资源简介

(共68张PPT)
第2讲　小题研透
——基本初等函数、函数与方程
目录
CONTENTS
课时跟踪检测
锁定高考·明方向
研透高考·攻重点
有的放矢 事半功倍
重难攻坚 快速提升
01
锁定高考·明方向
有的放矢 事半功倍
一、考情分析
高频考点 高考预测
基本初等函数的图象与性质 在选择、填空题中会继续对基本初等
函数的图象、性质及有关运算进行考
查，而且与函数的零点有关的题目，
常结合函数的性质综合考查，注意该
知识点易命制成多选题，也可能以函
数实际应用呈现
函数的 零点 确定函数零点个数或零
点所在区间 求参数的取值范围 函数的实际应用 二、真题感悟
1. （2024·天津高考5题）（比较大小）若a＝4.2－0.3，b＝4.20.3，c＝
log4.20.2，则a，b，c的大小关系为（　　）
A. a＞b＞c B. b＞a＞c
C. c＞a＞b D. b＞c＞a
解析：　由函数y＝4.2x是增函数可知，0＜a＜1＜b，又c＝
log4.20.2＜0，故b＞a＞c，故选B.
√
2. （2024·北京高考9题）（指数运算、基本不等式）已知（x1，y1），
（x2，y2）是函数y＝2x的图象上两个不同的点，则（　　）
√
解析：　因为（x1，y1），（x2，y2）为函数y＝2x的图象上两个不同
的点，所以y1＝ ，y2＝ ，且x1≠x2，则 ≠ ，所以y1＋y2
＝ ＋ ＞2 ＝2 ，所以 ＞ ＞0，
所以log2 ＞log2 ＝ .故选B.
3. （2023·全国乙卷文8题）（由函数零点个数求参数）函数f（x）＝x3＋
ax＋2存在3个零点，则a的取值范围是（　　）
A. （－∞，－2） B. （－∞，－3）
C. （－4，－1） D. （－3，0）
√
解析：　由题意知f'（x）＝3x2＋a，要使函数f（x）存在3个零点，
则f'（x）＝0要有2个不同的根，则a＜0.令3x2＋a＝0，解得x＝
± .令f'（x）＞0，则x＜－ 或x＞ ，令f'（x）＜0，则－
＜x＜ .所以f（x）在（－∞，－ ）和（ ，＋∞）上
单调递增，在（－ ， ）上单调递减，所以要使f（x）存在3个
零点，则即解得 ＞1，即
a＜－3.故选B.
4. （多选）（2023·新高考Ⅰ卷10题）（函数模型的应用）噪声污染问题越
来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝
20×lg ，其中常数p0（p0＞0）是听觉下限阈值，p是实际声压.下表
为不同声源的声压级：
声源 与声源的距离/m 声压级/dB
燃油汽车 10 60～90
混合动力汽车 10 50～60
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分
别为p1，p2，p3，则（　　）
A. p1≥p2 B. p2＞10p3
C. p3＝100p0 D. p1≤100p2
解析：　由Lp＝20×lg ，得p＝p0×1 .由题表中的数据可知
p0×103≤p1≤p0×1 ，p0×1 ≤p2≤p0×103，p3＝p0×102＝
100p0，故A、C正确；因为10p3＝10×100p0＝p0×103≥p2，故B错
误；因为p0×1 ≤100p2≤p0×105，所以p1≤100p2，故D正确.故选
A、C、D.
√
√
√
5. （2024·全国甲卷理15题）（对数运算）已知a＞1且 － ＝－
，则a＝ .
解析：根据题意有 － ＝－ ，即3loga2－ ＝－ ，设t
＝loga2（a＞1），则t＞0，故3t－ ＝－ ，得t＝ （t＝－1舍
去），所以loga2＝ ，所以 ＝2，所以a＝64.
64
1. 对数式的运算公式
（1）loga（MN）＝logaM＋logaN；
（2）loga ＝logaM－logaN；
（3）logaMn＝nlogaM；
（4） ＝N；
（5）logaN＝ .
