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举措二 高考必记知识要点
集合
（1）集合间的关系与运算：A∪B＝A B A；A∩B＝
B B A；
（2）元素与子集的个数：若集合A有n（n∈N*）个元素，则A有
个子集，有 个真子集，有 个非空真
子集.
　
　
2n　
（2n－1）　
（2n－2）　
复数
（1）复数相等的充要条件：a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d（a，b，
c，d∈R）.特别地，a＋bi＝0 a＝0且b＝0（a，b∈R）；
（2）复数的几个常见结论
①（1±i）2＝±2i；
② ＝i， ＝－i；
③i4n＝ ，i4n＋1＝ ，i4n＋2＝ ，i4n＋3＝ ，i4n＋
i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝ （n∈N）.
1　
i　
－1　
－i　
0　
常用逻辑用语
（1）全称量词命题与存在量词命题的否定
全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称
量词命题，它们之间的关系如下表所示：
命题 命题的否定
x∈M，p（x） x∈M， p（x）
x∈M，p（x） x∈M， p（x）
（2）充分条件与必要条件的两种判定方法
①定义法：若p q，则p是q的 条件（或q是p的
条件）；若p q，且q p，则p是q的 条件（或q
是p的 条件）；
②集合法：利用集合间的包含关系.例如，命题p：x∈A，命题q：
x∈B，若A B，则p是q的 条件（q是p的 条
件）；若A B，则p是q的 条件（q是p的
条件）；若A＝B，则p是q的 条件.
充分　
必要　
充分不必要　
必要不充分　
充分　
必要　
充分不必要　
必要不
充分　
充要　
不等式
（1）分式不等式
＞0（＜0） f（x）g（x） 0（＜0）；
≥0（≤0）
＞　
① 　≥ ≥　 （a＞0，b＞0），当且仅当a＝b时取等号；
②4ab≤（a＋b）2≤2（a2＋b2），即ab （ ）2
，当且仅当a＝b时取等号；
③ ＋ ≥ （ab＞0），当且仅当a＝b时取等号， ＋ ≤
（ab＜0），当且仅当a＝－b时取等号.
≥ ≥　
≤　
≤　
2　
－2　
（2）基本不等式
平面向量
（1）平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），θ为向量a，b的夹角.
名称 几何表示 坐标表示
模 ｜a｜＝
数量积 a·b＝｜a｜｜
b｜· cos θ a·b＝
夹角的余弦值 cos θ＝
　
x1x2＋y1y2　
名称 几何表示 坐标表示
a⊥b的充
要条件 a·b＝0 ＝0
｜a·b｜
与｜a｜｜
b｜的关系 ｜a·b｜≤｜a｜｜
b｜（当且仅当a与b
共线时等号成立）
x1x2＋y1y2　
①O为△ABC的外心 ｜ ｜＝｜ ｜＝｜ ｜＝ ；
②O为△ABC的重心 ＋ ＋ ＝0；
③O为△ABC的垂心 · ＝ · ＝ · ；
④O为△ABC的内心 a ＋b ＋c ＝0.
（2）三角形“四心”向量形式的充要条件
设O为△ABC所在平面上一点，内角A，B，C所对的边长分别为
a，b，c，则
三角函数
（1）同角三角函数的基本关系式
商的关系
平方关系 sin 2α＋ cos 2α＝1
常见变形
（2）三角恒等变换
① cos （α＋β）＝ ；
cos （α－β）＝ ；
sin （α＋β）＝ ；
sin （α－β）＝ ；
tan（α＋β）＝ ；
tan（α－β）＝ .
cos α cos β－ sin α sin β　
cos α cos β＋ sin α sin β　
sin α cos β＋ cos α sin β　
sin α cos β－ cos α sin β　
　
　
②二倍角公式： sin 2α＝ ， cos 2α＝ cos 2α－
sin 2α＝2 cos 2α－1＝1－2 sin 2α，tan 2α＝ ；
③降幂公式： sin 2α＝ ， cos 2α＝ .
2 sin α cos α　
　
（3）三角函数的图象和性质
项目 正弦函数 y＝ sin x 余弦函数 y＝ cos x 正切函数
y＝tan x
单
调
性 增区
间 [－π＋2kπ，2kπ]
（k∈Z）
减区
间 [2kπ，π＋2kπ]
（k∈Z）
项目 正弦函数 y＝ sin x 余弦函数 y＝ cos x 正切函数
y＝tan x
对
称
性 对称
轴 x＝
（k∈Z） x＝
（k∈Z）
对称
中心
（k∈Z） （k∈Z）
（k∈Z）
＋kπ　
kπ　
（kπ，0）
（ ＋kπ，0）
（ ，0）　
（4）三角函数的图象变换
由函数y＝ sin x的图象变换得到y＝A sin （ωx＋φ）（A＞0，ω＞
0）的图象的两种方法：
（5）正、余弦定理及其变形
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的
外接圆半径.
