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(共35张PPT)
8.6.2　直线与平面垂直
第1课时　直线与平面
垂直的判定
1.在发现和应用直线与平面垂直的判定定理的过程中,培养数学抽象、逻辑推理和直观想象的核心素养.2.通过求直线与平面所成的角,培养直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点一　直线与平面垂直
定义 一般地,如果直线l与平面α内的 直线都垂直,我们就说直线l与平面α互相垂直
记法 l⊥α
有关 概念 直线l叫做平面α的 ,平面α叫做直线l的 .直线与平面垂直时,它们唯一的公共点P叫做 .过一点作垂直于已知平面的直线,则该点与垂足间的线段,叫做这个点到该平面的 ,垂线段的长度叫做这个点到该平面的 .
任意一条
垂线
垂面
垂足
垂线段
距离
画法
画直线与平面垂直时,通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
『知识拓展』
直线与平面垂直的重要结论
过一点有且只有一条直线与已知平面垂直;过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.
知识点二　直线与平面垂直的判定定理
文字 语言 如果一条直线与一个平面内的 垂直,那么该直线与此平面垂直
符号 语言 l⊥a,l⊥b,a α,b α, l⊥α
图形 语言
两条相交直线
a∩b=P
·温馨提示·
对该判定定理中的两条直线的认识
该判定定理中,平面内的两条直线必须是“两条相交直线”而不是“两条平行直线”.
知识点三　直线和平面所成的角
有关概念 对应图形
斜线 与平面α ,但不和平面α ,如图中 .
斜足 斜线和平面的 ,如图中 . 斜线在平 面上的 射影 过斜线上斜足以外的一点P向平面α引 ,过 叫做斜线在这个平面上的射影 相交
垂直
直线PA
交点
点A
垂线PO
垂足O和斜足A的直线AO
直线 与平 面所 成的角 定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角
规定:一条直线垂直于平面,它们所成的角是 ;一条直线和平面平行,或在平面内,它们所成的角是 .
取值 范围 [0°,90°]
90°
0°
·疑难解惑·
对直线和平面所成的角的理解
(1)在直线和平面所成角的定义中,点P具有任意性,它是斜线上异于斜足A的任意点.
(2)斜线在平面α上的射影是一条直线,而不是一条线段,它是过斜足和垂足的一条直线.
基础自测
1.空间中直线l和三角形的一边AC及另一边BC的中线同时垂直,则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系一定是(　　)
[A] 平行 [B] 垂直
[C] 相交 [D] 不确定
B
【解析】 由于直线l和三角形的一边AC及另一边BC的中线同时垂直,所以直线l和三角形所在的平面垂直,又因为三角形的第三边AB在这个平面内,所以一定有l⊥AB.故选B.
2.(人教A版必修第二册P152练习T3改编)如图所示,如果MC⊥平面ABCD,四边形ABCD是菱形,那么MA与BD的位置关系是(　　)
[A] 平行
[B] 垂直相交
[C] 垂直但不相交
[D] 相交但不垂直
C
【解析】 连接AC(图略).因为四边形ABCD是菱形,所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD,所以BD⊥MC.因为AC∩MC=C,AC,MC 平面AMC,所以BD⊥平面AMC.又MA 平面AMC,所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面,因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交.故选C.
3.如图所示,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AA1=4,则直线D1B与
平面ABCD所成角的正弦值为　 .
关键能力·素养培优
题型一　直线与平面垂直的定义
[例1] (多选题)下列命题正确的是(　 　)
[A] 如果一条直线和一个平面内的两条直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面
[B] 如果一条直线和平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面
[C] 如果一条直线和一个平面内的无数条直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面
[D] 如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面
BD
【解析】 A中两条直线一定是两条相交直线,如果是两条平行直线,结论不成立;C中的无数条直线如果是平行直线,结论也不成立;只有B与D才成立.故选BD.
·解题策略·
(1)证明线面垂直:即若任意直线a 平面α,都有l⊥a,则直线l⊥平面α,这里需要强调直线a是任意的,无数条直线也不能代替a的任意性,但是两条相交直线可以代替任意一条直线.
(2)证明线线垂直:即若直线l⊥平面α,直线a 平面α,则l⊥a.
[变式训练] 下列平面中的两条直线与直线a垂直,可以保证直线a与平面垂直的是(　　)
①四边形的两边;②正六边形的两边;③圆的两条直径;④三角形的两边.
[A] ①② [B] ①③
[C] ②③ [D] ③④
D
【解析】 对于①,四边形中的两条边可能平行,如平行四边形的对边,此时不能保证线面垂直;
对于②,若直线垂直正六边形的两条平行的边,此时不能保证线面垂直;
对于③,圆的两条直径交于圆心,故能保证线面垂直;
对于④,三角形的任意两边一定相交,故能保证线面垂直.