注：a，b＞0且a，b≠1，M＞0，N＞0.
2. 指数函数与对数函数的图象与性质
指数函数y＝ax（a＞0，a≠1）与对数函数y＝logax（a＞0，a≠1）
的图象和性质，分0＜a＜1，a＞1两种情况，当a＞1时，两函数在定
义域内都为增函数，当0＜a＜1时，两函数在定义域内都为减函数.
3. 函数的零点问题
（1）函数F（x）＝f（x）－g（x）的零点就是方程f（x）＝g
（x）的根，即函数y＝f（x）的图象与函数y＝g（x）的图象
交点的横坐标；
（2）确定函数零点的常用方法：①直接解方程法；②利用零点存在定
理；③数形结合，利用两个函数图象的交点求解.
4. 常用结论
（1）换底公式的推广：logab·logbc·logcd＝logad（a，b，c均大于0
且不等于1，d＞0）；
（2）指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx；④y＝dx的图
象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b＞
0.在第一象限内，指数函数y＝ax（a＞0，a≠1）的图象越高，
底数越大.
（3）对数函数的图象与底数大小的比较
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相
应的底数.故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在
第一象限内从左到右底数逐渐增大.
02
研透高考·攻重点
重难攻坚 快速提升
基本初等函数的图象与性质
【例1】　（1）（多选）（2024·乌鲁木齐第二次质量监测）已知函数f
（x）＝ ，g（x）＝ ，则（　ABD　）
A. 函数f（x）在R上单调递增
B. 函数f（x）g（x）是奇函数
C. 函数f（x）与g（x）的图象关于原点对称
D. g（2x）＝f2（x）＋g2（x）
√
√
√
解析：对于A，因为y＝ex在R上单调递增，y＝－e－x在R上单
调递增，所以f（x）＝ 在R上单调递增，故A正确；对于B，
因为f（x）g（x）＝ · ＝ ，所以f（－x）g
（－x）＝ ＝－f（x）g（x），所以f（x）g（x）为奇函
数，故B正确；对于C，因为f（x）为奇函数，图象关于原点对称，
而g（x）为偶函数，图象关于y轴对称，所以f（x）与g（x）的图
象不会关于原点对称，故C错误；对于D，f2（x）＋g2（x）＝（ ）2＋（ ）2＝ ＋ ＝ ＝g（2x），故D正确.综上，选A、B、D.
（2）（多选）已知函数f（x）＝ln ，下列说法正确的是
（　ACD　）
A. f（x）为奇函数
B. f（x）为偶函数
D. f（x）的值域为（－∞，0）∪（0，＋∞）
√
√
√
解析： f（x）＝ln ，令 ＞0，解得x＞ 或x＜－ ，∴f
（x）的定义域为（ －∞，－ ）∪（ ，＋∞），又f（－x）＝ln
＝ln ＝ln（ ）－1＝－ln ＝－f（x），∴f（x）为
奇函数，故A正确，B错误；又f（x）＝ln ＝ln（ 1＋ ），
令t＝1＋ ，t＞0且t≠1，∴y＝ln t，又t＝1＋ 在（ ，＋
∞）上单调递减，且y＝ln t为增函数，∴f（x）在（ ，＋∞）上
单调递减，故C正确；∴y＝ln t的值域是（－∞，0）∪（0，＋
∞），故D正确.
基本初等函数性质的应用技巧
（1）对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，当底数a的值
不确定时，要注意分a＞1和0＜a＜1两种情况讨论；
（2）由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数，往往通过换元
法转化为若干个基本初等函数，然后根据复合函数的性质与相关函
数的性质之间的关系进行判断.
