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(共73张PPT)
第3讲　小题研透
——导数的简单应用
目录
CONTENTS
课时跟踪检测
锁定高考·明方向
研透高考·攻重点
有的放矢 事半功倍
重难攻坚 快速提升
01
锁定高考·明方向
有的放矢 事半功倍
一、考情分析
高频考点 高考预测
导数的几何意义 在选择、填空题中会继续考查切线方程的求法及应用，利用导数研究函数的单调性、极值、最值及应用，注意构造法的应用
求函数单调性 求函数极值 求函数最值（与不等式结合转化求解） 二、真题感悟
1. （2024·全国甲卷理6题）（导数的几何意义）设函数f（x）＝
，则曲线y＝f（x）在点（0，1）处的切线与两坐标轴所围成
的三角形的面积为（　　）
√
解析：　f'（x）＝ ，所以f'（0）
＝3，所以曲线y＝f（x）在点（0，1）处的切线方程为y－1＝3（x
－0），即3x－y＋1＝0，切线与两坐标轴的交点分别为（0，1），
（－ ，0），所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为
×1× ＝ ，故选A.
2. （2023·新高考Ⅱ卷6题）（函数单调性的应用）已知函数f（x）＝aex
－ln x在区间（1，2）上单调递增，则实数a的最小值为（　　）
A. e2 B. e
C. e－1 D. e－2
√
解析：　法一　由题意，得f'（x）＝aex－ ，∴f'（x）＝aex－
≥0在区间（1，2）上恒成立，即a≥ 在区间（1，2）上恒成立.设
函数g（x）＝ ，x∈（1，2），则g'（x）＝－ ＜0，∴函数g
（x）在区间（1，2）单调递减.∴ x∈（1，2），g（x）＜g（1）
＝ ＝e－1.∴a≥e－1，∴a的最小值为e－1.故选C.
法二　∵函数f（x）＝aex－ln x，∴f'（x）＝aex－ .∵函数f（x）＝
aex－ln x在区间（1，2）单调递增，∴f'（x）≥0在（1，2）恒成立，即
aex－ ≥0在（1，2）恒成立，易知a＞0，则0＜ ≤xex在（1，2）恒成
立.设g（x）＝xex，则g'（x）＝（x＋1）ex.当x∈（1，2）时，g'
（x）＞0，g（x）单调递增，∴在（1，2）上，g（x）＞g（1）＝e，
∴ ≤e，即a≥ ＝e－1，故选C.
A. x＝3是f（x）的极小值点
B. 当0＜x＜1时，f（x）＜f（x2）
C. 当1＜x＜2时，－4＜f（2x－1）＜0
D. 当－1＜x＜0时，f（2－x）＞f（x）
3. （多选）（2024·新高考Ⅰ卷10题）（求函数的单调区间、极值）设函数
f（x）＝（x－1）2（x－4），则（　　）
√
√
√
解析： 　对A，因为函数f（x）的定义域为R，而f'（x）＝2（x
－1）（x－4）＋（x－1）2＝3（x－1）·（x－3），易知当x∈（1，
3）时，f'（x）＜0，当x∈（－∞，1）或x∈（3，＋∞）时，f'（x）
＞0，故函数f（x）在（－∞，1）上单调递增，在（1，3）上单调递
减，在（3，＋∞）上单调递增，故x＝3是函数f（x）的极小值点，A
正确；对B，当0＜x＜1时，x－x2＝x（1－x）＞0，所以x＞x2，又函
数f（x）在（0，1）上单调递增，所以f（x）＞f（x2），B错误；对
C，当1＜x＜2时，1＜2x－1＜3，而由上可知，函数f（x）在（1，
3）上单调递减，所以f（1）＞f（2x－1）＞f（3），即－4＜f（2x－
1）＜0，C正确；
对D，由2－x－x＝2－2x，又－1＜x＜0，故2－2x＞0，所以f（2－x）
－f（x）＝（1－x）2（－2－x）－（x－1）2（x－4）＝（x－1）2（2
－2x）＞0，D正确.故选A、C、D.
4. （2024·新高考Ⅰ卷13题）（导数的几何意义）若曲线y＝ex＋x在点
（0，1）处的切线也是曲线y＝ln（x＋1）＋a的切线，则a＝ .
