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方法4　估算法
PART ONE
　　估算法一般包括范围估计、极端值估计和推理估计，对部分选择题和填空题十分有效，处理含参数的问题时，用估算法也可以适当减少讨论.
　　一般地，当选项差距较大且没有合适的解题思路时，可以通过适当放大和缩小部分数据，或通过极端值（或位置）进行一定的推理，估算出答案的大概范围或者近似值，从而减少计算量，方便检验答案的正确性，提高解题效率.
【例1】　（数值估算）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的
长度与肚脐至足底的长度之比是 （ ≈0.618，称为黄金分割比
例），著名的“断臂维纳斯”便是如此（如图）.此外，最美人体的头顶
至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 .若某人满足上述两个黄
金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，
则其身高可能是（　　）
A. 165 cm B. 175 cm
C. 185 cm D. 190 cm
√
解析：　将头顶至脖子下端的长度26 cm近似看成头顶至咽喉的长度，可
得咽喉至肚脐的长度小于 ≈42 cm；再由头顶至肚脐的长度与肚脐至足
底的长度之比约是0.618，得肚脐至足底的长度小于 ≈110 cm，从而
该人的身高小于110＋42＋26＝178 cm.由于肚脐至足底的长度大于105
cm，可得头顶至肚脐的长度大于105×0.618≈65 cm，从而该人的身高大于
105＋65＝170 cm.故选B.
训练1　我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，
以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径.“开立圆术”相当于
给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d≈ .人们还用过
一些近似公式.根据π＝3.141 59…判断，下列近似公式中最精确的一个是
（　　）
A. d≈ B. d≈
C. d≈ D. d≈
√
解析：　因为球的体积V＝ ×（ ）3，所以d3＝ V＝ V. 因为π＝
3.141 59…，所以 ＝1.570 79….记d1＝ ，所以 ＝ V；记d2＝
，所以 ＝2V＝ V；记d3＝ ，所以 ＝ V；记d4＝
，所以 ＝ V. 因为 ≈1.688， ≈1.571，所以 ，1.5，
1.57， 中， 最接近 ，所以d4更精确.
【例2】　（以逼近思想估算）已知函数f（x）＝x2－x－xln x，证明：f
（x）存在唯一的极大值点x0，且 ＜x0＜ .
证明：f'（x）＝2x－ln x－2，f″（x）＝2－ ，易知f″
（x）单调递增，f″（ ）＝0，f'（ ）＜0.
如图，当0＜x＜x0时，f'（x）＞0；当x0＜x＜1时，f'
（x）＜0；当x＞1时，f'（x）＞0，故f（x）有唯一的
极大值点x0.
又f'（ ）＝ －2－ln ＞0，f'（ ）＝ －ln －2＜0，故 ＜x0＜ .
训练2　若过点（a，b）可以作曲线f（x）＝ex的两条切线，则（　　）
A. eb＜a B. ea＜b
C. 0＜a＜eb D. 0＜b＜ea
√
解析：　如图，当点A（a，b）在x轴上方、曲
线f（x）＝ex的右下方时，可以画出两条切线，则
b＜ea.将A（a，b）同侧的点（1，1）代入曲线f
（x）＝ex，有1＜e1，估计0＜b＜ea.故选D.
【例3】　（临界状态估算）已知椭圆 ＋ ＝1（a＞b＞0）的左、右焦
点分别是F1，F2，若椭圆上存在一点P使得∠F1PF2＝60°，则椭圆的离
心率的取值范围是（　　）
A. （0， ］ B. ［ ，1）
C. （0， ］ D. ［ ，1）
解析：　当点P位于短轴端点P0处时，∠F1P0F2最大，得离心率的边界
值e＝ ，排除C、D；椭圆越扁，∠F1P0F2越大，离心率越大，故选B.
√
训练3　设0＜a＜1，随机变量X的分布列如表所示，则当a从0到1逐渐增
大时（　　）
X 0 A 1
P
A. D（X）增大 B. D（X）减小
C. D（X）先增大后减小 D. D（X）先减小后增大
解析：　D（X）反映离散程度，随机变量X的概率分布均匀，若a也取
平均值 ，则D（X）最小，当a越靠近0或1时，估算可知离散程度越
大，D（X）越大.故选D.
√

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