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(共31张PPT)
中档题保分练2
（时间：50分钟　满分：87分）
一、单项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四
个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 设O为坐标原点，圆M：（x－1）2＋（y－2）2＝4与x轴切于点A，
直线x－ y＋2 ＝0交圆M于B，C两点，其中B在第二象限，则
· ＝（　　）
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√
解析：　由题意A（1，0），圆心M（1，2），M（1，2）到直线x
－ y＋2 ＝0距离为 ，所以BC＝2 ＝ ，直线x－ y
＋2 ＝0的斜率为 ，则其倾斜角为 ，则 与 的夹角为 ，所
以 · ＝｜ ｜｜ ｜ cos ＜ ， ＞＝1× × ＝ .
故选D.
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2. 已知函数f（x）＝ x3＋ x2－2x＋1，若函数f（x）在（2a－2，2a＋
3）上存在最小值，则实数a的取值范围是（　　）
√
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解析：　f（x）＝ x3＋ x2－2x＋1，f'（x）＝x2＋x－2＝（x＋2）
（x－1），当－2＜x＜1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x＜－2
或x＞1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）在x＝1处取得极
小值，在x＝－2处取得极大值.令f（x）＝f（1），解得x＝1或x＝－
，又∵函数f（x）在（2a－2，2a＋3）上存在最小值，∴－ ≤2a
－2＜1＜2a＋3，解得－ ≤a＜ ，即a的取值范围是［－ ， ）.
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3. 在棱长为2a（a＞0）的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M，N分别为
棱AB，D1C1的中点.已知动点P在该正方体的表面上，且 · ＝
0，则点P的轨迹长度为（　　）
A. 12a B. 12πa
C. 24a D. 24πa
√
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解析：　因为 · ＝0，故P点轨迹为以MN为直径
的球，如图，易知MN中点即为正方体中心O，球心在每
个面上的射影为面的中心，设O在底面ABCD上的射影
为O1，又正方体的棱长为2a，所以MN＝2 a，易知
OO1＝a，O1M＝a，又动点P在正方体的表面上运动，
所以点P的轨迹是六个半径为a的圆，轨迹长度为
6×2πa＝12πa，故选B.
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4. x∈R，f（x）＋f（x＋3）＝1－f（x）f（x＋3），f（－1）＝0，
则f（2 024）＝（　　）
A. 2 B. 1 C. 0 D. －1
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解析：　由题意知 x∈R，f（x）＋f（x＋3）＝1－f（x）f（x＋
3），f（－1）＝0，令x＝－1，则f（－1）＋f（2）＝1－f（－1）f
（2），∴f（2）＝1.显然f（x）＝－1时，－1＋f（x＋3）＝1＋f
（x＋3）不成立，故f（x）≠－1，故f（x＋3）＝ ，则f（x
＋6）＝ ＝f（x），即6为函数f（x）的周期，则f（2 024）
＝f（337×6＋2）＝f（2）＝1，故选B.
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二、多项选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选
项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有
选错的得0分）
5. 已知复数z，下列说法正确的是（　　）
C. 若｜z－i｜＝1，则｜z｜的最大值为2
D. 若｜z－i｜＝｜z｜＋1，则z为纯虚数
√
√
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解析：　设z＝a＋bi（a，b∈R），则 ＝a－bi，若z－ ＝0，即（a＋bi）－（a－bi）＝2bi＝0，即b＝0，则z为实数，故A正确；若z2＋ ＝0，即（a＋bi）2＋（a－bi）2＝0，化简可得a2－b2＋2abi＋a2－b2－2abi＝0，即a2＝b2，即a＝±b，当a＝b时，z＝a＋ai， ＝a－ai，此时不一定满足z＝ ＝0，当a＝－b时，z＝a－ai， ＝a＋ai，此时不一定满足z＝ ＝0，故B错误；
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若｜z－i｜＝1，即｜z－i｜＝1＝｜a＋（b－1）i｜＝ ＝1，所以a2＋（b－1）2＝1，即z表示以（0，1）为圆心，以1为半径的圆上的点，且｜z｜表示圆上的点到原点的距离，所以｜z｜的最大值为2，故C正确；若｜z－i｜＝｜z｜＋1，即｜z－i｜＝｜a＋（b－1）i｜＝
＝｜z｜＋1＝ ＋1，即 ＝
＋1，化简可得b＝－ ，则a＝0且b≤0，此时z可能为实
数也可能为纯虚数，故D错误.故选A、C.