所以可以保证直线与平面垂直的是③④.
故选D.
[例2] (人教B版必修第四册P114例2)如图所示的四棱锥S-ABCD中,已知底面ABCD是一个平行四边形,AC∩BD=O,且SA=SC,SB=SD,求证:SO⊥平面ABCD.
题型二　直线与平面垂直的判定定理
【证明】 由已知可得O为AC的中点.
在△SAC中,因为SA=SC,且AO=OC,所以由等腰三角形三线合一可知SO⊥AC.
同理,SO⊥BD.
又因为AC∩BD=O,所以SO⊥平面ABCD.
·解题策略·
(1)证明线面垂直的方法.
①线面垂直的定义.(不常用)
②线面垂直的判定定理.
③如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面.
④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,那么它也垂直于另一个平面.
·解题策略·
(2)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤.
①在这个平面内找两条直线,使它和这条直线垂直.
②确定这个平面内的两条直线是相交的直线.
③根据判定定理得出结论.
[例3] 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=1,AA1=1,求BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值.
题型三　直线与平面所成的角
·解题策略·
求线面角的方法
(1)求直线和平面所成角的步骤:①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线;②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影,斜线与其射影所成的锐角即为所求的角;③把该角归结在某个三角形中,通过解三角形,求出该角.
(2)求线面角的技巧:在上述步骤中,其中作角是关键,而确定斜线在平面内的射影是作角的关键,几何图形的特征是找射影的依据,射影一般都是一些特殊的点,比如中心、垂心、重心等.
【解析】 若M,N在α的同侧,如图所示,过M作MB∥AN′交NN′于点B,
感谢观看第2课时　直线与平面垂直的性质
【课程标准要求】　1.在发现、推导和应用直线与平面垂直的性质定理的过程中,培养数学抽象、逻辑推理和直观想象的核心素养.2.通过空间距离的求解,培养直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养.
知识点一　直线与平面垂直的性质定理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言 a∥b
图形语言
作用 ①线面垂直 线线平行 ②作平行线
对直线与平面垂直的理解
直线与平面垂直的常用结论:若两平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.
知识点二　空间距离
直线到平面的距离 一条直线与一个平面平行时,这条直线上任意一点到这个平面的距离,叫做这条直线到这个平面的距离
平面到平面的距离 如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等,我们把它叫做这两个平行平面间的距离
空间距离中的注意事项
(1)当直线l与平面α相交或l α时,直线l到平面α的距离为0.
(2)当平面α与平面β相交时,平面α到平面β的距离是0.
基础自测
1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线l(与直线BB1不重合)⊥平面ABCD,则有(　　)
[A] BB1⊥l
[B] BB1∥l
[C] BB1与l异面
[D] BB1与l相交
所以BB1∥l.
故选B.
2.(多选题)已知PA⊥矩形ABCD所在的平面,则下列结论正确的是(　　)
[A] PB⊥BC
[B] PD⊥CD
[C] PD⊥BD
[D] PA⊥BD
BC⊥平面PAB BC⊥PB.
故A正确;同理B正确;C错误.故选ABD.
3.若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1,AB1与底面ABCD成60°角,则A1C1到底面ABCD的距离为　　　　.
4.(人教A版必修第二册P155练习T2改编)已知线段AB在平面 α的同侧,A,B两点到平面α的距离分别为1和3,则线段AB的中点到平面α的距离为　　　　.
因为A,B两点到平面α的距离分别为1和3,由梯形的中位线可知,
线段AB的中点M到平面α的距离d==2.
题型一　直线与平面垂直的性质定理
[例1] 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB上一点,N是A1C的中点,MN⊥平面A1DC,求证:MN∥AD1.
所以AD1⊥A1D.
又因为CD⊥平面ADD1A1,
AD1 平面ADD1A1,所以CD⊥AD1.
因为A1D∩CD=D,A1D,CD 平面A1DC,
所以AD1⊥平面A1DC.
又因为MN⊥平面A1DC,
所以MN∥AD1.
当题中垂直条件很多,但又需证两直线平行关系时,就要考虑直线和平面垂直的性质定理,从而完成垂直向平行的转化.
[变式训练] 如图,在正方体A1B1C1D1-ABCD中,E是A1D上的点,F是AC上的点,且EF与异面直线AC,A1D都垂直相交.
求证:EF∥BD1.
因为DD1⊥平面ABCD,
AC 平面ABCD,
所以DD1⊥AC.
又因为AC⊥BD,
BD∩DD1=D,
BD,DD1 平面BDD1B1,
所以AC⊥平面BDD1B1.
又因为BD1 平面BDD1B1,所以AC⊥BD1.
同理可证BD1⊥B1C.
