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(共35张PPT)
中档题保分练3
（时间：50分钟　满分：87分）
一、单项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四
个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 在△ABC中，AB＝3 ， cos ∠BAC＝－ ，AD⊥AC，且AD交BC
于点D，AD＝3，则 sin C＝（　　）
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√
解析：　由 cos ∠BAC＝－ ，AD⊥AC，得 sin ∠BAD＝ sin
（∠BAC－ ）＝－ cos ∠BAC＝ ，而∠BAD为锐角，则 cos ∠BAD
＝ ＝ ，在△ABD中，由余弦定理得BD＝
＝ ，所以 sin C＝ cos ∠ADC＝
－ cos ∠ADB＝－ ＝ .故选B.
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2. 已知双曲线 － ＝1（a＞0，b＞0）的离心率为 ，则双曲线的两
条渐近线的夹角为（　　）
√
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解析：　设双曲线 － ＝1的半焦距为c，因为双曲线 － ＝1的
离心率为 ，所以e＝ ＝ ，解得c＝ a，由a2＋b2＝c2，得b2
＝c2－a2＝（ a）2－a2＝ a2，所以b＝ a，所以渐近线方程为y
＝± x＝± x＝± x，所以两条渐近线的倾斜角分别为 和 ，因
为 － ＝ ，所以两条渐近线所夹的锐角为π－ ＝ ，即双曲线的
两条渐近线的夹角为 ，故选C.
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3. 已知某圆台的上、下底面半径分别为r1，r2，且r2＝2r1，若半径为2的
球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为（　　）
√
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解析：　如图，设圆台上、下底面圆
心分别为O1，O2，则圆台内切球的球
心O一定在O1O2的中点处，设球O与
母线AB切于M点，所以OM⊥AB，
所以OM＝OO1＝OO2＝2，所以△AOO1与△AOM全等，所以AM＝
r1，同理BM＝r2，所以AB＝r1＋r2＝3r1，过A作AG⊥BO2，垂足为G，则BG＝r2－r1＝r1，AG＝O1O2＝4，所以AG2＝AB2－BG2，所以16＝（3r1）2－ ＝8 ，所以r1＝ ，所以r2＝2 ，所以该圆台的体积为 ×（2π＋8π＋4π）×4＝ .故选C.
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4. 已知数列{an}满足a1＝a2＝1，an＋2＝
（k∈N*），若Sn为数列{an}的前n项和，则S50＝（　　）
A. 624 B. 625
C. 626 D. 650
√
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解析：　数列{an}中，a1＝a2＝1，an＋2＝
（k∈N*），当n＝2k－1，k∈N*时，an＋2－an＝2，即数列{an}的奇
数项构成等差数列，其首项为1，公差为2，则a1＋a3＋a5＋…＋a49＝
25×1＋ ×2＝625；当n＝2k，k∈N*时， ＝－1，即数列
{an}的偶数项构成等比数列，其首项为1，公比为－1，则a2＋a4＋a6
＋…＋a50＝ ＝1，所以S50＝（a1＋a3＋a5＋…＋a49）＋
（a2＋a4＋a6＋…＋a50）＝626.故选C.
