f（－5）＝－f
（5）＝－3，故选B.
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9. （2024·南通质量监测）已知函数f（x）的部分图象如图，则f（x）的
解析式可能为（　　）
C. f（x）＝ cos x·ln ｜x｜ D. f（x）＝ sin x·ln ｜x｜
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解析：　由题图知，f（x）为奇函数，且定义域为{x｜x≠0}，对于
A，f（－x）＝ ＝ ＝f（x），故f（x）为偶函数，
不符合题意；对于B，f（－x）＝ ＝ ≠－f（x），
故f（x）不是奇函数，不符合题意；对于C，f（－x）＝ cos （－
x）·ln ｜－x｜＝ cos x·ln ｜x｜＝f（x），故f（x）为偶函数，不符
合题意.对于D，f（x）＝ sin x·ln ｜x｜的定义域为{x｜x≠0}，f（－
x）＝ sin （－x）·ln ｜－x｜＝－ sin x·ln ｜x｜＝－f（x），所以f
（x）＝ sin x·ln ｜x｜是奇函数，故选项D正确.故选D.
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10. 已知函数f（x）对任意的x∈R都有f（x）＝f（2－x）成立，且当
x≥1时，f（x）＝2x－1，则（　　）
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解析：　由题意知，函数f（x）的图象的对称轴方程是x＝1，当
x≥1时，f（x）＝2x－1，则函数f（x）在[1，＋∞）上单调递增，
由f（x）的对称性知f（x）在（－∞，1）上单调递减.又因为f
（ ）＝f（ ）， ＜ ＜ ，所以f（ ）＞f（ ）＞f（ ），即f
（ ）＜f（ ）＜f（ ）.故选B.
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11. （多选）（2024·南宁第一次适应性测试）已知函数f（x）的定义域为
R，f（x＋y）f（x－y）＝f2（x）－f2（y），且当x＞0时，f
（x）＞0，则（　　）
A. f（0）＝1 B. f（x）是奇函数
C. f（x）是增函数 D. f（x）是周期函数
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解析：　令x＝y＝0，则f2（0）＝f2（0）－f2（0），得f（0）＝
0；令x＝0，y＞0，得f（y）f（－y）＝f2（0）－f2（y），得f
（y）f（－y）＝－f2（y），整理得f（y）（f（－y）＋f（y））
＝0，又当x＞0时，f（x）＞0，所以f（y）＞0，故f（－y）＋f
（y）＝0.综上，f（x）是奇函数.设x2＞x1＞0，则f（x1）＞0，f
（x2）＞0，f（x1＋x2）＞0，f（x2－x1）＞0，f2（x2）－f2（x1）＝
（f（x2）＋f（x1））（f（x2）－f（x1））＝f（x2＋x1）·f（x2－
x1）＞0，所以f（x2）－f（x1）＞0，又f（0）＝0，f（x）是奇函
数，故f（x）在R上是增函数，故f（x）不是周期函数.故选B、C.
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12. （多选）已知函数f（x）＝ln（ ＋x）＋x3＋a，则（　　）
A. f（x）＋f（－x）＝2a
B. x＝0是f（x）的极值点
C. f（x2－3）＜f（2x）的解集为{x｜－1＜x＜3}
D. 存在非零常数M，使得｜f（x1）－f（x2）｜≥M｜x1－x2｜
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解析：　令g（x）＝ln（ ＋x）＋x3，定义域为R，因为
g（－x）＝ln（ －x）＋（－x）3＝ln（ －x）
－x3＝ln －x3＝－[ln（ ＋x）＋x3]＝－g（x），所
以g（x）为奇函数，所以f（x）＝g（x）＋a关于点（0，a）对
称，所以f（x）＋f（－x）＝2a，A正确；
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因为y1＝ ＋x在（0，＋∞）上单调递增，则y2＝ln（ ＋x）
在（0，＋∞）上单调递增，又y3＝x3在（0，＋∞）上单调递增，所以函
数f（x）在（0，＋∞）上单调递增，即f（x）在R上单调递增，则x＝0
不是函数f（x）的极值点，B错误；因为f（x）在R上单调递增，所以由f
（x2－3）＜f（2x），可得x2－3＜2x，解得－1＜x＜3，则f（x2－3）
＜f（2x）的解集为{x｜－1＜x＜3}，C正确；
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不妨设x1＜x2，因为f（x）在R上单调递增，所以f（x1）＜f（x2），
则｜f（x1）－f（x2）｜≥M｜x1－x2｜等价于f（x2）－f（x1）≥M
（x2－x1），即f（x2）－Mx2≥f（x1）－Mx1，故只需函数h（x）＝f
（x）－Mx为增函数，而当M＜0时，满足h（x）为增函数，故存在非零
常数M，使得｜f（x1）－f（x2）｜≥M｜x1－x2｜，D正确.