解析：由y＝ex＋x得y'＝ex＋1，y'｜x＝0＝e0＋1＝2，故曲线y＝ex＋x
在（0，1）处的切线方程为y＝2x＋1，由y＝ln（x＋1）＋a得y'＝
，设切线与曲线y＝ln（x＋1）＋a相切的切点为（x0，ln（x0＋1）
＋a），由两曲线有公切线得y' ＝ ＝2，解得x0＝－ ，则
切点为（－ ，a＋ln ），由切点在直线y＝2x＋1上得，a＋ln ＝0，
故a＝ln 2.
ln2
1. 四个易误导数公式
（1）（ sin x）'＝ cos x；
（2）（ cos x）'＝－ sin x；
（3）（ax）'＝axln a（a＞0，且a≠1）；
（4）（logax）'＝ （a＞0，且a≠1，x＞0）.
2. 利用导数研究函数的单调性
（1）若求单调区间（或证明单调性），只要在函数定义域内解（或证
明）不等式f'（x）＞0或f'（x）＜0；
（2）若已知函数的单调性，则转化为不等式f'（x）≥0或f'（x）≤0在
单调区间上恒成立问题来求解.
3. 利用导数研究函数的极值、最值
（1）若f'（x0）＝0且在x0附近左侧f'（x）＞0，右侧f'（x）＜0，则f
（x0）为函数f（x）的极大值；若在x0附近左侧f'（x）＜0，右
侧f'（x）＞0，则f（x0）为函数f（x）的极小值；
（2）设函数y＝f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则f
（x）在[a，b]上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得.
4. 常用结论
（1）在某区间内f'（x）＞0（f'（x）＜0）是函数f（x）在此区间上单
调递增（减）的充分不必要条件；
（2）可导函数f（x）在（a，b）上单调递增（减）的充要条件是对
x∈（a，b），都有f'（x）≥0（f'（x）≤0）且f'（x）在
（a，b）上的任何子区间内都不恒为零；
（3）若函数f（x）在区间（a，b）内只有一个极值点，则相应的极
值点一定是函数的最值点.
02
研透高考·攻重点
重难攻坚 快速提升
导数的几何意义
【例1】　（1）（2024·福建适应性练习卷）已知直线y＝kx＋b既是曲线
y＝ln x的切线，也是曲线y＝－ln（－x）的切线，则（　　）
B. k＝1，b＝0
D. k＝1，b＝－1
√
解析：法一　设直线y＝kx＋b与曲线y＝ln x的切点坐标为
（x1，y1），直线y＝kx＋b与曲线y＝－ln（－x）的切点坐标为
（x2，y2），对y＝ln x求导得y'＝ ，对y＝－ln（－x）求导得y'＝
－ ·（－1）＝－ ，所以有得
得所以k＝ ＝ .故选A.
法二　对于A，对y＝ln x求导得y'＝ ，令 ＝k＝ ，得x＝e，又ln e＝
1，所以曲线y＝ln x在点（e，1）处的切线方程为y－1＝ （x－e），即y
＝ x，同理得曲线y＝－ln（－x）在点（－e，－1）处的切线方程为y＝
x，故A正确，故选A.
（2）已知函数f（x）＝ ，若曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的
切线方程为ax－y＝0，则x0的值为 　　.
2
解析：因为函数f（x）＝ ，求导得f'（x）＝ ，依题意得
消去a得， ＝ ，而 ＞0，解得x0＝2.
求曲线y＝f（x）的切线方程的三种类型及方法
（1）已知切点P（x0，y0），求切线方程：求出切线的斜率f'（x0），由
点斜式写出方程；
（2）已知切线的斜率k，求切线方程：设切点为P（x0，y0），通过方程
k＝f'（x0）解得x0，再由点斜式写出方程；
（3）已知切线上一点（非切点），求切线方程：设切点为P（x0，y0），
利用导数求得切线斜率f'（x0），再由斜率公式求得切线斜率，列方
程（组）解得x0，再由点斜式或两点式写出方程.
提醒　求切线时要注意是过点处的切线还是在点处的切线，前者需
要设出切点，后者给出的点即为切点.
