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(共23张PPT)
基础题满分练5
（时间：45分钟　满分：80分）
一、单项选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四
个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 若命题p： x≥0，ex＋x－2≥0，则命题p的否定为（　　）
A. x＜0，ex＋x－2＜0 B. x≥0，ex＋x－2≥0
C. x≥0，ex＋x－2＜0 D. x＜0，ex＋x－2≥0
解析：　由全称量词命题的否定规则知，命题p的否定为 x≥0，ex
＋x－2＜0，故选C.
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2. 下列命题中，真命题是（　　）
A. 若a＞b，则ac＞bc
B. 若a＞b，则a2＞b2
C. 若ac2≥bc2，则a≥b
D. 若a＋2b＝2，则2a＋4b≥4
解析：　对于A，由a＞b，c＝0可得ac＝bc，故A错误；对于B，由
a＞0，b＜0，｜a｜＜｜b｜，可得a2＜b2，故B错误；对于C，若
ac2≥bc2，且当c＝0时，可得a，b为任意值，故C错误；对于D，因为
2a＋4b＝2a＋22b≥2 ＝2 ＝4，当且仅当a＝2b＝1时，
等号成立，即2a＋4b≥4，故D正确.故选D.
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3. （2x－3）（x－1）5的展开式中x3的系数为（　　）
A. －50 B. －10 C. 10 D. 50
解析：　（x－1）5展开式的通项为Tr＋1＝ x5－r（－1）r，则T3＝
10x3，T4＝－10x2，故（2x－3）（x－1）5展开式中x3的系数为2×
（－10）＋（－3）×10＝－50.故选A.
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4. 已知函数f（x）＝ln x＋ x2－ax＋1，则“a＜2”是“f（x）在（0，
＋∞）上单调递增”的（　　）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
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解析：　函数f（x）＝ln x＋ x2－ax＋1的定义域为（0，＋∞），则
f'（x）＝ ＋x－a，若f（x）在（0，＋∞）上单调递增，则f'（x）
≥0在（0，＋∞）上恒成立，即a≤ ＋x在（0，＋∞）上恒成立，又
＋x≥2 ＝2，当且仅当 ＝x，即x＝1时取等号，所以a≤2，因
为（－∞，2） （－∞，2]，所以“a＜2”是“f（x）在（0，＋
∞）上单调递增”的充分不必要条件.故选A.
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5. 已知圆C：（x－1）2＋y2＝9，直线l：x＋y＋m＝0，P为直线l上的
动点.过点P作圆C的切线PM，PN，切点为M，N. 若使得四边形
PMCN为正方形的点P有且只有一个，则正实数m＝（　　）
A. 1 C. 5 D. 7
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解析：　由题意可知，圆C：（x－1）2＋y2＝9的圆心为C（1，0），半径r＝3，因为四边形PMCN为正方形，可知｜CP｜＝ r＝3 ，若使得四边形PMCN为正方形的点P有且只有一个，可知CP⊥l，则 ＝3 ，解得m＝5或m＝－7（舍去），所以正实数m＝5.故选C.
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6. 记Sn为数列{an}的前n项和，Tn为数列{an}的前n项积，若a1＝1，an＋
1＝Sn，则满足Tn＞1 000的n的最小值是（　　）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
解析：　由an＋1＝Sn可得Sn＋1－Sn＝Sn Sn＋1＝2Sn，S1＝1≠0，故
{Sn}为公比为2的等比数列，故Sn＝2n－1，所以an＋1＝Sn＝2n－1，故
n≥2时，an＝2n－2，因此an＝故Tn＝a1a2a3…an＝
1×20×21×…×2n－2＝ ，要使Tn＞1 000，则
＞1 000，当n＝6时，210＞1 000，n＝5时，26＜1 000，且
在n≥5时，随着正整数n的增大而增大，故n的最小值为6，故选B.
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二、多项选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选
项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有
选错的得0分）
7. 如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图1形成对
称形态，图2形成“右拖尾”形态，图3形成“左拖尾”形态，根据所给
图作出以下判断，正确的是（　　）
A. 图1的平均数＝中位数＝众数
B. 图2的平均数＜众数＜中位数
C. 图2的众数＜中位数＜平均数
D. 图3的平均数＜中位数＜众数
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解析：图1的频率分布直方图是对称的，所以平均数＝中位数＝众数，故A正确；图2众数最小，右拖尾平均数大于中位数，故B错误，C正确；图3左拖尾众数最大，平均数小于中位数，故D正确.故选A、C、D.
