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三、分类讨论思想
PART ONE
分类讨论思想的含义 分类讨论的常见类型
分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一
研究时，需对研究的对象按某个标准进行分
类，然后对每一类分别研究，给出每一类的
结论，最终综合各类结果得到整个问题的解
答.分类讨论实质上就是“化整为零，各个
击破，再集零为整”的数学思想 （1）由概念、法则、公式
引起的分类讨论；
（2）由参数变化引起的分
类讨论；
（3）由图形位置（形状）
引起的分类讨论
分类讨论思想是高考重点考查的一类数学思想方法，在高考试卷中常以
含参问题呈现，有时也涉及到图形位置不固定的情况 由概念、法则、公式引起的分类讨论
【例1】　（1）幂函数f（x）＝（m2＋m－5）x 在区间（0，＋
∞）上单调递增，则f（3）＝（　A　）
A. 27 B. 9
A
解析：由题意得，m2＋m－5＝1，即m2＋m－6＝0，解得m＝2或m＝－3.当m＝2时，可得函数f（x）＝x3，此时函数f（x）在区间（0，＋∞）上单调递增，符合题意；当m＝－3时，可得f（x）＝x－2，此时函数f（x）在区间（0，＋∞）上单调递减，不符合题意.即幂函数f（x）＝x3，则f（3）＝27.
（2）设等比数列{an}的公比为q，前n项和Sn＞0（n＝1，2，3，…），
则q的取值范围是 .
解析：由{an}是等比数列，Sn＞0，可得a1＝S1＞0，q≠0，当q＝1时，Sn＝na1＞0；当q≠1时，Sn＝ ＞0，即 ＞0
（n＝1，2，3，…），则有①，或②.由
①得－1＜q＜1，由②得q＞1.故q的取值范围是（－1，0）∪（0，
＋∞）.
（－1，0）∪（0，＋∞）
解决由概念、法则、公式引起的分类讨论问题的步骤
第一步：确定需分类的目标与对象.一般把解决问题的对象作为分类的
目标；
第二步：根据公式、定理确定分类标准.运用公式、定理对分类对象进行
区分；
第三步：分类解决“分目标”问题.对分类出来的“分目标”分别进行
处理；
第四步：汇总“分目标”.对“分目标”问题进行汇总，并作进一步处理.
1. 已知一条直线过点（5，2），且在x轴，y轴上的截距相等，则这条直
线的方程为（　　）
A. x＋y－7＝0
B. 2x－5y＝0
C. x＋y－7＝0或2x－5y＝0
D. x＋y＋7＝0或2y－5x＝0
√
解析：　设该直线在x轴，y轴上的截距均为a，当a＝0时，直线过
原点，此时直线方程为y＝ x，即2x－5y＝0；当a≠0时，设直线方
程为 ＋ ＝1，则 ＋ ＝1，解得a＝7，则直线方程为x＋y－7＝0.
故选C.
2. 已知集合A＝{x｜2x2＋3x≥－1}，B＝{x｜mx≥1}，若A∪B＝A且
m≤0，则实数m的取值范围是 .
解析：A＝{x｜2x2＋3x≥－1}＝{x｜x≤－1或x≥－ }，因为A∪B
＝A，所以B A. 又m≤0，所以①当m＝0时，B＝ ，满足题意；②
当m＜0时，B＝{x｜mx≥1}＝{x｜x≤ }，要使B A，则
解得－1≤m＜0.综上所述，实数m的取值范围是[－1，0].
[－1，0]
由参数变化引起的分类讨论
【例2】　（2024·新高考Ⅱ卷16题节选）已知函数f（x）＝ex－ax－a3.
若f（x）有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围.
解：易知函数f（x）的定义域为R，f'（x）＝ex－a.
当a≤0时，f'（x）＞0，函数f（x）在R上是增函数，无极值；
当a＞0时，由f'（x）＞0，得x＞ln a，由f'（x）＜0，得x＜ln a，
所以函数f（x）在区间（－∞，ln a）上单调递减，在区间（ln a，＋∞）
上单调递增，所以f（x）的极小值为f（ln a）＝a－aln a－a3.
由题意知a－aln a－a3＜0（a＞0），等价于1－ln a－a2＜0（a＞0）.
法一（导数法）　令g（a）＝1－ln a－a2（a＞0），
则g'（a）＝－ －2a＜0，
所以函数g（a）在（0，＋∞）上是减函数，
又g（1）＝0，故当0＜a＜1时，g（a）＞0；当a＞1时，g（a）＜0.
