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中档题保分练1
（时间：50分钟　满分：87分）
一、单项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四
个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 从正六边形的6个顶点中任取3个构成三角形，则所得三角形是直角三角
形的概率为（　　）
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√
解析：　从正六边形的6个顶点中任取3个共有 ＝20种
情况，如图，要想构成直角三角形其中两个顶点一定是正
六边形一条边的两个端点，有 ＝6种情况，直角三角形
的另一个顶点一定是这条边所对边两个端点中的一个，有
＝2种情况，所以共有12个直角三角形，因此概率为
＝ ，故选C.
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2. 已知｜a｜＝1，｜b｜＝ ，a＋b＝（ ，1），则a＋b与a－b的
夹角是（　　）
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
√
解析：　由a＋b＝（ ，1）可得｜a＋b｜＝ ＝
2，则｜a＋b｜2＝4，∴a2＋2a·b＋b2＝4，即得1＋2a·b＋3＝4，故
a·b＝0，则｜a－b｜2＝a2－2a·b＋b2＝4，∴｜a－b｜＝2，故 cos
＜a＋b，a－b＞＝ ＝ ＝ ＝－ ，
由于0°≤＜a＋b，a－b＞≤180°，故＜a＋b，a－b＞＝120°，
故选C.
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3. 已知函数f（x）＝ ，在正项等比数列{an}中，a1 013＝1，则 f
（ai）＝（　　）
A. 1 013 B. 1 012
C. 2 025 D. 2 026
√
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解析：　由题意知f（x）＋f（ ）＝ ＋ ＝ ＋ ＝2，由
等比数列性质可得a1a2 025＝a2a2 024＝…＝ana2 026－n＝（a1 013）2＝1，
所以an＝ ，f（an）＋f（a2 026－n）＝2， f（ai）＝[f
（a1）＋f（a2 025）]＋[f（a2）＋f（a2 024）]＋…＋f（a1 013）＝2×1
012＋1＝2 025.故选C.
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4. 已知一个玻璃酒杯盛酒部分的轴截面是抛物线，其通径长为1，现有一
个半径为r（r＞0）的玻璃球放入该玻璃酒杯中，要使得该玻璃球接触
到杯底（盛酒部分），则r的取值范围是（　　）
A. （0，2]
√
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解析：以轴截面抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴建立
平面直角坐标系，当玻璃球能够与杯底接触时，该玻璃球
的轴截面的方程为x2＋（y－r）2＝r2（r＞0）.因为抛物
线的通径长为1，则抛物线的方程为y＝x2，代入圆的方程
消元得：x2[x2＋（1－2r）]＝0，所以原题等价于方程x2[x2＋（1－2r）]＝0在[－r，r]上只有实数解x＝0.因为由x2[x2＋（1－2r）]＝0，得x＝0或x2＝2r－1，所以需2r－1≤0或2r－1＞r2，即r≤ 或（r－1）2＜0.因为r＞0，所以0＜r≤ ，故选C.
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二、多项选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
5. 函数f（x）＝A cos （ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜ ）的部分图象如图所示，f（ ）＝f（ ）＝0，f（ ）＝－ ，则下列选项中正确的有（　）
√
√
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解析：　根据图象可得 T＝ － ＝ ，解得T＝ ，因为ω＞0，所以 ＝ ，解得ω＝3，f（ ）＝A cos （ ＋φ）＝A cos （－ ＋φ）＝0，因为A＞0，所以 cos （－ ＋φ）＝0，即φ－ ＝kπ＋ ，φ＝kπ＋ ，k∈Z，因为－ ＜φ＜ ，所以φ＝－ ，故f（x）＝A cos （3x－ ），所以f（ ）＝A cos （ － ）＝－ A＝－ ，解得A＝ ，A错误，B正确；
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C选项，f（x）＝ cos （3x－ ），将f（x）的图象向右平移 个单位
长度所得函数的解析式为g（x）＝ cos （3x－ － ）＝ cos （3x
－ ）＝ sin 3x，为奇函数，C正确；D选项，令3x－ ∈[－π＋2kπ，
2kπ]，k∈Z，解得x∈［－ ＋ ， ＋ ］，k∈Z，故f（x）的单
调递增区间为［－ ＋ ， ＋ ］，k∈Z，D错误.故选B、C.