又因为AC∩B1C=C,AC,B1C 平面AB1C,
所以BD1⊥平面AB1C.
因为EF⊥A1D,A1D∥B1C,
所以EF⊥B1C.
又因为EF⊥AC,AC∩B1C=C,
AC,B1C 平面AB1C,
所以EF⊥平面AB1C.
所以EF∥BD1.
题型二　空间中的距离问题
[例2] 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2BB1=2BC=2a,E为A1B1的中点,连接EA,EB,EC,BD1和BD.
(1)求直线BD1与平面ABCD所成角的余弦值;
(2)求直线AD到平面EBC的距离.
所以DD1⊥BD,
即∠D1BD就是直线BD1与平面ABCD所成的角.
所以cos∠D1BD===.
(2)因为直线AD∥BC,AD 平面EBC,
BC 平面EBC,
所以直线AD∥平面EBC,
所以直线AD到平面EBC的距离即为点A到平面EBC的距离.
由于E为A1B1的中点,所以AE=BE=a,
从而AE2+BE2=4a2=AB2,因此AE⊥BE.
又BC⊥平面ABB1A1,所以BC⊥AE.
又BE∩BC=B,所以AE⊥平面EBC,
所以点A到平面EBC的距离为AE,且为a.
因此,直线AD到平面EBC的距离为a.
直线到平面的距离、平面到平面的距离一般都转化为点到平面的距离,求点到平面的距离一是考虑直接法,二是考虑等体积法.
[变式训练] 正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则平面A1BC1到平面AD1C的距离为(　　)
[A] 1 [B] 2 [C] 3 [D] 4
在正方形A1B1C1D1中,有B1D1⊥A1C1,
因为DD1,B1D1 平面DD1B1,DD1∩B1D1=D1,所以A1C1⊥平面DD1B1,
因为B1D 平面DD1B1,所以A1C1⊥B1D.
同理A1B⊥B1D,A1C1,A1B 平面A1BC1,
A1C1∩A1B=A1,
所以B1D⊥平面A1BC1,同理B1D⊥平面AD1C.
因为正方体棱长为2,
所以A1B1=B1C1=BB1=2,A1C1=A1B=2,
设点B1到平面A1BC1的距离为h,
由=,
得××=××2×2×h,解得h=2,即点B1到平面A1BC1的距离为2,同理点D到平面AD1C的距离为2,
B1D==6,
则平面A1BC1到平面AD1C的距离为6-2-2=2.故选B.
(分值:95分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.如图,在长方体ABCD-A′B′C′D′中,直线AA′与DC的位置关系是(　　)
[A] 平行 [B] 相交
[C] 异面且垂直 [D] 异面但不垂直
因为DC 平面ABCD,所以AA′⊥DC,
又直线AA′与DC不相交且不平行,
所以直线AA′与DC异面且垂直.
故选C.
2.空间中有两条不同的直线m,n和平面α,则下列命题中正确的是(　　)
[A] 若m⊥α,n⊥α,则m∥n
[B] 若m∥α,n∥α,则m∥n
[C] 若m⊥n,n⊥α,则m⊥α
[D] 若m⊥n,n∥α,则m⊥α
对于B,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ABCD视为平面α,棱A1B1,A1D1所在直线分别视为直线m,n,如图,
显然有m∥α,n∥α,此时m与n相交,B不正确;
对于C,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ABCD视为平面α,棱A1B1,AA1所在直线分别视为直线m,n,显然有m⊥n,n⊥α,此时m∥α,C不正确;
对于D,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ABCD视为平面α,棱A1B1,A1D1所在直线分别视为直线m,n,显然有m⊥n,n∥α,此时m∥α,D不正确.故选A.
3.已知直线l∩平面α于点O,A∈l,B∈l,A α,B α,且OA=AB.若AC⊥平面α,垂足为C,BD⊥平面α,垂足为D,AC=1,则BD等于(　　)
[A] 2 [B] 1 [C] [D]
连接OD,所以=.
因为OA=AB,所以=.
因为AC=1,所以BD=2.故选A.
4.若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3,则点B到平面ACD1的距离为(　　)
[A] [B] [C] 2 [D] 3
则=×=,
S△ABC=×3×3=,
由=,
得·d=S△ABC×DD1,
即d=×3,解得d=.
所以点B到平面ACD1的距离为.故选A.
5.如图所示,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是(　　)
[A] 2
[B]
[C] 2
[D] 2
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,B1C1∥BC,
因为B1C1 平面A1BCD1,BC 平面A1BCD1,
所以B1C1∥平面A1BCD1,
则直线B1C1到平面A1BCD1的距离即为点B1到平面A1BCD1的距离,
因为BC⊥平面AA1B1B,
AB1 平面AA1B1B,
所以BC⊥AB1,又A1B⊥AB1,且A1B∩BC=B,A1B,BC 平面A1BCD1,
所以AB1⊥平面A1BCD1,
则点B1到平面A1BCD1的距离即为B1E,
而A1B1=BB1=2,则AB1=2,
所以B1E=AB1=.故选B.