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二、多项选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选
项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有
选错的得0分）
5. 已知函数f（x）＝ sin nx cos nx＋ cos 2nx（n∈N*），则下列说法正
确的有（　　）
√
√
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解析：　f（x）＝ sin nx cos nx＋ cos 2nx＝ sin 2nx＋ cos 2nx＋ ＝ sin （2nx＋ ）＋ ，对于A，当x∈［0， ］时，2x＋ ∈［ ， ］， sin （2x＋ ）∈［－ ，1］，f（x）min＝0，A正确；对于B，函数f（x）图象的对称中心的纵坐标应为 ，B错误；对于C，x∈［ ， ］时，2nx＋ ∈［ ＋ ， ＋ ］，由k∈Z，解得n∈［ ，2］∪［ ，5］，因此n＝1，2，5，C正确；
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对于D，方程f（x）＝ 等价于 sin （2nx＋ ）＝ ，方程的解即函数g（x）＝ sin （2nx＋ ）和直线y＝ 图象的交点，如图，函数g（x）的最小正周期T＝｜A1A3｜，设｜A1A2｜＝dT，｜A2A3｜＝DT（其中D＝1－d），显然0＜ ＜ sin ，
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由下图可知 ＜d＜ ＜D＜ ，2＜6d＜3＜6D＜4，因为在区间（x0，x0＋ ）内的解的个数m∈[5，9]，所以区间长度 应满足：（2＋D）T＜ ≤（4＋d）T，由T＝ ，则（2＋D） ＜ ≤（4＋d） ，化简得12＋6D＜n≤24＋6d，所以n∈[16，26]，正
整数n的值有11个，D错误.故选A、C.
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6. 设a＞1，b＞0，且ln a＝2－b，则下列关系式可能成立的是（　　）
A. a＝b B. b－a＝e
C. a＝2 024b D. ab＞e
解析：　由于ln a＝2－b，知b＝2－ln a，又a＞1，b＞0，则b＝2
－ln a＞0，解得1＜a＜e2，对A、B，b－a＝2－ln a－a，设函数f
（a）＝2－ln a－a，1＜a＜e2，f'（a）＝－ －1＜0，故f（a）在
（1，e2）上单调递减，则－e2＝f（e2）＜f（a）＜f（1）＝1，即－e2
＜b－a＜1，故A对，B错；
√
√
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对C，由于1＜a＜e2， ＝ ，设g（a）＝ ，1＜a＜e2，g'（a）
＝ ＜0，故g（a）在（1，e2）上单调递减，则0＝g（e2）＜g（a）
＜g（1）＝2，故 ∈（0，2），若a＝2 024b， ＝ ∈（0，2），故
C对；对D，ab＝a（2－ln a），设h（a）＝a（2－ln a），a∈（1，e2），h'（a）＝2－（ln a＋1）＝1－ln a，令h'（a）＝0，则a＝e，则a∈（1，e），h'（a）＞0，a∈（e，e2），h'（a）＜0，则h（a）在（1，e）上单调递增，在（e，e2）上单调递减，h（a）max＝e，h（1）＝2，h（e2）＝0，故h（a）∈（0，e]，即0＜ab≤e，故D错误.故选A、C.
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三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分）
7. 某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重W（单位：克）与脉搏
率f（单位：心跳次数/分钟）的对应数据（Wi，fi）（i＝1，2，…，8），根据生物学常识和散点图得出f与W近似满足f＝cWk（c，k为参数）.令xi＝ln Wi，yi＝ln fi，计算得 ＝8， ＝5， ＝214.由最小二乘法得经验回归方程为 ＝ x＋7.4，则k的值为 ；为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值 （i＝1，2，…，8），若残差平方和 （yi－ ）2≈0.28，则决定系数R2≈ .（参考公式：决定系数R2＝1－ ）
－0.3
0.98
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解析：因为f＝cWk，两边取对数可得ln f＝ln c＋kln W，又xi＝ln Wi，
yi＝ln fi，依题意经验回归直线 ＝ x＋7.4必过样本中心点（ ，
），所以5＝8 ＋7.4，解得 ＝－0.3，所以k＝－0.3.又R2＝1－
＝1－ ≈1－ ＝0.98.
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8. 设点A（－2，0），B（－ ，0），C（0，1），若动点P满足｜PA｜
＝2｜PB｜，且 ＝λ ＋μ ，则λ＋2μ的最大值为 .

