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方法14　“1”的代换
PART ONE
　　自然数1是人们最早用于计数的单位，数的发展从1开始.对于一些复杂的数学问题，直接解决有困难时，可尝试根据题目特点，对隐藏的“1”进行合理的数学变形，巧妙利用“1”变化多端的表达形式，或构造有关“1”的各类表达形式，突破题目的难点，从而解决问题.
【例1】　（“1”的代换）若tan θ＝－2，则 ＝（　　）
解析：　 ＝ ＝ sin θ（ sin θ＋ cos θ）＝ ＝ ＝ ＝ .
√
训练1　已知 ＝2，则 cos 2α＋ sin α cos α＝（　　）
解析：　因为 ＝ ＝2，所以tan α＝ ，则 cos 2α＋ sin
α cos α＝ ＝ ＝ .故选A.
√
【例2】　（“1”的转换）若a2＋b2＝c2＋d2＝1，且ac＋bd＝0，则ab
＋cd＝ .
解析：设 sin α＝a， cos α＝b， sin β＝c， cos β＝d.因为ac＋bd＝
0，所以ac＋bd＝ sin α sin β＋ cos α· cos β＝ cos （α－β）＝0.ab＋
cd＝ sin α cos α＋ sin β cos β＝ （ sin 2α＋ sin 2β）＝ sin （α＋
β） cos （α－β），因为 cos （α－β）＝0，所以ab＋cd＝0.
0
训练2　已知2x2－xy＋y2＝1（x，y∈R），则x＋y的最大值为 .
解析：联系已知条件，将“1”灵活转换，得（x＋y）2＝ ＝1
＋ ∈［0， ］，其中s＝3（ ）－1∈R. 另外，分子、分母同除
的过程中要考虑s＝0和x＝0的情况.

【例3】　（“1”的构造）已知实数x，y，z满足x＋y＋z＝0，证明：
＋ ＋ ≥0，并指出等号成立的条件.
证明：若xyz＝0，则不等式显然成立，且等号成立的条件为x＝y＝z＝0.
若xyz≠0，则可将原不等式变形为 ＋ ＋ ≥0，
构造“1”进行代换，得 ＋1＋ ＋1＋ ＋1≥3，
即 ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ≥3，
化简得 ＋ ＋ ≥3.
因为x＋y＋z＝0，故xy，yz，xz三个数中有且仅有一个正数，不妨设yz
＞0，
则 ＋ ≥ ＝ ＞ .
又 ＋ －3＝ ≥0，
故原不等式成立，且等号成立的条件为x＝1，y＝z＝－ .
训练3　已知对任意正实数x，y，z，xy＋yz＋xz＝1，确定M的最大
值，使得 ＋ ＋ ≥M.
解：原不等式可变形为 ＋ ＋ ≥M，
因为x，y，z＞0，
可得（ ＋ ＋ ）（x＋yz＋y＋xz＋z＋xy）≥（x＋y＋
z）2，
化简得 ＋ ＋ ≥ ＝ ，
当且仅当 ＝ ＝ 时等号成立，即x＝y＝z＝ .
由（x＋y＋z）2≥3（yz＋xz＋xy），
有x＋y＋z≥ ，
当且仅当x＝y＝z＝ 时成立.
下面证明函数f（u）＝ （u≥3）单调递增.
事实上，令u＞v≥ ，
f（u）＞f（v） ＞ u2v＋u2－uv2－v2＞0 （u－v）（uv＋
u＋v）＞0 u－v＞0，
于是f（u）≥f（ ）＝ .
故 ＋ ＋ ≥ ≥ ，
因此，Mmax＝ .

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