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(共28张PPT)
中档题保分练4
（时间：50分钟　满分：87分）
一、单项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四
个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 若复数z满足（z－3）·（z－5）＋2＝0，则z· ＝（　　）
A. 4
C. 16 D. 17
解析：　法一　由（z－3）（z－5）＋2＝0，得z2－8z＋17＝0，设z
＝a＋bi（a，b∈R），得（a＋bi）2－8（a＋bi）＋17＝0，即
可得所以z· ＝｜z｜2＝a2＋b2＝42
＋1＝17，故选D.
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√
法二　由（z－3）（z－5）＋2＝0，得z2－8z＋17＝0，Δ＝（－8）2－
4×17＝－4＜0，所以z， 是方程z2－8z＋17＝0的两个复数根，所以z·
＝17.故选D.
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2. 小明爬楼梯每一步走1级台阶或2级台阶是随机的，且走1级台阶的概率
为 ，走2级台阶的概率为 .小明从楼梯底部开始往上爬，在小明爬到
第4级台阶的条件下，他走了3步的概率是（　　）
√
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解析：　根据题意，设事件A为“小明爬到第4级台阶”，事件B为
“小明走了3步爬到第4级台阶”，事件A包含3种情况，①走了4次1级
台阶，其概率P1＝（ ）4＝ ，②走了2次1级台阶，1次2级台阶，其
概率P2＝ × ×（ ）2＝ ，即P（AB）＝ ，③走了2次2级台阶，
其概率P3＝（ ）2＝ ，故小明爬到第4级台阶概率P（A）＝P1＋P2
＋P3＝ ＋ ＋ ＝ ，在小明爬到第4级台阶的条件下，他走了3步的
概率P（B｜A）＝ ＝ ＝ ，故选D.
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3. 已知f（x）是定义在R上的函数，且f（2x－1）为偶函数，f（x－2）
是奇函数，当x∈[0，1]时，f（x）＝2x－1，则f（7）＝（　　）
A. －1
D. 1
√
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解析：　因为f（2x－1）为偶函数，所以f（－2x－1）＝f（2x－1），即f（x－1）＝f（－x－1），所以f（x）＝f（－x－2），又f（x－2）是奇函数，所以f（－x－2）＝－f（x－2），即f（x）＝－f（x－2），所以f（x＋2）＝－f（x），则f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），所以f（x）是以4为周期的周期函数，又当x∈[0，1]时，f（x）＝2x－1，所以f（1）＝21－1＝1，则f（－1）＝－f（1）＝－
1，所以f（7）＝f（－1）＝－1.故选A.
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4. 在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AA1＝6，M，N分别是
AB，AD的中点，则平面MNC1截该四棱柱所得截面的周长为（　　）
解析：　延长NM，CB相交于点H，连接C1H交BB1于点G，连接
MG，因为正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AA1＝6，M，N分
别是AB，AD的中点，所以MN＝ ＝2 ，BH＝AN＝
2，CC1＝6，因为△HBG∽△HCC1， ＝ ＝ ，故BG＝2，GH＝
＝2 ，在DD1上取点Q，使DQ＝BG＝2，连接NQ，
C1Q，则NQ＝ ＝2 ＝GH，同理可知GQ＝NH，
√
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所以四边形GQNH为平行四边形，故G，H，N，Q四点共面，则平面
MNC1截该四棱柱所得的截面为五边形NMGC1Q，MG＝ ＝
2 ，C1G＝ ＝ ＝4 ，同理C1Q＝4 ，故截面
周长为MN＋MG＋C1G＋C1Q＋NQ＝2 ＋2 ＋4 ＋4 ＋2 ＝
14 .
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二、多项选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选
项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有
选错的得0分）
5. 长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝3，底面ABCD是边长为2的正方形，
底面A1B1C1D1的中心为M，则（　　）
A. C1D1∥平面ABM
√
√
√
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解析：　对于A选项，∵C1D1∥AB，AB 平面ABM，C1D1 平
面ABM，∴C1D1∥平面ABM，正确；对于B选项，如图，连接
BD，设AC∩BD＝N，连接MN，则可证MN⊥平面ABCD，
∴向量 在向量 上的投影向量为 ＝ ，正确；对于
C选项，设四棱锥M-ABCD的内切球半径为r，则VM-ABCD＝ ×22×3＝ ×r（22＋4× ×2× ），解得r＝ ＝ ，错误；对于D选项，显然AD∥BC，∴∠DAM是直线AM与BC所成的角.在△AMD中，AM＝MD＝ ＝ ，AD＝2，则 cos ∠DAM＝ ＝ ，正确.故选A、B、D.
