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方法9　活用特例
PART ONE
　　所谓特例法，又叫特殊化法，就是当我们面临一道难以入手的一般性题目时，可以从一般退到特殊，先考查包含在一般情形里的某些比较简单的特殊问题，以便从特殊问题的研究中，拓宽解题思路，发现解答原题的方向或途径.
【例1】　（取特殊数值）（1）在△ABC中，三边长a，b，c满足a＋c
＝3b，则tan tan 的值为（　C　）
A. B.
C. D.
C
解析：令a＝4，c＝5，b＝3，则符合题意（取满足条件的三边）.则由C＝90°，得tan ＝1.由tan A＝ ，得 ＝ ，解得tan ＝ .所以tan ·tan ＝ ×1＝ .故选C.
（2）函数f（x）＝ex－2ax－e＋b≥0对任意x∈R成立，则 的最小值为
（　D　）
A. 4 B. 3
D
解析：法一　f'（x）＝ex－2a，依题意得a≠0.当a＜0时，恒有f'（x）＞0，函数f（x）单调递增，当x＜0时，f（x）＜－2ax－e＋b＋1，而函数y＝－2ax－e＋b＋1（a，b为参数，x∈（－∞，0））单调递增，值域为（－∞，－e＋b＋1），因此存在x0∈R，当x＜x0时，f（x）＜0，不符合题意.所以a＞0.令ex－2a＝0，得x＝ln 2a，计算并列表如下.
x （－∞，ln 2a） ln 2a （ln 2a，＋∞）
f'（x） － 0 ＋
f（x） ↘ 取最小值 ↗
C. D. 2
所以f（x）min＝f（ln 2a）＝2a－2aln 2a－e＋b，所以2a－2aln
2a－e＋b≥0.又a≠0，则上式可变形为 ≥2ln 2a＋ －2.令g（a）＝2ln 2a＋ －2，a＞0，则g'（a）＝ － ＝ ，计算并列表如下.
a （ 0， ） （ ，＋∞）
g'（a） － 0 ＋
g（a） ↘ 取最小值 ↗
所以g（a）min＝g（ ）＝2，所以 的最小值为2.故选D.
法二　令x＝0，则f（0）≥0，得b≥e－1＞0，结合4个选项可得a＞0.令
x＝1，则f（1）≥0，即f（1）＝e－2a－e＋b＝－2a＋b≥0，得 ≥2，
故A、B、C不符合题意，选D.
训练1　函数f（x）满足 x，y∈Z，f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋
2xy＋1，且f（－2）＝1，则f（2n）（n∈N*）＝（　　）
A. 4n＋6 B. 8n－1
C. 4n2＋2n－1 D. 8n2＋2n－5
√
解析：　法一　令x＝y＝0，则f（0）＝f（0）＋f（0）＋1，所以f
（0）＝－1.令x＝y＝－1，则f（－2）＝f（－1）＋f（－1）＋2＋1＝
2f（－1）＋3＝1，所以f（－1）＝－1.令x＝1，y＝－1，则f（0）＝f
（1）＋f（－1）－2＋1＝f（1）－2＝－1，所以f（1）＝1.令x＝n，y
＝1，n∈N*，则f（n＋1）＝f（n）＋f（1）＋2n＋1＝f（n）＋2n＋
2，所以f（n＋1）－f（n）＝2n＋2.当n≥2时，f（n）－f（n－1）＝
2n，则f（n）＝f（n）－f（n－1）＋f（n－1）－f（n－2）＋…＋f
（2）－f（1）＋f（1）＝2n＋（2n－2）＋…＋4＋1＝ ＋1
＝n2＋n－1.当n＝1时，上式也成立，所以f（n）＝n2＋n－1
（n∈N*），所以f（2n）＝4n2＋2n－1（n∈N*）.故选C.
法二　令x＝y＝0，则f（0）＝f（0）＋f（0）＋1，所以f（0）＝－1.
令x＝y＝－1，则f（－2）＝f（－1）＋f（－1）＋2＋1＝2f（－1）＋3
＝1，所以f（－1）＝－1.令x＝1，y＝－1，则f（0）＝f（1）＋f（－
1）－2＋1＝f（1）－2＝－1，所以f（1）＝1.令x＝y＝1，则f（2）＝f
（1）＋f（1）＋2＋1＝5，排除A、B. 令x＝y＝2，则f（4）＝f（2）＋
f（2）＋8＋1＝19，排除D. 选C.
【例2】　（取特殊点（位置））（1）已知E为△ABC的重心，AD为BC
边上的中线，过点E的直线分别交AB，AC于P，Q两点，且 ＝
m ， ＝n ，则 ＋ ＝（　A　）
A. 3 B. 4
C. 5 D.
A
解析：法一　分别过点B，C作BM∥AD，CN∥AD，分别交PQ于点M，N. ∵D是BC的中点，∴DE是梯形CNMB的中位线.又 ＝m ， ＝n ，∴m＝ ，n＝ ，∴ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝1＋ ＋1＋ ＝2＋ ＋ ＝2＋ ＋ ＝2＋
＝2＋ ＝2＋ ＝2＋1＝3.
法二　由于直线PQ是过点E的一条“动”直线，∴结果
必然是一个定值.故可利用特殊直线确定所求值.如图1，
令PQ∥BC，则 ＝ ， ＝ ，此时，m＝n
＝ ，故 ＋ ＝3.
法三　如图2，直线BE与直线PQ重合，此时， ＝
， ＝ ，故m＝1，n＝ ，所以 ＋ ＝3.