故实数a的取值范围为（1，＋∞）.
法二（图象法）　由1－ln a－a2＜0（a＞0），得ln a＞－a2＋1（a＞0）.
如图为函数y＝ln a与y＝－a2＋1在区间（0，＋∞）上的大致图象，
由图易知当a＞1时，ln a＞－a2＋1，即1－ln a－a2＜0.
所以实数a的取值范围为（1，＋∞）.
由参数变化引起的分类讨论问题的解题策略
（1）含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响进行分类
讨论；
（2）若参数有明确的几何意义时，应全面分析参数变化引起结论的变化
情况，有时需要适当地运用数形结合思想，做到分类标准明确、不
重不漏.
若函数f（x）＝ln x－ax2＋（a－2）x（其中x∈（1，＋∞））存在最
小值，则实数a的取值范围为 　　 　.
（－1，0）
解析：f'（x）＝ －2ax＋a－2＝ ，x∈（1，＋∞），①
若a≥0，则在（1，＋∞）上，f'（x）＜0，f（x）单调递减，无最小
值，不符合题意；②若－1＜a＜0，令f'（x）＝0，解得x＝－ ，则f
（x）在 上单调递减，在 上单调递增，f（x）min＝
f ，符合题意；③若a≤－1，则在（1，＋∞）上，f'（x）＞0，f
（x）单调递增，无最小值，不符合题意.综上所述，－1＜a＜0.
由图形位置（形状）引起的分类讨论
【例3】　（多选）已知P是圆O：x2＋y2＝4上任意一点，定点A在x轴
上，线段AP的垂直平分线与直线OP相交于点Q，当P在圆O上运动时，
Q的轨迹可以是（　　）
A. 圆 B. 椭圆
C. 双曲线 D. 抛物线
√
√
√
解析：　当点A在圆外时，如
图1，2，设AP中点为B，过
B作AP的垂线交直线OP为
Q，连接AQ，则｜PQ｜＝
｜AQ｜，则｜｜QO｜－
｜QA｜｜＝｜OP｜＝2，又｜AO｜＞2，则此时Q的轨迹为以O，A为焦点的双曲线；当点A在圆内（非原点）时，如图3，此时｜QA｜＋｜OQ｜＝｜OQ｜＋｜QP｜＝2，又｜AO｜＜2，则此时Q的轨迹为以O，A为焦点的椭圆；当A在坐标原点时，如图4，此时B，Q重合，则｜OQ｜＝1，则此时Q的轨迹为以O为原点，半径为1的圆；当A在圆上时，如图5，由垂径定理，可知Q点与O重合，此时Q的轨迹为点O. 故选A、B、C.
1. 涉及图形位置不同、大小差异不确定时，要进行分类讨论.
2. 破解此类问题的关键
（1）确定特征：一般在确定初步特征时将能确定的所有位置先确定；
（2）分类：根据初步特征对可能出现的位置关系进行分类；
（3）得结论：将“所有关系”下的目标问题进行汇总处理.
1. 已知正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为
（　　）
解析：　当6是下底面周长，4是三棱柱的高时，体积V＝2× ×
×4＝4 ；当4是下底面周长，6是三棱柱的高时，体积V＝ × ×
×6＝ .故选D.
√
2. 记F1，F2为椭圆C： ＋y2＝1的两个焦点，若C上存在点M满足
· ＝0，则实数m的取值范围是（　　）
√
解析：　当焦点在x轴上时，如图1.a2＝m，b2＝1，m＞1，由对称
性可知当M为上、下顶点时，∠F1MF2最大，因为存在点M满足
· ＝0，则∠F1MF2≥ ，∠F1MO≥ ，所以tan∠F1MO＝
≥tan ＝1，即 ≥1，解得m≥2；当焦点在y轴上时，如图2.
a2＝1，b2＝m，0＜m＜1，当M为左、右顶点时，∠F1MF2最大，因为存在点M满足 · ＝0，则∠F1MF2≥ ，F1MO≥ ，所以tan∠F1MO＝ ≥tan ＝1，即 ≥1，解得0＜m≤ ，故选A.
1. 分类讨论的原则
（1）不重不漏；
（2）标准要统一，层次要分明；
（3）能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论.
2. 解分类与整合问题的步骤
（1）确定分类讨论的对象，即对哪个参数进行讨论；
（2）对所讨论的对象进行合理分类；
（3）逐类讨论，即对各类问题详细讨论，逐步解决；
（4）归纳整合，即将各类情况总结、归纳.

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