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一、函数与方程思想
PART ONE
函数思想 方程思想
函数思想是通过建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析、转化问题，从而使问题得到解决的思想 方程思想就是建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题得到解决的思想
函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的，函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求静，研究运动中的等量关系 【例1】　（1）（2024·新乡第三次模拟）设a＝ ，b＝ln ，c＝
，其中e是自然对数的底数，则（　B　）
A. b＜a＜c B. a＜c＜b
C. b＜c＜a D. c＜b＜a
B
同构函数关系解决问题
解析：令函数f（x）＝ ，x＞e，求导得f'（x）＝ ＜0，即函数f（x）在（e，＋∞）上单调递减，而a＝ ＝ ，b＝ ，c＝ ＝ ，又3＜ ＜4，因此f（3）＞f（ ）＞f（4），所以a＜c＜b.故选B.
（2）已知函数f（x）＝xa－aln x（a＞0），若当x∈（1，e2）时，f
（x）≤ex－x恒成立，则实数a的最大值是（　B　）
A. 1 B. e
D. e2
B
解析：由题意知，当x∈（1，e2）时，f（x）≤ex－x恒成立，即xa－aln x≤ex－x在（1，e2）上恒成立，即 －ln xa≤ex－x在（1，e2）上恒成立.令m（x）＝ex－x（x＞0），则m'（x）＝ex－1＞0，即m（x）在（0，＋∞）上单调递增，则由 －ln xa≤ex－x，即m（ln xa）≤m（x），可得ln xa≤x，即a≤ 在（1，e2）上恒成立.令n（x）＝ ，x∈（1，e2），n'（x）＝ ，当x∈（1，e）时，n'（x）＜0，n（x）单调递减；当x∈（e，e2）时，n'（x）＞0，n（x）单调递增，故n（x）在x＝e时取最小值，且n（e）＝ ＝e，则由a≤ 在（1，e2）上恒成立，可知a≤e，故实数a的最大值为e.故选B.
　　对于结构相同（相似）的不等式，通常考虑变形，构造函数，再通过
函数的单调性进行求解.
1. 若2a＋log2a＜22b＋log2b＋1，则（　　）
A. ln（2b－a＋1）＜0 B. ln（2b－a＋1）＞0
C. ln｜a－2b｜＞0 D. ln｜a－2b｜＜0
解析：　对已知不等式变形可得2a＋log2a＜22b＋log22b，令f（x）
＝2x＋log2x，x＞0，因为函数y＝2x与y＝log2x在（0，＋∞）上均单
调递增，所以函数f（x）＝2x＋log2x在（0，＋∞）上单调递增，2a＋
log2a＜22b＋log22b即f（a）＜f（2b），所以2b＞a＞0，所以2b－
a＞0，所以2b－a＋1＞1，则ln（2b－a＋1）＞ln 1＝0，A错误，B正
确；无法确定｜a－2b｜与1的大小，故无法确定ln｜a－2b｜与0的大
小，C、D错误.故选B.
√
2. 已知x（aex＋1）＞ln 有解，则实数a的取值范围为（　　）
C. （－1，＋∞）
√
解析：　不等式x（aex＋1）＞ln 可化为a（xex）＋x＋ln x＞1，
即a（xex）＋ln（xex）＞1.令t＝xex，t＞0，则at＋ln t＞1在（0，
＋∞）上有解，所以a＞ 在（0，＋∞）上有解.令f（t）＝
（t＞0），则f'（t）＝ ，当0＜t＜e2时，f'（t）＜0，f（t）在
（0，e2）上单调递减；当t＞e2时，f'（t）＞0，f（t）在（e2，＋∞）
上单调递增.所以f（t）min＝f（e2）＝－ ，所以a＞－ ，所以a的
取值范围为（ － ，＋∞），故选A.
转换函数关系解决问题
【例2】　（2024·新高考Ⅱ卷6题）设函数f（x）＝a（x＋1）2－1，g
（x）＝ cos x＋2ax.当x∈（－1，1）时，曲线y＝f（x）与y＝g（x）
恰有一个交点.则a＝（　　）
A. －1
C. 1 D. 2
√
解析：　法一　令f（x）＝g（x），即a（x＋1）2－1＝ cos x＋2ax，
可得ax2＋a－1＝ cos x，令F（x）＝ax2＋a－1，G（x）＝ cos x，原题
等价于当x∈（－1，1）时，曲线y＝F（x）与y＝G（x）恰有一个交
点，注意到F（x），G（x）均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，可
得F（0）＝G（0），即a－1＝1，解得a＝2.故选D.
法二　令h（x）＝f（x）－g（x）＝ax2＋a－1－ cos x，x∈（－1，
1），原题意等价于h（x）有且仅有一个零点，因为h（－x）＝a（－
x）2＋a－1－ cos （－x）＝ax2＋a－1－ cos x＝h（x），则h（x）为
偶函数，根据偶函数的对称性可知h（x）的零点只能为0，即h（0）＝a
－2＝0，解得a＝2，故选D.
转化函数关系主要包括的两个方面
（1）将函数的性质或函数图象的各类形态转化为方程（不等式）表示，
然后利用方程（不等式）的运算规则求解；
（2）将方程（不等式）转化为函数表示，然后利用函数的性质及图象间
的对应关系求解.
（2024·广州期末）已知函数f（x）＝aln x＋ x2，若对任意正数x1，x2
（x1≠x2），都有 ＞2恒成立，则实数a的取值范围为（　）
A. （0，1] B. （0，2]
C. [1，＋∞） D. [2，＋∞）
√
解析：　根据 ＞2，可知 ＞0，令g
（x）＝f（x）－2x＝aln x＋ x2－2x（x＞0），由
＞0，知g（x）单调递增，所以g'（x）＝ ＋x－2
＝ ≥0（x＞0）恒成立，分离参数得a≥2x－x2，而当x＞0时，
y＝2x－x2在x＝1时取最大值1，故a≥1，即实数a的取值范围为[1，＋
∞）.
利用函数关系解决问题
【例3】　（2024·江苏、浙江大联考）已知长方体的表面积为8，所有棱长
和为16，则长方体体积的最大值为 .
解析：设从长方体同一顶点出发的三条棱长分别为a，b，c.则2（ab＋
bc＋ac）＝8，4（a＋b＋c）＝16，所以ab＋bc＋ac＝4，a＋b＋c＝
4，不妨设c≤b≤a，则0＜c≤ ，体积V＝abc＝（4－bc－ac）c＝[4
－c（a＋b）]c＝[4－c（4－c）]·c＝c3－4c2＋4c，求导得V'＝3c2－
8c＋4＝（3c－2）·（c－2），易知当c＝ 时，V最大，最大值为 .

