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8.6.1　直线与直线垂直
【课程标准要求】　1.通过求两条异面直线所成的角,培养逻辑推理、数学运算和直观想象的核心素养.2.通过证明直线与直线垂直,培养逻辑推理和直观想象的核心素养.
知识点一　空间两条直线的位置关系
空间两条直线的位置关系有三种
平行直线、相交直线和异面直线.
知识点二　两直线所成的角(或夹角)
平面内两条直线相交形成4个角,其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角(或夹角),它刻画了一条直线相对于另一条直线倾斜的程度.
两直线所成的角(或夹角)的范围
(1)两直线平行时夹角为0°,垂直时夹角为90°.
(2)范围:两条直线夹角α的取值范围是0°≤α≤90°.
知识点三　异面直线所成的角(或夹角)
1.已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a′∥a,b′∥b,我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
2.如果两条异面直线所成的角是直角,那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂直,记作a⊥b.
对异面直线所成的角(或夹角)范围的理解
(1)异面直线所成角的大小不能是0°,若两条直线所成角是0°,则这两条直线平行,不可能异面.
(2)异面直线所成的角α的取值范围是0°<α≤90°.
基础自测
1.垂直于同一条直线的两条直线一定(　　)
[A] 平行 [B] 相交
[C] 异面 [D] 以上都有可能
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是线段BC,CD1的中点,则直线A1B与直线EF的位置关系是(　　)
[A] 相交 [B] 异面
[C] 平行 [D] 垂直
3.如图,在三棱锥A-BCD中,E,F,G分别是AB,BC,AD的中点,∠GEF=120°,则BD与AC所成角的度数为　　　　.
4.(人教A版必修第二册P148 T3改编)在如图所示的正方体中,M,N分别为棱BC和CC1的中点,则异面直线AC和MN所成的角为　　　　.
因为MN∥BC1∥AD1,
所以∠D1AC或其补角是异面直线AC和MN所成的角,连接CD1.
因为△ACD1是等边三角形,
所以∠D1AC=60°.
题型一　异面直线所成的角
[例1] 如图,在空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点,若EF=,求异面直线AD,BC所成角的大小.
因为E,F,G分别是AB,CD,AC的中点,
所以GF∥AD,
且GF=AD,
EG∥BC,且EG=BC,
则∠EGF或其补角就是异面直线AD,BC所成的角.
因为AD=BC=2,所以EG=GF=1.
单独看△GEF的平面图,
在等腰△GEF中,过点G作GH⊥EF于点H,
在Rt△GHE中,EG=1,EH=EF=,
则sin∠EGH=,
所以∠EGH=60°,则∠EGF=2∠EGH=120°.(或者直接用余弦定理cos∠EGF==-,
所以∠EGF=120°)
所以异面直线AD,BC所成的角为∠EGF的补角,即异面直线AD,BC所成的角为60°.
求异面直线所成的角的步骤
(1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法,遇题设中有中点,常考虑中位线;若异面直线依附于某几何体,且对异面直线平移有困难时,可利用该几何体的特殊点,使异面直线转化为相交直线.
(2)求——转化为求一个三角形的内角,通过解三角形,求出所找的角.
(3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°<θ≤90°,则θ为所求;若90°<θ<180°,则180°-θ为所求.
[变式训练] 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为2的正方形,AA1=4,
∠A1AD=∠A1AB=60°,则异面直线AC与DC1所成角的正弦值为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,由AD与B1C1平行且相等得平行四边形AB1C1D,因此C1D∥AB1,所以∠B1AC是异面直线AC与直线DC1所成的角或其补角,由已知AC=2,
∠ABB1=120°,∠B1BC=60°,
由余弦定理得
AB1==2,
CB1==2,
cos∠B1AC==,
所以sin∠B1AC==.故选C.
题型二　直线与直线垂直的证明
[例2] 如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A=AB,E,F分别是BD1和AD的中点,求证:CD1⊥EF.
因为E是BD1的中点,
所以EG∥BC,EG=BC.