6.(多选题)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点,则下列说法正确的是(　　)
[A] MN与BD平行
[B] MN与AC垂直
[C] MN与CC1垂直
[D] MN与A1B1平行
由于M是BC1的中点,
所以MN∥BD,A选项正确.
根据正方体的性质可知CC1⊥平面ABCD,
由于BD 平面ABCD,
所以CC1⊥BD,
所以CC1⊥MN,C选项正确.
由于AC⊥BD,所以MN⊥AC,B选项正确.
由于A1B1∥AB,AB与BD相交,所以MN与A1B1不平行,D选项错误.故选ABC.
7.(5分)如图,线段AB,BD在平面α内,BD⊥AB,AC⊥α,且AB=3,BD=4,AC=5.则C,D两点之间的距离为　　　　.
所以AD2=AB2+BD2=32+42=25,
因为AC⊥α,AD α,所以AC⊥AD,
所以CD2=AD2+AC2=25+25=50,所以CD=5.
8.(5分)将一个直角三角板放置在桌面上方,如图,记直角三角板为△ABC,其中C=,AB=14,BC=7,记桌面为平面α.若C∈α,且BC与平面α所成的角为,则点A到平面α的距离的最大值为　　　　.
因为在Rt△ABC中,
∠ACB=,BC=7,AB=14,
所以AC===7,当A,B,B1,C四点共面时,点A到α的距离最大.
因为BB1⊥α,所以∠BCB1是BC与平面α所成的角,所以∠BCB1=,故∠ACA1=,
于是AA1=ACsin =7×=,即A到α的最大距离为.
9.(13分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,AB⊥平面PAD,AD=AP,E是PD的中点,M,N分别在AB,PC上,且MN⊥AB,MN⊥PC.求证:AE∥MN.
所以AE⊥AB,
又AB∥CD,所以AE⊥CD.
因为AD=AP,E是PD的中点,所以AE⊥PD.
又CD∩PD=D,CD,PD 平面PCD,
所以AE⊥平面PCD.
因为MN⊥AB,AB∥CD,
所以MN⊥CD.
又因为MN⊥PC,PC∩CD=C,PC,CD 平面PCD,
所以MN⊥平面PCD,
所以AE∥MN.
10.(14分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为正方形,E为线段AB的中点,PA=AB=2.
(1)求证:BD⊥PC.
(2)求点E到平面PBD的距离.
因为PA⊥平面ABCD,BD 平面ABCD,
所以PA⊥BD.
又底面ABCD为正方形,
所以BD⊥AC.
又PA∩AC=A,且PA,AC 平面PAC,
所以BD⊥平面PAC.
因为PC 平面PAC,
所以BD⊥PC.
所以若点A到平面PBD的距离为d,则点E到平面PBD的距离为.
由题易知PB=PD=BD==2,
所以S△PBD=×2×2×=2.
因为=,所以×(×2×2)×2=×2×d,解得d=.
所以点E到平面PBD的距离为=.
11.(多选题)如图,等边三角形ABC的边长为1,BC边上的高为AD,沿AD把△ABC折起来,则(　　)
[A] 在折起的过程中始终有 AD⊥平面DB′C
[B] 三棱锥A-DB′C体积的最大值为
[C] 当∠B′DC=60°时,点A到B′C的距离为
[D] 当∠B′DC=90°时,点C到平面ADB′的距离为
12.(5分)在三棱锥P-ABC中,已知AB=AC=AP=PB=PC=1,BC=,那么点P到平面ABC的距离为　　　　.
由题意可知PD⊥BC,AD⊥BC.
因为PD∩AD=D,PD,AD 平面PAD,所以BC⊥平面PAD.
过P作AD垂线,垂足为G,则PG⊥AD,
又PG 平面PAD,所以PG⊥BC.
因为BC∩AD=D,BC,AD 平面ABC,
所以PG⊥平面ABC,
即PG为P到平面ABC的距离.
在△PBC中,因为PB=PC=1,BC=,
所以PD=.
又在△ABC中,AB=AC=1,BC=,
所以AD=.
又AP=1,所以△APD为以D为直角顶点的直角三角形,则PD⊥AD,
即D和G重合,则PD=PG=.
13.(16分)如图,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为矩形,PA=AB=BC=1,E是棱PB的中点.
(1)求证:AE⊥PC.