　　当问题中涉及的一些关键量为变动的量时，往往转化为函数问题求
解.如求某量的最值、范围问题等.此类题有意识地凸显其函数关系，进而
用函数思想及函数方法研究、解决问题，不仅能获得简便的解法，而且能
促进科学思维的培养，提高发散思维的水平.
1. 甲、乙两人进行象棋比赛（没有平局），采用“五局三胜”制.已知在
每局比赛中，甲获胜的概率为p，0＜p＜1.则甲以3∶1获胜的概率的最
大值为 .

解析：甲以3∶1获胜，则前三局中甲要胜两局败一局，第四局甲再获
胜，若所求概率用f（p）表示，则f（p）＝ ·p2·（1－p）·p＝3p3
－3p4，0＜p＜1，则f'（p）＝9p2－12p3＝3p2（3－4p）.令f'（p）＞
0，得0＜p＜ ；令f'（p）＜0，得 ＜p＜1.所以f（p）在 上
单调递增，在 上单调递减，所以当p＝ 时，f（p）取得最大
值，为 .
2. （2024·安徽六校第二次素养测试）已知正方形ABCD的边长为2，中心
为O，四个半圆的圆心均为正方形ABCD各边的中点（如图），若P在
上，且 ＝λ ＋μ ，则λ＋μ的最大值为 .