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6. 有n（n∈N*，n≥10）个编号分别为1，2，3，…，n的盒子，1号盒子
中有2个白球和1个黑球，其余盒子中均有1个白球和1个黑球.现从1号盒
子任取一球放入2号盒子；再从2号盒子任取一球放入3号盒子；…；以
此类推，记“从i号盒子取出的球是白球”为事件Ai（i＝1，2，
3，…，n），则（　　）
√
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解析：对A，P（A1A2）＝ × ＝ ，所以A错误；对B，P（A2）＝ × ＋ × ＝ ，故P（A1｜A2）＝ ＝ ，所以B正确；对C，P（A1＋A2）＝P（A1）＋P（A2）－P（A1A2）＝ ＋ － ＝ ，所以C正确；对D，由题意：P（An）＝ P（An－1）＋ [1－P（An－1）]，所以P（An）－ ＝ ［P（An－1）－ ］，P（A1）＝ ，P（A1）－ ＝ － ＝ ，所以P（An）－ ＝ ×（ ）n－1＝ ×（ ）n，所以P（An）＝ ×（1＋ ），则P（A10）＝ ×（1＋ ），所以D错误.故选B、C.
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三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分）
7. 已知O为坐标原点，点F为椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）的右焦
点，点A，B在C上，AB的中点为F，OA⊥OB，则C的离心率
为 .

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解析：由椭圆的对称性可知，AB垂直于x轴，又OA⊥OB，所以
∠AOF＝ ，所以△AOF为等腰直角三角形，故A（c，c），所以
＋ ＝1，即a2c2＋b2c2＝a2b2，所以a2c2＋（a2－c2）c2＝a2（a2－
c2），整理得e4－3e2＋1＝0，解得e2＝ 或e2＝ （舍去），故e
＝ ＝ ＝ .
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8. 已知（ ＋ x）n＝a0＋a1（x＋1）＋…＋an（x＋1）n，写出满足条
件①②的一个n的值 .
①n≥3，n∈N*；②a3≥ai，i＝0，1，2，…，n.
8，9，10或11（答案不唯一）
解析：令x＋1＝t，得（1＋ t）n＝a0＋a1t＋…＋antn，∴ai＝
（ ）i，i＝0，1，2，…，n，由条件②知
8≤n≤11.又n∈N*，∴n的
值可以为8，9，10或11（答案不唯一）.
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四、解答题（本题共3小题，共45分.解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤）
9. （本小题满分15分）在△ABC中， sin （B－A）＋ sin A＝ sin C.
（1）求B的大小；
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解：在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以 sin C＝ sin （A＋B）.
因为 sin （B－A）＋ sin A＝ sin C，所以 sin （B－A）＋
sin A＝ sin （A＋B），
即 sin B cos A－ cos B sin A＋ sin A＝ sin B cos A＋ cos B sin A，
化简得 sin A＝2 cos B sin A.
因为A∈（0，π），所以 sin A≠0， cos B＝ .
因为0＜B＜π，所以B＝ .
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（2）延长BC至点M，使得2 ＝ .若∠CAM＝ ，求∠BAC的
大小.
解：法一　设BC＝x，∠BAC＝θ，则CM＝2x.
由（1）知B＝ ，又∠CAM＝ ，所以在△ABM
中，∠AMC＝ －θ.
在△ABC中，由正弦定理得 ＝ ，即 ＝ .①
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在△ACM中，由正弦定理得 ＝ ，即 ＝ .②
①÷②，得 ＝ ，即2 sin θ cos θ＝ ，所以 sin 2θ＝ .
因为θ∈（0， ），2θ∈（0， ），所以2θ＝ 或 ，故θ＝ 或 .
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法二　设BC＝x，则CM＝2x，BM＝3x.
因为∠CAM＝ ＝B，所以△ACM∽△BAM，因此 ＝ ，
所以AM2＝BM·CM＝6x2，AM＝ x.
