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(共29张PPT)
中档题保分练5
（时间：50分钟　满分：87分）
一、单项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四
个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 若向量a，b满足a＝（－4，3），b＝（5，12），则向量b在向量a上
的投影向量为（　　）
√
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解析：　设向量a与b的夹角为θ，｜a｜＝5，｜b｜＝13，则 cos θ
＝ ＝ ＝ ，则b在a上的投影向量为
a＝（－ ， ）.故选B.
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2. 若α∈（－ ， ），tan α＝ ，则 sin （2α－ ）＝（　　）
√
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解析：　由条件等式可知， ＝ ，整理为3 sin α＝ sin 2α＋
cos 2α＝1，则 sin α＝ ，又α∈（－ ， ）， cos α＝
＝ ，所以 sin 2α＝2 sin α cos α＝2× × ＝ ， cos 2α＝1－
2 sin 2α＝ ，所以 sin （2α－ ）＝ sin 2α cos － cos 2α sin ＝
× － × ＝ .故选D.
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3. 若（x＋ ）（x－ ）5的展开式中常数项是10，则m＝（　　）
A. －2 B. －1
C. 1 D. 2
√
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解析：　（x＋ ）（x－ ）5＝x（x－ ）5＋ （x－ ）5，（x－
）5的展开式的通项公式为Tk＋1＝ x5－k（－ ）k＝ （－1）kx5－
2k，令5－2k＝－1，解得k＝3，则x（x－ ）5的展开式的常数项为－
＝－10；令5－2k＝1，解得k＝2，则 （x－ ）5的展开式的常数
项为m ＝10m，因为（x＋ ）（x－ ）5的展开式中常数项是10，
所以10m－10＝10，解得m＝2.
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4. 若已知函数f（x）＝ex＋a，g（x）＝ln x＋ka， a∈（0，＋∞），
若函数F（x）＝f（x）－g（x）存在零点，则k的取值范围的一个充
分不必要条件为（　　）
A. （e0.7，e1.3） B. [1，e0.7）
C. [e2.2，e3.1） D. （e1.3，e2.2）
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解析：　∵当a＝0时，f（x）＝ex＋a的图象恒在g（x）＝ln x＋ka
上方，∴若满足f（1）≤g（1），即e1＋a≤ln 1＋ka，k≥ ，则f
（x）与g（x）的图象必有交点，即F（x）＝f（x）－g（x）存在
零点.令h（x）＝ （x＞0），h'（x）＝ ，∴当0＜x＜
1时，h'（x）＜0，h（x）单调递减；当x＞1时，h'（x）＞0，h
（x）单调递增.∴h（x）≥h（1）＝e2.即当k≥e2，一定存在a＝1∈
（0，＋∞），满足f（1）≤g（1），即F（x）＝f（x）－g（x）存
在零点，因此k∈[e2，＋∞）是满足题意k的取值范围的一个充分条件.
由选项可得，只有[e2.2，e3.1）是[e2，＋∞）的子集，∴[e2.2，e3.1）是k
的取值范围的一个充分不必要条件.
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二、多项选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选
项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有
选错的得0分）
5. 已知a，b，c∈R，下列命题为真命题的是（　　）
A. 若b＜a＜0，则bc2＜ac2
√
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解析：　对于A项，ac2－bc2＝c2（a－b），因为b＜a＜0，所以a－b＞0，又c2≥0，所以c2（a－b）≥0，即bc2≤ac2，故A项错误；对于B项， － ＝ ，因为b＞a＞0＞c，所以c（b－a）＜0，
ab＞0，所以 － ＝ ＜0，即 ＜ ，故B项正确；
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对于C项， － ＝ ，因为c＞b＞a＞0，所以c－a＞0，
c－b＞0，a－b＜0，所以 － ＝ ＜0，即 ＜ ，
故C项错误；对于D项，因为 － ＝ ＝ ，
又因为a＞b＞c＞0，所以a－b＞0，b＋c＞0，所以 ＞0，即
＞ ，故D项正确，故选B、D.
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6. 设Sn和Tn分别为数列{an}和{bn}的前n项和.已知2Sn＝3－an，bn＝
，则（　　）
A. {an}是等比数列 B. {bn}是递增数列
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解析：　由2Sn＝3－an，当n＝1时，2S1＝3－a1，即a1＝1，又2Sn＋1＝3－an＋1，∴2Sn＋1－2Sn＝an－an＋1，即3an＋1＝an，∴{an}是首项为1，公比为 的等比数列，故an＝（ ）n－1，A正确；由bn＝ ＝ ，则bn＋1－bn＝ － ＝ ＜0，即{bn}是递减数列，B错误；又Sn＝ ＝ （1－ ），则 ＝ ，C正确；
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Tn＝ ＋ ＋…＋ ＋ ①， Tn＝ ＋ ＋…＋ ＋ ②，①－②
得： Tn＝ ＋ ＋ ＋…＋ － ＝ － ＝ （1－ ）－
，∴Tn＝ （1－ ）－ ＞0，则2Tn－Sn＝ （1－ ）－ －
（1－ ）＝－ ＜0，∴ ＞2，D正确.故选A、C、D.
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三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分）
7. “布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的
试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子作布朗运动时每次会从所在仓
的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外
就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束.已知该粒子初始位置在1号
仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为 .

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解析：设从i号仓出发最终从1号仓出的概率为Pi，所以
解得P1＝ .
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8. 若在圆C：x2＋y2＝r2（r＞0）上存在一点P，使得过点P作圆M：
（x－2）2＋y2＝1的切线长为 ，则r的取值范围为 　[2－ ，2＋ .
