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方法7　局部处理
PART ONE
　　整体和局部是同一事物的两个方面.有些数学问题从整体上处理难以解决，就必须先分析研究问题的某一部分，得出初步结论后，再进一步研究，从而使数学问题获得解决.这种分析问题和解决问题的思维方法称为局部处理法.
【例1】　（局部固定法）若a＞0，b＞0，2ab＋a＋2b＝3，则a＋2b的
最小值是（　　）
A. B. 1 C. 2 D.
解析：　a＞0，b＞0，3＝2ab＋a＋2b≤（ ）2＋（a＋2b），当
且仅当a＝2b时取等号，因此（a＋2b）2＋4（a＋2b）－12≥0，即（a
＋2b＋6）·（a＋2b－2）≥0，解得a＋2b≥2，所以当a＝2b＝1时，a
＋2b取得最小值2.故选C.
√
训练1　已知函数f（x）＝a（2x－2－x）＋bx＋1，若f（2）＝5，则f
（－2）＝ .
解析：令g（x）＝a（2x－2－x）＋bx， x∈R，g（－x）＝a（2－x－
2x）－bx＝－[a（2x－2－x）＋bx]＝－g（x），所以g（x）为奇函
数，则有g（－2）＝－g（2），因为f（2）＝g（2）＋1＝5，所以g
（2）＝4，则g（－2）＝－g（2）＝－4，所以f（－2）＝g（－2）＋1
＝－3.
－3
【例2】　（局部突破法）如图，在三棱台DEF-ABC中，平面ADFC⊥平
面ABC，∠ACB＝∠ACD＝45°，CD＝2BC.
证明：EF⊥DB.
证明：作DH⊥AC于点H，连接BH（图略）.
因为平面ADFC⊥平面ABC，而平面ADFC∩平面ABC＝
AC，所以DH⊥平面ABC，从而DH⊥BC.
因为∠ACB＝∠ACD＝45°，所以CD＝ CH＝2BC，则
CH＝ BC.
取三棱锥D-HBC，如图，在△CBH中，
BH2＝CH2＋BC2－2CH·BC cos 45°＝BC2，即BH2＋BC2＝CH2，所以BH⊥BC.
由棱台的定义可知，EF∥BC，所以DH⊥EF，BH⊥EF，
又BH∩DH＝H，所以EF⊥平面BHD，而DB 平面BHD，所以EF⊥DB.
训练2　（1）若双曲线x2－ ＝1的两条渐近线与椭圆M： ＋ ＝1（a
＞b＞0）的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭
圆M的离心率为（　　）
A. －1 B. －1
C. D.
√
解析：　由题意知，双曲线x2－ ＝1的一条渐近线是y＝ x，记它与
椭圆M在第一象限的交点为A，椭圆M的左、右焦点记为F1，F2，则根据
正六边形的性质知△AF1F2是直角三角形，且∠F1AF2＝90°，∠AF2F1＝
60°，｜F1F2｜＝2c，所以｜AF1｜＝ c，｜AF2｜＝c.由椭圆的定
义｜AF1｜＋｜AF2｜＝2a，得出c＋ c＝2a，所以椭圆M的离心率e
＝ ＝ ＝ －1.故选B.
（2）求证：对于一切x＞0，都有xln x≥ － .
证明：先证明局部问题：xln x≥－ ，记f（x）＝xln x，f'（x）＝
ln x＋1＝0，即x＝ ，
故f（x）在（ 0， ）单调递减，（ ，＋∞）单调递增，则f（x）
min＝f（ ）＝－ ，xln x≥－ ，
同理记g（x）＝ － ，则g（x）≤－ ，原不等式即证.

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