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(共24张PPT)
基础题满分练3
（时间：45分钟　满分：80分）
一、单项选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四
个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 若复数z满足z（1－i）＝i，则 的虚部为（　　）
解析：　z＝ ＝ ＝ ＝－ ＋ i，则 ＝－ － i，则
其虚部为－ ，故选D.
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√
2. 已知x∈R，向量a＝（x，2），b＝（2，－1），且a⊥b，则a＋b
在a上的投影向量为（　　）
B. 5
C. （1，2） D. （2，－1）
解析：　由a⊥b，则有a·b＝2x－2＝0，即x＝1，则a＋b＝（3，
1），故 · ＝ · ＝a＝（1，2）.故选C.
√
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3. 已知二项式（x－ ）n展开式的二项式系数的和为64，则（　　）
A. n＝5
B. n＝8
√
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解析：　由题可知，2n＝64，则n＝6，则A、B错误；（x－ ）6展开
式中的第k＋1项为Tk＋1＝ x6－k（－ ）k＝（－1）k2k x6－2k.令6
－2k＝0，得k＝3，则T4＝（－1）3×23× x6－6＝－160，故C错误；
令x＝1得（1－ ）6＝1，则（x－ ）6的展开式中各项系数的和为1，
故选D.
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4. 在运动会中，甲、乙、丙参加了跑步、铅球、标枪三个项目，每人参加
的比赛项目不同.已知①乙没有参加跑步；②若甲参加铅球，则丙参加
标枪；③若丙没有参加铅球，则甲参加铅球.下列说法正确的为（　　）
A. 丙参加了铅球 B. 乙参加了铅球
C. 丙参加了标枪 D. 甲参加了标枪
解析：　由①乙没有参加跑步，则乙参加铅球或标枪，若乙参加铅球，则丙就没有参加铅球，由③可知甲参加铅球，故矛盾，所以乙参加标枪，显然丙没有参加标枪，则丙参加铅球，甲参加跑步，综上可得：甲参加跑步，乙参加标枪，丙参加铅球.故选A.
√
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5. 已知函数f（x）＝x｜x｜，则关于x的不等式f（2x）＞f（1－x）的
解集为（　　）
解析：　由f（x）＝x｜x｜＝故f（x）在R上单调递
增，由f（2x）＞f（1－x），有2x＞1－x，即x＞ .故选A.
√
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6. 如图所示，一个球内接圆台，已知圆台上、下底面的半径分别为3和4，
且球心O在圆台内部，球的表面积为100π，则该圆台的体积为（　　）
B. 75π
√
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解析：　因为圆台外接球的表面积S＝4πr2＝100π，
所以球的半径r＝5，设圆台的上、下底面圆心分别为
O2，O1，轴截面ABCD是圆内接等腰梯形，则O1为下
底直径BC中点，O2为上底直径AD中点，
O1O2⊥BC，O1O2⊥AD，依题意球心O在圆台两底面之间，即O在O1O2上，连接OA，OB，如图，因为圆台上、下底面的半径分别为3和4，所以O1B＝4，O2A＝3，OA＝OB＝5，所以｜OO1｜＝ ＝3，｜OO2｜＝ ＝4，所以｜O1O2｜＝7，所以圆
台体积V＝ ×（9π＋16π＋12π）×7＝ ，故选D.
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二、多项选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选
项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有
选错的得0分）
7. 下列说法正确的是（　　）
A. 将一组数据的每一个数减去同一个数后，新数据的方差与原数据方差
相同
C. 线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强
D. 在残差图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效
果越好
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√
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解析：　由方差的性质可知，将一组数据的每一个数减去同一个数后，新数据的方差与原数据方差相同，故A正确；由 ＝ － ，故经验回归直线 ＝ x＋ 一定过样本点中心（ ， ），故B正确；线性相关系数｜r｜越大，两个变量的线性相关性越强，故C错误；在残差图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好，故D正确.故选A、B、D.
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8. 在公差不为零的等差数列{an}中，已知其前n项和为Sn，S9＝81，且
a2，a5，a14为等比数列，则下列结论正确的是（　　）
A. an＝2n＋1
B. （－1）1a1＋（－1）2a2＋…＋（－1）100a100＝100
C. Sn＝n2
D. 设数列{2n·an＋1}的前n项和为Tn，则Tn＝n·2n＋1＋2
√
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解析：　对于A，设等差数列{an}的公差为d，由S9＝81得9a1＋
d＝81①，由a2，a5，a14为等比数列得（a5）2＝a2a14，（a1＋4d）2＝
（a1＋d）（a1＋13d）②，由①②解得d＝2，a1＝1，所以an＝2n－
1，故A错误；对于B，（－1）1a1＋（－1）2a2＋…＋（－1）100a100＝
－1＋3－5＋7－9＋11－13＋…＋199＝（－1＋3）＋（－5＋7）＋（－
9＋11）＋…＋（－197＋199）＝2×50＝100，故B正确；对于C，Sn＝
·n＝n2，故C正确；对于D，2n·an＋1＝2n·（2n＋1），所以Tn＝
3·21＋5·22＋7·23＋…＋（2n－1）·2n－1＋（2n＋1）·2n③，2Tn＝3·22＋
5·23＋7·24＋…＋（2n－1）·2n＋（2n＋1）·2n＋1④. ③－④得，－Tn＝3·21＋2（22＋23＋…＋2n）－（2n＋1）·2n＋1，则Tn＝（2n－1）·2n＋1＋2，故D错误.故选B、C.