（2）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝1，A1C＝2，∠BAC＝ ，E，
F为线段A1C的三等分点，点D在线段EF上（包括端点）运动，则
二面角D-AB-C的正弦值的取值范围为（　C　）
A. ［ ， ］ B. ［ ， ］
C. ［ ， ］ D. ［ ， ］
C
解析：法一　易知AA1⊥平面ABC，故AA1⊥AC，又AA1＝1，A1C＝2，
∴AC＝ ＝ ，∠A1CA＝ .过D作DM⊥AC交AC于点M（图
略），则DM∥A1A，故DM⊥平面ABC.过M作MN⊥AB交AB于点N，连接DN（图略），则DN⊥AB，∠DNM即二面角D-AB-C的平面角.
设DC＝2a（ ≤a≤ ），在Rt△DCM中，∠DCM＝ ，∴DM＝a，CM＝ a，∴AM＝ － a，MN＝ AM＝ （ － a）.在Rt△DMN中，DN＝ ＝ ，则 sin ∠DNM＝ ＝ ＝ ＝ .易知f（a）＝3（ －1）2＋4在［ ， ］上的值域为［ ，16］，∴ sin ∠DNM∈［ ， ］.故选C.
法二　如图，若D与E重合，易知AA1⊥平面ABC，故
AA1⊥AC，又AA1＝1，A1C＝2，∴AC＝ ＝
，∠A1CA＝ .过D作DM⊥AC交AC于点M，则
DM∥A1A，故DM⊥平面ABC. 过M作MN⊥AB交AB于
点N，连接DN，则DN⊥AB，∠DNM即二面角D-AB-C
的平面角.DM＝ ，AM＝ ，MN＝ ，则DN＝ ，
sin ∠DNM＝ ＝ ，结合选项知C正确.
训练2　（1）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱A1A和B1B上各有一
动点P，Q满足A1P＝BQ，过P，Q，C三点的截面把棱柱分成两部分，
则其体积之比为（　B　）
A. 3∶1 B. 2∶1
C. 4∶1 D. ∶1
B
解析：法一　设三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V，∵侧棱AA1和BB1上各有一动点P，Q满足A1P＝BQ，∴四边形PQBA与四边形PQB1A1的面积相等，故四棱锥C-PQBA的体积等于三棱锥C-ABA1的体积，等于 V，则几何体CPQ-C1B1A1的体积等于 V，故过P，Q，C三点的截面把棱柱分成的两部分体积之比为2∶1.
法二　将P，Q置于特殊位置：P→A1，Q→B，此时仍满足条件A1P＝BQ（＝0），则有 ＝ ＝ .因此过P，Q，C三点的截面把棱柱分成的两部分体积之比为2∶1.
（2）设椭圆C： ＋ ＝1的长轴的左、右端点分别是M，N，P是C上
异于M，N的任意一点，则直线PM与PN的斜率之积等于 .
－
解析：取特殊点，设P为椭圆的短轴的一个端点（0， ），又M（－2，0），N（2，0），所以kPM·kPN＝ ×（ － ）＝－ .
【例3】　（取特殊图形）AD，BE分别是△ABC的中线，若｜ ｜＝｜
｜＝1，且 与 的夹角为120°，则 · ＝ .

解析：法一　由已知得解得所以
· ＝ ｜ ｜2－ ｜ ｜2－ · ＝ .
法二　若△ABC为等边三角形，则｜ ｜＝ ，∴ · ＝｜ ｜｜
｜ cos 60°＝ .
训练3　设四边形ABCD为平行四边形，｜ ｜＝6，｜ ｜＝4，若点
M，N满足 ＝3 ， ＝2 ，则 · ＝（　　）
A. 20 B. 15
C. 9 D. 6
√
解析：　由于平行四边形ABCD的形状不定，选项为定
值，所以可取四边形ABCD为矩形，建立如图所示的平面
直角坐标系，由 ＝3 ， ＝2 ，知M（6，
3），N（4，4），所以 ＝（6，3）， ＝（2，－
1），所以 · ＝6×2＋3×（－1）＝9.
【例4】　（取特殊函数）若函数y＝f（x）对定义域D中的每一个x1，都
存在唯一的x2∈D，使f（x1）·f（x2）＝1成立，则称f（x）为“影子函
数”，有下列三个命题：
①“影子函数”f（x）的值域可以是R；
②“影子函数”f（x）可以是奇函数；
③若y＝f（x），y＝g（x）都是“影子函数”，且定义域相同，则y＝f
（x）·g（x）是“影子函数”.
上述命题正确的序号是（　　）
A. ① B. ②
C. ③ D. ②③
√
解析：　对于①：假设“影子函数”的值域为R，则存在x1，使得f（x1）＝0，此时不存在x2，使得f（x1）·f（x2）＝1，所以①错误；对于②：函数f（x）＝x（x≠0），对任意的x1∈（－∞，0）∪（0，＋∞），取x2＝ ，则f（x1）f（x2）＝1，又因为函数f（x）＝x（x≠0）为奇函数，所以“影子函数”f（x）可以是奇函数，②正确；对于③：函数f（x）＝x（x＞0），g（x）＝ （x＞0）都是“影子函数”，但F（x）＝f（x）g（x）＝1（x＞0）不是“影子函数”（因为对任意的x1∈（0，＋∞），存在无数多个x2∈（0，＋∞），使得F（x1）·F（x2）＝1），所以③错误.
训练4　已知函数f（x）（x∈R）满足f（－x）＝2－f（x），若函数y
＝ 与y＝f（x）的图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，
（xm，ym），则 （xi＋yi）＝（　　）
A. 0 B. m
C. 2m D. 4m
解析：　由f（－x）＝2－f（x）得f（－x）＋f（x）＝2，不妨设f
（x）＝x＋1，则f（x）的图象与函数y＝ ＝1＋ 的图象的交点为
（1，2），（－1，0），∴m＝2，∴x1＋y1＋x2＋y2＝2＝m.故选B.
√

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