因为F是AD的中点,
且AD∥BC,AD=BC,
所以DF∥BC,DF=BC,
所以EG∥DF,EG=DF,所以四边形EFDG是平行四边形,
所以EF∥DG,
所以∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角.
又因为A1A=AB,所以四边形ABB1A1、四边形CDD1C1都是正方形,又G为CD1的中点,
所以DG⊥CD1,
所以∠D1GD=90°,所以异面直线CD1与EF所成的角为90°.所以CD1⊥EF.
证明两直线垂直的实质是求两直线所成的角为90°,其主要方法一是根据异面直线所成的角的定义,作出异面直线所成的角,结合解三角形的知识或利用勾股定理的逆定理求解.二是利用一条直线与两条平行线中的一条垂直,则该直线也与另一条垂直(即若a∥b,a⊥c,则b⊥c).
[变式训练] 如图,在四面体ABCD中,对棱AD⊥BC,E,F,G,H是它们所在棱的中点,求证:四边形EFGH是矩形.
所以EF∥AD,EF=AD,HG∥AD,HG=AD,
所以EF∥HG,EF=HG,
所以四边形EFGH是平行四边形,又EH是△ABC的中位线,所以EH∥BC,
故∠FEH是异面直线AD与BC所成的角或其补角,因为AD⊥BC,所以∠FEH=90°,所以EF⊥EH,因此四边形EFGH是矩形.
(分值:95分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.若空间三条直线a,b,c满足a⊥b,b∥c,则直线a与c(　　)
[A] 一定平行
[B] 一定垂直
[C] 一定是异面直线
[D] 一定相交
2.在正四面体ABCD中,M为BC的中点,则直线AM和CD夹角的余弦值为(　　)
[A] [B] [C] [D]
不妨设正四面体ABCD的棱长为2,因为M为BC的中点,
所以ME∥CD,则直线AM和CD夹角即为直线AM和ME的夹角,即∠AME,易知AM=AE=,ME=1,
则cos∠AME==.故选D.
3.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,在三棱柱所有的棱中,与AC垂直且异面的有(　　)
[A] 1条 [B] 2条 [C] 3条 [D] 4条
则与AC垂直且异面的直线有A1B1和BB1.
故选B.
4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,表面的对角线与AD1成60°角的有(　　)
[A] 4条 [B] 6条 [C] 8条 [D] 12条
所以与AD1夹角为60°的面对角线有B1D1,AB1,CD1,AC,
又因为A1C1∥AC,A1B∥CD1,BD∥B1D1,C1D∥AB1,
根据平行关系可知BD,C1D,A1B,A1C1也与AD1成60°角,
可知满足题意的面对角线共有8条.故选C.
5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱C1D1的中点,则直线BD1与CE所成角的余弦值为(　　)
[A] [B] [C] [D]
连接BF,不妨设AB=2,则在△BD1F中有BF=FD1=,BD1=2.
所以cos θ===.故选C.
6.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D为棱AB的中点,BC1与B1C交于点E,若AB=AA1,则B1D与A1E所成角的余弦值是(　　)
[A] [B] [C] [D]
在正三棱柱ABC-A1B1C1中,所有侧棱都与底面上的任意直线垂直,
设AB=AA1=2,则B1D==,
所以OE=,DO=CD==,
在等边三角形ABC中,CD⊥AB,
AO===,
A1O==,
A1C=B1C=2,
在等腰△CA1B1中,cos∠A1B1C==,
A1E===2,
在△A1OE中,cos∠A1EO==-,
所以B1D与A1E所成角的余弦值是.故选B.
7.(5分)在四面体S-ABC中,各个侧面都是边长为a的正三角形,E,F分别是SC和AB的中点,则异面直线EF与SA所成的角等于　　　　.
不妨设棱长为2,则SF=CF=,又E为SC中点,
故SC⊥EF.
而CE=1,
故EF==,
结合中位线性质可得GE=1,GF=1.
而GE∥SA,所以∠GEF为异面直线EF与SA所成的角.