1. 已知lg a＋lg b＝0（a＞0且a≠1，b＞0且b≠1），则函数f（x）＝ax
与g（x）＝lo x的图象可能是（　　）
√
解析：　∵lg a＋lg b＝0（a＞0且a≠1，b＞0且b≠1），∴ab＝1，
∴a＝ ，∴g（x）＝lo x＝logax，∴函数f（x）＝ax与函数g
（x）＝lo x互为反函数，∴函数f（x）＝ax与g（x）＝lo x的图
象关于直线y＝x对称，且具有相同的单调性.
2. （2024·江西名校联盟）已知a＞0且a≠1，函数f（x）＝ －x在
（0，＋∞）的最大值为－3，则f（x）在（－∞，0）的最小值
为 .
5
解析：函数f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点
对称，由f（－x）＋f（x）＝ ＋x＋ －x＝2，得f（－x）－
1＝－[f（x）－1]，令g（x）＝f（x）－1，则g（－x）＝－g
（x），所以函数g（x）为奇函数，因为函数f（x）＝ －x在
（0，＋∞）的最大值为－3，所以函数g（x）在（0，＋∞）的最大值
为－4，所以函数g（x）在（－∞，0）的最小值为4，所以f（x）在
（－∞，0）的最小值为4＋1＝5.
指数、对数、幂值的大小比较
【例2】　（1）（2024·武汉四调）记a＝30.2，b＝0.3－0.2，c＝
log0.20.3，则（　D　）
A. a＞b＞c B. b＞c＞a
C. c＞b＞a D. b＞a＞c
解析：因为b＝0.3－0.2＝（ ）0.2，幂函数y＝x0.2在（0，＋
∞）上单调递增，又 ＞3，所以（ ）0.2＞30.2＞30＝1，所以b＞
a＞1，又对数函数y＝log0.2x在（0，＋∞）上单调递减，所以c＝
log0.20.3＜log0.20.2＝1，故b＞a＞1＞c.故选D.
√
解析：由指数和对数的运算性质可得2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋
log2b.令f（x）＝2x＋log2x，则f（x）在（0，＋∞）上单调递增.
又∵22b＋log2b＜22b＋log2b＋1＝22b＋log2（2b），∴2a＋log2a＜
22b＋log2（2b），即f（a）＜f（2b），∴a＜2b.故选B.
（2）若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则（　B　）
A. a＞2b B. a＜2b
C. a＞b2 D. a＜b2
√
指数式、对数式、幂值大小的比较方法
　　解决指数、对数、幂型代数式比较大小问题，首先要比较代数式结构
形式的异同，若底数相同，则考虑用指数函数单调性解决；若指数相同，
则考虑用幂函数的单调性解决；若底数、指数都不相同，则考虑通过分析
代数式的大致范围来比较大小.其次要注意特殊值0，1的应用，有时候要
借助其“桥梁”作用来比较大小.
　已知幂函数f（x）＝xn的图象过点（2，8），设a＝f（20.3），b＝f
（0.32），c＝f（log20.3），则a，b，c的大小关系是（　　）
A. b＜c＜a B. a＜c＜b
C. a＜b＜c D. c＜b＜a
解析：　因为幂函数f（x）＝xn的图象过点（2，8），所以8＝2n，解
得n＝3，即f（x）＝x3，故函数f（x）在R上为增函数.因为20.3＞20＝
1，0＜0.32＜0.30＝1，log20.3＜log21＝0，所以a＝f（20.3）＞b＝f
（0.32）＞c＝f（log20.3）.故选D.
√
函数的零点
【例3】　（1）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（4＋x）＝f
（x），当x∈[0，2]时，f（x）＝2x－2，则f（x）在区间（0，8）上零
点的个数为（　C　）
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
√
解析：因为f（4＋x）＝f（x），所以函数的周期为4，当x∈[0，2]时，令f（x）＝2x－2＝0，得x＝1，即f（1）＝0，因为函数是偶函数且周期为4，所以有f（1）＝f（－1）＝f（3）＝f（7）＝f（－3）＝f（5）＝0，所以f（x）在区间（0，8）上零点的个数为4.