解析：设P（x，y），则 ＝（－2－x，－y）， ＝（－ －x，
－y），由｜ ｜＝2｜ ｜，得 ＝
2 ，整理，得x2＋y2＝1，又 ＝（x＋2，
y）， ＝（ ，0）， ＝（2，1），
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代入 ＝λ ＋μ 有x＋y＋2＝ λ＋3μ＝ （λ＋2μ），所以λ＋2μ＝ （x＋y＋2），由1＝x2＋y2≥2xy，得xy≤ ，当且仅当x＝y＝ 时等号成立，所以（x＋y）2＝x2＋2xy＋y2≤1＋1＝2，得x＋y≤ ，所以λ＋2μ＝ （x＋y＋2）≤ （ ＋2）＝ ，即λ＋2μ的最大值为 .
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四、解答题（本题共3小题，共45分.解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤）
9. （本小题满分15分）已知圆x2＋y2－x－2y＋m＝0与x轴交于点P
（1，0），且经过椭圆G： ＋ ＝1（a＞b＞0）的上顶点，椭圆G
的离心率为 .
（1）求椭圆G的方程；
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解：∵圆x2＋y2－x－2y＋m＝0过（1，0），∴m＝0，
又∵圆x2＋y2－x－2y＝0过（0，b），∴b＝2，
又∵∴a2＝9，
∴椭圆G的方程为 ＋ ＝1.
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（2）若点A为椭圆G上一点，且在x轴上方，B为A关于原点O的对称
点，点M为椭圆G的右顶点，直线PA与MB交于点N，△PBN的
面积为 ，求直线PA的斜率.
解：设A（x0，y0）（y0＞0），则B（－x0，－y0），
由题知x0≠1且x0≠－3，则PA：y＝ （x－1），MB：y＝
（x－3），
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由
解得
∴N（ － x0，－ ），
又∵S△PBN＝S△PBM－S△PNM＝ ×｜PM｜× y0＝ y0＝ ，∴y0＝ ，
又∵ ＋ ＝1，∴x0＝±2，
∴直线PA的斜率kAP＝ ＝－ 或 .
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10. （本小题满分15分）有甲、乙两个不透明的罐子，甲罐有3个红球，2
个黑球，球除颜色外大小完全相同.某人做摸球答题游戏.规则如下：
每次答题前先从甲罐内随机摸出一球，然后答题.若答题正确，则将该
球放入乙罐；若答题错误，则将该球放回甲罐.此人答对每一道题目的
概率均为 .当甲罐内无球时，游戏停止.假设开始时乙罐无球.
（1）求此人三次答题后，乙罐内恰有红球、黑球各1个的概率；
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解：记M＝“此人三次答题后，乙罐内恰有红、黑各一个球”，
Ai＝“第i次摸出红球，并且答题正确”，i＝1，2，3；
Bj＝“第j次摸出黑球，并且答题正确”，j＝1，2，3；
Ck＝“第k次摸出红球或黑球，并且答题错误”，k＝1，2，3，
所以M＝A1B2C3＋B1A2C3＋A1C2B3＋B1C2A3＋C1A2B3＋C1B2A3.
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又P（A1）＝ × ＝ ，P（B2｜A1）＝ × ＝ ，P（C3｜
A1B2）＝1× ＝ ，
所以P（A1B2C3）＝P（A1B2）·P（C3｜A1B2）＝P（A1）·P
（B2｜A1）·P（C3｜A1B2）＝ × × ＝ .
同理：P（B1A2C3）＝P（A1C2B3）＝P（B1C2A3）＝P
（C1A2B3）＝P（C1B2A3）＝ ，
所以P（M）＝P（A1B2C3）×6＝ ×6＝ .
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（2）设第n（n∈N*，n≥5）次答题后游戏停止的概率为an.
①求an；
②an是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，试说明
理由.
解：①第n次后游戏停止的情况是：前n－1次答题正确恰
好为4次，答题错误n－5次，且第n次摸出最后一球时答题正确.
所以an＝ （ ）4（ ）n－5× ＝ （ ）n.
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②由①知an＝ （ ）n，
所以 ＝ ＝ ＝ .
