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方法10　三角代换
PART ONE
　　所谓三角代换，是指利用三角函数的性质将代数或几何问题转化成三角问题，使题目得以突破的解题方法，其实质是换元思想，体现了“三角”是数学中的工具的特征，恰当地利用三角代换有助于培养学生联想和类比的能力.
PART ONE
　　当三角代换可应用于去根号或问题变换成三角形式易求解时，应利用已知代数式与三角知识中的某些联系进行换元.例如，求函数y＝ ＋ 的值域时，易发现x∈[0，1]，设x＝ sin 2θ，θ∈［0， ］，问题就变成了熟悉的求三角函数值域；当变量x，y满足条件x2＋y2＝r2（r＞0）时，可进行三角代换x＝r cos θ，y＝r sin θ，化为三角问题.当变量x，y满足条件 ＋ ＝1（a＞b＞0）可用化为三角问题处理.
【例1】　（直接代换，三角计算）已知x2＋4y2＝4x，则x＋y的取值范围
是 .
解析：已知式可变形为（x－2）2＋（2y）2＝4，令则
θ∈[0，2π]，故x＋y＝2 cos θ＋ sin θ＋2＝ sin
（θ＋φ）＋2∈[2－ ，2＋ ]，其中， sin φ＝ ， cos φ＝ .
[2－ ，2＋ ]
训练1　（1）已知实数x，y满足x2＋y2＝5，则t＝4x2－5xy＋4y2的范围
为（　　）
A. ［－ ， ］ B. ［ ， ］
C. ［－ ，－ ］ D. [15，45]
解析：　令θ∈[0，2π]，则t＝4x2－5xy＋4y2＝20－
sin 2θ∈［ ， ］.故选B.
√
（2）设△ABC的三个顶点在椭圆 ＋ ＝1（a＞b＞0）上，坐标原点O
是△ABC的重心，求证：△ABC的面积为定值.
证明：令A（a cos α，b sin α），B（a cos β，b sin β），
则C（－a（ cos α＋ cos β），－b（ sin α＋ sin β）），
又点C在椭圆上，
代入得（ cos α＋ cos β）2＋（ sin α＋ sin β）2＝1，
即 cos （α－β）＝－ .
S△ABC＝3S△OAB＝ ab｜ sin （α－β）｜＝ ab，为定值.
【例2】　（挖掘结构，三角代换）已知实数x，y满足4x2－5xy＋4y2＝
5，求S＝x2＋y2的范围.
解：设代入4x2－5xy＋4y2＝5得4S－5S sin α cos α＝5，
解得S＝ .
因为－1≤ sin 2α≤1，所以3≤8－5 sin 2α≤13，
所以 ≤ ≤ ，所以S∈［ ， ］.
训练2　已知实数x，y满足x2＋2xy－1＝0，试求x2＋y2的最小值.
解：设x＝r cos θ，y＝r sin θ，
则r2（ cos 2θ＋2 sin θ cos θ）＝1 r2（ ＋ sin 2θ）＝1 r2（
＋ sin （2θ＋φ））＝1 r2＝ ≥ ＝ ，
其中， sin φ＝ ， cos φ＝ .
当且仅当 sin （2θ＋φ）＝1时取等号.
【例3】　（三角代换，简化运算）设椭圆 ＋ ＝1（a＞b＞0）的左、
右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为原点.
（1）若直线AP和直线BP的斜率之积为－ ，求椭圆的离心率；
（1）由题知 · ＝－ ，即有 ＝ ，则e＝ .
解：设P（a cos θ，b sin θ），A（－a，0），B（a，0）.
解：证明：因为 ＝a，
可得a2 cos 2θ＋2a2 cos θ＋b2 sin 2θ＝0，
则k2＝－ －1.又由a2（ cos 2θ＋2 cos θ）＝－b2 sin 2θ，a＞
b，可以得到 ＝ ＞1，
即有－ ＜ cos θ＜0，则k2＞3成立，故｜k｜＞ 成立.
（2）若｜AP｜＝｜OA｜，证明直线OP的斜率k满足｜k｜＞ .
训练3　函数y＝ － 的最值为 　最大值 －1，
.
解析：由（ ）2＋（ ）2＝4，可设
θ∈［ ， ］，于是y＝2 sin θ－2 cos θ＝2
sin （θ－ ），所以
最大值 －1，
最小值1－

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