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二、数形结合思想
PART ONE
　　数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想.数形结合思想的应用包括以下两个方面：
以形助数 以数助形
借助形的直观性来阐明数之间的联
系.以形助数常用的有：借助数轴，借助函数图象，借助单位圆，借助数式的结构特征，借助解析几何方法 借助于数的精确性来阐明形的某些
属性.以数助形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系，借助于运算结果与几何定理的结合
由“形”到“数”的转化，往往比较明显，而由“数”到“形”的转化却需要转化的意识，因此，数形结合思想的使用往往偏重于由“数”到“形”的转化 巧用几何性质解决问题
【例1】　已知O为坐标原点，双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0）的
左、右焦点分别为F1，F2，离心率为 ，点P是C的右支上异于顶点的任
意一点，过F2作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足是M，｜MO｜＝ ，则
b＝（　　）
C. 1 D. 2
√
解析：　设半焦距为c，如图，延长F2M交PF1于点
N，因为PM是∠F1PF2的平分线，F2M⊥PM. 所以
△NPF2是等腰三角形，所以｜PN｜＝｜PF2｜，且M是
NF2的中点.根据双曲线的定义可知｜PF1｜－｜PF2｜＝
2a，所以｜NF1｜＝2a.由于O是F1F2的中点.所以MO是△F1NF2的中位线，所以｜MO｜＝ ｜NF1｜＝a＝ ，又双曲线的离心率为 ，故 ＝ ，所以c＝ ，所以b＝ ＝1.故选C.
1. 对于解析几何图形中的动态问题，应分析各个变量的变化过程，找出其
中的相互关系求解.
2. 应用几何性质解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：
（1）形如m＝ 的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；
（2）形如m＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；
（3）形如m＝（x－a）2＋（y－b）2的最值问题，可转化为两点间距
离的平方的最值问题.
1. 过直线x－y－m＝0上一点P作圆M：（x－2）2＋（y－3）2＝1的两
条切线，切点分别为A，B，若使得四边形PAMB的面积为 的点P有
两个，则实数m的取值范围为 .
（－5，3）
解析：如图，由圆M：（x－2）2＋（y－3）2＝1，知
圆M的圆心为M（2，3），半径为1，所以｜MA｜＝｜
MB｜＝1，所以四边形PAMB的面积为S＝ ｜PA｜｜
MA｜＋ ｜PB｜｜MB｜＝｜PA｜＝ ，所以｜PM｜＝ ＝ ＝2 ，要使四边形PAMB的面积为 的点P有两个，则点M到直线x－y－m＝0的距离d＝ ＜2 ，解得－5＜m＜3.
2. 已知抛物线的方程为x2＝8y，点F是其焦点，点A（－2，4），在此抛
物线上求一点P，使△APF的周长最小，此时点P的坐标为 .

解析：因为（－2）2＜8×4，所以点A（－2，4）在
抛物线x2＝8y的内部，如图，设抛物线的准线为l，
过点P作PQ⊥l于点Q，过点A作AB⊥l于点B，连
接AQ. 可知△APF的周长为｜PF｜＋｜PA｜＋｜
AF｜＝｜PQ｜＋｜PA｜＋｜AF｜≥｜AQ｜＋｜AF｜≥｜AB｜＋｜AF｜.因为A（－2，4），所以不妨设△APF的周长最小时，点P的坐标为（－2，y0），代入x2＝8y，得y0＝ .故使△APF的周长最小的点P的坐标为 .
巧借函数图象解决问题
【例2】　（1）已知函数f（x）＝若函数g（x）＝f（x）
＋2x＋ln a（a＞0）有2个零点，则实数a的最小值是（　A　）
C. 1 D. e
A
解析：令g（x）＝0，得f（x）＝－2x－ln a，
若g（x）有2个零点，则函数f（x）与函数y
＝－2x－ln a（a＞0）的图象有两个不同的交
点.画出函数f（x）与函数y＝－2x－
ln a（a＞0）的大致图象如图所示，当直线
y＝－2x－ln a过点（0，1）时，两个函数图象有两个交点，此时1＝－2×0－ln a a＝ .由图可知，当直线向下平移时，可使两个函数图象有两个交点，所以－ln a≤1 a≥ ，所以实数a的最小值为 .故选A.
（2）已知函数f（x）＝若f（m）＝f（2m），
则f（m＋1）＝ .
解析：作出f（x）的图象如图所示，则f（x）在（－∞，0）上单调递增，在[0，＋∞）上单调递减.且对于任意m∈R都有m＜2m，由f（m）＝f（2m）可知，m＜0，所以2m＝－8·（2m）2－2m＋1，即8·（2m）2＋2·2m－1＝0，解得2m＝ （负值舍去），所以m＝－2.则f（m＋1）＝f（－1）＝ .

　　研究函数的零点及方程的根、不等式的求解及参数范围等问题，常转
化为函数图象的交点问题，其思维流程为：
1. 若函数f（x）＝x－ ，则方程f2（x）－f（x）－6＝0的实数根
的个数为（　　）
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
√
解析：　f（x）＝x－ ＝可作出
函数f（x）＝x－ 的图象如图所示，由方程f2（x）－f（x）－6＝0，得f（x）＝3或f（x）＝－2，所以方程f2（x）－f（x）－6＝0的实数根的个数为3.故选A.
2. 已知函数f（x）＝若f（x1）＝f（x2）（x1≠x2），
则｜x1－x2｜的取值范围是 .

解析：根据题意，作出函数f（x）＝的图
象如图所示.设f（x1）＝f（x2）＝t，t∈（0，1]，且x1
＞x2，则x2＋1＝t， ＝t，所以｜x1－x2｜＝x1－x2＝
－t＋1＝－（ ）2＋ ＋1＝－ ＋ .令m
＝ ，则m∈（0，1]，设g（m）＝－ ＋ ，易知g（m）在 上单调递增，在 上单调递减，所以g（m）min＝g（1）＝1，g（m）max＝g ＝ ，所以｜x1－x2｜的取值范围是 .
运用数形结合思想分析解决问题的三大原则
（1）等价性原则：在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是
等价的，否则解题将会出现漏洞，有时，由于图形的局限性，不
能完整地表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅
显的说明；
（2）双向性原则：在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行
代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析
（或仅对几何问题进行代数分析）在许多时候是很难行得通的；
（3）简单性原则：找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法
或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于哪种方法更为简单.

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