因为EF=,GE=1,GF=1,
所以△GEF为等腰直角三角形,
故∠GEF=45°.
8.(5分)如图为正方体ABCD-A1B1C1D1切去一个三棱锥B1-A1BC1后得到的几何体,若点O为底面ABCD的中心,则直线D1O与平面A1BC1的位置关系是　　　　,D1O与A1B的夹角为　　　　.
依题意可知D1O1∥OB,
且D1O1=OB,
即四边形D1OBO1为平行四边形,则D1O∥O1B.
因为BO1 平面A1BC1,D1O 平面A1BC1,
所以直线D1O∥平面A1BC1.
∠A1BO1(或其补角)为D1O与A1B的夹角,
因为A1B=BC1=A1C1,即△A1BC1为等边三角形,
所以∠A1BC1=60°,故∠A1BO1=30°.
9.(13分)如图所示,在空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点.若EF=,求证:AD⊥BC.
因为E是AB的中点,
且AD=2,
所以EH∥AD,EH=1.
同理FH∥BC,FH=1,
所以∠EHF(或其补角)是异面直线AD,BC所成的角.
又因为EF=,所以EH2+FH2=EF2.
所以∠EHF=90°,即AD,BC所成的角是90°.
故AD⊥BC.
10.(14分)如图,α∥β,A,C∈α,B,D∈β,AC与BD为异面直线,AC=6,BD=8,AB=CD=10,AB与CD成60°的角,求异面直线AC与BD所成的角.
因为α∥β,AE∥CD,平面ACDE∩α=AC,
平面ACDE∩β=DE,
所以AC∥DE,四边形ACDE为平行四边形,
所以CD=AE=10,DE=AC=6.
又AB与CD成60°的角,
故∠BAE=60°或∠BAE=120°,
当∠BAE=60°时,AB=10=AE,△ABE为等边三角形,故BE=10.
当∠BAE=120°时,BE=2AEsin 60°=10.
又BE>DE+BD=6+8=14,故10不合题意,
即BE=10.
在△BDE中,BE=10,BD=8,DE=6,
BE2=BD2+DE2,∠BDE=90°.
又AC∥DE.
所以∠BDE为异面直线AC与BD所成的角,
故异面直线AC与BD所成的角为90°.
11.(多选题)如图是一个正方体的平面展开图,则在该正方体中(　　)
[A] AF∥CN
[B] BM⊥DE
[C] CN与BM成60°角
[D] NE与BM是异面直线
∠MBE或其补角是CN与BM所成的角,又△MBE是等边三角形,所以∠MBE=60°,所以CN与BM所成的角是60°,C正确;
又NE∥平面MFBC,且NE与BM不平行,故NE与BM是异面直线,D正确.
故选BCD.
12.(5分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是边长为2的等边三角形,异面直线AB1与A1C1所成角的余弦值为,则该三棱柱的高为　　　　.
在直三棱柱ABC-A1B1C1中,
AC∥A1C1,
则∠B1AC是异面直线AB1与A1C1所成的角,
所以cos∠B1AC=,
设三棱柱的高为h,在Rt△ABB1和Rt△CBB1中,AB1=CB1=,
所以△B1AC是等腰三角形.
因为cos∠B1AC==,
所以=,
所以h=2,所以该三棱柱的高为2.
13.(17分)如图,已知P,Q,M,N分别是三棱锥V-ABC棱VA,VC,BC,AB上的点.
(1)若四边形PQMN为平行四边形,求证:VB∥平面PQMN.
(2)若Q,N分别是VC,AB的中点,且VA=BC,直线VA和直线BC所成角为60°,求直线VA和直线QN所成角的余弦值.
所以PN∥QM.
而PN 平面VBC,QM 平面VBC,
所以PN∥平面VBC,
而PN 平面VAB,
平面VAB∩平面VBC=VB,
所以PN∥VB,
又因为PN 平面PQMN,
VB 平面PQMN,
所以VB∥平面PQMN.