(2)若M,N分别是PD,AC上的点,且==2,Q为MN上任意一点,试判断:三棱锥P-ABQ的体积是否为定值 若是,请证明并求出该定值;若不是,请说明理由.
所以AD⊥PA.又底面ABCD为矩形,
所以AD⊥AB.
又PA∩AB=A且都在平面PAB内,
所以AD⊥平面PAB,又AE 平面PAB,
所以AE⊥AD,又AD∥BC,所以AE⊥BC.
又PA=AB,E是棱PB的中点,所以AE⊥PB.
又BC∩PB=B且都在平面PBC内,
所以AE⊥平面PBC.
又PC 平面PBC,
所以AE⊥PC.
如图,过M作MG∥DA,且MG∩PA=G,
过N作NF∥BC,
且NF∩AB=F,连接GF.
又DA∥CB,所以MG∥CB.
因为==2,
所以==,==,
所以GM=AD=BC=FN,所以GM=FN.
又MG∥CB,所以MG∥FN,故四边形GMNF为平行四边形,所以MN∥GF.
又MN 平面PAB,GF 平面PAB,
所以MN∥平面PAB.
又Q为MN上任意一点,所以Q到平面PAB的距离为定值,又△PAB的面积也为定值,
所以三棱锥P-ABQ的体积是定值.
由(1)知AD⊥平面PAB,由GM∥AD,故GM⊥平面PAB,
所以Q到平面PAB的距离为GM=AD=.
又△PAB的面积为×PA×AB=×1×1=,
所以三棱锥P-ABQ的体积为==×S△PAB×GM=××=,故三棱锥P-ABQ的体积为定值,且定值为.(共28张PPT)
第2课时　直线与平面垂直的性质
1.在发现、推导和应用直线与平面垂直的性质定理的过程中,培养数学抽象、逻辑推理和直观想象的核心素养.2.通过空间距离的求解,培养直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点一　直线与平面垂直的性质定理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线 .
符号语言
图形语言
作用 ①线面垂直 线线平行
②作平行线
平行
a∥b
·疑难解惑·
对直线与平面垂直的理解
直线与平面垂直的常用结论:若两平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.
知识点二　空间距离
直线到平面的距离 一条直线与一个平面 时,这条直线上 到这个平面的距离,叫做这条直线到这个平面的距离
平面到平面的距离 如果两个平面 ,那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都 我们把它叫做这两个平行平面间的距离
平行
任意一点
平行
相等,
·温馨提示·
空间距离中的注意事项
(1)当直线l与平面α相交或l α时,直线l到平面α的距离为0.
(2)当平面α与平面β相交时,平面α到平面β的距离是0.
基础自测
1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线l(与直线BB1不重合)⊥平面ABCD,则有
(　　)
[A] BB1⊥l
[B] BB1∥l
[C] BB1与l异面
[D] BB1与l相交
B
【解析】 因为l⊥平面ABCD,且BB1⊥平面ABCD,直线l与直线BB1不重合,
所以BB1∥l.
故选B.
2.(多选题)已知PA⊥矩形ABCD所在的平面,则下列结论正确的是( 　　)
[A] PB⊥BC
[B] PD⊥CD
[C] PD⊥BD
[D] PA⊥BD
ABD
3.若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1,AB1与底面ABCD成60°角,则A1C1到底面ABCD的距离为　　　　.
4.(人教A版必修第二册P155练习T2改编)已知线段AB在平面 α的同侧,A,B两点到平面α的距离分别为1和3,则线段AB的中点到平面α的距离为　　　.
2
关键能力·素养培优
题型一　直线与平面垂直的性质定理
[例1] 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB上一点,N是A1C的中
点,MN⊥平面A1DC,求证:MN∥AD1.
【证明】 因为四边形ADD1A1为正方形,
所以AD1⊥A1D.
又因为CD⊥平面ADD1A1,
AD1 平面ADD1A1,所以CD⊥AD1.
因为A1D∩CD=D,A1D,CD 平面A1DC,
所以AD1⊥平面A1DC.
又因为MN⊥平面A1DC,
所以MN∥AD1.
·解题策略·
当题中垂直条件很多,但又需证两直线平行关系时,就要考虑直线和平面垂直的性质定理,从而完成垂直向平行的转化.
[变式训练] 如图,在正方体A1B1C1D1-ABCD中,E是A1D上的点,F是AC上的
点,且EF与异面直线AC,A1D都垂直相交.
求证:EF∥BD1.
【证明】 如图所示,连接AB1,B1C,BD,B1D1,
因为DD1⊥平面ABCD,
AC 平面ABCD,
所以DD1⊥AC.
又因为AC⊥BD,
BD∩DD1=D,
BD,DD1 平面BDD1B1,
所以AC⊥平面BDD1B1.
又因为BD1 平面BDD1B1,所以AC⊥BD1.
