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八年级数学上学期期末复习(7)： 一次函数的应用
【学习目标】
1、理解一次函数与一元一次方程的关系，能利用一元一次方程解决与一次函数的问题；
2、能利用一次函数解决实际问题.
【学习重点】利用一次函数解决实际问题.
【学习难点】利用一次函数解决实际问题.
【学习过程】
一、尝试练习：
1．（2025秋 盐都区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b与直线y＝mx+n
相交于点A（2，1），则关于x，y的二元一次方程组的解为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025秋 城关区期末）如果关于x、y的方程组无解，那么直线y＝kx﹣1不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2025秋 沈阳期末）一根蜡烛长30cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧时蜡烛剩余的长度h（cm）和燃烧时间t（小时）之间的函数关系用图象可以表示为图中的（　　）
A． B． C． D．
4．（2024秋 兴义市校级期末）某油箱容量为50L的汽车，加满汽油后行驶了100km时，油箱中的汽油消耗了10L，如果加满汽油后汽车行驶的路程为xkm，油箱中剩油量为yL，则y与x之间的函数解析式和自变量取值范围分别是（　　）
A．y＝0.1x，x＞0 B．y＝50﹣0.1x，x＞0 C．y＝0.1x，0≤x≤500 D．y＝50﹣0.1x，0≤x≤500
5．（2025秋 玄武区校级月考）在同一平面直角坐系中，直线y＝2x+4与y＝x+b相交于点A（1，m），则关于x，y的方程组的解为　 　 ．
6．（2024秋 咸阳期末）已知方程组的解是，则直线y＝2x+1与直线y＝﹣x+4的交点坐标是　 　 ．
7．（2025秋 肇源县期末）如图，购买一种苹果，所付款金额y（元）与购买量x
（千克）之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买6千克这种苹
果比分六次购买1千克这种苹果可节省的金额为　 　 元．
二、例题讲解
1、讲解例1：（2025秋 兰州期末）如图，直线l1：y＝2x+1与直线l2：y＝﹣x+4相交于点P（1，b），直线l1与l2与x轴分别交于A、B两点．
（1）求b的值，并结合图象写出关于x、y的方程组的解；
（2）求△ABP的面积；
（3）垂直于x轴的直线x＝a与直线l1，l2分别交于点C、D，若线段CD的长为4，
求出a的值．
2、尝试练习：（2025春 兴宁区校级期末）如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，b），l1，l2与y轴分别交于点A，B．
（1）求b的值；
（2）根据以上信息，直接写出关于x，y的方程组的解；
（3）当n＝3时，求△PAB的面积．
3、讲解例2：（2025秋 宝安区校级期末）某建筑公司现有A，B两工地需要租车运土，A工地需要12台，B工地需要18台；租车公司现有甲型车10台，乙型车20台可供选择，每天租金价格如表．
（1）设A工地租甲型车x台，租乙型车　 　 台；则B工地租甲型车　 　 台，租乙型车　 　 台（用含x的式子表示）；
（2）设该公司每天的总租金为y元，请求出y与x的函数解析式并写出x的取值范围；
（3）在（2）条件下，公司如何租车才能使得每天总租金最少？最少租金是多少？请说明理由．
甲型车租金 乙型车租金
A工地 800元/台 600元/台
B工地 600元/台 300元/台
出发地车型 A地（元/辆） B地（元/辆）
大货车 900 1000
小货车 500 700
4、尝试练习：（2025秋 沈河区期末）今年双十一期间，快递数量激增．为高效完成物流派送，快递公司实施分仓发货策略，安排大、小两种货车共20辆，分别从A、B两地仓库运送320吨货物．每辆大货车可装载25吨货物，每辆小货车可装载10吨货物．这20辆货车恰好将所有货物装完．已知这两种货车的运费如下表所示：
要安排上述装好货物的20辆货车中的12辆从A地出发，其余从B地出发．
（1）这20辆货车中，大货车、小货车各有多少辆？
（2）设从A地出发的大货车有m辆（大货车不少于5辆）这20辆货车的总运费为W元，求总运费W的最小值．
5、尝试练习：（2025秋 兴庆区校级期末）寒假将至，某健身俱乐部面向学生推出寒假优惠活动，活动方案如下：
方案一：购买一张学生寒假专享卡，每次健身费用按六折优惠．