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三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分）
9. 函数f（x）＝2 sin （2x＋φ）＋1（｜φ｜＜π）的部分图象如图所示，
则φ＝ .

解析：令f（x）＝2 sin （2x＋φ）＋1＝0，则 sin （2x＋φ）＝－ ，根据图象得x＝－ 为函数零点，零点左右函数图象为上升趋势，则2×
（－ ）＋φ＝2kπ－ ，k∈Z，则φ＝2kπ＋ ，k∈Z，因为｜φ｜＜π，则k＝0，φ＝ .
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10. 在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝6，AC＝3，点D在线段BC上，
且BD＝2DC，则AD＝ .
解析：由余弦定理，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC· cos ∠BAC＝62＋32
－2×6×3× cos 60°＝27，则有AB2＝AC2＋BC2，即△ABC为直角三
角形，∠C＝90°，BC＝3 ，由BD＝2DC，得DC＝ ，所以
AD＝ ＝ ＝2 .
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四、解答题（本题共2小题，共28分.解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤）
11. （本小题满分13分）某城市地铁将于2024年6月开始运营，为此召开了
一个价格听证会，拟定价格后又进行了一次调查，随机抽查了50人，
他们的收入与态度如下：
月收入（单位：百元） [15，25） [25，35） [35，45） [45， 55） [55， 65） [65，
75]
赞成定价者人数 1 2 3 5 3 4
认为价格偏高者人数 4 8 12 5 2 1
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（1）若以区间的中点值为该区间内的人均月收入，求参与调查的人员
中“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距是
多少（结果保留2位小数）；
解：“赞成定价者”的月平均收入为x1＝
≈50.56（百元）.
“认为价格偏高者”的月平均收入为x2＝
＝38.75（百元），
∴“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距是
x1－x2＝50.56－38.75＝11.81（百元）.
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（2）由以上统计数据列出2×2列联表，依据小概率值α＝0.01的独立
性检验，可否认为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度
有差异”？
附：χ2＝ ，其中n＝a＋b＋c＋d.
α 0.1 0.05 0.01 0.005
xα 2.706 3.841 6.635 7.879
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解：根据条件可得2×2列联表如下：
对地铁定价的态度 人均月收入 合计
不低于55百元的人数 低于55百元的人数 认为价格偏高者 3 29 32
赞成定价者 7 11 18
合计 10 40 50
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零假设为H0：月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度无差异.
χ2＝ ≈6.27＜6.635＝x0.01，
∴根据小概率值α＝0.01的独立性检验，没有充分证据推断
H0不成立，因此可以认为“月收入以55百元为分界点对地铁
定价的态度没有差异”.
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12. （本小题满分15分）已知椭圆C： ＋y2＝1，右焦点为F，过点F的
直线l交C于A，B两点.
（1）若直线l的倾斜角为 ，求｜AB｜；
解：由题意可得F（1，0），
因为直线l的倾斜角为 ，所以k＝tan ＝1，
因此，l的方程为y＝x－1，联立方程消去y得3x2
－4x＝0，
解得x1＝0，x2＝ ，不妨设A（0，－1），B（ ， ），
因此｜AB｜＝ ＝ .
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（2）记线段AB的垂直平分线交直线x＝－1于点M，当∠AMB最大
时，求直线l的方程.
解：设A（x1，y1），B（x2，y2），由
题意得，直线l的斜率不为0，故设l的方程为x＝my＋1，
联立方程消去x得，（m2＋2）y2
＋2my－1＝0，Δ＞0，
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因此y1＋y2＝－ ，y1y2＝－ ，
所以｜AB｜＝
＝ ＝ ，
设线段AB的中点为G，
则yG＝ ＝－ ，xG＝myG＋1＝ ，
所以｜MG｜＝ ｜－1－ ｜＝ ，
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所以tan ＝ ＝ ，
设t＝ ，则tan ＝ ＝ ＝ ≤ ，
当且仅当t＝ ，即m＝± 时等号成立，
当 最大时，∠AMB也最大，此时直线l的
方程为x＝± y＋1，
即x＋ y－1＝0或x－ y－1＝0.
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