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(共31张PPT)
中档题保分练6
（时间：50分钟　满分：87分）
一、单项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四
个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 直线x＋y＋b＝0与圆C：（x＋1）2＋（y－1）2＝5有公共点的一个充
分不必要条件是（　　）
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√
解析：　C：（x＋1）2＋（y－1）2＝5的圆心C（－1，1），半径r
＝ .圆心到直线x＋y＋b＝0的距离d＝ ＝ ，因为直
线x＋y＋b＝0与圆C：（x＋1）2＋（y－1）2＝5有公共点，所以
d≤r，即 ≤ ，解得－ ≤b≤ .于是，区间[－ ，
]的任何一个真子集是直线x＋y＋b＝0与圆C：（x＋1）2＋（y
－1）2＝5有公共点的一个充分不必要条件.则四个选项只有C选项是区
间[－ ， ]的真子集，所以C正确.故选C.
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2. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2a cos B＝c
－a.当 取最小值时，则A＝（　　）
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解析：　因为2a cos B＝c－a，结合余弦定理得，2a· ＝c
－a，整理得c＝ －a，所以 ＝ ＝ ＋ ≥2 ＝
4 ，当且仅当 ＝ ，即b＝ a时，等号成立，此时c＝ －a＝
a，此时 cos A＝ ＝ ＝ ，又因为A∈（0，π），
所以A＝ ，故选B.
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3. 如图，在函数f（x）＝ sin （ωx＋φ）的部分图象中，若 ＝ ，则
点A的纵坐标为（　　）
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解析：　由题意令ωx＋φ＝ ，则x＝ － ，所以T（ － ，
0），设A（x1，y1），B（x2，y2），因为 ＝ ，所以
解得所以2y1＝y2＝f（x2）＝f
（2x1－ ＋ ）＝ sin （2ωx1－ ＋2φ）＝ cos （2ωx1＋2φ）＝1－2
sin 2（ωx1＋φ）＝1－2 ，所以2 ＋2y1－1＝0，又由图可知y1＞0，
所以y1＝ .故选B.
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4. 在三棱柱ABC-A1B1C1中，点D在棱BB1上，且△ADC1所在的平面将三
棱柱ABC-A1B1C1分割成体积相等的两部分，点M在棱A1C1上，且A1M
＝2MC1，点N在直线BB1上，若MN∥平面ADC1，则 ＝（　　）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
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解析：　如图，连接AB1，则 ＝
，又△ADC1所在的平面将三棱柱ABC-
A1B1C1分割成体积相等的两部分，所以 ＝
－ ＝ ，即 ＝ ，即 ＝ ，设C1到平面ABB1A1的距离为d，则 ＝ ·d， ＝ ·d，所以 ＝ ＝ ，所以D为BB1的中点，
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在AA1上取点E，使得A1E＝2AE，连接EN，EM，因为A1M＝2MC1，所以EM∥AC1，又EM 平面ADC1，AC1 平面ADC1，所以EM∥平面ADC1，又MN∥平面ADC1，EM∩MN＝M，EM，MN 平面EMN，所以平面EMN∥平面ADC1，又平面EMN∩平面ABB1A1＝EN，平面ADC1∩平面ABB1A1＝AD，所以AD∥EN，又AE∥ND，所以四边形ADNE为平
行四边形，所以ND＝AE＝ AA1＝ BB1，所以B1N＝B1D－ND＝ BB1－ BB1＝ BB1，所以 ＝6.故选D.
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二、多项选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选
项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有
选错的得0分）
5. 已知函数f（x）＝ ＋a（a∈R），则（　　）
A. f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞）
B. f（x）的值域为R
C. 当a＝1时，f（x）为奇函数
D. 当a＝2时，f（－x）＋f（x）＝2
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解析：　对于函数f（x）＝ ＋a（a∈R），令2x－1≠0，解得x≠0，所以f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），故A正确；因为2x＞0，当2x－1＞0时 ＞0，所以 ＋a＞a，当－1＜2x－1＜0时 ＜－2，所以 ＋a＜－2＋a，综上可得f（x）的值域为（－∞，－2＋a）∪（a，＋∞），故B错误；当a＝1时f（x）＝ ＋1＝ ，则f（－x）＝ ＝－ ＝－f（x），所以f（x）＝ ＋1为奇函数，故C正确；当a＝2时f（x）＝ ＋2＝ ＋1，则f（－x）＋f（x）＝ ＋1＋ ＋1＝2，故D正确.故选A、C、D.
