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(共26张PPT)
压轴题抢分练3
（时间：45分钟　满分：66分）
一、单项选择题（本题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的四
个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 在△ABC中，已知 ＝n sin C， ＝n cos C. 若tan（A＋ ）＝－
3，则n＝（　　）
A. 无解 B. 2 C. 3 D. 4
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√
解析：　由tan（A＋ ）＝ ＝－3，即tan A＝2，则 cos A≠0，
由 ＝n sin C， ＝n cos C，知 cos C≠0，则 ＝tan C，则tan A
＝tan B·tan C＝2，又tan A＝tan（π－B－C）＝－tan（B＋C）＝－
＝tan B＋tan C，故tan B＋tan C＝2，设tan B＝t，则tan C＝2
－t，有t（2－t）＝2，即t2－2t＋2＝0，Δ＝4－8＝－4＜0，即该方程
无解，故不存在这样三角形，即n无解.故选A.
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2. 已知圆锥MO的底面半径为 ，高为1，其中O为底面圆心，AB是底
面圆的一条直径，若点P在圆锥MO的侧面上运动，则 · 的最小值
为（　　）
C. －2 D. －1
√
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解析：　圆锥MO的底面半径为 ，高为1，其中O为
底面圆心，AB是底面圆的一条直径，则有 ＝－ ，
｜ ｜＝｜ ｜＝ ，点P在圆锥MO的侧面上运
动，则 · ＝（ － ）·（ － ）＝ · －（ ＋ ）· ＋ ＝ －（ ）2，故｜ ｜最小时， · 有最小值，｜ ｜的最小值为O点到圆锥母线的距离，Rt△MOA中，OA＝ ，OM＝1，则AM＝2，O点到MA的距离OD＝ ＝ ，则｜ ｜的最小值为 ， · 的最小值为（ ）2－（ ）2＝－ .故选A.
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二、多项选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选
项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有
选错的得0分）
3. 已知函数f（x）＝ sin x＋ ，则下列说法正确的是（　　）
A. 函数f（x）的一个周期为2π
D. 函数f（x）的最小值为2
√
√
√
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解析：　f（x＋2π）＝ sin （x＋2π）＋ ＝ sin x＋ ＝f（x），所以选项A正确；f（π－x）＝ sin （π－x）＋ ＝f（x），所以选项B正确；当x∈（ ，2π）时， sin x＜0，所以f（x）＝ sin x－ ，令t＝ sin x，t∈（－1，0），易知t＝ sin x在（ ，2π）上单调递增，y＝t－ 在（－1，0）上单调递增，根据复合函数单调性可得函数f（x）在区间（ ，2π）上单调递增，所以选项C正确；因为f（x）＝ sin x＋ ＝当0＜ sin x≤1时， sin x＋ ≥2，当且仅当 sin x＝1时等号成立；当－1≤ sin x＜0时，令t＝ sin x，t∈[－1，0），y＝t－ 在[－1，0）上的值域为[0，＋∞），所以函数f（x）的值域为[0，＋∞），所以选项D错误.故选A、B、C.
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4. 阿基米德的“平衡法”体现了近代积分法的基本思想，他用平衡法求得
抛物线弓形（抛物线与其弦AB所在直线围成的图形）面积等于此弓形
的内接三角形（内接三角形ABC的顶点C在抛物线上，且在过弦AB的
中点与抛物线对称轴平行或重合的直线上）面积的 .现已知直线y＝－
x＋ p与抛物线E：y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，且A为第一象
限的点，E在A处的切线为l，线段AB的中点为D，直线DC∥x轴所在
的直线交E于点C，
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A. 若抛物线弓形面积为8，则其内接三角形的面积为6
B. 切线l的方程为2x－2y＋p＝0
√
√
√
下列说法正确的是（　　）
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解析：　A选项：内接三角形的面积为8× ＝6，正确；B选项：解得又A为第一象限的点，
∴A（ ，p），y＝ ，y'＝ ，y' ＝1，故切线方程为y－p＝x－ ，即2x－2y＋p＝0，正确；C选项：
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由4n－1·An＝S△ABC（n∈N*），得A1＝4A2，令n＝2，S△ABC＝4·A2，弓形面积为 S△ABC＝ A2＝4A2＋ A2＝A1＋ A2，所以不等式不成立，错误；D选项：由A（ ，p），B（ ，－3p）知D（ ，－p），DC∥x轴，C（ ，－p），又AC，BC的中点V1，V2，易求V1（ ，0），V2
（ ，－2p），C1（0，0），C2（2p，－2p）， ＝ ×C1V1×2p＝ ， ＝ ×C2V2×2p＝ ，S△ABC＝ ×CD×4p＝4p2，因此 ＋ ＝ S△ABC成立，正确.故选A、B、D.