解析：如图，以线段BC所在直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴
建立平面直角坐标系，设P（ cos θ， sin θ），θ∈[π，2π]，又A
（－1，2），B（－1，0），C（1，0），D（1，2），则 ＝（ cos
θ＋1， sin θ－2）， ＝（2，0）， ＝（0，－2），∵ ＝
λ ＋μ ，
即（ cos θ＋1， sin θ－2）＝λ（0，－2）＋μ（2，0）∴解得λ＋μ＝ ＋ ＝
（ cos θ－ sin θ＋3）＝ ［ cos （ θ＋ ）＋3］，∵θ∈[π，
2π]，则θ＋ ∈［ ， ］，∴当θ＋ ＝2π时， cos （ θ＋ ）取
得最大值1，则λ＋μ的最大值为 .
建立方程（组）解决问题
【例4】　（2024·临沂二模）已知椭圆 ＋ ＝1（a＞b＞0）的左、右
焦点分别为F1，F2，P为椭圆上第一象限内的一点，且PF1⊥PF2，PF1与
y轴相交于点Q，离心率e＝ ，若 ＝λ ，则λ＝（　　）
√
解析：设｜ ｜＝m，｜ ｜＝n，则有m2＋n2＝4c2，
m＋n＝2a＝2× c＝ c，则（m＋n）2＝m2＋n2＋
2mn＝ c2，即2mn＝ c2－4c2＝ c2，则（m－n）2＝
m2＋n2－2mn＝4c2－ c2＝ c2，即m－n＝ c，即m＝ ＝ c，n＝ ＝ c，则｜ ｜＝λ｜ ｜＝λm＝ λc，由｜ ｜＝｜ ｜，则有（ λc）2＝（ c－ λc）2＋（ c）2，整理得8λ＝5，即λ＝ .故选B.
　　分析题目中的未知量，根据条件分别列出关于未知数的方程（组），
使原问题得到解决，这就是构造方程法，构造方程法是应用方程思想解决
非方程问题的极富创造力的一个方面.
1. （2024·武昌5月质量检测）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝
9，S9＝81，则S12＝（　　）
A. 288 B. 144
C. 96 D. 25
√
解析：　由题意即解得
于是S12＝12×1＋ ×2＝144.故选B.
2. 设非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，｜a｜＝2，＜b，c＞＝
120°，则｜b｜的最大值为 .
解析：因为a＋b＋c＝0，所以a＝－（b＋c），所以｜a｜2＝｜b｜2
＋2｜b｜｜c｜ cos 120°＋｜c｜2，即｜c｜2－｜b｜｜c｜＋｜b｜2
－4＝0，所以Δ＝｜b｜2－4（｜b｜2－4）≥0，解得0＜｜b｜≤ ，
即｜b｜的最大值为 .

函数与方程思想的应用归纳
（1）函数与不等式的相互转化，把不等式转化为函数，借助函数的图象
和性质可解决相关的问题，常涉及不等式恒成立问题、比较大小问
题，一般利用函数思想构造新函数、建立函数关系求解；
（2）三角函数中有关方程根的计算，平面向量中有关模、夹角的计算，
常转化为函数关系，利用函数的性质求解；
（3）数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，可用函数的观点去
处理数列问题，常涉及最值问题或参数范围问题，一般利用二次函
数或一元二次方程来解决；
（4）解析几何中有关求曲线方程、求值等问题常常需要通过解方程
（组）来解决，求范围、最值等问题常转化为求函数的值域、最值
来解决；
（5）立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方
程或建立函数表达式的方法加以解决.

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