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方法12　两边取对数
PART ONE
　　所谓“两边取对数”，就是把不含对数符号的等式转化为含有对数符号的等式，即设x，y，a均为正数，且a≠1，若x＝y，则logax＝logay.
　　一些与指数有关的问题，通过对式子两边取对数，可以把指数部分的参数“请下来”，运用对数的运算法则进行计算.两边取对数常常能有效解决由指数带来的麻烦，从而达到化繁为简的目的.因此，当函数、方程、不等式中指数关系比较复杂或运用指数运算处理比较困难时，常常用到此法.
【例1】　（对数转化，幂指化积）已知实数a，b满足（2a）ln 2＝
（3b）ln 3，3ln a＝2ln b，求a，b的值.
解：两边取自然对数得ln 2·（ln 2＋ln a）＝ln 3·（ln 3＋ln b），ln a·ln 3＝
ln b·ln 2，解得ln a＝－ln 2，ln b＝－ln 3，即a＝ ，b＝ .
训练1　（lg 3）lg 3· ＝ .
解析：设M＝（lg 3）lg 3· ，两边取对数得lg M＝lg（lg 3）lg 3
＋lg ＝lg 3·lg（lg 3）＋lg 3·lg（log310）＝lg 3·[lg（lg 3）＋lg
（lg 3）－1]＝lg 3·[lg（lg 3）－lg（lg 3）]＝0，所以M＝1，即（lg 3）lg
3· ＝1.
1
【例2】　（关注结构，巧取对数）已知a＜5且ae5＝5ea，b＜4且be4＝
4eb，c＜3且ce3＝3ec，则（　　）
A. c＜b＜a B. b＜c＜a
C. a＜c＜b D. a＜b＜c
√
解析：　ae5＝5ea两边取对数，可得ln a＋5＝ln 5＋a，即ln a－a＝ln 5
－5.同理得ln b－b＝ln 4－4，ln c－c＝ln 3－3.设f（x）＝ln x－x，则f'
（x）＝ ，易知f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调
递减，因为f（a）＝f（5），f（b）＝f（4），f（c）＝f（3），且a
＜5，b＜4，c＜3，所以a，b，c∈（0，1），又因为f（3）＞f（4）＞
f（5），所以f（c）＞f（b）＞f（a），得c＞b＞a，故选D.
训练2　（1）若2a＝5b＝10，则 ＋ ＝（　　）
A. －1 B. lg 7
C. 1 D. log710
解析：　∵2a＝5b＝10，∴a＝log210，b＝log510，∴ ＋ ＝ ＋
＝lg 2＋lg 5＝1，故选 C.
√
（2）已知方程ax－x2＝0（a＞1）有三个实数根，求实数a的取值范围.
解：y＝ax（a＞1）和y＝x2的图象在y轴左侧一定
有一个交点，问题转化为ax＝x2（a＞1）在（0，
＋∞）上有两个根，即xln a＝2ln x（a＞1），即
＝ （a＞1）在（0，＋∞）上有两个根.
设f（x）＝ ，
则f'（x）＝ ，
f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，＋∞）上单
调递减，且当x∈（e，＋∞）时，f（x）＞0.
由图可知，当0＜ ＜ ，即1＜a＜ 时，直线y＝ 与曲线f（x）＝ 在（0，＋∞）上有两个交点，所以a的取值范围是（1， ）.

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