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三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分）
5. 已知实数x，y，z，满足y＋z－2＝0，则 ＋
＋ ＋
的最小值为 　2 ＋2 　.
2 ＋2
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解析：如图，设正方体的边长为2，建立如图所示的空
间直角坐标系，设P（x，y，z）为空间任意一点，
因为y＋z－2＝0，则P在平面ABC1D1所在的平面内
运动， ＋ 表示P
与点A1（0，0，0）和点B1（2，0，0）的距离之和，
因为A1关于平面ABC1D1的对称点为D，故PA1＋PB1≥DB1＝2 ，当且仅当P为DB1中点即P为正方体中心时等号成立；
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＋
表示P与点M（1，0，2）和点N（1，2，0）的距离之和，则PM＋PN≥MN＝2 ，当且仅当P在MN所在直线上时等号成立，故 ＋ ＋ ＋ ≥2 ＋2 ，当且仅当P为正方体中心时等号成立.
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6. 根据统计数据，某种植物感染病毒之后，其存活日数X满足：对于任意
的n∈N*，X＝n＋1的样本在X＞n的样本里的数量占比与X＝1的样本
在全体样本中的数量占比相同，均等于 ，即P（X＝n＋1｜X＞n）
＝P（X＝1）＝ ，则P（X＞n）＝ 　（ ）n　5－（n＋5）　，设
an＝nP（X＝n），{an}的前n项和为Sn，则Sn＝ .
（ ）n　5－（n＋5）
（ ）n
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解析：P（X＝n＋1｜X＞n）＝P（X＝1）＝ ，因为P（X＝n＋
1｜X＞n）＝ ＝ ，所以P（X＝n＋1）＝ P（X＞
n），将n换成n－1，此时P（X＝n）＝ P（X＞n－1），两式相减
可得P（X＝n）－P（X＝n＋1）＝ P（X＞n－1）－ P（X＞
n）＝ P（X＝n），即 ＝ （n≥2），又P（X＝2）＝
P（X＞1）＝ ×（1－P（X＝1））＝ P（X＝1），
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所以 ＝ 对任意n∈N*都成立，此时{P（X＝n）}是首项为 ，
公比为 的等比数列，所以P（X＝n）＝ ×（ ）n－1，故P（X＞n）
＝5P（X＝n＋1）＝5× ×（ ）n＝（ ）n，an＝nP（X＝n）＝
×n（ ）n－1，Sn＝ ［1×（ ）0＋2×（ ）1＋…＋（n－1）（ ）n－2
＋n（ ）n－1］， Sn＝ ［1×（ ）1＋2×（ ）2＋…＋（n－1）×（ ）
n－1＋n（ ）n］，两式作差得 Sn＝ ［1＋（ ）1＋（ ）2＋…＋（ ）n
－1－n（ ）n］，Sn＝ －n（ ）n＝5－（n＋5）×（ ）n.
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四、解答题（本题共2小题，共34分.解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤）
7. （本小题满分17分）已知集合A＝{a1，a2，a3，…，an} N*，其中
n∈N且n≥3，a1＜a2＜a3＜…＜an，若对任意的x，y∈A
（x≠y），都有｜x－y｜≥ ，则称集合A具有性质Mk.