同理可证BD1⊥B1C.
又因为AC∩B1C=C,AC,B1C 平面AB1C,
所以BD1⊥平面AB1C.
因为EF⊥A1D,A1D∥B1C,
所以EF⊥B1C.
又因为EF⊥AC,AC∩B1C=C,AC,B1C 平面AB1C,
所以EF⊥平面AB1C.
所以EF∥BD1.
[例2] 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2BB1=2BC=2a,E为A1B1的中点,连接EA,EB,EC,BD1和BD.
(1)求直线BD1与平面ABCD所成角的余弦值;
题型二　空间中的距离问题
(2)求直线AD到平面EBC的距离.
·解题策略·
直线到平面的距离、平面到平面的距离一般都转化为点到平面的距离,求点到平面的距离一是考虑直接法,二是考虑等体积法.
B
【解析】 连接B1D,B1D1,在正方体中,DD1⊥平面A1B1C1D1,
A1C1 平面A1B1C1D1,则DD1⊥A1C1,
在正方形A1B1C1D1中,有B1D1⊥A1C1,
因为DD1,B1D1 平面DD1B1,DD1∩B1D1=D1,所以A1C1⊥平面DD1B1,
因为B1D 平面DD1B1,所以A1C1⊥B1D.
同理A1B⊥B1D,A1C1,A1B 平面A1BC1,
A1C1∩A1B=A1,
所以B1D⊥平面A1BC1,同理B1D⊥平面AD1C.
感谢观看8.6.2　直线与平面垂直
第1课时　直线与平面垂直的判定
【课程标准要求】　1.在发现和应用直线与平面垂直的判定定理的过程中,培养数学抽象、逻辑推理和直观想象的核心素养.2.通过求直线与平面所成的角,培养直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养.
知识点一　直线与平面垂直
定义 一般地,如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l与平面α互相垂直
记法 l⊥α
有关 概念 直线l叫做平面α的垂线,平面α叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时,它们唯一的公共点P叫做垂足.过一点作垂直于已知平面的直线,则该点与垂足间的线段,叫做这个点到该平面的垂线段,垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离
画法 画直线与平面垂直时,通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
知识拓展
直线与平面垂直的重要结论
过一点有且只有一条直线与已知平面垂直;过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.
知识点二　直线与平面垂直的判定定理
文字 语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直
符号 语言 l⊥a,l⊥b,a α,b α,a∩b=P l⊥α
图形 语言
对该判定定理中的两条直线的认识
该判定定理中,平面内的两条直线必须是“两条相交直线”而不是“两条平行直线”.
知识点三　直线和平面所成的角
有关概念 对应图形
斜线 与平面α相交,但不和平面α垂直,如图中直线PA
斜足 斜线和平面的交点,如图中点A
斜线 在平 面上 的射 影 过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO,过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影
直线 与平 面所 成的角 定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角 规定:一条直线垂直于平面,它们所成的角是90°;一条直线和平面平行,或在平面内,它们所成的角是0°
取值 范围 [0°,90°]
对直线和平面所成的角的理解
(1)在直线和平面所成角的定义中,点P具有任意性,它是斜线上异于斜足A的任意点.
(2)斜线在平面α上的射影是一条直线,而不是一条线段,它是过斜足和垂足的一条直线.
基础自测
1.空间中直线l和三角形的一边AC及另一边BC的中线同时垂直,则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系一定是(　　)
[A] 平行 [B] 垂直
[C] 相交 [D] 不确定
2.(人教A版必修第二册P152练习T3改编)如图所示,如果MC⊥平面ABCD,四边形ABCD是菱形,那么MA与BD的位置关系是(　　)
[A] 平行 [B] 垂直相交
[C] 垂直但不相交 [D] 相交但不垂直
3.如图所示,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AA1=4,则直线D1B与平面ABCD所成角的正弦值为　 .
所以∠D1BD为直线D1B与平面ABCD所成的角,
在Rt△D1BD中,
sin∠D1BD===.所以直线D1B与平面ABCD所成角的正弦值为.
题型一　直线与平面垂直的定义
[例1] (多选题)下列命题正确的是(　　)
[A] 如果一条直线和一个平面内的两条直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面
[B] 如果一条直线和平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面
[C] 如果一条直线和一个平面内的无数条直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面
[D] 如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面
(1)证明线面垂直:即若任意直线a 平面α,都有l⊥a,则直线l⊥平面α,这里需要强调直线a是任意的,无数条直线也不能代替a的任意性,但是两条相交直线可以代替任意一条直线.
(2)证明线线垂直:即若直线l⊥平面α,直线a 平面α,则l⊥a.