（2）已知函数f（x）＝有三个零点x1，x2，x3，且
x1＜x2＜x3，则x1＋x2＋x3的取值范围是 .
[－4，－2）
解析：函数f（x）＝有三个零点x1，
x2，x3，且x1＜x2＜x3，设g（x）＝则函数g
（x）的图象与直线y＝t的三个交点的横坐标分别为x1，x2，x3，且
x1＜x2＜x3，作出函数g（x）的图象，如图所示.由图可知1≤t＜
4，且x1，x2是关于x的方程－x2－4x－t＝0的两个不等实根，所以
x1＋x2＝－ ＝－4，x3满足 －t＝0，即x3＝log2t，因为1≤t＜
4，所以log21≤log2t＜log24，即0≤x3＜2.所以－4≤x1＋x2＋x3＜－
2，即x1＋x2＋x3的取值范围是[－4，－2）.
1. 判断函数零点个数的方法
（1）利用零点存在定理判断；
（2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根；
（3）几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y＝f（x）的图象
联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交
点求解.
2. 利用函数零点的情况求参数值（范围）的三种方法
1. （2024·嘉兴模拟）已知函数f（x）＝log2（x＋1）－ ＋m在区间
（1，3]上有零点，则m的取值范围为（　　）
√
解析：　由于函数y＝log2（x＋1），y＝m－ 在区间（1，3]上单调
递增，所以函数f（x）在（1，3]上单调递增，由于函数f（x）＝log2
（x＋1）－ ＋m在区间（1，3]上有零点，则即
解得－ ≤m＜0.因此，实数m的取值范围是［－ ，
0），故选B.
2. 已知函数f（x）＝若函数g（x）＝f（x）－a有
3个零点，则实数a的取值范围是 .
解析：根据题意g（x）＝f（x）－a＝0，即f（x）
＝a，已知f（x）＝画出图象如
图，根据图象易知当0＜a＜1时，函数y＝f（x）与y
＝a的图象有3个交点，即函数g（x）有3个零点.因
此a∈（0，1）.
（0，1）
03
课时跟踪检测
1. （2024·宁波一模）计算［（ － ）－2 ＋log25－log210＝（　　）
A. －10 B. －8
C. 10 D. 8
解析：　［（ － ）－2 ＋log25－log210＝（36 ＋log2 ＝9－1
＝8.故选D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
√
2. （2024·临沂二模）若实数a，b，c满足a＝2 sin ，b3＝7，3c＝10，
则（　　）
A. a＜b＜c B. b＜c＜a
C. a＜c＜b D. b＜a＜c
解析：　因为a＝2 sin ＜2 sin ＝1，又b3＝7，则b＝ ，且1＜
＜ ＝2，即1＜b＜2，因为3c＝10，所以c＝log310＞log39＝2，
所以c＞b＞a.故选A.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
3. 已知a＞0，且a≠1，若函数y＝xa－1在（0，＋∞）内单调递减，则在
不等式a3x＋1＞a－2x中，x的取值范围是（　　）
D. R
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
解析：　∵函数y＝xa－1在（0，＋∞）内单调递减，∴a－1＜0，即
a＜1，∵a＞0且a≠1，∴0＜a＜1，∴y＝ax是减函数，又a3x＋1＞a－
2x，∴3x＋1＜－2x，∴x＜－ ，即x∈（ －∞，－ ）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
4. 已知函数f（x）满足f（ex－1）＝2x－1，f（a）＋f（b）＝0，则下
列等式正确的是（　　）
A. a＋b＝1
C. ab＝1
解析：　设t＝ex－1，则x＝ln t＋1，所以f（t）＝2ln t＋1，t＞0.由f
（a）＋f（b）＝0得2ln a＋1＋2ln b＋1＝0，即ln（ab）＝－1，所以
ab＝ .故选D.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
5. （多选）在同一直角坐标系中，函数y＝ax与y＝loga（x－2）的图象
可能是（　　）
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
解析：　当a＞1时，y＝ax在（－∞，＋∞）上是增函数且其图象
恒过点（0，1），y＝loga（x－2）在（2，＋∞）上是增函数且其图
象恒过点（3，0），则选项B符合要求；当0＜a＜1时，y＝ax在（－
∞，＋∞）上是减函数且其图象恒过点（0，1），y＝loga（x－2）在
（2，＋∞）上是减函数且其图象恒过点（3，0），则选项D符合要
求；综上所述，选项B、D符合要求.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
6. 已知函数f（x）＝ln x＋2x－6的零点在（ ， ）（k∈Z）内，则k
＝ .
