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(共25张PPT)
基础题满分练4
（时间：45分钟　满分：80分）
一、单项选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四
个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知向量a＝（2，1），a＋b＝（1，m），若a∥b，则m＝（　　）
A. －3 B. 3
解析：由a＝（2，1），a＋b＝（1，m）可得b＝（a＋b）－a＝（－1，m－1），由a∥b可得－1＝2（m－1），解得m＝ ，故选D.
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√
2. 设z＝a＋bi（a，b∈R）在复平面内对应的点为M，则“点M在第四
象限”是“ab＜0”的（　　）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 既不充分也不必要条件
D. 充要条件
√
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解析：　由题知，z＝a＋bi（a，b∈R）在复平面内对应的点为M
（a，b），若点M在第四象限，则a＞0，b＜0，若ab＜0，则
或所以“点M在第四象限”是“ab＜0”的充分不必
要条件，故选A.
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3. 如图是函数H（x）图象的一部分，设函数f（x）＝ sin x，g（x）＝
，则H（x）可以表示为（　　）
A. f（x）·g（x）
C. f（x）＋g（x） D. f（x）－g（x）
√
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解析：　易知f（x）＝ sin x与g（x）＝ 均为奇函数，由题中图象
可知，H（x）也为奇函数，故排除A、B；对于D，当x＞0且x→0
时， sin x→0， →＋∞，所以当x＞0且x→0时，f（x）－g（x）＝
sin x－ ＜0，显然不满足题中图象，故排除D. 故选C.
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4. 已知点F是抛物线y2＝4x的焦点，M，N是该抛物线上两点，｜MF｜
＋｜NF｜＝6，则MN中点的横坐标为（　　）
B. 2 D. 3
解析：设点M，N坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，由抛物线定义有，｜MF｜＝x1＋1，｜NF｜＝x2＋1，所以x1＋1＋x2＋1＝6，x1＋x2＝4，故 ＝2，选项B正确.故选B.
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5. 已知函数f（x）＝ sin （ωx＋ ）（ω＞0）在[0，2π]上有且仅有4个
零点，直线x＝ 为函数y＝f（x）图象的一条对称轴，则f（ ）＝
（　　）
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解析：　因为ω＞0，且x∈[0，2π]，则ωx＋ ∈［ ，2πω＋ ］，
由题意可得4π≤2πω＋ ＜5π，解得 ≤ω＜ ，又因为直线x＝ 为函
数y＝f（x）图象的一条对称轴，则 ω＋ ＝kπ＋ ，k∈Z，解得ω
＝6k＋2，k∈Z，可知k＝0，ω＝2，即f（x）＝ sin （2x＋ ），所
以f（ ）＝ sin （ ＋ ）＝ sin （π－ ）＝ sin ＝ .故选C.
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6. 已知α，β∈（0， ）， sin （2α＋β）＝2 sin β，则tan β的最大值
为（　　）
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解析：　因为α，β∈（0， ）， sin （2α＋β）＝2 sin β，所以
sin [（α＋β）＋α]＝2 sin [（α＋β）－α]， sin （α＋β） cos α
＋ cos （α＋β） sin α＝2[ sin （α＋β） cos α－ cos （α＋β）
sin α]，即3 cos （α＋β） sin α＝ sin （α＋β） cos α，所以tan
（α＋β）＝3tan α，因为tan α＞0，tan β＞0，所以tan β＝tan[（α
＋β）－α]＝ ，所以tan β＝ ＝
≤ ＝ ，当且仅当 ＝3tan α，即tan α＝ 时，等号成
立，故tan β的最大值为 .故选B.
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二、多项选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选
项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有
选错的得0分）
7. 已知m，n，l为空间中三条不同的直线，α，β，γ为空间中三个不
同的平面，则下列说法中正确的是（　　）
A. 若α∩β＝m，m⊥γ，则α⊥γ，β⊥γ
B. 若m α，n α，则m与n为异面直线
C. 若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，且l∩m＝P，则P∈n
D. 若m⊥α，m⊥β，α∥γ，则β∥γ
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解析：　对于A，显然m α，m β，又m⊥γ，则α⊥γ，β⊥γ，A正确；对于B，由m α，n α，得m与n可能相交、可能平行、也可能为异面直线，B错误；对于C，由α∩β＝l，β∩γ＝m，l∩m＝P，知点P在平面α，β，γ内，即为平面α，γ的公共点，而γ∩α＝n，因此P∈n，C正确；对于D，由m⊥α，m⊥β，得α∥β，而α∥γ，因此β∥γ，D正确，故选A、C、D.
