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(共30张PPT)
中档题保分练7
（时间：50分钟　满分：87分）
一、单项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四
个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知函数f（x）＝ sin ωx cos φ＋ cos ωx sin φ（ω＞0，0＜φ＜ ），f
（x1）＝0，f（x2）＝1，若｜x1－x2｜的最小值为 ，且f（ ）＝ ，
则f（x）的单调递增区间为（　　）
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√
解析：　因为f（x）＝ sin ωx cos φ＋ cos ωx sin φ＝ sin （ωx＋φ），
又f（x1）＝0，f（x2）＝1，且｜x1－x2｜的最小值为 ，所以 ＝ ，
即T＝2π，又ω＞0，所以ω＝ ＝1，所以f（x）＝ sin （x＋φ），又f
（ ）＝ ，所以 sin （ ＋φ）＝ ，即 cos φ＝ ，因为0＜φ＜ ，所以
φ＝ ，所以f（x）＝ sin （x＋ ），令－ ＋2kπ≤x＋ ≤ ＋
2kπ，k∈Z，解得－ ＋2kπ≤x≤ ＋2kπ，k∈Z，所以函数f（x）
的单调递增区间为 ，k∈Z. 故选B.
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2. 为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班
级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为
10，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为
（　　）
A. 10 B. 11
C. 12 D. 13
√
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解析：　设5个数据分别是x1，x2，x3，x4，x5，则由方差为4得（x1－
10）2＋（x2－10）2＋（x3－10）2＋（x4－10）2＋（x5－10）2＝20，
显然最大值不可能大于14，假如x5≥15，则（x5－10）2≥25，不合题
意；若最大值为14，不妨设x5＝14，（x5－10）2＝16，则（x1－10）
2，（x2－10）2，（x3－10）2，（x4－10）2只能三个0，一个4，或四个
1，不合题意；若最大值为13，不妨设x5＝13，此时如x1＝7，x2＝9，x3
＝10，x4＝11，满足题意.故选D.
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3. 已知a＝ ，b＝ ，c＝ ，则（参考数据：ln 2≈0.7）（　　）
A. a＞b＞c B. b＞a＞c
C. b＞c＞a D. c＞a＞b
√
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解析：　因为a＝ ＝ ＝ ，c＝ ，考虑构造函数f（x）
＝ ，则f'（x）＝ ，当0＜x＜e时，f'（x）＞0，函数f（x）在
（0，e）上单调递增，当x＞e时，f'（x）＜0，函数f（x）在（e，＋
∞）上单调递减，因为ln 2≈0.7，所以e0.7≈2，即 ＞（e0.7）2≈4，所
以3＜4＜ ，所以 ＞ ＞ ，即 ＞ ＞ ，又 ＜
，所以 ＞ ＞ ，故b＞a＞c，故选B.
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4. 如图，棱长为2的正四面体ABCD中，M，N分别为棱AD，BC的中
点，O为线段MN的中点，球O的表面正好经过点M，则球O被平面
BCD截得的截面面积为（　　）
D. π
√
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解析：　在棱长为2的正四面体ABCD中，连接AN，
DN，过O作OE⊥DN于E，如图，由M，N分别为
棱AD，BC的中点，得AN⊥BC，DN⊥BC，而
AN∩DN＝N，AN，DN 平面AND，则BC⊥平面
AND，又BC 平面BCD，于是平面AND⊥平面
BCD，而平面AND∩平面BCD＝DN，因此OE⊥平面BCD，而AN＝DN＝ ，DM＝1，MN⊥AD，则MN＝ ，球O半径ON＝ MN＝ ， sin ∠DNM＝ ＝ ，从而OE＝ON· sin ∠DNM＝ × ＝ ，球O被平面BCD截得的截面圆半径r＝ ＝ ，所以球O被平面BCD截得的截面面积S＝πr2＝ .