(2)取VB中点H,连接HN,HQ,
则HN∥VA,HQ∥BC,
所以∠QHN(或其补角)即为直线VA和直线BC所成角,
∠HNQ(或其补角)即为直线VA和直线QN所成角,
因为VA=BC,
所以HN=HQ.
当∠QHN=60°时,由HN=HQ得∠HNQ=60°,
所以直线VA和直线QN所成角为60°,故其余弦值为,当∠QHN=120°时,由HN=HQ得∠HNQ=30°,
所以直线VA和直线QN所成角为30°,故其余弦值为,综上,直线VA和直线QN所成角的余弦值为或.8.6.1　直线与直线垂直
【课程标准要求】　1.通过求两条异面直线所成的角,培养逻辑推理、数学运算和直观想象的核心素养.2.通过证明直线与直线垂直,培养逻辑推理和直观想象的核心素养.
知识点一　空间两条直线的位置关系
空间两条直线的位置关系有三种
平行直线、相交直线和异面直线.
知识点二　两直线所成的角(或夹角)
平面内两条直线相交形成4个角,其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角(或夹角),它刻画了一条直线相对于另一条直线倾斜的程度.
两直线所成的角(或夹角)的范围
(1)两直线平行时夹角为0°,垂直时夹角为90°.
(2)范围:两条直线夹角α的取值范围是0°≤α≤90°.
知识点三　异面直线所成的角(或夹角)
1.已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a′∥a,b′∥b,我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
2.如果两条异面直线所成的角是直角,那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂直,记作a⊥b.
对异面直线所成的角(或夹角)范围的理解
(1)异面直线所成角的大小不能是0°,若两条直线所成角是0°,则这两条直线平行,不可能异面.
(2)异面直线所成的角α的取值范围是0°<α≤90°.
基础自测
1.垂直于同一条直线的两条直线一定(　　)
[A] 平行 [B] 相交
[C] 异面 [D] 以上都有可能
【答案】 D
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是线段BC,CD1的中点,则直线A1B与直线EF的位置关系是(　　)
[A] 相交 [B] 异面
[C] 平行 [D] 垂直
【答案】 A
【解析】 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,因为A1B∥D1C,所以A1B与D1C可以确定平面A1BCD1,又因为EF 平面A1BCD1,且两直线不平行,所以直线A1B与直线EF的位置关系是相交.故选A.
3.如图,在三棱锥A-BCD中,E,F,G分别是AB,BC,AD的中点,∠GEF=120°,则BD与AC所成角的度数为　　　　.
【答案】 60°
【解析】 依题意知,EG∥BD,EF∥AC,所以∠GEF或其补角即为异面直线AC与BD所成的角,又∠GEF=120°,所以异面直线BD与AC所成的角为60°.
4.(人教A版必修第二册P148 T3改编)在如图所示的正方体中,M,N分别为棱BC和CC1的中点,则异面直线AC和MN所成的角为　　　　.
【答案】 60°
【解析】 连接BC1,AD1(图略),
因为MN∥BC1∥AD1,
所以∠D1AC或其补角是异面直线AC和MN所成的角,连接CD1.
因为△ACD1是等边三角形,
所以∠D1AC=60°.
题型一　异面直线所成的角
[例1] 如图,在空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点,若EF=,求异面直线AD,BC所成角的大小.
【解】 如图,取AC的中点G,连接EG,FG.
因为E,F,G分别是AB,CD,AC的中点,
所以GF∥AD,
且GF=AD,
EG∥BC,且EG=BC,
则∠EGF或其补角就是异面直线AD,BC所成的角.
因为AD=BC=2,所以EG=GF=1.
单独看△GEF的平面图,
在等腰△GEF中,过点G作GH⊥EF于点H,
在Rt△GHE中,EG=1,EH=EF=,
则sin∠EGH=,
所以∠EGH=60°,则∠EGF=2∠EGH=120°.(或者直接用余弦定理cos∠EGF==-,
所以∠EGF=120°)
所以异面直线AD,BC所成的角为∠EGF的补角,即异面直线AD,BC所成的角为60°.