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6. 已知离散型随机变量X服从二项分布B（n，p），其中n∈N*，0＜p
＜1，记X为奇数的概率为a，X为偶数的概率为b，则下列说法中正确
的有（　　）
A. a＋b＝1
√
√
√
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解析：　对于A选项，由概率的基本性质可知，a＋b＝1，故A正确；对于B选项，由p＝ 时，离散型随机变量X服从二项分布B（n， ），则P（X＝k）＝ （ ）k（1－ ）n－k（k＝0，1，2，3，…，n），所以a＝（ ）n×（ ＋ ＋ ＋…）＝（ ）n×2n－1＝ ，b＝（ ）n×（ ＋ ＋ ＋…）＝（ ）n×2n－1＝ ，所以a＝b，故B正确；对于C、D选项，a＝ ＝ ，当0＜p＜ 时，
a＝ 为正项且单调递增的数列，故a随着n的增大而增大，故C
正确；当 ＜p＜1时，a＝（1－2p）n为正负交替的摆动数列，故D不正
确.故选A、B、C.
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三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分）
7. 已知集合A＝{u（x）｜u（x）＝ax2－（a＋b）x＋b，a，
b∈R}，函数f（x）＝x2－1.若函数g（x）满足：对任意u（x）
∈A，存在λ，μ∈R，使得u（x）＝λf（x）＋μg（x），则g
（x）的解析式可以是
.（写出一个满足
条件的函数解析式即可）
g（x）＝x－1（满足g（1）＝0，且一次项系
数不为零的所有一次或者二次函数解析式均正确）
解析：u（x）＝ax2－（a＋b）x＋b，f（x）＝x2－1，u（1）＝a－
（a＋b）＋b＝0，f（1）＝0，u（x）＝λf（x）＋μg（x），u
（1）＝λf（1）＋μg（1）＝μg（1）＝0，所以g（1）＝0，则g
（x）的解析式可以为g（x）＝x－1.经检验，g（x）＝x－1满足题意.
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8. 在△ABC中，tan A＝3tan B，A－B的最大值为φ.若函数f（x）＝ sin
（ωx＋φ）（ω＞0），在区间 上单调递增，则ω的最大值
为 .
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解析：因为tan A＝3tan B，故B为锐角，且tan（A－B）＝
＝ ＝ ，又 ＋3tan B≥2 ＝2 ，所以
tan（A－B）≤ ＝ ，所以A－B的最大值为 ，即φ＝ ，当且仅
当 ＝3tan B即tan B＝ 时，等号成立，函数f（x）＝ sin （ωx＋
）（ω＞0），因为－ ≤x≤ ，所以 － ω≤ωx＋ ≤ ＋ ω，要
使f（x）在区间 上单调递增，则所以0＜
ω≤2，所以ω的最大值为2.
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四、解答题（本题共3小题，共45分.解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤）
9. （本小题满分15分）已知函数f（x）＝x－ －aln x.
（1）当a＝2时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
解：由题意得，函数的导函数f'（x）＝1＋ － ＝ （x＞0）.
当a＝2时，f'（1）＝0，f（1）＝0，即切点为（1，0），
所以曲线y＝f（x）在（1，0）处的切线方程为y－0＝0×（x－
1），即y＝0.
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（2）若f（x）有两个极值点b，c，记过两点B（b，f（b）），C
（c，f（c））的直线的斜率为k，是否存在实数a，使k＋a＝2
成立？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由.
解：不存在这样的a.理由如下：
假设存在a，使得k＋a＝2.
则b，c是方程f'（x）＝ ＝0（x＞0）的两个不等实数根，
即b＋c＝a（a＞0）且bc＝1，
不妨令b＞c，则b＞1，
因为k＝ ＝2－ ，所以由k＋a＝2得，b－ －
2ln b＝0.