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二、多项选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选
项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有
选错的得0分）
5. 已知定义在R上的偶函数满足f（x＋2）＝f（x－2），且当x∈[0，2]
时，f（x）单调递减，则下列四个命题中正确的是（　　）
A. T＝4
B. 直线x＝－2为函数y＝f（x）图象的一条对称轴
C. 函数f（x）在区间[－2，9]上存在3个零点
D. 若f（x）＝m在区间[－4，0]上的根为x1，x2，则x1＋x2＝－2
√
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解析：　对于A，因为f（x＋2）＝f（x－2），所以周期T＝4，故A正确；对于B，因为f（x）为偶函数，所以f（x＋2）＝f（－x－2），又f（x＋2）＝f（x－2），所以f（－x－2）＝f（x－2），所以f（x）的图象关于直线x＝－2对称，故B正确；对于C，若当x∈[0，2]时，f（x）无零点，则根据周期性和对称性可推出f（x）无零点，故C错误；对于D，因为f（x）的图象关于直线x＝－2对称，f（x）＝m在区间[－4，0]上的根为x1，x2，所以x1＋x2＝2×（－2）＝－4，故D错误.
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6. 已知双曲线C： － ＝1（b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，双曲
线具有如下光学性质：从右焦点F2发出的光线m交双曲线右支于点P，
经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点F1，如图所示.若
双曲线C的一条渐近线的方程为 x－y＝0，则下列结论正确的有（　）
B. 若m⊥n，则｜PF1｜·｜PF2｜＝12
D. 当n过点M（8，5）时，光由F2→P→M所经过的路
程为10
√
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解析：　对于A ，由题意可知a＝2，因为双曲线C的一条渐近线的
方程为 x－y＝0，所以 ＝ ，即b＝2 ，所以双曲线的方程为
－ ＝1，故A正确；对于B，由a＝2，b＝2 ，得c2＝22＋（2 ）2
＝16，解得c＝4，在△PF1F2中，∠F1PF2＝90°，由勾股定理及双曲
线的定义知，｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝（｜PF1｜－｜PF2｜）2＋2｜
PF1｜·｜PF2｜＝4a2＋2｜PF1｜·｜PF2｜＝4c2，即2｜PF1｜·｜PF2｜
＝4（c2－a2）＝4b2＝48，解得｜PF1｜·｜PF2｜＝24，故B错误；
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对于C，由题意可知，双曲线的渐近线方程为y＝± x，由双曲线的性质可得射线n所在直线的斜率范围为（－ ， ），故C正确；对于D，由题意可知，F1（－4，0），当n过点M（8，5）时，由双曲线定义可得，光由F2→P→M所经过的路程为｜F2P｜＋｜PM｜＝｜F1P｜＋｜PM｜－2a＝｜MF1｜－4＝ －4＝9，故D错误.故选A、C.
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三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分）
7. 斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，因数学家莱
昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故
又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，
21，34，…，在数学上，斐波那契数列以如下递推的方式定义：a0＝
1，a1＝1，an＝an－1＋an－2（n≥2，n∈N*），A＝{a1，a2，…，a2
024}，B A且B≠ 中，则B中所有元素之和为奇数的概率
为 .

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解析：由斐波那契数列规律可知，集合A＝{a1，a2，…，a2 024}中的元
素有674个偶数，1 350个奇数，记A中所有偶数组成的集合为C，所有
奇数组成的集合为D，集合C的子集为E，集合D中含有奇数个元素的
子集为F，则所有元素之和为奇数的集合B可看成E∪F，显然集合E
共有2674个，集合F共有 ＋ ＋ ＋…＋ ＝21 349
个，所以所有元素之和为奇数的集合B共有2674×21 349＝22 023个，又集
合A的非空子集共有22 024－1个，所以B中所有元素之和为奇数的概率
为 .
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8. 已知圆C是以点M（2，2 ）和点N（6，－2 ）为直径的圆，点P
为圆C上的动点，若点A（2，0），点B（1，1），则2｜PA｜－｜
PB｜的最大值为 .
解析：由题设，知C（4，0）且｜MN｜＝
＝8，即圆C的半径
为4，∴圆C：（x－4）2＋y2＝16，如图，坐标系
中D（－4，0），则｜OD｜＝2｜AC｜＝｜CP｜
＝｜OC｜＝4，∴ ＝ ＝ ，

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即△APC∽△PCD，故 ＝ ，∴2｜PA｜－｜PB｜＝｜PD｜－｜PB｜，在△PBD中｜PD｜－｜PB｜＜｜BD｜，∴要使｜PD｜－｜PB｜最大，P，B，D共线且最大值为｜BD｜的长度.∴｜BD｜＝ ＝ .
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四、解答题（本题共3小题，共45分.解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤）
9. （本小题满分15分）如图，四边形ABCD是圆柱底面的内接四边形，
AC是圆柱的底面直径，PC是圆柱的母线，E是AC与BD的交点，AB
＝AD，∠BAD＝60°.