解析：f（x）的定义域为（0，＋∞），因为y＝ln x和y＝2x－6在
（0，＋∞）上均单调递增，所以f（x）在（0，＋∞）上是增函数.又
因为f（ ）＝ln －1＜0，f（3）＝ln 3＞0，所以f（x）的零点在
（ ，3）内，所以整数k＝5.
5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
7. 若函数f（x）＝x－ ，则方程f2（x）－f（x）－6＝0的实根个
数为（　　）
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
解析：　由f（x）＝x－ ＝则可
作出函数f（x）＝x－ 的图象如图，由方程f2
（x）－f（x）－6＝0，得f（x）＝3或f（x）＝－2，
所以方程f2（x）－f（x）－6＝0的实根个数为3.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
8. （2024·福州模拟）当药品A注射到人体内，它在血液中的残余量会以每
小时25%的速度减少，另一种药物B注射到人体内，它在血液中的残余
量会以每小时10%的速度减少.现同时给两位患者分别注射800 mg药品A
和500 mg药品B，当两位患者体内药品的残余量恰好相等时，所经过的
时间约为（参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477）（　　）
A. 0.57 h B. 1.36 h
C. 2.58 h D. 3.26 h
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
解析：　设经过t小时后两位患者体内药品的残余量恰好相等，由题意
得800×（1－25%）t＝500×（1－10%）t，整理得（ ）t＝ ，两边
取常用对数得tlg ＝lg ，即t（lg 5－lg 6）＝lg 5－lg 8，即t（1－2lg 2
－lg 3）＝1－4lg 2，所以t＝ ，即t≈ ≈2.58，所
以大约经过2.58 h时，两位患者体内药品的残余量恰好相等.故选C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
9. 已知奇函数f（x）＝ax－b·a－x（a＞0，a≠1）在[－1，1]上的最大
值为 ，则a＝（　　）
C. 3 D. 2
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
解析：　由奇函数的性质可知，f（0）＝0，∴1－b＝0，∴b＝1，
经检验，b＝1符合题意，∴f（x）＝ax－a－x.当a＞1时，f（x）＝
ax－a－x在[－1，1]上单调递增，∴f（x）max＝f（1）＝a－a－1＝ ，
解得a＝3或a＝－ （舍去）；当0＜a＜1时，f（x）＝ax－a－x在[－
1，1]上单调递减，∴f（x）max＝f（－1）＝a－1－a＝ ，解得a＝
或a＝－3（舍去）.综上所述，a＝3或a＝ .故选A.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
10. （2024·广东一模）已知集合A＝{－ ，－ ， ， ，2，3 ，若a，
b，c∈A且互不相等，则使得指数函数y＝ax，对数函数y＝logbx，
幂函数y＝xc中至少有两个函数在（0，＋∞）上单调递增的有序数对
（a，b，c）的个数是（　　）
A. 16 B. 24
C. 32 D. 48
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
解析：　若y＝ax和y＝logbx在（0，＋∞）上单调递增，y＝xc在
（0，＋∞）上单调递减，则有序数对（a，b，c）有 · ＝4个；
若y＝ax和y＝xc在（0，＋∞）上单调递增，y＝logbx在（0，＋∞）
上单调递减，则有序数对（a，b，c）有 · · ＝8个；若y＝