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13. （2024·湖南九校联盟第二次联考）对于非空集合P，定义函数fP（x）
＝已知集合A＝{x｜0＜x＜1}，B＝{x｜t＜x＜2t}，若
存在x∈R，使得fA（x）＋fB（x）＞0，则实数t的取值范围
为 .
解析：由题知：fA（x）＋fB（x）可取±2，0，若fA（x）＋fB（x）
＞0，则fA（x）＋fB（x）＝2，即集合A∩B≠ ，得0＜t＜1，即t的
取值范围为（0，1）.
（0，1）
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14. 写出一个同时满足下列三个性质的函数f（x）＝
.
①若xy＞0，则f（x＋y）＝f（x）f（y）；
②f（x）＝f（－x）；
③f（x）在（0，＋∞）上单调递减.
（答案不唯
一）
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解析：取f（x）＝ ，当xy＞0时，f（x＋y）＝ ，f
（x）f（y）＝ · ＝ ，故f（x＋y）＝f（x）
f（y），又f（－x）＝ ＝ ＝f（x），也即f（x）＝f
（－x）成立，又f（x）在（0，＋∞）上单调递减，故f（x）＝
满足题意.
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15. 给定函数f（x）＝｜x2＋x｜，g（x）＝x＋ ，用M（x）表示f
（x），g（x）中的较大者，记为M（x）＝max{f（x），g
（x）}.若函数y＝M（x）的图象与直线y＝a有3个不同的交点，则
实数a的取值范围是 .
（0， ）∪（2，＋∞）
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解析：在同一平面直角坐标系下画出f（x）＝｜x2＋x｜，g（x）＝x＋ 的图象，如图1所示.作出M（x）＝max{f（x），g（x）}的图象，如图2，其中（｜x2＋x｜）max＝ （－1≤x≤0），当且仅当x＝－ 时取得.设函数f（x），g（x）的图象在第一象限的交点为P（x，y），则由得P（1，
2）.若直线y＝a与函数y＝M（x）
的图象有3个不同的交点，则数形结
合可得0＜a＜ 或a＞2.
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16. （多选）（2024·广东一模）已知偶函数f（x）的定义域为R，f（ x
＋1）为奇函数，且f（x）在[0，1]上单调递增，则下列结论正确的
是（　　）
C. f（3）＜0
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解析：　因为f（x）为偶函数，所以f（－
x）＝f（x）.因为f（ x＋1）是R上的奇函
数，所以f（1）＝0，因为f（ （x＋2））的
图象是由f（ ）的图象向左平移2个单位长度得到的，所以f（ ）的图象关于点（2，0）对称，故f（x）的图象关于点（1，0）中心对
称，即f（1＋x）＝－f（1－x）.所以f（x＋2）＝f（1＋（1＋x））＝－f（1－（1＋x））＝－f（－x）＝－f（x），所以f（x＋
4）＝－f（x＋2）＝f（x）.所以函数f（x）是周期函数，且周期为4.又f（x）在[0，1]上单调递增，所以在[0，1]上，有f（x）＜0.综
上，画出f（x）的大致图象如图.由图可知f（－ ）＞0，故A错误；
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f（ ）＞0，故B正确；f（3）＝0，故C错误；f
（ ）＝f（674＋ ）＝f（4×168＋2＋ ）＝f
（2＋ ）＞0，故D正确.故选B、D.
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17. （多选）（2024·湖北七市州调研）我们知道，函数y＝f（x）的图象
关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x）为奇函数.
有同学发现可以将其推广为：函数y＝f（x）的图象关于点P（a，
b）成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x＋a）－b为奇函数.已
知函数f（x）＝ ，则下列结论正确的有（　　）
A. 函数f（x）的值域为（0，2]
B. 函数f（x）的图象关于点（1，1）成中心对称图形
C. 函数f（x）的导函数f'（x）的图象关于直线x＝1对称
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解析：　对于A，显然f（x）的定义域为R，2x＞0，则0＜
＜2，即函数f（x）的值域为（0，2），A错误；对于B，令h（x）
＝f（x＋1）－1＝ －1＝ －1＝ ，h（－x）＝ ＝
＝－h（x），即函数y＝f（x＋1）－1是奇函数，因此函数f
（x）的图象关于点（1，1）成中心对称图形，B正确；对于C，由选
项B知，f（－x＋1）－1＝－[f（x＋1）－1]，即f（1－x）＋f（1
＋x）＝2，两边求导得－f'（1－x）＋f'（1＋x）＝0，即f'（1－x）
＝f'（1＋x），因此函数f（x）的导函数f'（x）的图象关于直线x＝1
对称，C正确；
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对于D，由函数g（x）满足y＝g（x＋1）－1为奇函数，得函数g（x）
的图象关于点（1，1）成中心对称，由选项B知，函数g（x）的图象与函
数f（x）的图象有2 024个交点关于点（1，1）对称，因此 （xi＋yi）
＝ xi＋ yi＝1 012×2＋1 012×2＝4 048，D正确.故选B、C、D.
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