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方法3　正难则反
PART ONE
　　正难则反是数学解题的重要方法及技巧.当一些问题正面解决比较繁杂，或需要考虑的因素多，或解题思路不明朗时，可以考虑其对立面，即从问题的反面出发破解问题.
【例1】　（正难则反）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲
不站两端，3位女生中有且只有2位女生相邻，则不同排法的种数是（　　）
A. 360 B. 288
C. 216 D. 96
解析：　6位同学站成一排，3位女生中有且只有2位女生相邻的排法有
＝432种，其中男生甲站两端的有 ＝144种，符合条
件的排法共有432－144＝288种，故选B.
√
训练1　有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规
定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种
数是（　　）
A. 234 B. 346
C. 350 D. 363
解析：　 －17 － － ＝346.故选B.
√
【例2】　（补集思想）若二次函数f（x）＝4x2－2（p－2）x－2p2－p
＋1在区间[－1，1]内至少存在一个值c，使得f（c）＞0，则实数p的取
值范围为 .

解析：如果在区间[－1，1]内没有值满足f（c）＞0，则

p≤－3或p≥ ，取补集为
－3＜p＜ ，即为满足条件的p的取值范围，故实数p的取值范围为 .
训练2　若“ x∈（0，π）， sin 2x－k sin x＜0”为假命题，则k的取值
范围为（　　）
A. （－∞，－2] B. （－∞，2]
C. （－∞，－2） D. （－∞，2）
解析：依题意知，命题“ x∈（0，π）， sin 2x－k sin x＜0”为假命题，则“ x∈（0，π）， sin 2x－k sin x≥0”为真命题，所以2 sin x cos x≥k sin x，则k≤2 cos x，解得k≤－2，所以k的取值范围为（－∞，－2].
√
【例3】　（反证法）设整数集合A＝{a1，a2，…，a100}，其中1≤a1＜a2
＜…＜a100≤205.已知对于任意i，j（1≤i≤j≤100），若i＋j∈A，则
ai＋aj∈A. 证明：任意x∈{101，102，…，200}，x A.
证明：假设存在x0∈{101，102，…，200}，且x0∈A. 记x0＝100＋s
（1≤s≤100），因为100＋s∈A，所以a100＋as∈A，这与a100是最大值
矛盾，所以假设不成立，因此任意x∈{101，102，…，200}，x A.
训练3　已知△ABC为锐角三角形，SA⊥平面ABC，点A在平面SBC内的
射影为H. 求证：H不是△SBC的垂心.
证明：假设H是△SBC的垂心.如图，连接BH并延长，交SC
于点D，则BD⊥SC，
由于点A在平面SBC内的射影为H，所以AH⊥SC，又
BD∩AH＝H，BD，AH 平面ABH，所以SC⊥平面ABH，
又AB 平面ABH，所以AB⊥SC，而AB⊥SA，SA∩SC＝S，SA，SC 平面SAC，所以AB⊥平面SAC，
又AC 平面SAC，所以AB⊥AC，这与△ABC为锐角三角形相矛盾，所以H不是△SBC的垂心.

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