定理 正弦定理（已知两角一边或两边及其中一边的对角） 余弦定理（已知三边或
两边及其夹角）
内容 a2＝b2＋c2－2bc cos A，
b2＝
，
c2＝

a2＋c2－2ac cos
B　
a2＋b2－2ab cos
C　
定理 正弦定理（已知两角一边或两边及其中一边的对角） 余弦定理（已知三边或
两边及其夹角）
常见
变形
　
　
数列
（1）等差、等比数列的通项公式与前n项和公式
项目 等差数列 等比数列
通项公式 an＝ an＝ （q≠0）
前n项和
公式
a1＋（n－1）d　
a1qn－1　
na1＋
d　
　
na1　
（2）等差数列的性质
已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn.
①若m＋n＝p＋q（m，n，p，q∈N*），则am＋an＝ ；
②ak，ak＋m，ak＋2m，…（k，m∈N*）是公差为 的等差数
列；
③数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列（公差
为 ，m∈N*）；
④S2n－1＝（2n－1）an；
⑤若项数n为偶数，则S偶－S奇＝ ；若项数n为奇数，则S奇－
S偶＝ .
ap＋aq　
md　
m2d　
　
　
（3）等比数列的性质
已知等比数列{an}的公比为q（q≠0），前n项和为Sn.
①若m＋n＝p＋q（m，n，p，q∈N*），则aman＝ ；
②若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列，即若m＋n
＝ ，则aman＝ ；
③ak，ak＋m，ak＋2m，…（k，m∈N*）是公比为 的等比数
列；
④当q≠－1，或q＝－1且m（m∈N*）为奇数时，数列Sm，S2m－
Sm，S3m－S2m，…是公比为 的等比数列；
apaq　
2p　
　
qm　
qm　
⑤若Tn为等比数列{an}的前n项积，则Tm， ， ，…是公比为
（qm）m的等比数列；
⑥当项数为2n时， ＝ ；当项数为2n＋1时， ＝ .
q　
q
立体几何
（1）空间几何体的表面积与体积
几何体 侧面积 表面积 体积
圆柱 S侧＝
S表＝2πr（r＋l） V＝S底h＝
圆锥 S侧＝ S表＝πr（r＋l）
圆台 S侧＝
S表＝π（r2＋r'2＋rl＋r'l）
2πrl
πr2h　
πrl　
S底h　
π（r＋
r'）l
（S上＋S下＋　
）h　
几何体 侧面积 表面积 体积
直棱柱 S侧＝Ch（C为底面周长） S表＝S
侧＋ S上＋S
下（棱 锥的S上
＝0） V＝S底h
正棱锥
正棱台 V＝

球 S＝ V＝
（S上＋S下
＋ ）h　
4πR2　
πR3　
（2）利用空间向量求角和距离
异面直线a，
b所成的角θ cos θ＝｜ cos ＜a，b＞｜＝ ，其中0°
＜θ≤90°，a，b分别表示异面直线a，b的方向向量
直线AB与平
面α所成的角
θ
　
　
二面角α-l-
β的平面角θ ｜ cos θ｜＝｜ cos ＜m，n＞｜＝ ，其
中0°≤θ≤180°，m，n分别是平面α，β的法向量
点B到平面α
的距离d
　
（3）平行、垂直关系的转化
②线面垂直：l⊥α a∥u a＝ku a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝
kc2；
（4）用空间向量证明平行、垂直
设直线l的方向向量为a＝（a1，b1，c1），平面α，β的法向量分
别为u＝（a2，b2，c2），v＝（a3，b3，c3）.则有
①线面平行：l∥α a⊥u a·u＝0 ＝0；
a1a2＋b1b2＋c1c2　
③面面平行：α∥β u∥v u＝λv a2＝λa3，b2＝λb3，c2
＝λc3；
④面面垂直：α⊥β u⊥v u·v＝0 ＝0.
a2a3＋b2b3＋c2c3　
解析几何
（1）直线的两种位置关系
①当不重合的两条直线l1和l2的斜率都存在时：
（ⅰ）两直线平行：l1∥l2 ；
（ⅱ）两直线垂直：l1⊥l2 .
提醒　当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线
也垂直，此种情形易忽略.
k1＝k2　
k1k2＝－1　
②直线方程一般式是Ax＋By＋C＝0.