1. （2024·邯郸第四次调研）设函数f（x）＝x＋ 的图象与x轴相交于
点P，则该曲线在点P处的切线方程为（　　）
A. y＝－x B. y＝－x－1
C. y＝0 D. y＝x－1
解析：　令x＋ ＝0，即x（x＋2）＋1＝0，即（x＋1）2＝0，解
得x＝－1，故P（－1，0），f'（x）＝1－ ，则f'（－1）＝1
－ ＝0，则其切线方程为：y－f（1）＝f'（－1）（x＋1），
即y＝0.故选C.
√
2. （2024·山东新高考联合质量测评）过点（3，0）作曲线f（x）＝xex
的两条切线，切点分别为（x1，f（x1）），（x2，f（x2）），则x1＋
x2＝（　　）
A. －3
D. 3
√
解析：　因为f（x）＝xex，所以f'（x）＝（x＋1）ex，设切点坐标
为（x0，x0 ），所以f'（x0）＝（x0＋1） ，所以切线方程为y－
x0 ＝（x0＋1） （x－x0），所以－x0 ＝（x0＋1） （3－
x0），即（－ ＋3x0＋3） ＝0，依题意关于x0的方程（－ ＋3x0
＋3） ＝0有两个不同的解x1，x2，即关于x0的方程－ ＋3x0＋3＝0
有两个不同的解x1，x2，所以x1＋x2＝3.故选D.
利用导数研究函数的单调性
【例2】　（1）已知函数f（x）与f'（x）的图象如图所示，则函数g
（x）＝ 的单调递减区间为（　D　）
A. （0，4）
D. （0，1），（4，＋∞）
√
解析：由题图可知，先减后增的曲线为f'（x）的图象，先增后
减再增的曲线为f（x）的图象，当0＜x＜1或x＞4时，f'（x）＜f
（x），即g'（x）＝ ＜0，则函数g（x）＝ 的单
调递减区间为（0，1），（4，＋∞）.故选D.
（2）（2024·贵阳适应性考试）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且y
＝f'（x）＋ex也是偶函数，若f（a）＞f（2a－1），则实数a的取
值范围是（　D　）
A. （－∞，1）
B. （1，＋∞）
√
解析：因为f（x）为R上的偶函数，所以f（x）＝f（－x），对等
式两边求导有f'（x）＝－f'（－x）　①.因为y＝f'（x）＋ex是偶函
数，所以f'（x）＋ex＝f'（－x）＋e－x　②.由①②得f'（x）＝ （e
－x－ex）＝ .当x∈（－∞，0）时，f'（x）＞0，f（x）单调
递增；当x∈（0，＋∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减.又f
（a）＞f（2a－1），所以｜a｜＜｜2a－1｜，得a＞1或a＜ ，
故选D.
利用导数研究函数单调性的三个关键点
（1）在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；
（2）单调区间的划分要注意对导数等于零的点的确认；
（3）已知函数单调性求参数范围，要注意导数等于零的情况.
1. 已知函数f（x）＝xex－ ，则（　　）
A. f（x）是奇函数，且在（－∞，0）上单调递减
B. f（x）是奇函数，且在（－∞，0）上先递减再递增
C. f（x）是偶函数，且在（－∞，0）上单调递减
D. f（x）是偶函数，且在（－∞，0）上先递减再递增
√
解析：　由f（x）＝xex－ 可得，f（－x）＝－xe－x－ ＝xex
－ ＝f（x），故f（x）为偶函数，所以A、B错误；由f'（x）＝ex－
e－x＋x·（ex＋e－x），当x＜0时，f'（x）＜0，故f（x）在（－∞，
0）上单调递减，所以C正确，D错误，故选C.
2. 若函数f（x）＝ －ln x在区间（m，m＋ ）上不单调，则实数m的
取值范围为 .
解析：由题可得f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝x－ ＝
，易知当x∈（0，1）时，f'（x）＜0；当x∈（1，＋∞）时，f'
（x）＞0，即函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单
调递增.若函数f（x）＝ －ln x在区间（m，m＋ ）上不单调，则需
满足0≤m＜1＜m＋ ，解得 ＜m＜1，所以实数m的取值范围为
（ ，1）.