在△ABM中，由正弦定理得 ＝ ，即 ＝ ，
化简得 sin ∠BAM＝ .
因为∠BAM∈（0， ），所以∠BAM＝ 或 ，∠BAC＝∠BAM－ ，
故∠BAC＝ 或 .
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10. （本小题满分15分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1与BB1的距
离为 ，AB＝AC＝A1B＝2，A1C＝BC＝2 .
（1）证明：平面A1ABB1⊥平面ABC；
解：证明：取棱A1A中点D，连接
BD，因为AB＝A1B，所以BD⊥AA1，
因为三棱柱ABC-A1B1C1，所以AA1∥BB1，
所以BD⊥BB1，所以BD＝ ，
又因为AB＝2，所以AD＝1，AA1＝2.
因为AC＝2，A1C＝2 ，所以AC2＋A
＝A1C2，所以AC⊥AA1，
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同理AC⊥AB，
因为AA1∩AB＝A，且AA1，AB 平面A1ABB1，所以AC⊥平
面A1ABB1，
因为AC 平面ABC，
所以平面A1ABB1⊥平面ABC.
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（2）若点N在棱A1C1上，求直线AN与平面A1B1C所成角的正弦值的
最大值.
解：AB中点O，连接A1O，取BC
中点P，连接OP，则OP∥AC，
由（1）知AC⊥平面A1ABB1，所以OP⊥平
面A1ABB1，
因为A1O 平面A1ABB1，AB 平面
A1ABB1，
所以OP⊥A1O，OP⊥AB，
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以O为坐标原点，OP，OB，OA1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，
则A（0，－1，0），A1（0，0， ），B1（0，2， ），C（2，－1，0），
可设点N（a，0， ）（0≤a≤2）， ＝（0，2，0）， ＝（2，－1，－ ）， ＝（a，1， ），
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设平面A1B1C的法向量为n＝（x，y，z），得
取x＝ ，则y＝0，z＝2，所以n＝（ ，0，2），
设直线AN与平面A1B1C所成角为θ，
则 sin θ＝｜ cos ＜n， ＞｜＝ ＝ × ＝
× ＝ × ，
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若a＝0，则 sin θ＝ ；
若a≠0，则 sin θ＝ × ≤ × ＝ ，
当且仅当a＝ ，即a＝2时，等号成立，
所以直线AN与平面A1B1C所成角的正弦值的最大值为 .
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11. （本小题满分15分）数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，a2＝4且当n≥2时，3Sn－1，2Sn，Sn＋1＋2n成等差数列.
（1）求数列{an}的通项公式；
解：由题意，n∈N*，在数列{an}中，当n≥2时，3Sn－1，
2Sn，Sn＋1＋2n成等差数列，所以3Sn－1＋Sn＋1＋2n＝4Sn，即Sn＋1－Sn＋2n＝3（Sn－Sn－1），
所以n≥2时，an＋1＋2n＝3an，
又由a1＝2，a2＝4知n＝1时，an＋1＋2n＝3an成立，
即对任意正整数n均有an＋1＝3an－2n，
所以an－2n＝3an－1－3·2n－1＝3（an－1－2n－1）＝…＝3n－1（a1－2）＝0，从而an＝2n（n∈N*），
即数列{an}的通项公式为an＝2n（n∈N*）.
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（2）在an和an＋1之间插入n个数，使这n＋2个数组成一个公差为dn的等差数列，在数列{dn}中是否存在3项dm，dk，dp（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由.
解：由题意及（1）得，an＝2n（n∈N*），所以dn＝ ＝ .
假设数列{dn}中存在3项dm，dk，dp（其中m，k，p成等差数
列）成等比数列，则 ＝dmdp，
即（ ）2＝ · ，化简得 ＝ ，
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因为m，k，p成等差数列，所以m＋p＝2k，所以（m＋1）（p＋1）＝（k＋1）2，化简得k2＝mp，
又m＋p＝2k，所以（m＋p）2＝4k2＝4mp，即（m－p）2＝0，所以m＝p，所以m＝p＝k，这与题设矛盾，所以假设不成立，
所以在数列{dn}中不存在3项dm，dk，dp（其中m，k，p成等差数列）成等比数列.
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