求异面直线所成的角的步骤
(1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法,遇题设中有中点,常考虑中位线;若异面直线依附于某几何体,且对异面直线平移有困难时,可利用该几何体的特殊点,使异面直线转化为相交直线.
(2)求——转化为求一个三角形的内角,通过解三角形,求出所找的角.
(3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°<θ≤90°,则θ为所求;若90°<θ<180°,则180°-θ为所求.
[变式训练] 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为2的正方形,AA1=4,
∠A1AD=∠A1AB=60°,则异面直线AC与DC1所成角的正弦值为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 C
【解析】 连接AB1,B1C,
在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,由AD与B1C1平行且相等得平行四边形AB1C1D,因此C1D∥AB1,所以∠B1AC是异面直线AC与直线DC1所成的角或其补角,由已知AC=2,
∠ABB1=120°,∠B1BC=60°,
由余弦定理得
AB1==2,
CB1==2,
cos∠B1AC==,
所以sin∠B1AC==.故选C.
题型二　直线与直线垂直的证明
[例2] 如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A=AB,E,F分别是BD1和AD的中点,求证:CD1⊥EF.
【证明】 如图,取CD1的中点G,连接EG,DG.
因为E是BD1的中点,
所以EG∥BC,EG=BC.
因为F是AD的中点,
且AD∥BC,AD=BC,
所以DF∥BC,DF=BC,
所以EG∥DF,EG=DF,所以四边形EFDG是平行四边形,
所以EF∥DG,
所以∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角.
又因为A1A=AB,所以四边形ABB1A1、四边形CDD1C1都是正方形,又G为CD1的中点,
所以DG⊥CD1,
所以∠D1GD=90°,所以异面直线CD1与EF所成的角为90°.所以CD1⊥EF.
证明两直线垂直的实质是求两直线所成的角为90°,其主要方法一是根据异面直线所成的角的定义,作出异面直线所成的角,结合解三角形的知识或利用勾股定理的逆定理求解.二是利用一条直线与两条平行线中的一条垂直,则该直线也与另一条垂直(即若a∥b,a⊥c,则b⊥c).
[变式训练] 如图,在四面体ABCD中,对棱AD⊥BC,E,F,G,H是它们所在棱的中点,求证:四边形EFGH是矩形.
【证明】 EF,HG分别是△ABD和△ACD的中位线,
所以EF∥AD,EF=AD,HG∥AD,HG=AD,
所以EF∥HG,EF=HG,
所以四边形EFGH是平行四边形,又EH是△ABC的中位线,所以EH∥BC,
故∠FEH是异面直线AD与BC所成的角或其补角,因为AD⊥BC,所以∠FEH=90°,所以EF⊥EH,因此四边形EFGH是矩形.
(分值:95分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.若空间三条直线a,b,c满足a⊥b,b∥c,则直线a与c(　　)
[A] 一定平行
[B] 一定垂直
[C] 一定是异面直线
[D] 一定相交
【答案】 B
【解析】 因为a⊥b,b∥c,所以a⊥c.故选B.
2.在正四面体ABCD中,M为BC的中点,则直线AM和CD夹角的余弦值为(　　)
[A] [B] [C] [D]
【答案】 D
【解析】 取BD中点为E,分别连接AE,ME,
不妨设正四面体ABCD的棱长为2,因为M为BC的中点,
所以ME∥CD,则直线AM和CD夹角即为直线AM和ME的夹角,即∠AME,易知AM=AE=,ME=1,
则cos∠AME==.故选D.
3.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,在三棱柱所有的棱中,与AC垂直且异面的有(　　)
[A] 1条 [B] 2条 [C] 3条 [D] 4条
【答案】 B
【解析】 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,
则与AC垂直且异面的直线有A1B1和BB1.
故选B.