（ ，1）
利用导数研究函数的极值与最值
【例3】　（1）（2024·扬州第二次调研）若函数f（x）＝eax＋2x有大于
零的极值点，则实数a的取值范围为（　C　）
A. （－2，＋∞）
C. （－∞，－2）
√
解析：函数f（x）＝eax＋2x，可得f'（x）＝aeax＋2，若a≥0，f'（x）＞0，此时f'（x）单调递增，无极值点，故a＜0，令f'
（x）＝aeax＋2＝0，解得x＝ ln（－ ），当x＞ ln（－ ）时，
f'（x）＞0，当x＜ ln（－ ）时，f'（x）＜0，故x＝ ln（－ ）
是f（x）＝eax＋2x的极值点，由于函数f（x）＝eax＋2x有大于零
的极值点，∴ ln（－ ）＞0 ln（－ ）＜0 0＜－ ＜1，解得a
＜－2.故选C.
（2）已知函数f（x）＝2ln x，g（x）＝x＋2，若f（x1）＝g（x2），
则x2－2x1的最大值为 .
解析：设f（x1）＝g（x2）＝m，m∈R，则x1＝ ，x2＝m
－2，x2－2x1＝m－2－2 .令h（x）＝x－2－2 ，则h'（x）＝
1－ ，令h'（x）＞0，解得x＜0，所以h（x）在（－∞，0）上单
调递增，令h'（x）＜0，解得x＞0，所以h（x）在（0，＋∞）上
单调递减，h（x）max＝h（0）＝－4，所以x2－2x1的最大值为－4.
－4
利用导数研究函数极值与最值的方法
（1）若求极值，则先求方程f'（x）＝0的根，再检查f'（x）在方程根的左
右函数值的符号；
（2）若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f'（x）＝0根的大小
或存在情况来求解；
（3）求函数f（x）在闭区间[a，b]上的最值时，在得到极值的基础上，
结合区间端点的函数值f（a），f（b）与f（x）的各极值进行比
较，从而得到函数的最值.
1. （2024·江西名校联考）已知函数f（x）＝x3－ax2＋x＋1没有极值点，
则a的取值范围是（　　）
解析：　f'（x）＝3x2－2ax＋1，是开口向上的二次函数，因为函
数f（x）＝x3－ax2＋x＋1没有极值点，则f'（x）≥0，所以Δ＝4a2－
12≤0，解得－ ≤a≤ ，所以a的取值范围是[－ ， ].故
选B.
√
2. （2024·南京、盐城一模）用min{x，y}表示x，y中的最小数.已知函
数f（x）＝ ，则min{f（x），f（x＋ln 2）}的最大值为（　　）
D. ln 2
√
解析：　∵f（x）＝ ，∴f'（x）＝ ，根据导数易知f（x）在
（－∞，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减；由题意令f
（x）＝f（x＋ln 2），即 ＝ ，解得x＝ln 2；作出图象，则
min{f（x），f（x＋ln 2）}的最大值为两函数图象交点处函数值，为
.故选C.
03
课时跟踪检测
1. 已知函数f（x）的导函数为f'（x），且f'（1）＝a，
＝1－a，则实数a的值为（　　）
A. －2 D. 2
解析：　 ＝－ · ＝－
a，则－ a＝1－a，解得a＝2.故选D.
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√
2. （2024·岳阳质量监测）函数f（x）＝6＋12x－x3的极小值点为
（　　）
A. （4，－10） B. （－2，－10）
C. 4 D. －2
解析：　函数f（x）＝6＋12x－x3的定义域为R，且f'（x）＝12－
3x2＝3（2－x）（2＋x），所以当－2＜x＜2时，f'（x）＞0，当x＜
－2或x＞2时f'（x）＜0，所以f（x）在（－2，2）上单调递增，在
（－∞，－2），（2，＋∞）上单调递减，所以f（x）在x＝－2处取
得极小值，在x＝2处取得极大值，即极小值点为－2，极大值点为2.
√
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3. （2024·上饶一模）已知函数f（x）＝xex，则下列说法正确的是
（　　）
A. f（x）的导函数为f'（x）＝（x－1）ex
B. f（x）在（－1，＋∞）上单调递减
D. f（x）的图象在x＝0处的切线方程为y＝2x
√
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解析：　f（x）＝xex f'（x）＝ex＋xex＝（x＋1）ex，当x＞－1
时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；当x＜－1时，f'（x）＜0，函
数f（x）单调递减，所以当x＝－1时，函数f（x）的最小值为－ ，
因此A、B错误，C正确；因为f'（0）＝1，f（0）＝0，所以f（x）的
图象在x＝0处的切线方程为y＝x，因此D错误.故选C.