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6. 已知a＝（ ，b＝log3 ，c＝（log23 ，则满足关系式f
（b）＜f（a）＜f（c）的函数f（x）可以为（　　）
B. f（x）＝x｜x｜
C. f（x）＝x2
√
√
√
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解析：　由于0＜log2 ＜1，所以a＝（ ∈（ ，1）.由于（ ）6＝ ＞（ ）6＝ ，所以 ＞ ，因此b＝log3 ＞log3 ＝－ ，所以b∈（－ ，0）.因为1＜log23＜2，所以c＝（log23 ∈（1， ），又 ＜ ＜ ，所以－ ＜－ ＜b＜0＜ ＜a＜1＜c＜ .选项A：若f（x）＝－ ，则f（b）＞0，f（a）＜f（c）＜0，不满足f（b）＜f（a）＜f（c），故A选项错误；选项B：若f（x）＝x｜x｜＝易知f（x）在R上单调递增，所以f（b）＜f（a）＜f（c），满足题意，故B选项正确；
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选项C：若f（x）＝x2，则f（x）在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增，但由于－ ＜b＜0＜ ＜a＜1＜c＜ ，所以f（b）＜f（a）＜f（c），满足题意，故C选项正确；选项D：若f（x）＝ cos （ ＋x），则f（x）＝ cos （ ＋x）＝ sin x，而y＝ sin x在［－ ， ］上单调递增，－ ＜－ ＜b＜0＜ ＜a＜1＜c＜ ，所以f（b）＜f
（a）＜f（c），满足题意，故D选项正确.故选B、C、D.
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三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分）
7. 如图，高度均为3的封闭玻璃圆锥和圆柱容器内装入等体积的水，此时
水面高度均为h，若h＝2，记圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为
r，则 ＝ 　 　.

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解析：如图，作出圆锥的轴截面SAB，设CD为水面，O
为圆锥底面中心，O1为水面中心，则SO＝3，OO1＝2，
∴SO1＝1，则△SDC∽△SAB，故 ＝ ，∴O1D＝
R，故圆锥内水的体积为V1＝ πR2·SO－ π·（O1D）
2·SO1＝πR2－ πR2＝ πR2，圆柱内水的体积为V2＝
πr2h＝2πr2，由V1＝V2，得 πR2＝2πr2，故 ＝ .
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8. 人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿（1643—
1727）给出了牛顿法——用“作切线”的方法求方程的近似解，如图，
方程f（x）＝0的根就是函数f（x）的零点r，取初始值x0处的切线与
x轴的交点为x1，f（x）在x1处的切线与x轴的交点为x2，一直这样下
去，得到x0，x1，x2，…，xn，它们越来越接近r.若f（x）＝x3－x＋
1，x0＝－1，则用牛顿法得到的r的近似值x2约为 （结果保
留两位小数）.
－1.35
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解析：由f（x）＝x3－x＋1 f'（x）＝3x2－1，f'（x0）＝f'（－1）＝
2，f（x0）＝f（－1）＝1，所以在x0处的切线方程为：y－1＝2（x＋
1），令y＝0 x1＝－1.5，可得：f'（x1）＝f'（－1.5）＝5.75，f
（x1）＝f（－1.5）＝－0.875，所以在x1处的切线方程为：y＋0.875
＝5.75（x＋1.5），令y＝0 x2≈－1.35.
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四、解答题（本题共3小题，共45分.解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤）
9. （本小题满分15分）如图，现有三棱锥A-BCD和E-BCD，其中三棱锥
A-BCD的棱长均为2，三棱锥E-BCD有三个面是全等的等腰直角三角
形，一个面是等边三角形，现将这两个三棱锥的一个面完全重合组成一
个组合体ABCDE.
（1）求这个组合体ABCDE的体积；
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解：因为三棱锥E-BCD有三个面是全等的等腰直角三角
形，△BCD是等边三角形，所以BE＝DE＝CE＝ ＝ ，
所以VE-BCD＝ S△CDE·BE＝ ×（ × × ）× ＝ ；
因为三棱锥A-BCD的棱长均为2，
所以正三棱锥A-BCD体积为一个棱长为 的正方体减去四个三棱锥，
即VA-BCD＝（ ）3－4× ×（ × × ）× ＝ ，
VABCDE＝VA-BCD＋VE-BCD＝ ＋ ＝ .
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（2）若点F为AC的中点，求二面角E-BC-F的余弦值.