方案二：不购买学生寒假专享卡，每次健身费用按八折优惠．
设某学生寒假健身次数为x（次），按照方案一所需费用为y1（元），且y1＝k1x+b；按照方案二所需费用为y2（元），且y2＝k2x．其函数图象如图所示．
（1）求k1，b的值，并说明它们的实际意义；
（2）求k2的值；
（3）八年级学生小华计划寒假期间前往该俱乐部健身，请你根据他的健身次数
给他一个合理化建议，选择哪种方案所需费用更少，并说明理由．
八年级数学上学期期末复习(7)： 一次函数的应用（答案）
一、尝试练习：
1．（2025秋 盐都区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b与直线y＝mx+n
相交于点A（2，1），则关于x，y的二元一次方程组的解为（　A　）
A． B． C． D．
2．（2025秋 城关区期末）如果关于x、y的方程组无解，那么直线y＝kx﹣1不经过（　A　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解：如果关于x、y的方程组无解，∴两直线平行，∴k＝﹣2，∴直线解析式为y＝﹣2x﹣1，
当x＝0时，y＝﹣1＜0，与y轴交于负半轴；
当y＝0时，x＝﹣0.5＜0，与x轴交于负半轴；
又∵﹣2＜0，∴直线经过第二、三、四象限，不经过第一象限．故选A．
3．（2025秋 沈阳期末）一根蜡烛长30cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧时蜡烛剩余的长度h（cm）和燃烧时间t（小时）之间的函数关系用图象可以表示为图中的（　B　）
A． B． C． D．
解：由题意，得y＝30﹣5t，
∵y≥0，t≥0，∴30﹣5t≥0，∴t≤6，∴0≤t≤6，
∴y＝30﹣5t是降函数且图象是一条线段．故选：B．
4．（2024秋 兴义市校级期末）某油箱容量为50L的汽车，加满汽油后行驶了100km时，油箱中的汽油消耗了10L，如果加满汽油后汽车行驶的路程为xkm，油箱中剩油量为yL，则y与x之间的函数解析式和自变量取值范围分别是（　D　）
A．y＝0.1x，x＞0 B．y＝50﹣0.1x，x＞0 C．y＝0.1x，0≤x≤500 D．y＝50﹣0.1x，0≤x≤500
5．（2025秋 玄武区校级月考）在同一平面直角坐系中，直线y＝2x+4与y＝x+b相交于点A（1，m），则关于x，y的方程组的解为　 　 ．
6．（2024秋 咸阳期末）已知方程组的解是，则直线y＝2x+1与直线y＝﹣x+4的交点坐标是　（1，3）　 ．
7．（2025秋 肇源县期末）如图，购买一种苹果，所付款金额y（元）与购买量x
（千克）之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买6千克这种苹
果比分六次购买1千克这种苹果可节省的金额为　 　 元．
解：设y关于x的函数关系式为y＝kx+b，
当0≤x≤2时，将（0，0）、（2，20）代入y＝kx+b中得：，解得：，
∴y＝10x（0≤x≤2）；
当x≥2时，将（2，20）、（4，36）代入y＝kx+b中得：，解得：，
∴y＝8x+4（x≥2）；
当x＝1时，y＝10x＝10，当x＝6时，y＝52，
10×6﹣52＝8（元）．故答案为：8．
二、例题讲解
1、讲解例1：（2025秋 兰州期末）如图，直线l1：y＝2x+1与直线l2：y＝﹣x+4相交于点P（1，b），直线l1与l2与x轴分别交于A、B两点．
（1）求b的值，并结合图象写出关于x、y的方程组的解；
（2）求△ABP的面积；
（3）垂直于x轴的直线x＝a与直线l1，l2分别交于点C、D，若线段CD的长为4，求出a的值．
解：（1）由条件可得：b＝2×1+1＝3，∴P（1，3），
∴方程组的解为，∴方程组的解为；
（2）对于直线l1：y＝2x+1，令y＝0，则2x+1＝0，解得：，∴，
对于直线l2：y＝﹣x+4，令y＝0，则﹣x+4＝0，解得：x＝4，∴B（4，0），
∴，∴；
（3）∵CD＝4，∴|2a+1﹣（﹣a+4）|＝4，即：|3a﹣3|＝4，解得：或．
2、尝试练习:（2025春 兴宁区校级期末）如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，b），l1，l2与y轴分别交于点A，B．
（1）求b的值；
（2）根据以上信息，直接写出关于x，y的方程组的解；
（3）当n＝3时，求△PAB的面积．
解：（1）由条件可知b＝1+1＝2；
（2）观察图象得，关于x，y的方程组的解为；
（3）当n＝3时，直线l2：y＝mx+3，令x＝0时，y＝mx+3＝3，∴B（0，3），
令x＝0时，y＝x+1＝1，∴A（0，1），∴AB＝3﹣1＝2，∴△PAB的面积1