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4. （多选）函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x）的图象如图所示，则下列
说法正确的是（　　）
A. －3是函数y＝f（x）的极值点
B. －1是函数y＝f（x）的最小值点
C. y＝f（x）在区间（－3，1）上单调递增
D. y＝f（x）在x＝0处切线的斜率小于零
√
√
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解析：　根据导函数图象可知：当x∈（－∞，－3）时，f'（x）＜
0，当x∈（－3，1）时，f'（x）≥0，∴函数y＝f（x）在（－∞，－
3）上单调递减，在（－3，1）上单调递增，故A、C正确；∵f（x）在
（－3，1）上单调递增，∴－1不是函数y＝f（x）的最小值点，故B不
正确；∵函数y＝f（x）在x＝0处的导数大于0，∴切线的斜率大于
零，故D不正确.故选A、C.
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5. 函数f（x）＝x3－aln x的图象在点（1，f（1））处的切线与直线2x
＋y＋1＝0平行，则实数a＝ .
解析：f'（x）＝3x2－ ，因为函数f（x）的图象在点（1，f（1））处
的切线与直线2x＋y＋1＝0平行，所以f'（1）＝3－a＝－2，即a＝5.
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6. 若函数f（x）＝ex－ax－1（a∈R）为增函数，则g（x）＝2ln x＋x2
－（a＋2）x的单调递增区间为 .
解析：由题可得f'（x）＝ex－a≥0恒成立，又ex∈（0，＋∞），所以
a≤0.函数g（x）的定义域为（0，＋∞），g'（x）＝ ＋2x－（a＋
2），x＞0，又2x＋ ≥2 ＝4，当且仅当x＝1时取等号，由a≤0
得a＋2≤2，则g'（x）＞0，故g（x）的单调递增区间为（0，＋∞）.
（0，＋∞）
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7. 已知函数f（x）＝xln x，g（x）＝x2＋ax（a∈R），直线l与f
（x）的图象相切于点A（1，0），若直线l与g（x）的图象也相切，
则a＝（　　）
A. 0 B. －1
C. 3 D. －1或3
解析：　f'（x）＝1＋ln x，则f'（1）＝1＋ln 1＝1，易知f（1）＝0，
所以直线l的方程为y＝x－1.因为直线l与g（x）的图象也相切，所以
方程组有唯一解，即关于x的一元二次方程x2＋（a－1）x
＋1＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝（a－1）2－4＝0，解得a＝－1
或a＝3.
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8. 设a∈R，若函数y＝x＋aln x在（ ，e）上有极值点，则实数a的取值
范围为（　　）
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解析：　函数y＝f（x）＝x＋aln x在（ ，e）上有极值点，则f'
（x）在（ ，e）上有零点.f'（x）＝1＋ ＝ （x＞0），令g
（x）＝x＋a，则g（x）的零点即为f'（x）的零点，且函数g（x）
在（0，＋∞）上单调递增，所以（ ＋a）（e＋a）＜0，解得－e＜a
＜－ .所以实数a的取值范围为（－e，－ ）.故选B.
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9. （2024·南通、如皋、连云港联考）已知函数f（x）的定义域为R，对
任意x∈R，有f'（x）－f（x）＞0，则“x＜2”是“exf（x＋1）＞
e4f（2x－3）”的（　　）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 既不充分又不必要条件
D. 充要条件
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解析：　因为f'（x）－f（x）＞0，所以 ＞0.令g（x）
＝ ，则g'（x）＝ ＞0，所以g（x）在R上单调递
增.exf（x＋1）＞e4f（2x－3） ＞ g（x＋1）
＞g（2x－3） x＋1＞2x－3 x＜4，所以“x＜2”是“exf（x＋
1）＞e4f（2x－3）”的充分不必要条件，故选A.
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10. 设函数f（x）＝x sin x，若x1，x2∈［－ ， ］，且f（x1）＜f
（x2），则下列不等式恒成立的是（　　）
A. x1＜x2 B. x1＞x2
C. x1＋x2＜0
解析：　由于f（－x）＝（－x） sin （－x）＝x sin x＝f（x），
且定义域关于原点对称，所以函数f（x）为偶函数，当x∈［0， ］
时，f'（x）＝ sin x＋x cos x≥0，故函数f（x）在［0， ］上单调递
增，结合函数为偶函数可知，函数f（x）在［－ ，0］上单调递减，
所以f（x1）＜f（x2）等价于｜x1｜＜｜x2｜，即 ＜ .故选D.