（1）记圆柱的体积为V1，四棱锥P-ABCD的体积为V2，求 ；
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解：由题设得AC⊥BD，BD＝2 EC，AE＝
BD＝3EC，AC＝4EC，于是
V1＝π·（ AC）2·CP＝4π·EC2·CP，
V2＝ × AC·BD·CP＝ EC2·CP，
所以 ＝ π.
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（2）设点F在线段AP上，PA＝4PF，PC＝4CE，求二面角F-CD-P
的余弦值.
解：以C为坐标原点， 的方向为x轴正方
向，｜ ｜为单位长，建立如图所示的空间直角坐
标系C-xyz.
由（1）和题设得 ＝ ＝ ，
所以 ＝（1，0，3）， ＝（1， ，0），
＝（0，0，4）.
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设平面FCD的法向量为n＝（x，y，z），则
即
可取n＝（－3， ，1）.
设平面PCD的法向量为m＝（p，q，r），则
即
可取m＝（－3， ，0）.
所以 cos ＜n，m＞＝ ＝ .
因此二面角F-CD-P的余弦值为 .
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10. （本小题满分15分）已知数列{an}的首项a1＝ ，且满足an＋1＝ .
（1）求证：数列{ －1}为等比数列；
解：证明：因为an＋1＝ ，
所以 ＝ ＝ .
又 －1＝ ≠0，所以数列{ －1}是一个首项为 ，公比为 的
等比数列.
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（2）设数列{bn}满足bn＝求最
小的实数m，使得b1＋b2＋…＋b2k＜m对一切正整数k均成立.
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解：由（1）知，当n为偶数时，bn＝ －1＝ ，
当n为奇数时，
bn＝ ＋ －2＝ － ，
故b1＋b2＋…＋b2k
＝（b1＋b3＋…＋b2k－1）＋（b2＋b4＋…＋b2k）
＝（ － ）＋（ － ）＋…＋（ － ）＋ ＋ ＋…＋
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＝2－ ＋
＝ － － ，
当k∈N*时， ＋ ＞0，
则 － － ＜ ，
所以m的最小值为 .
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11. （本小题满分15分）已知函数f（x）＝ex＋ cos x，g（x）＝ax＋2.
（1）求f（x）在x＝0处的切线方程；
解：f（x）＝ex＋ cos x，f'（x）＝ex－ sin x，
故f（0）＝2，f'（0）＝1，所以f（x）在x＝0处的切线方程
为：y－2＝1·（x－0），
即x－y＋2＝0.
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（2）记函数h（x）＝f（x）－g（x），x∈[0，＋∞）.
①当a＝2时，求证：h（x）≥0不恒成立；
②若h（x）≥0恒成立，求实数a的最大值.
解：①证明：当a＝2，h（x）＝ex＋ cos x－2x－2，
x∈[0，＋∞）.
h'（x）＝ex－ sin x－2，x∈[0，＋∞），
令m（x）＝ex－ sin x－2，m'（x）＝ex－ cos x≥0，
所以m（x）在[0，＋∞）上单调递增，又因为m（x）min＝m
（0）＝e0－ sin 0－2＝－1，
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所以存在x0∈[0，＋∞），使得m（x）＝0，
则当x∈[0，x0），m（x）＜0，则h'（x）＜0，
当x∈（x0，＋∞），m（x）＞0，则h'（x）＞0，
所以h（x）在[0，x0）上单调递减，在（x0，＋∞）上单调递增，
而h（x）min＝h（x0）＜h（0）＝e0＋ cos 0－2＝0，
所以h（x）≥0不恒成立.
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②因为h（0）＝0，所以一定有h'（0）＝1－a≥0，即a≤1（必要性）；
下证充分性，
当a≤1时，h（x）＝ex＋ cos x－ax－2≥ex＋ cos x－x－2
令u（x）＝ex＋ cos x－x－2，u'（x）＝ex－ sin x－1，
令k（x）＝ex－ sin x－1，k'（x）＝ex－ cos x≥0在[0，＋∞）上恒成立，
所以k（x）在[0，＋∞）上单调递增，k（x）≥k（0）＝e0－ sin 0－1＝0，
所以u'（x）≥0，故u（x）在[0，＋∞）上单调递增，u（x）≥u（0）＝0，
故h（x）≥0，满足充分性.
综上，a≤1.
所以实数a的最大值为1.
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