logbx和y＝xc在（0，＋∞）上单调递增，y＝ax在（0，＋∞）上单
调递减，则有序数对（a，b，c）有 · · ＝8个；若y＝ax，y
＝logbx和y＝xc在（0，＋∞）上都单调递增，则有序数对（a，b，
c）有 · ＝4个.综上所述，满足题意的有序数对（a，b，c）的
个数是4＋8＋8＋4＝24.故选B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
11. （多选）（2024·温州高三统一测试）已知函数f（x）＝ ，则
（　　）
B. x∈R，有f（－x）＝f（x）
C. f（x）在R上单调递减
D. f（x）的值域为（－1，1）
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
解析：　对于A，｜f（x）｜＜ ，即－ ＜ ＜ ，即－ ＜1
－ ＜ ，即 ＜ ＜ ，即 ＜2x＋1＜3，即 ＜2x＜2，所以－1
＜x＜1，故A正确；对于B，f（－x）＝ ＝ ＝－f（x），故
B错误；对于C，f（x）＝1－ ，因为u＝2x＋1在R上单调递增，
且u＞1，y＝1－ 在u＞1时单调递增，所以f（x）在R上单调递增，
故C错误；对于D，记y＝f（x）＝1－ ，显然y≠1，则2x＝ ，由2x＞0得， ＞0，解得－1＜y＜1，所以函数f（x）的值域为（－1，1），故D正确.综上，选A、D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
12. （多选）（2024·怀化二模）已知函数y＝x＋ex的零点为x1，y＝x＋
ln x的零点为x2，则（　　）
A. x1＋x2＞0 B. x1x2＜0
D. x1x2－x1＋x2＞1
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
√
解析：　依题意，x1＋ ＝0 ＝－x1，x2＋ln x2＝0 ln x2＝
－x2，则x1，x2分别是直线y＝－x与函数y＝ex，y＝ln x的图象交点
的横坐标，而函数y＝ex与y＝ln x互为反函数，它们的图象关于直线y
＝x对称，又直线y＝－x垂直于直线y＝x，则点（x1， ）与点
（x2，ln x2）关于直线y＝x对称，则x2＝ ＝－x1＞0，于是x1＋x2
＝0，x1x2＜0， ＋ln x2＝0，B、C正确，A错误；
易知－1＜x1＜0，0＜x2＜1，则x1x2－x1＋x2－1＝
（x1＋1）（x2－1）＜0，即x1x2－x1＋x2＜1，
D错误.故选B、C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
13. 已知a＞1，b＞1，且log2 ＝logb4，则ab的最小值为 .
解析：因为log2 ＝logb4，所以log2a·log2b＝4，所以log2（ab）＝
log2a＋log2b≥2 ＝4，当且仅当log2a＝log2b＝2，即a
＝b＝4时取等号，所以（ab）min＝24＝16.
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
14. （2024·连云港模拟）已知函数f（x）＝若关于x的
方程f（x）－m＝0恰有两个不同的实数解，则实数m的取值范围
为 .
解析：因为关于x的方程f（x）－m＝0恰有两个不
同的实数解，所以函数y＝f（x）的图象与直线y
＝m有两个交点，作出函数图象，如图，所以当
m∈[1，3）∪{0}时，函数y＝f（x）的图象与直
线y＝m有两个交点，所以实数m的取值范围是[1，
3）∪{0}.
[1，3）∪{0}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
15. 已知函数f（x）＝loga（－x＋1）（a＞0，且a≠1）在[－2，0]上
的值域是[－1，0]，则实数a＝ ；若函数g（x）＝ax＋m－3的图
象不经过第一象限，则实数m的取值范围为 .