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11. （2024·东北三省四市教研联合体模拟）在同一平面直角坐标系内，函
数y＝f（x）及其导函数y＝f'（x）的图象如图所示，已知两图象有
且仅有一个公共点，其坐标为（0，1），则（　　）
A. 函数y＝f（x）·ex的最大值为1
B. 函数y＝f（x）·ex的最小值为1
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解析：　由导数与函数单调性的关系得f（x）的图象为实曲线，f'
（x）的图象为虚曲线，且当x＜0时，f（x）＜f'（x），当x＞0
时，f（x）＞f'（x），设g（x）＝f（x）·ex，则g'（x）＝（f（x）
＋f'（x））ex＞0，∴g（x）在R上单调递增，故A、B错误；设h
（x）＝ ，则h'（x）＝ ＝ ，则h
（x）在（－∞，0）上单调递增，在（0，＋∞）上单调递减，∴h
（x）在x＝0处有最大值h（0）＝ ＝1，故C正确，D错误.故
选C.
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12. （多选）（2024·金丽衢十二校第二次联考）设定义在R上的函数f
（x）的导函数为f'（x），若 x∈R，均有xf'（x）＝（x＋1）f
（x），则（　　）
A. f（0）＝0
B. f″（－2）＝0（f″（x）为f（x）的二阶导数）
C. f（2）＜2f（1）
D. x＝－1是函数f（x）的极大值点
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解析：　由 x∈R，xf'（x）＝（x＋1）f（x），令x＝0，则0＝
（0＋1）f（0），∴f（0）＝0，A正确；当x≠0时，由xf'（x）＝
（x＋1）f（x）得xf'（x）－f（x）＝xf（x），故
＝ ，即［ ］'＝ ，则 ＝ex，则f（x）＝
xex，f'（x）＝ex＋xex，f″（x）＝ex＋ex＋xex＝ex（2＋x），故
f″（－2）＝ex（2－2）＝0，B正确；
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令g（x）＝ （x＞0），g'（x）＝ex＞0，故g（x）在（0，＋∞）
上单调递增，故 ＞ ，即f（2）＞2f（1），C错误；由于f'
（x）＝ex＋xex，令f'（x）＞0，∴ex（1＋x）＞0，即得x＞－1，令f'
（x）＜0，∴ex（1＋x）＜0，即得x＜－1，故f（x）在（－∞，－1）
上单调递减，在（－1，＋∞）上单调递增，故x＝－1是函数f（x）的极
小值点，D错误.故选A、B.
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13. （2024·上饶一模）若函数f（x）＝x3－ ax2＋6x在区间（1，3）上单
调递增，则a的取值范围为 .
解析：因为f（x）＝x3－ ax2＋6x，所以f'（x）＝3x2－ax＋6，因为
函数f（x）＝x3－ ax2＋6x在区间（1，3）上单调递增，所以f'（x）
＝3x2－ax＋6≥0在（1，3）上恒成立，即x∈（1，3）时，a≤3x＋
恒成立，因为3x＋ ≥2 ＝6 ，当且仅当x＝ 时等号成
立，即（3x＋ ）min＝6 ，所以a≤6 .
（－∞，6 ]
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14. 已知函数f（x）＝x3－x2＋ax（x∈R），g（x）＝x2＋（2－a）ln
x，若f（x）与g（x）中恰有一个函数无极值，则实数a的取值范围
是 .
（－∞， ）∪（2，＋∞）
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解析：若f（x）＝x3－x2＋ax（x∈R）无极值，则f'（x）＝3x2－2x
＋a≥0恒成立，即Δ＝4－12a≤0，解得a≥ ；若g（x）＝x2＋（2
－a）ln x无极值，则g'（x）＝ ≥0对x∈（0，＋∞）恒成
立，所以2－a≥0，即a≤2.所以f（x）与g（x）中恰有一个函数无
极值，则或解得a∈（－∞， ）∪（2，＋∞）.
