资源简介

(共9张PPT)
方法11　倒置变换
PART ONE
　　所谓倒置变换，就是通过取倒数来改变代数式的结构，从而降低问题难度，简化解题过程，使较复杂的问题迎刃而解.
　　倒置变换的目的一般有三类：（1）将代数式转化为熟悉的式子，在解不等式时经常碰到；（2）均衡式子结构，在数列求通项时应用较多；
（3）简化式子结构，经常应用于研究函数的性质.
　　在使用此方法时需注意以下两点：（1）考虑取倒数后分母是否可能为零，对于这种情况，先讨论取倒数前分子为零是否符合题意，当分子不为零时再取倒数；（2）考虑取倒数前后的式子是否等价，特别是不等式取倒数后，不等号是否要改变方向.
【例1】　（转为熟知）已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝
（n∈N*），则满足an＞ 的n的最大值为（　　）
A. 7 B. 8
C. 9 D. 10
解析：　因为an＋1＝ ，所以 ＝4＋ ，所以 － ＝4，又
＝1，所以数列{}是以1为首项，4为公差的等差数列.所以 ＝1＋4（n
－1）＝4n－3，所以an＝ ，由an＞ ，即 ＞ ，即0＜4n－3＜
37，解得 ＜n＜10，因为n∈N*，所以n的最大值为9.故选C.
√
训练1　已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝ ，n∈N*，求数列{an}的通
项公式.
解：由题意知an≠0，等式两边取倒数，
得 ＝ ＝ ＋1，即 ＋1＝2（ ＋1），
所以数列{ ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，
即 ＋1＝2n，所以an＝ .
解：由题意知x－1≠0.
将y＝ 两边取倒数，得 ＝ ，
令t＝x－1，t＞0，则 ＝ ＝t＋ ＋4≥8，当且仅当t＝2时，等号
成立，
得0＜y≤ .
所以函数的值域为（0， ］.
【例2】　（转化结构）求函数y＝ （x＞1）的值域.
训练2　函数f（x）＝ ，x∈[0，2π]的值域为 .
解析：由题f（x）＝ ＝ ＝
＝ ，
当x＝ 时 sin x＝1，即f（x）＝0；
[－1，0]
当x≠ 时 sin x≠1，即－1≤ sin x＜1，上式两边取倒数得到 ＝ ＝－ ＝－ ＝－ .令则m2＋n2＝1（m≠1），因为 表示圆m2＋n2＝1上（除点（1，0）外）的动点P（m，n）与定点Q（1，1）连线的斜率，所以 ≥0，即 ≥1，故 ≤－1，即－1≤f（x）＜0，综上f
（x）的值域为[－1，0].
【例3】　（简化结构）若关于x的方程kx2（x＋2）－｜x｜＝0有四个不
同的实数根，求实数k的取值范围.
解：显然x＝0为方程的一个根.
当x≠0时，由kx2（x＋2）＝｜x｜约去｜x｜后，分离变量得k＝ ，
两边取倒数得 ＝（x＋2）｜x｜，根据函数y＝ 与y＝（x＋2）｜x｜
（x≠0）的图象有三个交点，
可得0＜ ＜1，则k＞1.
故实数k的取值范围为（1，＋∞）.
训练3　若关于x的方程kx2（x＋4）＋｜x｜＝0有三个不同的实数根，则
实数k＝ .
解析：显然x＝0为方程的一个根.当x≠0时，分离参数，约去｜x｜后取
倒数，转化为函数y＝ 与y＝－（x＋4）｜x｜（x≠0）的图象有两个交
点.数形结合可得 ＝－4，故k＝－ .
－

展开更多......

收起↑