[变式训练] 下列平面中的两条直线与直线a垂直,可以保证直线a与平面垂直的是(　　)
①四边形的两边;②正六边形的两边;③圆的两条直径;④三角形的两边.
[A] ①② [B] ①③ [C] ②③ [D] ③④
对于②,若直线垂直正六边形的两条平行的边,此时不能保证线面垂直;
对于③,圆的两条直径交于圆心,故能保证线面垂直;
对于④,三角形的任意两边一定相交,故能保证线面垂直.
所以可以保证直线与平面垂直的是③④.
故选D.
题型二　直线与平面垂直的判定定理
[例2] (人教B版必修第四册P114例2)如图所示的四棱锥S-ABCD中,已知底面ABCD是一个平行四边形,AC∩BD=O,且SA=SC,SB=SD,求证:SO⊥平面ABCD.
在△SAC中,因为SA=SC,且AO=OC,所以由等腰三角形三线合一可知SO⊥AC.
同理,SO⊥BD.
又因为AC∩BD=O,所以SO⊥平面ABCD.
(1)证明线面垂直的方法.
①线面垂直的定义.(不常用)
②线面垂直的判定定理.
③如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面.
④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,那么它也垂直于另一个平面.
(2)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤.
①在这个平面内找两条直线,使它和这条直线垂直.
②确定这个平面内的两条直线是相交的直线.
③根据判定定理得出结论.
[变式训练] 如图,四边形ABCD是边长为2的正方形,E为边CD的中点,沿AE把△ADE折起,使点D到达点P的位置,且∠PAB=.求证:PE⊥平面PAB.
PE=DE=1,BE==,
因为AP=AB,∠PAB=,
所以△PAB为等边三角形,所以PB=2,
所以PB2+PE2=5=BE2,所以PB⊥PE.
因为PB∩PA=P,PB,PA 平面PAB,
所以PE⊥平面PAB.
题型三　直线与平面所成的角
[例3] 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=1,AA1=1,求BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值.
因为B1D1∩BB1=B1,B1D1,BB1 平面BB1D1D,所以C1O⊥平面BB1D1D,
所以∠C1BO即为直线BC1与平面BB1D1D所成角.
在Rt△B1C1D1中,B1C1·C1D1=B1D1·C1O,
即1×2=×C1O,所以C1O=,
在Rt△C1BO中,
sin∠C1BO===.
所以BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为.
求线面角的方法
(1)求直线和平面所成角的步骤:①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线;②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影,斜线与其射影所成的锐角即为所求的角;③把该角归结在某个三角形中,通过解三角形,求出该角.
(2)求线面角的技巧:在上述步骤中,其中作角是关键,而确定斜线在平面内的射影是作角的关键,几何图形的特征是找射影的依据,射影一般都是一些特殊的点,比如中心、垂心、重心等.
[变式训练] 已知直线l与平面α交于点A,l上的不同两点M,N在α上的射影分别为M′,N′,若MN=M′N′,则l与α所成角的大小为　.
则∠NMB等于l与α所成的角,易证MB=M′N′,所以cos∠NMB===,
又∠NMB∈[0,],所以∠NMB=,即l与α所成角的大小为.若M,N在α的两侧,通过平移可转化为在同侧的情形,结果与上面情况一致,故l与平面α所成角的大小为.
(分值:95分)
单选每题5分.
1.如图所示,α∩β=l,点A,C∈α,点B∈β,且BA⊥α,BC⊥β,那么直线l与直线AC的关系是(　　)
[A] 异面 [B] 平行
[C] 垂直 [D] 平行或垂直
所以BA⊥l.同理BC⊥l.
又BA∩BC=B,所以l⊥平面ABC.
因为AC 平面ABC,
所以l⊥AC.故选C.
2.已知α,β,γ是三个不同的平面,l,m,n是三条不同的直线,且α∩β=l,m,n γ.在下列条件中,能推出l⊥γ的是(　　)
[A] n⊥l,m⊥l [B] m⊥l,n⊥α
[C] n⊥α,m⊥α [D] m⊥α,n⊥β
同理可知,B,C错误;
若m⊥α,n⊥β,可知m与n交于一点,且n⊥l,m⊥l,所以l⊥γ,即D正确.故选D.
3.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M,N分别为线段AC和线段A1B的中点,则直线MN与平面A1B1BA所成的角为(　　)
[A] 60° [B] 45° [C] 30° [D] 75°
又因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
BC⊥平面A1B1BA,
故OM⊥平面A1B1BA,
即ON是MN在平面A1B1BA上的射影,故∠MNO即直线MN与平面A1B1BA所成角,因为N是A1B的中点,故ON=AA1=BC=OM,易得∠MNO=45°,即直线MN与平面A1B1BA所成的角为45°.故选B.