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6. 已知对任意平面向量 ＝（x，y），把 绕其起点沿逆时针方向旋
转θ得到向量 ＝（x cos θ－y sin θ，x sin θ＋y cos θ），叫做把
点B绕点A沿逆时针方向旋转θ得到点P. 已知平面内点A（2，1），
点B（2＋t，1－t），｜ ｜＝2 ， · ＞0，点B绕点A沿逆
时针方向旋转 得到点P，则下列结论正确的是（　　）
C. B的坐标为（4，－1）
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解析：　C选项，因为｜ ｜＝2 ，所以（2＋t－2）2＋（1－t
－1）2＝8，解得t＝±2，因为 · ＞0，所以（t，－t）·（2，1）
＝2t－t＝t＞0，故t＝2，所以B（4，－1），C正确；B选项， ＝
（4－2，－1－1）＝（2，－2），将点B（4，－1）绕点A逆时针旋转
得到点P，则 ＝（2 cos ＋2 sin ，2 sin －2 cos ）＝（1＋
， －1），设P（m，n），则 ＝（m－2，n－1）＝（1＋
， －1），所以m－2＝1＋ ，n－1＝ －1，解得m＝3＋
，n＝ ，则P的坐标为（3＋ ， ），B正确；
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A选项， ＝（3＋ ， ）－（4，－1）＝（ －1， ＋1），
故｜ ｜＝ ＝2 ，A正确；D选项，
在 方向上的投影向量为 · ＝
· ＝（－1，1），D错误.
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三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分）
7. 已知（1＋2 023x）100＋（2 023－x）100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋
a100x100，其中a0，a1，a2，…，a100∈R，若0≤k≤100且k∈N，当ak
＜0时，k的最大值为 .
解析：xk的系数为ak＝ 2 023k＋ 2 023100－k·（－1）k＝ 2
023k[1＋2 023100－2k（－1）k]，k＝0，1，2，…，100，要使ak＜0，
则k必为奇数，且2 023100－2k＞1，∴100－2k＞0，即k＜50，∴k的最
大值为49.
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8. 过直线x－y－2＝0上一动点P作抛物线x2＝2y的两条切线，切点分别
为M，N，则直线MN被圆x2＋（y－4）2＝9截得的最短弦长是 .
解析：设M（x1， ），N（x2， ），P（x0，y0），
因为y＝ x2，所以y'＝x，所以直线PM的方程为y－ ＝
x1（x－x1），即y＝x1x－ ，直线PN的方程为y－
＝x2（x－x2），即y＝x2x－ ，联立解得所以2x0＝x1＋x2，2y0＝x1x2.
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因为直线MN斜率不存在不符题意，所以设MN所在直线为y＝kx＋b，联立得x2－2kx－2b＝0，所以x1＋x2＝2k，x1x2＝－2b，即x0＝k，y0＝－b，代入x0－y0－2＝0，得b＝2－k，所以y＝kx＋b＝kx＋2－k，所以y－2＝k（x－1），所以直线MN恒过定点（1，2），设A（1，2），x2＋（y－4）2＝9圆心为B（0，4），则｜AB｜＝ ＝ ，当MN⊥AB时，弦长最短，弦长为2 ＝4，所以直线MN被圆x2＋（y－4）2＝9截得的最短弦长是4.
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四、解答题（本题共3小题，共45分.解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤）
9. （本小题满分15分）某市为了解本市初中生周末运动时间，随机调查了
3 000名学生，统计了他们的周末运动时间，制成如图所示的频率分布
直方图.
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解：运动时间在[40，50）的人数为3 000×0.02×10＝600.运动时间在[80，90]的人数为3 000×0.01×10＝300.按照分层随机抽样方法共抽取9人，则在区间[40，50）内抽取的人数为6，在区间
[80，90]内抽取的人数为3.
（1）按照分层随机抽样方法从[40，50）和[80，90]中随机抽取了9名
学生.现从已抽取的9名学生中随机推荐3名学生参加体能测试.记
推荐的3名学生来自[40，50）的人数为X，求X的分布列；
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∴随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，
P（X＝0）＝ ＝ ，P（X＝1）＝ ＝ ，
P（X＝2）＝ ＝，P（X＝3）＝ ＝ ，
∴随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
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（2）由频率分布直方图可认为：周末运动时间t服从正态分布N（μ，
σ2），其中μ为周末运动时间的平均数，σ近似为样本的标准差
s，并已求得s≈14.6.可以用该样本的频率估计总体的概率，现从
本市所有初中生中随机抽取12名学生，记周末运动时间在
（43.9，87.7]之外的人数为Y，求P（Y＝3）的值.（精确到
0.001）
参考数据：当t～N（μ，σ2）时，P（μ－σ＜t≤μ＋σ）
≈0.682 7，P（μ－2σ＜t≤μ＋2σ）≈0.954 5，P（μ－3σ＜
t≤μ＋3σ）≈0.997 3.0.818 69≈0.165 1，0.181 43≈0.006 0.