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15. （2024·成都模拟）已知函数g（x）＝ 的图象与函数f（x）＝aln
x的图象在公共点处有相同的切线，则公共点坐标为 .
解析：函数f（x）＝aln x的定义域为（0，＋∞），可得f'（x）＝
，由g'（x）＝ ，设曲线f（x）＝aln x与曲线g（x）＝ 的公
共点为（x0，y0），由于在公共点处有共同的切线，所以 ＝ ，
所以x0＝4a2（a＞0），由f（x0）＝g（x0），可得aln x0＝ ，联
立可得解得x0＝e2，所以y0＝e，所以公共点坐标为
（e2，e）.
（e2，e）
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16. （多选）已知函数f（x）＝aln x＋x2－（a＋2）x，其中a∈R且
a≠0，则（　　）
A. 当a＝2时，f（x）无极值点
B. 当f（x）有且仅有1个零点时，a＞0
C. 当a＝2时，曲线f（x）在x＝2处的切线方程为y＝x－6＋2ln 2
D. 当a＞0时，f（a）≥f（1）
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解析：　f'（x）＝ ＋2x－（a＋2）＝ ，x＞0.当
a＝2时，f'（x）＝ ≥0恒成立，所以f（x）在（0，＋∞）
上单调递增，故f（x）无极值点，A正确；当a＜0时，2x－a＞0，f
（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，f（1）＝
－a－1，当x→0＋，f（x）→＋∞，当x→＋∞，f（x）→＋∞，当
f（1）＝0即a＝－1时，f（x）有且仅有1个零点；当a＜－1时，f
（x）无零点；当－1＜a＜0时，f（x）有2个零点.
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当a＞0，令f'（x）＝0，解得x＝1或 ，当x→0＋，f（x）→－∞，当
x→＋∞，f（x）→＋∞，①当a＝2时，由A项分析可知f（x）在（0，
＋∞）上单调递增，此时有且仅有1个零点，②当0＜a＜2时，f（x）在
（0， ）上单调递增，在（ ，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递
增，当a＞2时，f（x）在（0，1）上单调递增，在（1， ）上单调递减，
在（ ，＋∞）上单调递增，f（1）＝－a－1＜0，f（ ）＝aln － －
a＜0，则当a＞2或0＜a＜2时，f（x）在（0，＋∞）上有且仅有1个零点，
综上，当f（x）有且仅有1个零点时，a＞0或a＝－1，B错误；
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当a＝2时，f（2）＝2ln 2－4，f'（2）＝1，所以f（x）在x＝2处的切线
方程为y＝x－6＋2ln 2，C正确；当a＞0时，f（a）－f（1）＝aln a－
2a＋a＋1＝aln a－a＋1，记h（a）＝aln a－a＋1，h'（a）＝ln a，令
h'（a）＞0，解得a＞1，则h（a）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）
上单调递增，所以h（a）≥h（1）＝0，即f（a）≥f（1），D正确.
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17. 若曲线f（x，y）＝0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲
线f（x，y）＝0的“自公切线”，则下列方程对应的曲线中存在“自
公切线”的序号为 .
①y＝x2－2｜x｜；②y＝3 sin x＋4 cos x；③3x2－xy＋1＝0；④x2＋
y2－x－｜x｜－1＝0.
①②④
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解析：①y＝x2－2｜x｜＝在x＝－1和x＝1处的切线都是y＝－1，故①有“自公切线”；②y＝3 sin x＋4 cos x＝5 sin （x＋φ），其中 cos φ＝ ， sin φ＝ ，此函数为周期函数，过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合，故②有“自公切线”；③3x2－xy＋1＝0，即y＝3x＋ （x≠0），则y'＝3－ ，假设此函数有“自公切线”，设切点分别为A（x1，3x1＋ ），B（x2，3x2＋ ），且x1≠x2，所以切线的斜率k＝3－ ＝3－ ，解得x2＝－x1，
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则B（－x1，－3x1－ ），故k＝3－ ＝
，化简得3x1＋ ＝3x1－ ，无
解，所以③没有“自公切线”；④x2＋y2－x－｜
x｜－1＝0，当x≥0，则（x－1）2＋y2＝2，当x＜
0，则x2＋y2＝1，表示的图形如图，由于圆（x－
1）2＋y2＝2与圆x2＋y2＝1相交，有公切线，所以④
有“自公切线”.
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