解：如图所示，以E为坐标原点，EC，ED，EB所在直线
分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系E-xyz，
则E（0，0，0），B（0，0， ），C（ ，0，0），F
（ ， ， ）， ＝（ ，0，－ ），
＝（ ， ，－ ），
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设平面EBC的法向量为n1，易得n1＝（0，1，0），
设平面BCF的法向量为n2＝（x，y，z），
由得
取x＝1，可得n2＝（1，－1，1），
设二面角E-BC-F的平面角大小为θ，由图易知，二面角E-BC-F为钝角，
则 cos θ＝－｜ ｜＝－ ＝－ ，
故二面角E-BC-F的余弦值为－ .
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10. （本小题满分15分）为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加
体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某高中学校计划优化课程，增加学
生体育锻炼时间，提高体质健康水平，某体质监测中心抽取了该校10
名学生进行体质测试，得到如下数据：
序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
成绩xi
（分） 38 41 44 51 54 56 58 64 74 80
记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为 ，s2.
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（1）求 ；
解： ＝ ×（38＋41＋44＋51＋54＋56＋58＋64＋74＋
80）＝56.
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（2）规定体质测试成绩低于50分为不合格，从这10名学生中任取3
名，记体质测试成绩不合格的人数为X，求X的分布列；
解：因为体质测试不合格的学生有3名，所以X的可能取值
为0，1，2，3.
因为P（X＝0）＝ ＝ ，P（X＝1）＝ ＝ ，P（X＝
2）＝ ＝ ，P（X＝3）＝ ＝ .
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
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（3）经统计，高中生体质测试成绩x近似服从正态分布N（μ，σ2），用 ，s2的值分别作为μ，σ2的近似值，若监测中心计划从全市抽查100名高中生进行体质测试，记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间[30，82]的人数为Y，求Y的数学期望E（Y）.
附：若ξ～N（μ，σ2），则P（μ－σ≤ξ≤μ＋σ）≈0.682 7，P（μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ）≈0.954 5，P（μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ）≈0.997 3.
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解：因为 ＝56，s2＝ ×（182＋152＋122＋52＋22＋02＋
22＋82＋182＋242）＝169，
所以μ＝56，σ＝13.
因为P（30≤x≤82）＝P（μ－2σ≤x≤μ＋2σ）≈0.954 5，
所以学生的体质测试成绩恰好落在区间[30，82]得概率约为0.954 5，
因为100名学生的体质测试成绩恰好落在区间[30，82]的人数Y～B（100，0.954 5），
所以E（Y）＝100×0.954 5＝95.45.
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11. （本小题满分15分）以双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F为圆心作圆，与C的一条渐近线相切于点Q（ ， ）.
（1）求C的方程；
解：双曲线C的渐近线方程为y＝± x，
圆F与直线y＝ x切于点Q（ ， ），所以代入得 ＝ ，　①
设F（c，0）（c＞0），直线FQ有斜率kFQ，则kFQ· ＝－1，
即 · ＝－1，　②
又c2＝a2＋b2，　③
由①②③解得c＝3，a＝2，b＝ ，
所以双曲线C的方程为 － ＝1.
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（2）在x轴上是否存在定点M，过点M任意作一条不与坐标轴垂直的
直线l，当l与C交于A，B两点时，直线AF，BF的斜率之和为
定值？若存在，求出M点的坐标，若不存在，说明理由.
解：假设存在满足条件的定点M（t，0），因为直线l不与坐标轴垂直，
故设l的方程为x＝my＋tm≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）.
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由消去x整理得（5m2－4）y2＋10mty＋5t2－20＝0，
则即（*）
且
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因为F（3，0），所以直线AF，BF的斜率为kAF＝ ，kBF＝ .
设kAF＋kBF＝λ（λ为定值），即 ＋ ＝λ，
即y1（x2－3）＋y2（x1－3）＝λ（x1－3）（x2－3），
即y1（my2＋t－3）＋y2（my1＋t－3）＝λ（my1＋t－3）
（my2＋t－3），
整理得（2m－λm2）y1y2＋（1－λm）（t－3）（y1＋y2）－
λ（t－3）2＝0，
所以（2m－λm2）· －（1－λm）（t－3）· －λ
（t－3）2＝0，
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所以λ（5t2－30t＋20）m2＋10（3t－4）m＝5λ（t－3）2m2
－4λ（t－3）2.
因为t，λ为定值，且上式对任意m恒成立，
所以解得t＝ ，λ＝0.
将t＝ 代入（*）式解得m＜－ 或m＞ 且m≠± .
综上，存在满足条件的定点M（ ，0）.
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