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方法13　累差累商
PART ONE
　　所谓累差迭加法，是指由形如a1＝a，an－an －1＝f（n）（n≥2）的递推关系求数列通项公式的一种方法；所谓累商迭乘法，是指由形如a1＝a， ＝g（n）（n≥2）的递推关系求数列通项公式的一种方法.
　　利用累差迭加法、累商迭乘法来求解数学问题时，若呈现的递推关系是不等式关系，也可以利用构造法解决.已知形如a1＝a，an＋1－an＜f（n）的递推关系，则an＜a＋f（1）＋f（2）＋…＋f（n－1）；已知形如a1＝a， ＜g（n）的递推关系，则an＜ag（1）g（2）…g（n－1）.
【例1】　（构造等差型）已知数列{an}满足an＋1＝3an＋2×3n＋1，a1＝
3，求数列{an}的通项公式.
解：an＋1＝3an＋2×3n＋1两边同除以3n＋1，得 ＝ ＋ ＋ ，
则 － ＝ ＋ ，故当n≥2时，
＝（ － ）＋（ － ）＋（ － ）＋…＋（ － ）
＋ ＝（ ＋ ）＋（ ＋ ）＋（ ＋ ）＋…＋（ ＋ ）＋ ＝
＋（ ＋ ＋ ＋…＋ ）＋1＝ ＋ ＋
1＝ ＋ － ，
则an＝ ×3n＋ ×3n－ （n≥2）.
当n＝1时，也满足上式.
综上，an＝ ×3n＋ ×3n－ .
训练1　设数列{an}满足nan＋1－（n＋1）an＝ （n∈N*），a1＝ ，
则an＝（　　）
√
解析：　由nan＋1－（n＋1）an＝ ，得 － ＝ ＝
－ .当n≥2时， － ＝ － ，…， － ＝ － ，由累差
迭加法可得 －a1＝ － .因为a1＝ ，所以 ＝1－ ＝ ，所以
an＝ （n≥2）.当n＝1时，也满足上式.综上知an＝ ，故选C.
【例2】　（构造等比型）设数列{an}满足a1＝1，a2＝2，且对于其中任
意三个连续的项an－1，an，an＋1，都有an＝
（n≥2），则{an}的通项公式an＝（　　）
C. 3n＋2 D. 3n－2
√
解析：　当n≥2时，an＝ ，则2nan＝（n－1）an－1＋（n＋1）an＋1，（n＋1）·（an＋1－an）＝（n－1）（an－an－1），所以 ＝ .设bn＝an＋1－an，即 ＝ ，则 · ·…· ＝ · ·…· ，得 ＝ ，所以bn＝ b1.因为b1＝a2－a1＝1，所以bn＝ （n≥2）.当n＝1时，也满足上式，所以bn＝ .an＋1－an＝bn＝ ＝2（ － ）.（an－an－1）＋（an－1－an－2）＋…＋（a2－a1）＝2（ － ＋ － ＋…＋1－ ）＝2（1－ ），即an－a1＝2（1－ ），则an＝3－ （n≥2）.当n＝1时，也满足上式，所以an＝3－ .
训练2　已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＋1＝ ，a1＝1，n∈N*，
则{an}的通项公式为an＝（　　）
A. n B. 2n－1
C. 3n－2 D. －2n＋3
√
解析：　因为an＋1＝ ，所以（2n－1）an＋1＝4Sn－1　①，（2n－
3）an＝4Sn－1－1（n≥2）　②，
①－②得（2n－1）an＋1－（2n－3）an＝4an，整理得 ＝
（n≥2），则an＝ · · ·…· · ·a1＝ · · ·…· · ·1
＝2n－1（n≥2）.当n＝1时，也满足上式.所以an＝2n－1，故选B.

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