（1）集合A＝{1，2，4，m}具有性质M5，求m的最小值；
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解：不妨设m≥3，
①当m＝3时，由4－3＜ ，不满足题意；
②当m≥5时，由性质M定义知：
m≥20，且m∈N*，
所以m的最小值为20；经检验符合题意.
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（2）已知A具有性质M20，求证： － ≥ ；
解：证明：由题设｜ai－ai＋1｜≥ （i＝1，2，
3，…，n－1），且a1＜a2＜…＜an，
所以ai＋1－ai≥ － ≥ （i＝1，2，3，…，n－1），
所以 － ＋ － ＋…＋ － ＝ － ≥ ，得证.
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（3）已知A具有性质M20，求集合A中元素个数的最大值，并说明理由.
解：由（2）知： ＜1 n＜21，
同（2）证明得 － ≥ 且i＝1，2，3，…，n－1.
故 ＞ ，又ai≥i，
所以 ＞ i（n－i）＜20在i＝1，2，3，…，n－1上恒成立，
当n≥9，取i＝4，则4（n－4）＜20，解得n＜9，矛盾；
当n≤8，则i（n－i）≤ ＝ ＜20 n＜ ，即n≤8.
综上，集合A中元素个数的最大值为8.
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8. （本小题满分17分）设a，b∈R，函数f（x）＝｜xex－2x＋a｜
＋｜xex－x2＋b｜，g（x）＝2xex－x2－2x＋a＋b，h（x）＝x2－
2x＋a－b，f（x），g（x），h（x）的定义域都为 .
（1）求g（x）和h（x）的值域；
解：g'（x）＝2（x＋1）ex－2x－2＝2（x＋1）（ex－1），
因为当x∈（－ ，0）时，g'（x）＜0；当x∈（0，1）时，g'
（x）＞0，
所以g（x）在（－ ，0）上单调递减，在（0，1）上单调递增，
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又g（－ ）＝－ ＋ ＋a＋b，g（1）＝2e－3＋a＋b，g
（－ ）＜g（1），
所以g（x）的值域为[g（0），g（1）]，即[a＋b，2e－3＋a＋b].
因为h（x）＝x2－2x＋a－b＝（x－1）2＋a－b－1，
x∈ 是减函数，
所以h（x）的值域为 ，即［a－b－1，a－b＋ ］.
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（2）用max{m，n}表示m，n中的最大者，证明：f（x）＝max{｜g
（x）｜，｜h（x）｜}；
解：证明：当｜m＋n｜≥｜m－n｜时，｜m＋n｜2≥｜m－n｜2，即mn≥0，
从而｜m｜＋｜n｜＝｜m＋n｜；
当｜m＋n｜＜｜m－n｜时，｜m＋n｜2＜｜m－n｜2，即mn＜0，
从而｜m｜＋｜n｜＝｜m－n｜，
所以｜m｜＋｜n｜＝max{｜m＋n｜，｜m－n｜}，
所以f（x）＝max{｜（xex－2x＋a）＋（xex－x2＋b）｜，｜（xex－2x＋a）－（xex－x2＋b）｜}＝max{｜2xex－x2－2x＋a＋b｜，｜x2－2x＋a－b｜}＝max{｜g（x）｜，｜h（x）｜}.
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（3）记f（x）的最大值为F（a，b），求F（a，b）的最小值.
解：由（1），得｜g（x）｜max＝max{｜g（0）｜，｜g（1）｜}，
｜h（x）｜max＝max ，
再结合（2），得F（a，b）＝[f（x）]max＝max{｜g（x）｜
max，｜h（x）｜max}
＝max ，
所以F（a，b）≥｜g（0）｜，F（a，b）≥｜g（1）｜，
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所以F（a，b）≥ ≥ ＝
＝ ，
又当g（0）＝a＋b＝－ ，g（1）＝2e－3＋a＋b＝ ，｜h（1）｜＝｜a－b－1｜≤ ，｜h（－ ）｜＝｜a－b＋ ｜≤ （可取a＝2－e，b＝－ ）时，F（a，b）＝ ，所以F（a，b）的最小值为 .
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