（ⅰ）若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则
l1∥l2 A1B2－B1A2 0且A1C2－A2C1 0；
（ⅱ）若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则
l1⊥l2 A1A2＋B1B2 0.
提醒　无论直线的斜率是否存在，上式均成立，所以此公式用起来
更方便.
＝　
≠　
＝　
②点到直线的距离d＝ （其中点P（x0，y0），
直线方程为Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0）；
③两平行线间的距离d＝ （其中两平行线方程分别为l1：
Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，A2＋B2≠0）.
　
（2）三种距离公式
①已知A（x1，y1），B（x2，y2），两点间的距离｜AB｜＝
；
提醒　应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中x，y的系
数应对应相等.
（3）圆的方程的两种形式
①圆的标准方程：（x－a）2＋（y－b）2＝r2；
②圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0）；
（4）圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质
名称 椭圆 双曲线 抛物线
定义 ｜PF1｜＋｜
PF2｜ ＝
（2a ｜F1F2｜） ｜｜PF1｜－｜
PF2｜｜＝ （0＜2a ｜
F1F2｜） ｜PF｜＝｜PM｜点
F不在直线l上，
PM⊥l交l于点M
2a　
＞　
2a　
＜　
名称 椭圆 双曲线 抛物线
标准
方程 y2＝2px（p＞0）
图形
名称 椭圆 双曲线 抛物线
几
何
性
质 范围 ｜x｜≤ ，｜y｜
≤ ｜x｜≥ x≥0
顶点 （±a，0），（0，±b） （±a，0） （0，0）
对称性 关于x轴，y轴和原点对称 关于x轴对称
焦点 （±c，0）
a
b　
a　
名称 椭圆 双曲线 抛物线
几
何
性
质 轴 长轴长 ，
短轴长 实轴长 ，虚轴
长
离心率 e＝1
准线
渐近线 y＝
2a
2b
2a
2b　
± x　
（5）设直线的斜率为k（k≠0），直线与圆锥曲线交于A（x1，y1），B
（x2，y2），则｜AB｜＝ ｜x1－x2｜＝
· 或｜AB｜＝ ｜y1－
y2｜＝ · .
（6）圆锥曲线中的二级结论
圆锥
曲线
的焦
点三
角形
圆锥曲
线的焦
点三角
形
椭圆、
双曲线
第三定
义的推
广
双曲
线的
渐近
线
抛物
线的
焦点
弦
相交
弦所
在直
线斜
率与
弦中
点的
关系
概率与统计
（1）排列数与组合数的性质
① ＝n ；② ＝m ＋ ；③ ＝ ；④
＝ ＋ .
（2）二项式系数的3个性质
对称
性
增减
性与 最大
值
＋1　
　
　
　
　
　
各二
项式 系数
的和
2n　
2n－1　
（3）概率的计算公式
①古典概型的概率计算公式：
P（A）＝ ；
②互斥事件的概率计算公式：P（A∪B）＝ ；
③对立事件的概率计算公式：P（ ）＝ ；
④独立事件同时发生的概率计算公式：P（AB）＝ ；
P（A）＋P（B）　
1－P（A）　
P（A）P（B）　
⑤条件概率公式：P（B｜A）＝ ，P（A）＞0；
⑥概率的乘法公式：P（AB）＝ ，P
（A）＞0；
⑦全概率公式：P（B）＝ P（Ai）P（B｜Ai）（A1，
A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P
（Ai）＞0，i＝1，2，…，n，B Ω）.
　
P（A）P（B｜A）　
（4）期望与方差的性质
①均值的性质：（ⅰ）E（aX＋b）＝ ；（ⅱ）若
X～B（n，p），则E（X）＝ ；（ⅲ）若X服从两点分布，
则E（X）＝ .
②方差的性质：（ⅰ）D（aX＋b）＝ ；（ⅱ）若X～
B（n，p），则D（X）＝ ；（ⅲ）若X服从两点
分布，则D（X）＝ .
aE（X）＋b　
np　
p　
a2D（X）　
np（1－p）　
p（1－p）　
（5）二项分布与超几何分布
二项分布 超几何分布
定
义
期
望 E（X）＝
np　
np　
（6）用样本的数字特征估计总体的数字特征
给出一组数据x1，x2，x3，…，xn 给出频率分布直方图
众
数 在一组数据中，出现
最多的数据叫作这组数据的众数 最高矩形所在区间的 的横坐标即众数
中
位
数 将一组数据按从大到小或从小到大的顺序排列，把处在 的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫作这组数据的中位数 中位数左边和右边的直方图的 相等
平
均
数 图中每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标的乘积之和
次数　
中点
最中间
面积
给出一组数据x1，x2，
x3，…，xn 给出频率分布直方图
方差
标准
差
（7）样本相关系数r具有如下性质：
①｜r｜≤1；
②当｜r｜越接近1时，成对样本数据的线性相关程度 ；
③当｜r｜越接近0时，成对样本数据的线性相关程度 .