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8. 已知函数f（x）＝ sin 2x＋ sin （2x＋ ），则（　　）
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解析：　由f（x）＝ sin 2x＋ sin （2x＋ ）＝ sin 2x＋（－ sin
2x＋ cos 2x）＝ sin 2x＋ cos 2x＝ sin （2x＋ ），对于A，g
（x）＝f（x－ ）＝ sin ［2（x－ ）＋ ］＝ sin （2x－ ），因为
g（－x）＝ sin （－2x－ ）＝－ sin （2x＋ ）≠－g（x），故A错
误；对于B，y＝f（x＋ ）＝ sin ［2（x＋ ）＋ ］＝ sin （2x＋
）＝ cos 2x是偶函数，故B正确；对于C，由f（x）＝ sin （2x＋
），得最大值为1，故C错误；对于D， ＜x＜ ，则 ＜2x＋ ＜ ，由正弦函数的单调性知，函数f（x）＝ sin （2x＋ ）在（ ， ）上单调递减，故D正确.故选B、D.
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三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分）
9. 已知圆台O1O2的体积为14π，其上底面圆O1半径为1，下底面圆O2半径
为4，则该圆台的母线长为 .
解析：圆台的上底面半径为1，下底面半径为4，设圆台
的高为h，则该圆台的体积为V＝ π×（12＋42＋
1×4）h＝7πh＝14π，则h＝2，作出圆台的轴截面如图所示，上底面圆心为M，下底面圆心为N，MD＝1，NC＝4，过D作DE⊥NC，则EC＝4－1＝3，又DE＝h＝2，所以圆台的母线长为DC＝ ＝ ＝ .

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10. 若函数f（x）＝kx2－ex在区间（0，＋∞）上单调递减，则k的取值
范围是 .
解析：函数f（x）＝kx2－ex，求导得f'（x）＝2kx－ex，由f（x）在
（0，＋∞）上单调递减，得 x∈（0，＋∞），f'（x）≤0 2kx－
ex≤0，即2k≤ ，令g（x）＝ ，x＞0，求导得g'（x）＝
，当0＜x＜1时，g'（x）＜0，当x＞1时，g'（x）＞0，因
此函数g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，
g（x）min＝g（1）＝e，则2k≤e，解得k≤ ，所以k的取值范围是
（－∞， ］.
（－∞， ］
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四、解答题（本题共2小题，共28分.解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤）
11. （本小题满分13分）已知△ABC三个内角A，B，C所对的边分别为
a，b，c，且 ＝ .
（1）求 sin C的值；
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解：由正弦定理可得， ＝ ，即3 sin B cos C－ sin A cos C＝ cos A sin C.
所以3 sin B cos C＝ sin A cos C＋ cos A sin C＝ sin （A＋C）.
又 sin （A＋C）＝ sin （π－B）＝ sin B，且 sin B≠0，所以 cos C＝ .
由 sin C＞0，故 sin C＝ ＝ .
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（2）若△ABC的面积S＝5 ，且c＝ （a－b），求△ABC的周长.
解：S＝ ab sin C＝5 ，所以ab＝15.
由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2ab cos C＝a2＋b2－10.
又c2＝6（a－b）2＝6（a2＋b2）－180.
联立得：a2＋b2＝34，c＝2 .所以a＋b＝ ＝8.
所以△ABC的周长为a＋b＋c＝8＋2 .
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12. （本小题满分15分）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A1⊥底
面ABC，AB＝BB1＝2，AC＝2 ，∠B1BA＝60°，点D是棱A1B1
的中点， ＝4 ，DE⊥BC.
（1）证明：AC⊥BB1；
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解：证明：连接DA，EA，DA1＝1，AA1＝2，∠DA1A＝60°，
由余弦定理可得DA＝ ＝ .
满足DA2＋D ＝A ，所以DA⊥DA1，即DA⊥AB.
因为平面ABB1A1⊥平面ABC，且交线为AB，由DA⊥AB，DA 平面ABB1A1，得DA⊥平面ABC.
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由BC，AC 平面ABC，得DA⊥BC，
DA⊥AC.
因为DE⊥BC，DA∩DE＝D，且DA，DE 平面DAE，
所以BC⊥平面DAE. 由AE 平面DAE，得BC⊥AE.
设BE＝t，CE＝3t，有BA2－t2＝AC2－（3t）2，解得t＝1，即BE＝1.
所以BC＝4，满足BA2＋AC2＝BC2，即AC⊥AB.
又因为DA⊥AC，DA∩AB＝A，且DA，AB
平面ABB1A1，
所以AC⊥平面ABB1A1.
由BB1 平面ABB1A1，得AC⊥BB1.
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（2）求直线BB1与平面DEA1所成角的正弦值.
解：以A为坐标原点， ， ， 的方
向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空
间直角坐标系.
则D（0，0， ），E（ ， ，0），A1（－
1，0， ），
＝（－1，0，0）， ＝（－ ，－ ， ）.
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设平面DEA1的法向量n＝（x，y，z），
由即
取z＝1，得到平面DEA1的一个法向量n＝（0，2，1）.
又 ＝ ＝（－1，0， ），
设直线BB1与平面DEA1所成角的大小为θ，
则 sin θ＝｜ cos 〈n， 〉｜＝ ＝ ＝ .
所以直线BB1与平面DEA1所成角的正弦值为 .
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