4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,表面的对角线与AD1成60°角的有(　　)
[A] 4条 [B] 6条 [C] 8条 [D] 12条
【答案】 C
【解析】 如图,以AD1为一边的面对角线构成的等边三角形为△AB1D1和△AD1C,
所以与AD1夹角为60°的面对角线有B1D1,AB1,CD1,AC,
又因为A1C1∥AC,A1B∥CD1,BD∥B1D1,C1D∥AB1,
根据平行关系可知BD,C1D,A1B,A1C1也与AD1成60°角,
可知满足题意的面对角线共有8条.故选C.
5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱C1D1的中点,则直线BD1与CE所成角的余弦值为(　　)
[A] [B] [C] [D]
【答案】 C
【解析】 如图,取CD中点F,连接FD1,根据正方体的性质,可知FD1∥CE,所以∠BD1F即为异面直线BD1与CE所成的角,设为θ.
连接BF,不妨设AB=2,则在△BD1F中有BF=FD1=,BD1=2.
所以cos θ===.故选C.
6.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D为棱AB的中点,BC1与B1C交于点E,若AB=AA1,则B1D与A1E所成角的余弦值是(　　)
[A] [B] [C] [D]
【答案】 B
【解析】 连接CD,取CD中点O,连接OE,OA1,A1C,则OE∥DB1,OE=DB1,所以∠A1EO是B1D与A1E所成的角或其补角,
在正三棱柱ABC-A1B1C1中,所有侧棱都与底面上的任意直线垂直,
设AB=AA1=2,则B1D==,
所以OE=,DO=CD==,
在等边三角形ABC中,CD⊥AB,
AO===,
A1O==,
A1C=B1C=2,
在等腰△CA1B1中,cos∠A1B1C==,
A1E===2,
在△A1OE中,cos∠A1EO==-,
所以B1D与A1E所成角的余弦值是.故选B.
7.(5分)在四面体S-ABC中,各个侧面都是边长为a的正三角形,E,F分别是SC和AB的中点,则异面直线EF与SA所成的角等于　　　　.
【答案】 45°
【解析】 取AC中点G,连接EG,GF,FC,FS,
不妨设棱长为2,则SF=CF=,又E为SC中点,
故SC⊥EF.
而CE=1,
故EF==,
结合中位线性质可得GE=1,GF=1.
而GE∥SA,所以∠GEF为异面直线EF与SA所成的角.
因为EF=,GE=1,GF=1,
所以△GEF为等腰直角三角形,
故∠GEF=45°.
8.(5分)如图为正方体ABCD-A1B1C1D1切去一个三棱锥B1-A1BC1后得到的几何体,若点O为底面ABCD的中心,则直线D1O与平面A1BC1的位置关系是　　　　,D1O与A1B的夹角为　　　　.
【答案】 平行　30°
【解析】 如图,将其补成正方体ABCD-A1B1C1D1,设B1D1和A1C1交于点O1,连接O1B,
依题意可知D1O1∥OB,
且D1O1=OB,
即四边形D1OBO1为平行四边形,则D1O∥O1B.
因为BO1 平面A1BC1,D1O 平面A1BC1,
所以直线D1O∥平面A1BC1.
∠A1BO1(或其补角)为D1O与A1B的夹角,
因为A1B=BC1=A1C1,即△A1BC1为等边三角形,
所以∠A1BC1=60°,故∠A1BO1=30°.
9.(13分)如图所示,在空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点.若EF=,求证:AD⊥BC.
【证明】 取BD的中点H,连接EH,FH,
因为E是AB的中点,
且AD=2,
所以EH∥AD,EH=1.
同理FH∥BC,FH=1,
所以∠EHF(或其补角)是异面直线AD,BC所成的角.
又因为EF=,所以EH2+FH2=EF2.
所以∠EHF=90°,即AD,BC所成的角是90°.
故AD⊥BC.
10.(14分)如图,α∥β,A,C∈α,B,D∈β,AC与BD为异面直线,AC=6,BD=8,AB=CD=10,AB与CD成60°的角,求异面直线AC与BD所成的角.