3、讲解例2：（2025秋 宝安区校级期末）某建筑公司现有A，B两工地需要租车运土，A工地需要12台，B工地需要18台；租车公司现有甲型车10台，乙型车20台可供选择，每天租金价格如表．
（1）设A工地租甲型车x台，租乙型车　 　 台；则B工地租甲型车　 　 台，租乙型车　 　 台（用含x的式子表示）；
（2）设该公司每天的总租金为y元，请求出y与x的函数解析式并写出x的取值范围；
（3）在（2）条件下，公司如何租车才能使得每天总租金最少？最少租金是多少？请说明理由．
甲型车租金 乙型车租金
A工地 800元/台 600元/台
B工地 600元/台 300元/台
解：（1）根据题意得：A工地租甲型车x台，租乙型车（12﹣x）台，则B工地租甲型车（10﹣x）台，租乙型车（8+x）台，
故答案为：（12﹣x）；（10﹣x），（8+x）；
（2）根据题意得：y＝800x+600（12﹣x）+600（10﹣x）+300（8+x）
＝800x+7200﹣600x+6000﹣600x+2400+300x＝﹣100x+15600，
∵，∴0≤x≤10，∴y与x的函数解析式为y＝﹣100x+15600（0≤x≤10）；
（3）由（2）可知，﹣100＜0，∴y随x的增大而减小，
∴当x＝10时，y最小，最小值为14600，
∴该公司A工地租甲型车10台，乙型车2台；B工地租乙型车18台每天总租金最少，最少租金是14600元．
4、尝试练习：（2025秋 沈河区期末）今年双十一期间，快递数量激增．为高效完成物流派送，快递公司实施分仓发货策略，安排大、小两种货车共20辆，分别从A、B两地仓库运送320吨货物．每辆大货车可装载25吨货物，每辆小货车可装载10吨货物．这20辆货车恰好将所有货物装完．已知这两种货车的运费如下表所示：
出发地车型 A地（元/辆） B地（元/辆）
大货车 900 1000
小货车 500 700
要安排上述装好货物的20辆货车中的12辆从A地出发，其余从B地出发．
（1）这20辆货车中，大货车、小货车各有多少辆？
（2）设从A地出发的大货车有m辆（大货车不少于5辆）这20辆货车的总运费为W元，求总运费W的最小值．
解：（1）设大货车有a辆、小货车有b辆，
由题意得：，解得：，
答：大货车有8辆，小货车有12辆；
（2）设从A地出发的大货车有x辆，则从A地出发的小货车有（12﹣x）辆，
从B地出发的大货车有（8﹣x）辆，从B地出发的小货车有[12﹣（12﹣x）]＝x辆，
由题意得：W＝900x+500（12﹣x）+1000（8﹣x）+700x＝100x+14000，
∴W随x的增大而增大，
∵从A地出发的大货车有x辆（大货车不少于5辆），大货车一共8辆，∴5≤x≤8，
∴当x＝5时，W有最小值，此时W＝100×5+14000＝14500，
答：总运费最小值为14500元．
5、尝试练习：（2025秋 兴庆区校级期末）寒假将至，某健身俱乐部面向学生推出寒假优惠活动，活动方案如下：
方案一：购买一张学生寒假专享卡，每次健身费用按六折优惠．
方案二：不购买学生寒假专享卡，每次健身费用按八折优惠．
设某学生寒假健身次数为x（次），按照方案一所需费用为y1（元），且y1＝k1x+b；按照方案二所需费用为y2（元），且y2＝k2x．其函数图象如图所示．
（1）求k1，b的值，并说明它们的实际意义；
（2）求k2的值；
（3）八年级学生小华计划寒假期间前往该俱乐部健身，请你根据他的健身次数
给他一个合理化建议，选择哪种方案所需费用更少，并说明理由．
解：（1）设y1与x的函数关系式为y1＝k1x+b，
∵y1＝k1x+b过点（0，30），（10，180），∴，∴．
∴k1表示的实际意义是：原价的六折为15元；b＝30，表示的实际意义是：每张学生寒假专享卡的价格为30元；
（2）由（1）知k1＝15，即购买一张学生暑期专享卡后每次健身费用为15元；
∴打折前的每次健身费用，即每次健身费用的原价为15÷0.6＝25（元），
设y2＝k2x．则k2＝25×0.8＝20，∴y2＝20x；
答：每次健身费用的原价是25元，k2的值是20；
（3）由题意，结合（1）可得，y1＝15x+30，又y2＝20x．
∴分以下三种情形讨论：
①15x+30＝20x，解得：x＝6，
∴健身6次时，选择两种打折优惠方案所需费用相等；
②15x+30＜20x，解得x＞6，
∴健身大于6次时，选择方案一所需费用少；
③15x+30＞20x，解得x＜6，
∴健身小于6次时，选择方案二所需费用少．
综上所述，健身小于6次时，选择方案二所需费用少，健身6次时，选择两种打折优惠方案所需费用相等，健身大于6次时，选择方案一所需费用少．

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