令 ≥1，解得n≤8； ＜1，解得n＞8.
所以a5＜a6＜a7＜a8＝a9＞a10＞a11＞…，
所以an的最大值是a8＝a9＝ .
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11. （本小题满分15分）已知f（x）＝ln x＋ ax2＋x，a∈R.
（1）讨论f（x）的单调性；
解：由题意知f（x）定义域为（0，＋∞）且f'（x）＝ ＋ax＋1＝ .
令h（x）＝ax2＋x＋1，
①当a≥0时，h（x）＞0，f'（x）＞0，所以f（x）在（0，＋
∞）上单调递增.
②当a＜0时，Δ＝1－4a＞0，记h（x）＝0的两根为x1，x2，
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则x1＝ ，x2＝ ，且x1＞0＞x2.
当0＜x＜x1时，f'（x）＞0，f（x）在（0，x1）上单调递增，
当x＞x1时，f'（x）＜0，f（x）在（x1，＋∞）上单调递减.
综上所述：当a≥0时，f（x）在（0，＋∞）上单调递增；
当a＜0时，f（x）在（0， ）上单调递增，在（ ，＋∞）上单调递减.
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解：法一　f（x）＋ax＋1≤x（e3x＋ ax＋1），化简得
ln x＋ax＋1≤xe3x＝eln x＋3x.
设g（x）＝ex－x－1，则g'（x）＝ex－1，
当x＞0时，g'（x）＞0，函数g（x）在（0，＋∞）上单调递增，
当x＜0时，g'（x）＜0，函数g（x）在（－∞，0）上单调递减，
又g（0）＝0，所以ex≥x＋1，当且仅当x＝0取等号.
令t（x）＝ln x＋3x，因为y＝ln x，y＝3x在（0，＋∞）上单
调递增，
（2）若 x∈（0，＋∞），f（x）＋ax＋1≤x（e3x＋ ax＋1），求
a的取值范围.
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所以t（x）在（0，＋∞）上单调递增.
又因为t（1）＝3＞0，t（ ）＝1－ln 3＜0，
所以存在唯一x0∈（ ，1），使得t（x0）＝3x0＋ln x0＝0，　①
所以xe3x＝eln x＋3x≥ln x＋3x＋1，当且仅当x＝x0时取等号.
当a≤3时，xe3x＝eln x＋3x≥ln x＋3x＋1≥ln x＋ax＋1成立；
当a＞3时，由①知x0 ＝ ＝e0＝1，ln x0＋ax0＋1
＞ln x0＋3x0＋1＝1，
所以x0 ＜ln x0＋ax0＋1与ln x＋ax＋1≤xe3x恒成立矛盾，
不符合题意.
综上a≤3.
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法二　不等式f（x）＋ax＋1≤x（e3x＋ ax＋1），可化为ln x＋ax＋
1≤xe3x，
所以a≤e3x－ － .
令m（x）＝e3x－ － ，
则m'（x）＝3e3x－ ＋ ＝ .
令h（x）＝3x2e3x＋ln x，则h'（x）＝3xe3x（2＋3x）＋ ＞0.
所以h（x）在（0，＋∞）上单调递增.
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又h（1）＝3e3＋ln 1＝3e3＞0，h（ ）＝ e＋ln ＝ （ln ee－ln 33）
＜0，
所以 x0∈（ ，1），使h（x0）＝0，
所以m（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，＋∞）上单调递增.
由h（x0）＝0得3 ＋ln x0＝0，
即3x0 ＝－ ＝ln .
设φ（x）＝xex，x∈（0，＋∞），则φ'（x）＝ex＋xex＝（1＋x）ex＞0，
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所以φ（x）＝xex在（0，＋∞）上单调递增.
由3x0 ＝ln ，得φ（3x0）＝φ（ln ），所以3x0＝ln ，
即有 ＝－3，且 ＝ ，
所以m（x）min＝m（x0）＝ － － ＝3，所以a≤3.
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