【解】 如图,过点A作CD的平行线,交平面β于点E,连接DE,BE.
因为α∥β,AE∥CD,平面ACDE∩α=AC,
平面ACDE∩β=DE,
所以AC∥DE,四边形ACDE为平行四边形,
所以CD=AE=10,DE=AC=6.
又AB与CD成60°的角,
故∠BAE=60°或∠BAE=120°,
当∠BAE=60°时,AB=10=AE,△ABE为等边三角形,故BE=10.
当∠BAE=120°时,BE=2AEsin 60°=10.
又BE>DE+BD=6+8=14,故10不合题意,
即BE=10.
在△BDE中,BE=10,BD=8,DE=6,
BE2=BD2+DE2,∠BDE=90°.
又AC∥DE.
所以∠BDE为异面直线AC与BD所成的角,
故异面直线AC与BD所成的角为90°.
11.(多选题)如图是一个正方体的平面展开图,则在该正方体中(　　)
[A] AF∥CN
[B] BM⊥DE
[C] CN与BM成60°角
[D] NE与BM是异面直线
【答案】 BCD
【解析】 展开图翻折成的正方体如图所示,因为CN∥BE,BE⊥AF,因此CN⊥AF,所以A错误;同理DE∥CF,CF⊥BM,所以BM⊥DE,B正确;
∠MBE或其补角是CN与BM所成的角,又△MBE是等边三角形,所以∠MBE=60°,所以CN与BM所成的角是60°,C正确;
又NE∥平面MFBC,且NE与BM不平行,故NE与BM是异面直线,D正确.
故选BCD.
12.(5分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是边长为2的等边三角形,异面直线AB1与A1C1所成角的余弦值为,则该三棱柱的高为　　　　.
【答案】 2
【解析】 连接B1C,如图,
在直三棱柱ABC-A1B1C1中,
AC∥A1C1,
则∠B1AC是异面直线AB1与A1C1所成的角,
所以cos∠B1AC=,
设三棱柱的高为h,在Rt△ABB1和Rt△CBB1中,AB1=CB1=,
所以△B1AC是等腰三角形.
因为cos∠B1AC==,
所以=,
所以h=2,所以该三棱柱的高为2.
13.(17分)如图,已知P,Q,M,N分别是三棱锥V-ABC棱VA,VC,BC,AB上的点.
(1)若四边形PQMN为平行四边形,求证:VB∥平面PQMN.
(2)若Q,N分别是VC,AB的中点,且VA=BC,直线VA和直线BC所成角为60°,求直线VA和直线QN所成角的余弦值.
(1)【证明】 因为四边形PQMN为平行四边形,
所以PN∥QM.
而PN 平面VBC,QM 平面VBC,
所以PN∥平面VBC,
而PN 平面VAB,
平面VAB∩平面VBC=VB,
所以PN∥VB,
又因为PN 平面PQMN,
VB 平面PQMN,
所以VB∥平面PQMN.
(2)取VB中点H,连接HN,HQ,
则HN∥VA,HQ∥BC,
所以∠QHN(或其补角)即为直线VA和直线BC所成角,
∠HNQ(或其补角)即为直线VA和直线QN所成角,
因为VA=BC,
所以HN=HQ.
当∠QHN=60°时,由HN=HQ得∠HNQ=60°,
所以直线VA和直线QN所成角为60°,故其余弦值为,当∠QHN=120°时,由HN=HQ得∠HNQ=30°,
所以直线VA和直线QN所成角为30°,故其余弦值为,综上,直线VA和直线QN所成角的余弦值为或.(共27张PPT)
8.6　空间直线、平面
的垂直
8.6.1　直线与直线垂直
1.通过求两条异面直线所成的角,培养逻辑推理、数学运算和直观想象的核心素养.2.通过证明直线与直线垂直,培养逻辑推理和直观想象的核心素养.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点一　空间两条直线的位置关系
空间两条直线的位置关系有三种
平行直线、 和 .