越强　
越弱　
函数与导数
（1）函数的单调性
函数的单调性是函数在其定义域上的局部性质.
①单调性的定义的等价形式：设任意x1，x2∈[a，b]，且x1≠x2，那
么（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＞0 ＞0 f（x）
在[a，b]上 ；（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＜
0 ＜0 f（x）在[a，b]上 ；
单调递增　
单调递减　
②若函数f（x）和g（x）都是减函数，则在公共定义域内，f
（x）＋g（x）是 函数；若函数f（x）和g（x）都是增函
数， 则在公共定义域内，f（x）＋g（x）是 函数；根
据 判断复合函数y＝f（g（x））的单调性.
减　
增　
同增异减　
（2）函数奇偶性的常用结论
①如果奇（偶）函数f（x）在区间[a，b]（0≤a＜b）上具有单调
性，那么f（x）在[－b，－a]上具有相同（反）的单调性；
②定义在R上的函数f（x）总可以表示为一个奇函数g（x）与一个
偶函数h（x）之和，其中g（x）＝ ，h（x）＝
.
（3）函数周期性的常用结论
①设周期函数f（x）的最小正周期为T（T＞0），则f（λx）
（λ≠0）的最小正周期为 ；
②若u＝g（x）是周期函数，f（u）是任意函数，则f（g（x））
也是周期函数；
③若f（x＋a）＝f（x＋b），则f（x）的周期T＝b－a，其中
a≠0，b≠0，a≠b；
④若f（x＋a）＝－f（x），则f（x）的周期T＝2a，其中a≠0；
⑤若f（x＋a）＝± （c为常数），则f（x）的周期T＝
2a，其中a≠0，c≠0；
⑥若f（x＋a）＝ ，则f（x）的周期T＝2a，其中a≠0；
若f（x＋a）＝ ，则f（x）的周期T＝4a，其中a≠0.
（4）函数图象的对称性
①函数y＝f（x）的图象与其反函数y＝f－1（x）的图象关于直线y
＝x对称；
②函数y＝f（x）的图象与函数y＝f（－x）的图象关于y轴对称，
函数y＝f（x）的图象与函数y＝－f（x）的图象关于x轴对称；
③函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称 f（a－x）＝f（a＋
x） f（2a－x）＝f（x）；
④函数y＝f（x）的图象关于点（a，0）对称 f（a－x）＝－f
（a＋x） f（2a－x）＝－f（x）；
⑤函数y＝f（x）的图象关于直线x＝ 对称 f（a＋mx）＝f
（b－mx）（m≠0） f（a＋b－mx）＝f（mx）（m≠0）.
（5）指数函数与对数函数的基本性质
①定点：y＝ax（a＞0，且a≠1）恒过点 ；y＝logax
（a＞0，且a≠1）恒过点 ；
②单调性：当a＞1时，y＝ax在R上 ，y＝logax在
（0，＋∞）上 ；当0＜a＜1时，y＝ax在R上
，y＝logax在（0，＋∞）上 ；
（0，1）　
（1，0）　
单调递增　
单调递增　
单调递
减　
单调递减　
（6）常见抽象函数的性质与对应的特殊函数模型
抽象函数的性质 特殊函数模型
①f（x＋y）＝f（x）＋f（y）， ②f（x－y）＝f（x）－f（y） 正比例函数f（x）＝kx（k≠0）
指数函数f（x）＝ax（a＞0，a≠1）
对数函数f（x）＝logax（a＞0，a≠1）
抽象函数的性质 特殊函数模型
幂函数f（x）＝xn
f（x＋y）＝f（x）g（y）＋g（x）f（y） 三角函数f（x）＝ sin x，g
（x）＝ cos x
正切函数f（x）＝tan x
f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋2axy－c 二次函数f（x）＝ax2＋bx
＋c（a≠0）
（7）5组基本初等函数的导数公式
① c'＝0（c为常数）
②
③ （ sin x）'＝ ，（ cos x）'＝
④
⑤ （ax）'＝ （a＞0且a≠1），（ex）'＝ex
αxα－1　
－ 　
cos x　
－ sin x　
　
　
axln a　

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