[－1，＋∞）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
解析：函数f（x）＝loga（－x＋1）（a＞0且a≠1）在[－2，0]上
的值域是[－1，0]，当a＞1时，f（x）＝loga（－x＋1）在[－2，0]
上单调递减，∴无解；当0＜a＜1时，f
（x）＝loga（－x＋1）在[－2，0]上单调递增，
∴解得a＝ .∵g（x）＝（ ）x＋m－3的图
象不经过第一象限，∴g（0）＝（ ）m－3≤0，解得m≥－1，即实
数m的取值范围是[－1，＋∞）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
16. 定义在R上的奇函数f（x）满足f（2－x）＝f（x），且在[0，1]上
单调递减，若方程f（x）＝1在（－1，0]上有实数根，则方程f（x）
＝－1在区间[3，11]上所有实根之和是（　　）
A. 28 B. 16
C. 20 D. 12
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
解析：　由f（2－x）＝f（x）知函数f（x）的图象关于直线x＝1
对称.因为f（2－x）＝f（x），f（x）是R上的奇函数，所以f（－
x）＝f（x＋2）＝－f（x），所以f（x＋4）＝f（x），f（x）的
周期为4，只考虑f（x）的一个周期，例如在[－1，3]上，由f（x）
在[0，1]上单调递减知f（x）在（1，2）上单调递增，在（－1，0）
上单调递减，在（2，3）上单调递增.对于奇函数f（x），有f（0）
＝0，所以f（2）＝f（2－2）＝f（0）＝0，故当x∈（0，1）时，f
（x）＜f（0）＝0，当x∈（1，2）时，f（x）＜f（2）＝0，当x∈
（－1，0）时，f（x）＞f（0）＝0，当x∈（2，3）时，f（x）＞f
（2）＝0.因为方程f（x）＝1在（－1，0]上有实数根，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
函数f（x）在（－1，0]上单调，所以实数根是唯一的，所以方程f（x）
＝－1在（0，1]上有唯一的实数根，结合f（x）的图象关于直线x＝1对称
可得方程f（x）＝－1在（1，2）上也有唯一的实数根.因为在（－1，0）
和（2，3）上有f（x）＞0，所以方程f（x）＝－1在（－1，0）和（2，
3）上没有实数根，从而方程f（x）＝－1在[－1，3]上有且仅有两个实数
根.当x∈[－1，3]时，方程f（x）＝－1的两实数根之和为2×1＝2，所以
当x∈[3，11]时，方程f（x）＝－1的所有实数根之和为2×（5＋9）＝28.
故选A.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
17. （多选）（2024·开封第二次质量检测）高斯是德国著名的数学家，近
代数学奠基者之一，用其名字命名的高斯取整函数为f（x）＝[x]，
[x]表示不超过x的最大整数，例如[－3.5]＝－4，[2.1]＝2.下列命题
中正确的有（　　）
A. x∈R，f（x）＝x－1
B. x∈R，n∈Z，f（x＋n）＝f（x）＋n
C. x，y＞0，f（lg x）＋f（lg y）＝f（lg（xy））
D. n∈N*，f（lg 1）＋f（lg 2）＋f（lg 3）＋…＋f（lg n）＝92
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
解析：　对于A，当x∈Z时，f（x）＝x，当x Z时，f（x）∈Z，而x－1 Z，因此f（x）≠x－1，A错误；对于B， x∈R，n∈Z，令f（x）＝m，则m≤x＜m＋1，m＋n≤x＋n＜m＋n＋1，因此f（x＋n）＝m＋n＝f（x）＋n，B正确；对于C，取x＝ ，y＝2，0＜lg 2＜1，则f（lg ）＝－1，f（lg 2）＝0，f（lg（ ×2））＝f（0）＝0，显然f（lg ）＋f（lg 2）≠f（lg（ ×2）），C错误；对于D，n∈N*，当1≤n≤9时，f（lg n）＝0，当10≤n≤99时，f（lg n）＝1，而f（lg 100）＝2，因此f（lg 1）＋f（lg 2）＋f（lg 3）＋…＋f（lg 99）＋f（lg 100）＝92，此时n＝100，D正确.故选B、D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17

展开更多......

收起↑