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(共24张PPT)
基础题满分练2
（时间：45分钟　满分：80分）
一、单项选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四
个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知全集U＝{x∈N｜0＜x≤6}，集合A＝{1，2，3，4}，B＝{1，
3，5}，则 U（A∪B）＝（　　）
A. {6} B. {1，6}
C. {2，4，5，6} D. {1，2，4，5，6}
解析：　由题意知U＝{1，2，3，4，5，6}，A∪B＝{1，2，3，4，
5}，所以 U（A∪B）＝{6}，故选A.
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√
2. 某地区5 000名学生的数学成绩X（单位：分）服从正态分布X～N
（90，σ2），且成绩在[90，100]的学生人数约为1 800，则估计成绩在
100分以上的学生人数约为（　　）
A. 200 B. 700
C. 1 400 D. 2 500
解析：　5 000名学生的数学成绩X服从正态分布，数学成绩关于x＝
90对称，由题意得P（90≤x≤100）≈ ＝0.36，所以P（x＞100）
≈0.5－P（90≤x≤100）＝0.5－0.36＝0.14，所以估计成绩在100分以
上的学生人数约为5 000×0.14＝700.故选B.
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3. 若一条双曲线的实轴及虚轴分别为另一条双曲线的虚轴及实轴，则它们
互为共轭双曲线.已知双曲线E的标准方程为x2－ ＝1，则E的共轭双
曲线的离心率为（　　）
D. 2
解析：　由题意可知，双曲线E的标准方程为x2－ ＝1，所以共轭双
曲线为 －x2＝1，所以共轭双曲线的离心率为e＝ ＝ ＝
＝ .故选A.
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4. 已知数列{an}满足an＋1＝an＋a1＋2n，a10＝130，则a1＝（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
解析：　由题意可得an＋1－an＝a1＋2n，则可得a2－a1＝a1＋2，a3
－a2＝a1＋4，…，a10－a9＝a1＋18，将以上等式左右两边分别相加
得，a10－a1＝9a1＋ ＝9a1＋90，即a10＝10a1＋90，又a10＝
130，所以a1＝4.故选D.
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5. 勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以
边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形
就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中，已知AB＝2，P为弧AC
上的一点，且∠PBC＝ ，则 · ＝（　　）
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解析：　如图所示，以B为坐标原点，直线BC为x
轴，过点B且垂直于BC的直线为y轴，建立平面直角
坐标系，则B（0，0），C（2，0），由∠PBC＝ ，
得P（ ，1），所以 ＝（ ，1）， ＝（
－2，1），所以 · ＝ ×（ －2）＋1×1＝4
－2 .故选C.
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6. 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC为等边三角形，若三棱柱ABC-
A1B1C1的体积为3 ，则该三棱柱外接球表面积的最小值为（　　）
A. 12π B. 6π
C. 16π D. 8π
解析：　设直三棱柱的高为h，外接球的半径为R，△ABC外接圆的半径为r，则3× r2 sin h＝3 ，所以r2h＝4，又R2＝r2＋ ＝ ＋
，令f（h）＝ ＋ ，则f'（h）＝ － ＝ ，易知f（h）的最
小值为f（2）＝3，此时R2＝3，所以该三棱柱外接球表面积的最小值为
12π.故选A.
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二、多项选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选
项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有
选错的得0分）
7. 已知函数f（x）＝ sin （2x＋φ）（0＜φ＜π）的图象关于点（ ，0）
中心对称，则（　　）
√
√
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解析：　由题意可得， sin （ ＋φ）＝0，则 ＋φ＝kπ，k∈Z，因0＜φ＜π，则φ＝ ，于是f（x）＝ sin （2x＋ ）.对于A，令z＝2x＋ ，由x∈（ ， ）可得z∈（ ， ），因y＝ sin z在（ ， ）上单调递减，故f（x）在区间（ ， ）上单调递减，故A正确；对于B，令z＝2x＋ ，由x∈（－ ， ）可得z∈（0， ），因y＝ sin z在（0， ）上有两个极值点，故B正确；
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对于C，当x＝ 时，z＝2x＋ ＝2π，因 sin z＝ sin 2π＝0，故直线x＝
不是曲线y＝f（x）的对称轴，故C错误；对于D，由f（x）＝ sin （2x
＋ ）求导得，f'（x）＝2 cos （2x＋ ），则k切＝f'（0）＝1，又f（0）
＝ sin ＝ ，故曲线y＝f（x）在x＝0处的切线方程为y－ ＝x－0，
即y＝x＋ ，故D正确.故选A、B、D.
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8. 已知a＝log23，b＝log32，则（　　）
A. ab＝1
D. a＋ln b＜1
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解析：　对于A，ab＝log23×log32＝ × ＝1，故A正确；对于B， ＋ ＝ ≥ ＝2，又a≠b，所以 ＋ ＞2，故B正确；对于C，（ ＋ ）＝ab（ ＋ ）＝b＋3a≥2 ＝2 ，又b≠3a，所以 ＋ ＞2 ，故C正确；对于D，a＋ln b＝a＋ln ＝a－ln a，而a＝log23＞1，定义f（x）＝x－ln x（x＞1），则f'（x）＝1－ ＝ ＞0，从而f（x）＝x－ln x（x＞1）单调递增，所以f（x）＞f（1）＝1，所以f（a）＝a－ln a＝a＋ln b＞1，故D错误.