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构造函数h（x）＝x－ －2ln x（x＞1），
而h'（x）＝ ＞0恒成立，
所以h（x）在（1，＋∞）上单调递增，即h（x）＞h（1）＝0.
所以当b＞1时，b－ －2ln b＞0恒成立，即b－ －2ln b＝0无解.
所以不存在实数a使得k＋a＝2.
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10. （本小题满分15分）在①a8＝2a4＋1；②4是a1，a3的等比中项；③S5
＝4a1a2.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.
问题：已知各项均为正数的等差数列{an}的前n项和为Sn，S3＝a6－
a1，且 　　　　.
（1）求an；
解：选择条件①：
设等差数列{an}的公差为d（d＞0），
则3a1＋ d＝5d，所以3a1＝2d.
联立解得
所以an＝2＋3（n－1）＝3n－1，n∈N*.
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选择条件②：
设等差数列{an}的公差为d（d＞0），则3a1＋ d＝5d，所以
3a1＝2d.
又4是a1，a3的等比中项，所以a1a3＝16，
联立解得a1＝2，d＝3，
所以an＝2＋3（n－1）＝3n－1，n∈N*.
选择条件③：
设等差数列{an}的公差为d（d＞0），则3a1＋ d＝5d，所以3a1＝2d.
因为S5＝4a1a2，所以5a1＋ d＝4a1（a1＋d），
联立解得a1＝2，d＝3，
所以an＝2＋3（n－1）＝3n－1，n∈N*.
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（2）设数列 的前n项和为Tn，试比较Tn与 的大小，并说明理由.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
解：Sn＝2n＋ ×3＝ n2＋ ，
所以Sn＋n＝ （n2＋n）＝ ，
所以 ＝ × ＝ .
所以Tn＝
＝ ＝ .
又 ＝ ，
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所以 －Tn＝ － ＝ ，因为n∈N*，
令y＝3n2＋2n－3，根据二次函数图象性质可知，在其对称轴
右侧，即n＞－ ＝－ 时，函数单调递增，
所以3n2＋2n－3≥3＋2－3＝2＞0，又（3n＋2）·（3n＋3）＞0，
所以 －Tn＞0，所以 ＞Tn.
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11. （本小题满分15分）已知椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）的短轴长为
2，离心率为 .
（1）求C的方程；
解：由题意得解得
所以C的方程为 ＋y2＝1.
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（2）直线l：y＝kx＋m（k＞0，m＞0）与C交于M，N两点，与y
轴交于点A，与x轴交于点B，且 ＝λ ， ＝μ .
①当μ＝ ＝2时，求k的值；
②当λ＋μ＝3时，求点（0，－ ）到l的距离的最大值.
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解：①由题意得A（0，m），B（－ ，0），
由 ＝ ，得 ＝2 － ，即M（ ，2m），
由 ＝2 ，得 ＝2 － ，
即N（－ ，－m），
将M，N的坐标分别代入C的方程，得 ＋4m2＝1和 ＋m2＝1，
解得k2＝ ，又k＞0，所以k＝ .
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②由消去y，得（3k2＋1）x2＋6kmx＋3m2－3＝0，
其中Δ＝36k2m2－12（3k2＋1）（m2－1）＝12（3k2－m2＋1）＞0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1＋x2＝ ，x1x2＝ ，
由 ＝λ ， ＝μ ，A（0，m），B（－ ，0），
得x1＝λ（x1＋ ），x2＝μ（x2＋ ），
所以λ＋μ＝ ＋ ＝2－ ，
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由λ＋μ＝3，得k2x1x2＋2mk（x1＋x2）＋3m2＝0，
即 ＋ ＋3m2＝0，
所以3m2k2－3k2－12m2k2＋9m2k2＋3m2＝0，
因此k2＝m2，又k＞0，m＞0，所以k＝m.
所以l的方程为y＝k（x＋1），即l过定点（－1，0），
所以点（0，－ ）到l的最大距离为点（0，－ ）与点（－
1，0）的距离d＝ ＝2，
即点（0，－ ）到l的距离的最大值为2.
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