知识点二　两直线所成的角(或夹角)
平面内两条直线相交形成4个角,其中 的角称为这两条直线所成的角(或夹角),它刻画了一条直线相对于另一条直线 .
相交直线
异面直线
不大于90°
倾斜的程度
·温馨提示·
两直线所成的角(或夹角)的范围
(1)两直线平行时夹角为0°,垂直时夹角为90°.
(2)范围:两条直线夹角α的取值范围是0°≤α≤90°.
知识点三　异面直线所成的角(或夹角)
1.已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a′∥a,b′∥b,我们把直线 所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
2.如果两条异面直线所成的角是 ,那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂直,记作 .
a′与b′
直角
a⊥b
·疑难解惑·
对异面直线所成的角(或夹角)范围的理解
(1)异面直线所成角的大小不能是0°,若两条直线所成角是0°,则这两条直线平行,不可能异面.
(2)异面直线所成的角α的取值范围是0°<α≤90°.
基础自测
1.垂直于同一条直线的两条直线一定(　　)
[A] 平行 [B] 相交
[C] 异面 [D] 以上都有可能
D
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是线段BC,CD1的中点,则直线A1B与直线EF的位置关系是(　　)
[A] 相交 [B] 异面
[C] 平行 [D] 垂直
A
【解析】 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,因为A1B∥D1C,所以A1B与D1C可以确定平面A1BCD1,又因为EF 平面A1BCD1,且两直线不平行,所以直线A1B与直线EF的位置关系是相交.故选A.
3.如图,在三棱锥A-BCD中,E,F,G分别是AB,BC,AD的中点,∠GEF=120°,则BD与AC所成角的度数为　　　　.
60°
【解析】 依题意知,EG∥BD,EF∥AC,所以∠GEF或其补角即为异面直线AC与BD所成的角,又∠GEF=120°,所以异面直线BD与AC所成的角为60°.
4.(人教A版必修第二册P148 T3改编)在如图所示的正方体中,M,N分别为棱BC和CC1的中点,则异面直线AC和MN所成的角为　　　　.
60°
【解析】 连接BC1,AD1(图略),
因为MN∥BC1∥AD1,
所以∠D1AC或其补角是异面直线AC和MN所成的角,连接CD1.
因为△ACD1是等边三角形,
所以∠D1AC=60°.
关键能力·素养培优
题型一　异面直线所成的角
[例1] 如图,在空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点,若EF= ,求异面直线AD,BC所成角的大小.
·解题策略·
求异面直线所成的角的步骤
(1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法,遇题设中有中点,常考虑中位线;若异面直线依附于某几何体,且对异面直线平移有困难时,可利用该几何体的特殊点,使异面直线转化为相交直线.
(2)求——转化为求一个三角形的内角,通过解三角形,求出所找的角.
(3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°<θ≤90°,则θ为所求;若90°<θ<180°,则180°-θ为所求.
[变式训练] 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为2的正方形,AA1=4,∠A1AD=∠A1AB=60°,则异面直线AC与DC1所成角的正弦值为
(　　)
C
[例2] 如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A=AB,E,F分别是BD1和AD的中点,求证:CD1⊥EF.
题型二　直线与直线垂直的证明
所以EF∥DG,
所以∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角.
又因为A1A=AB,所以四边形ABB1A1、四边形CDD1C1都是正方形,又G为CD1的中点,
所以DG⊥CD1,所以∠D1GD=90°,
所以异面直线CD1与EF所成的角为90°.
所以CD1⊥EF.
·解题策略·
证明两直线垂直的实质是求两直线所成的角为90°,其主要方法一是根据异面直线所成的角的定义,作出异面直线所成的角,结合解三角形的知识或利用勾股定理的逆定理求解.二是利用一条直线与两条平行线中的一条垂直,则该直线也与另一条垂直(即若a∥b,a⊥c,则b⊥c).
[变式训练] 如图,在四面体ABCD中,对棱AD⊥BC,E,F,G,H是它们所在棱的中点,求证:四边形EFGH是矩形.
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