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三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分）
9. 已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，P为C
上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP. 若FQ＝6，则
C的准线方程为 .
x＝－
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解析：由抛物线C：y2＝2px（p＞0）得焦点F为（ ，0），PF与x轴
垂直，不妨设P在x轴上方，点P的横坐标为 ，代入抛物线方程得y2
＝p2，则y＝p，即P（ ，p），PQ⊥OP，则直线PQ的方程为y＝
－ （x－ ）＋p，令y＝0，得Q（ p，0），则FQ＝2p＝6，即p＝
3.故C的准线方程为x＝－ .
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10. 《海岛算经》是魏晋时期数学家刘徽所著的测量学著作，书中有一道
测量山上松树高度的题目，受此题启发，小李同学打算用学到的解三
角形知识测量某建筑物上面一座信号塔的高度.把塔底与塔顶分别看作
点C，D，CD与地面垂直，小李先在地面上选取点A，B，测得AB
＝20 m，在点A处测得点C，D的仰角分别为30°，60°，在点B
处测得点D的仰角为30°，则塔高CD为 m.
20
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解析：在△ACD中，延长DC与BA的延长线交于点
E，如图所示.由题意可知，∠CAE＝30°，∠DAE
＝60°，∠DBA＝30°，所以∠DAC＝30°，
∠DCA＝120°，∠ADC＝30°，∠BDA＝30°，所以△ACD，△BAD为等腰三角形，即CD＝CA，AD＝AB. 设CD＝x，即CA＝x，∠DCA＝120°，在△ACD中，由余弦定理得AD2＝CD2＋CA2－
2CD·CA cos ∠DCA，即AD2＝x2＋x2－2x·x·（－ ），AD＝ x，所以AB＝ x，又因为AB＝20 ，所以x＝20.
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四、解答题（本题共2小题，共28分.解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤）
11. （本小题满分13分）已知篮球比赛中，得分规则如下：3分线外侧投入
可得3分，踩线及3分线内侧投入可得2分，不进得0分；经过多次试
验，某生投篮100次，有25个是3分线外侧投入，25个是踩线及3分线内
侧投入，其余不能入篮，且每次投篮为相互独立事件.
（1）求该生在4次投篮中恰有三次是3分线外侧投入的概率；
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解：设A，B，C分别表示“得3分”“得2分”“得0分”，用频率估计概率，
可得P（A）＝ ＝ ，P（B）＝ ＝ ，P（C）＝ ＝ .
则在4次投篮中恰有三次是3分线外侧投入的概率P＝4·（P（A））3（1－P（A））＝4× × ＝ .
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（2）求该生两次投篮后得分ξ的分布列及数学期望.
解：两次投篮后得分ξ的可能取值为0，2，3，4，5，6.
P（ξ＝0）＝P（C）P（C）＝ ；
P（ξ＝2）＝2P（B）P（C）＝ ；
P（ξ＝3）＝2P（A）P（C）＝ ；
P（ξ＝4）＝P（B）P（B）＝ ；
P（ξ＝5）＝2P（A）P（B）＝ ；
P（ξ＝6）＝P（A）P（A）＝ .故ξ的分布列为
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ξ 0 2 3 4 5 6
P
数学期望E（ξ）＝2× ＋3× ＋4× ＋5× ＋6× ＝ .
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12. （本小题满分15分）如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥AC，Q，D，
E分别是线段PA，QC，AC的中点，AB＝BC，BD＝ ，PA＝4，
AC＝2，BE＝1.
（1）求证：DE⊥平面ABC；
解：证明：由题意，D，E分别是QC，AC的中点，故DE∥QA，且DE＝ QA＝ PA＝1，而DE2＋BE2＝1＋1＝2＝BD2，所以BE⊥DE. 由DE∥QA，知DE∥PA，而PA⊥AC，故DE⊥AC.
又AC，BE在平面ABC内交于点E，故DE⊥平面ABC.
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（2）求二面角Q-BD-A的正弦值.
解：由（1）知，DE⊥平面ABC，又E是AC
中点，AB＝BC，所以BE⊥AC，
故以E为原点， ， ， 的方向分别作为x，
y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图.
则A（1，0，0），B（0，1，0），D（0，0，
1），且由AQ＝ AP＝2知Q（1，0，2）.
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则A（1，0，0），B（0，1，0），D（0，0，
1），且由AQ＝ AP＝2知Q（1，0，2）.
设n1＝（p，q，r），n2＝（u，v，w）分别是
平面QBD和BDA的法向量，
则由可知
故可取n1＝（－1，1，1），n2＝（1，1，1），得
cos ＜n1，n2＞＝ ＝ .
所以二面角Q-BD-A的正弦值是 .
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