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8. 某人有6把钥匙，其中4把能打开门.如果不放回地依次随机抽取3把钥匙
试着开门，设事件Ai为“第i次能打开门”，则下列结论中正确的是
（　　）
A. 事件A1与A2互斥
√
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解析：　事件A1与A2可以同时发生，所以不是互斥事件，故A错误；事件A2为“第2次能打开门”，则P（A2）＝P（ A2）＋P（A1A2）＝ × ＋ × ＝ ，故B正确；P（A1∪A2）＝1－P（ ）＝1－ × ＝ ，故C错误；P（A2A3）＝P（ A2A3）＋P（A1A2A3）＝ × × ＋ × × ＝ ，所以P（A3｜A2）＝ ＝ ，故D正确.故选B、D.
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三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分）
9. 已知集合A＝{x｜ sin x＝0，x∈R}，集合B＝{x｜ ≤0，x∈R}，
则A∩B＝ .
解析：因为 sin x＝0，则x＝kπ，k∈Z，所以A＝{x｜x＝kπ，
k∈Z}，因为 ≤0，则解得0＜x≤7，所以B＝
{x｜0＜x≤7，x∈R}，所以A∩B＝{π，2π}.
{π，2π}
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10. 在△ABC中，已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的
面积为 ，点D是线段BC上靠近点B的一个三等分点，AD＝1，若
∠ADC＝ ，则c＝ 　 　.
解析：依题意，S△ABC＝S△ABD＋S△ACD＝ BD·AD sin ＋ CD·AD sin
，而CD＝2BD，AD＝1，S△ABC＝ ，即BD· ＋2BD· ＝ ，
解得BD＝ ，在△ABD中，由余弦定理得AB2＝BD2＋AD2－2BD·AD
cos ＝ ，所以c＝ .

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四、解答题（本题共2小题，共28分.解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤）
11. （本小题满分13分）已知数列{an}满足a1＋3a2＋…＋（2n－1）an
＝n.
（1）求{an}的通项公式；
解：当n＝1时，可得a1＝1，
当n≥2时，a1＋3a2＋…＋（2n－1）an＝n，
a1＋3a2＋…＋（2n－3）an－1＝n－1（n≥2），
上述两式作差可得an＝ （n≥2），
因为a1＝1满足an＝ ，所以{an}的通项公式为an＝ .
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（2）已知cn＝k∈N*，求数列{cn}的前20项和.
解：因为cn＝k∈N*，
所以c1＋c3＋…＋c19＝ ＝ ＝10，
c2＋c4＋…＋c20＝ ＋ ＋…＋
＝ （ － ＋ － ＋…＋ － ）＝ .
所以数列{cn}的前20项和为 .
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12. （本小题满分15分）移动物联网广泛应用于生产制造、公共服务、个
人消费等领域.截至2023年底，我国移动物联网连接数达18.45亿户，
成为全球主要经济体中首个实现“物超人”的国家.如图是2019～2023
年移动物联网连接数w与年份代码t的散点图，其中年份2019～2023对
应的t分别为1～5.
（1）根据散点图推断两个变量是否线性相关.计算样本相关系数（精确到0.01），并推断它们的相关程度；
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解：由散点图可以看出样本点都集中在一条直线附近，由此推断两个变量线性相关.
因为 ＝ （1＋2＋3＋4＋5）＝3，
所以 （ti－ ）2＝（1－3）2＋（2－3）2＋（3－3）2＋（4－3）2＋（5－3）2＝10，
所以r＝ ＝ ＝ ≈ ≈0.98，
所以这两个变量正线性相关，且相关程度很强.
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（2）①假设变量x与变量y的n对观测数据为（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），两个变量满足一元线性回归模型（随机误差ei＝yi－bxi）.请推导：
当随机误差平方和Q＝ 取得最小值时，参数b的最小二乘估计；
②令变量x＝t－ ，y＝w－ ，则变量x与变量y满足一元线性
回归模型利用①中结论求y关于x的
经验回归方程，并预测2025年移动物联网连接数.
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附：样本相关系数r＝ ， （wi－ ）2＝76.9， （ti－ ）（wi－ ）＝27.2， wi＝60.8， ≈27.7.
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解：①Q＝ ＝ （yi－bxi）2
＝ （ －2bxiyi＋b2 ）＝b2 －
2b xiyi＋ ，
要使Q取得最小值，当且仅当 ＝ .
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②由①知 ＝ ＝ ＝ ＝2.72，
所以y关于x的经验回归方程为 ＝2.72x，
又 ＝ ＝ ＝12.16，
所以当t＝7时，则x＝7－3＝4， ＝ ＋ ＝2.72×4＋12.16＝23.04，
所以预测2025年移动物联网连接数达23.04亿户.
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