解析：设点P（r cos θ，r sin θ），过点P作圆M：（x－2）2＋y2＝1
的切线，切点为Q，由题意可知｜PM｜2＝｜MQ｜2＋｜PQ｜2＝1＋2
＝3，因为点M（2，0），所以（r cos θ－2）2＋（r sin θ）2＝3，化
简整理可得r2－4r cos θ＋1＝0，所以 cos θ＝ ，因为 cos θ∈[－
1，1]，r＞0，所以解得2－ ≤r≤2＋ ，所以r
的取值范围为[2－ ，2＋ ].
[2－ ，2＋ ]
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四、解答题（本题共3小题，共45分.解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤）
9. （本小题满分15分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0），F为C的焦
点，过点F的直线l与C交于H，I两点，且在H，I两点处的切线交于
点T，当l与y轴垂直时，｜HI｜＝4.
（1）求C的方程；
解：由题意知F（0， ），将y＝ 代入x2＝2py，解得x＝
±p，所以当l与y轴垂直时，｜HI｜＝2p＝4，所以p＝2，
故抛物线C的方程为x2＝4y.
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（2）证明：｜FI｜·｜FH｜＝｜FT｜2.
解：证明：根据题意知，直线l的斜率存在，F（0，1），
设直线l的方程为y＝kx＋1，
H（x1，y1），I（x2，y2），
联立得x2－4kx－4＝0，
所以Δ＝（－4k）2＋16＞0，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.
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对y＝ x2，求导，得y'＝ x，
由得
所以T（2k，－1）.
因为｜FH｜2＝ ＋（y1－1）2＝4y1＋（y1－1）2＝（y1＋1）2，｜FI｜2＝ ＋（y2－1）2＝4y2＋（y2－1）2＝（y2＋1）2，
所以｜FH｜2·｜FI｜2＝（y1＋1）2·（y2＋1）2＝（y1y2＋y1＋y2＋1）2＝［ ＋ ＋1］2＝（4k2＋4）2.
又｜FT｜2＝4k2＋4，所以｜FI｜·｜FH｜＝｜FT｜2.
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10. （本小题满分15分）如图，在等腰直角三角形RBC中，A，D分别为
RB，RC的中点，BC＝BR＝4，将△RAD沿AD折起，使得点R至点
P的位置，得到四棱锥P-ABCD.
（1）若M为PC的中点，求证：DM∥平面PAB；
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解：证明：取PB中点N，连接AN，MN，由M为PC
的中点，得MN∥BC，且MN＝ BC，
由A，D分别为RB，RC的中点，得AD∥BC，且AD＝ BC，
则AD∥MN且AD＝MN，于是四边形ADMN为平行四边形，
因此DM∥AN，又AN 平面PAB，DM 平面PAB，
所以DM∥平面PAB.
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（2）若平面PAD⊥平面ABCD，点E在线段BC上，平面PDE与平面
ABED夹角的余弦值为 ，求线段BE的长.
解：由平面PAD⊥平面ABCD，平面
PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊥AD，AB 平
面ABCD，
得AB⊥平面PAD，又PA⊥AD，则直线AB，
AD，AP两两垂直，
以A为原点，直线AB，AD，AP分别为x，
y，z轴建立空间直角坐标系，如图，
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设BE＝t，则P（0，0，2），D（0，2，0），E（2，t，0）， ＝（0，2，－2）， ＝（2，t－2，0），
设n＝（x，y，z）为平面PDE的法向量，则令y＝2，得n＝（2－t，2，2），
显然平面ABED的法向量为m＝（0，0，1），设平面PDE与平面ABED的夹角为θ，
则 cos θ＝｜ cos ＜n，m＞｜＝ ＝ ＝ ，解得t＝1或t＝3，
所以线段BE的长为1或3.
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11. （本小题满分15分）如图有一块半径为4，圆心角为 的扇形铁皮
AOB，P是圆弧AB上一点（不包括A，B），点M，N分别在半径
OA，OB上.
（1）若四边形PMON为矩形，求其面积最大值；
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解：连接OP，如图，令∠AOP＝θ（0＜θ＜ ），因四边形PMON为矩形，则OM＝OP cos θ＝4 cos θ，PM＝OP sin θ＝4 sin θ，
于是得矩形PMON的面积S矩形PMON＝OM·PM
＝4 cos θ·4 sin θ＝8 sin 2θ，而0＜2θ＜π，
则当2θ＝ ，即θ＝ 时， sin 2θ取最大值
1，即有（S矩形PMON）max＝8，
所以矩形PMON面积最大值为8.
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（2）若△PBN和△PMA均为直角三角形，求它们面积之和的取值范围.
解：由（1）知，PN＝OM＝4 cos θ，ON＝PM＝4 sin θ，则BN＝4－4 sin θ，AM＝4－4 cos θ，
Rt△PBN和Rt△PMA的面积和S＝S△PBN＋
S△PMA＝ PN·BN＋ PM·AM＝ ×4 cos θ×
（4－4 sin θ）＋ ×4 sin θ×（4－4 cos θ）
＝8（ sin θ＋ cos θ）－16 sin θ cos θ，
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令 sin θ＋ cos θ＝t，即t＝ sin （θ＋ ），而 ＜θ＋ ＜ ，则1＜t≤ ，
2 sin θ cos θ＝（ sin θ＋ cos θ）2－（ sin 2θ＋ cos 2θ）＝t2－1，
则S＝f（t）＝8t－8（t2－1）＝－8t2＋8t＋8＝－8（t－ ）2＋10，显然f（t）在（1， ]上单调递减，
当t＝ ，即θ＝ 时，f（t）min＝f（ ）＝8 －8，而f（1）＝8，因此，8 －8≤S＜8，
所以Rt△PBN和Rt△PMA的面积和的取值范围是[8 －8，8）.
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