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解：μ＝ ＝35×0.1＋45×0.2＋55×0.3＋65×0.15＋75×0.15＋85×0.1＝58.5，σ＝s≈14.6.∴43.9＝58.5－14.6＝μ－σ，87.7＝58.5＋14.6×2＝μ＋2σ.
∴P（43.9＜t≤87.7）＝P（μ－σ＜t≤μ＋2σ）≈
＝0.818 6，
∴P（t≤μ－σ或t＞μ＋2σ）≈1－0.818 6＝0.181 4，
∴Y～B（12，0.181 4）.
∴P（Y＝3）＝ ×0.181 43×0.818 69≈220×0.006 0×0.165
1≈0.218.
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10. （本小题满分15分）已知数列{an}中，Sn为{an}的前n项和，an＋1＝
Sn－n＋3，n∈N*，a1＝2.
（1）求{an}的通项公式；
解：当n＝1时，a2＝S1－1＋3＝a1＋2＝4，
由an＋1＝Sn－n＋3，得an＝Sn－1－n＋4（n≥2），
两式相减得，an＋1－an＝an－1，
即有an＋1－1＝2（an－1），
即数列{an－1}从第二项起为等比数列，
则an－1＝3·2n－2，n＞1，n∈N，
即有an＝
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（2）设bn＝ （n∈N*），数列{bn}的前n项和为Tn，求证：
≤Tn＜ （n∈N*）.
解：证明：an＋1＝Sn－n＋3，得Sn＝3·2n－1－2＋n，则bn
＝ ＝ ，
即前n项和为Tn＝ ＋ ＋ ＋…＋ ，
Tn＝ ＋ ＋ ＋…＋ ，
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两式相减可得， Tn＝ ＋ ＋ ＋…＋ － ＝
· － ，
化简得Tn＝ － ·（ ）n－ ，
由于{bn}各项大于0，得Tn≥T1＝ ，
由不等式的性质可得Tn＜ .
故 ≤Tn＜ （n∈N*）.
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11. （本小题满分15分）已知函数f（x）＝ x2－aln x，a∈R，f'（x）
是f（x）的导函数，g（x）＝xex.
（1）求f（x）的单调区间；
解：f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝x－ ＝ ，
当a≤0时，f'（x）＞0恒成立，此时f（x）的单调递增区间是
（0，＋∞），无单调递减区间；
当a＞0时，令f'（x）＞0得x＞ ；令f'（x）＜0得0＜x＜ ；
此时f（x）的单调递减区间为（0， ）；单调递增区间为
（ ，＋∞），
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综上，当a≤0时，f（x）的单调递增区间是（0，＋∞），无单
调递减区间；
当a＞0时，f（x）的单调递减区间为（0， ），单调递增区
间为（ ，＋∞）.
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（2）若f（x）有唯一零点.
①求实数a的取值范围；
②当a＞0时，证明：g（x）＞f'（x）＋4.
解：①当a＝0时，f（x）没有零点，不符合题意；
当a＜0时，由（1）知函数f（x）在（0，＋∞）单调递增，
因为f（x）＝ x2－aln x＜ x2－a（x－1），
取m＝a＋ ＞0，则f（m）＜ （a＋ ）2－a
（a＋ －1）＝0，
又f（1）＝ ＞0，故存在唯一x0∈（m，1），使得f（x0）＝
0，符合题意；
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当a＞0时，由（1）可知，f（x）有唯一零点只需f（ ）＝0，
即 － ln a＝0，解得a＝e，
综上，a的取值范围为（－∞，0）∪{e}.
②证明：由①得出a＝e，
令h（x）＝xex－2e（x－ ）（x＞0），则h'（x）＝（x＋1）
ex－2e，
令φ（x）＝（x＋1）ex－2e，则φ'（x）＝（x＋2）ex＞0恒成立，
所以h'（x）单调递增，又h'（1）＝0，
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故当x∈（0，1）时，h'（x）＜0，则h（x）在区间（0，1）上单调递减，
当x∈（1，＋∞）时，h'（x）＞0，则h（x）在区间（1，＋∞）上单调 递增；
故h（x）≥h（1）＝0，所以g（x）＝xex≥2e（x－ ），
要证g（x）＞f'（x）＋4，只需证明2e（x－ ）＞f'（x）＋4＝x－ ＋4，
即证（2e－1）x2－（e＋4）x＋e＞0，
由Δ＝12e＋16－7e2＝12e－ e2＋16－ e2＝e（12－ e）＋16
－ e2＜e（12－ ×2.7）＋16－ ×7.2＜0，
所以（2e－1）x2－（e＋4）x＋e＞0成立，故不等式得证.
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