4.我国古代数学名著《九章算术》“商功”中记载“斜解立方,得两堑堵”,堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱.如图,在堑堵ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,AC=BC=AA1=2,则直线A1C与平面ABB1A1所成角的大小为(　　)
[A] 30° [B] 45° [C] 60° [D] 90°
且AC=BC=2,AC⊥BC,
设D是AB中点,连接CD,A1D,
则CD⊥AB,且CD=,
由AA1⊥平面ABC,CD 平面ABC,得AA1⊥CD,又AA1,AB 平面ABB1A1,
所以CD⊥平面ABB1A1,则直线A1C与平面ABB1A1所成的角为锐角∠CA1D,
且A1D 平面ABB1A1,
则CD⊥A1D,
由题意,在Rt△CA1D中A1C=2,
则sin∠CA1D==,故∠CA1D=30°.故选A.
5.在正四面体A-BCD中,AB与平面BCD所成角的正弦值为(　　)
[A] [B] [C] [D]
在Rt△ABH中,设正四面体的棱长为a,则BH=×a=a,AH==a,所以sin α===.故选A.
6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是线段A1C1上任意一点,则AE与平面ABCD所成角的正弦值不可能是(　　)
[A]
[B]
[C]
[D]
因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1,所以点E到平面ABCD的距离为1,AE的最小值为AA1=1,AE的最大值为AC1=,所以AE与平面ABCD所成角的正弦值的最大值为1,最小值为=,所以正弦值的范围是[,1], [,1].故选A.
7.(5分)在三棱锥A-BCD中,CA=CD,BA=BD,E是边AD上的一点,当AD=　　　　AE时,AD⊥平面BCE.
AD⊥平面BCE,证明如下:
AD=2AE时,E是AD中点,
因为CA=CD,BA=BD,
所以AD⊥BE,AD⊥CE,
又BE∩CE=E,BE,CE 平面BCE,所以AD⊥平面BCE.
8.(5分)等腰直角三角形ABC的斜边AB在平面α内,若AC与α所成的角为30°,则斜边上的中线CM与α所成的角为　　　　.
设AC=BC=1,
则AB=,CM=.
因为AC与α所成的角为30°,CO⊥平面α,
所以∠CAO=30°,所以CO=.
又因为∠CMO为CM与平面α所成的角,
所以sin∠CMO==,即∠CMO=45°.
9.(13分)如图,某校操场上正竖一根高16 m的旗杆.为了确保旗杆与地面垂直,某工作人员在点A处挂了一条长20 m的绳子,拉紧绳子并把它的下端放在地面上的C点和D点(C,D和旗杆下端B不在同一条直线上).如果C,D两点和旗杆下端点B的距离均是12 m,那么旗杆就与地面垂直.为什么
因为AB=16 m,BC=BD=12 m,AC=AD=20 m,
所以AB2+BC2=162+122=202=AC2,
AB2+BD2=162+122=202=AD2.
所以∠ABC=∠ABD=90°.
即AB⊥BC,AB⊥BD.
又B,C,D三点不共线,且BC∩BD=B,
所以AB⊥平面BCD,即旗杆与地面垂直.
10.(15分)如图,三棱柱ABC-A1B1C1的侧面BCC1B1是平行四边形,BC1⊥CC1,BC1⊥A1C,且E,F分别是BC,A1B1的中点.
(1)求证:EF∥平面A1C1CA.
(2)在线段AB上是否存在点P,使得BC1⊥平面EFP 若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
因为F,G分别是A1B1,A1C1的中点,
所以FG∥B1C1且FG=B1C1.
在平行四边形BCC1B1中,B1C1∥BC且B1C1=BC,
因为E是BC的中点,所以EC∥B1C1且EC=B1C1.
所以EC∥FG且EC=FG,所以四边形FECG是平行四边形,
所以FE∥GC,
又因为FE 平面A1C1CA,GC 平面A1C1CA,所以EF∥平面A1C1CA.
取AB的中点P,连接PE,PF.
因为BC1⊥CC1,BC1⊥A1C,A1C∩CC1=C,
所以BC1⊥平面ACC1A1,
因为P,E分别为AB,BC的中点,所以PE∥AC,
因为PE 平面ACC1A1,AC 平面ACC1A1,
所以PE∥平面ACC1A1,
又因为EF∥平面ACC1A1,EF∩PE=E,所以平面EFP∥平面ACC1A1,所以BC1⊥平面EFP.
故当点P是线段AB的中点时,BC1⊥平面EFP,此时,=.
11.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为1,侧棱长为2,D为BB1的中点,则A1D与平面AA1C1C所成的角的正弦值为(　　)
[A] [B] [C] [D]
连接A1C,AC1相交于点E,取CC1的中点F,连接EF,DF.
根据作图可知,EF=,DF=1,且∠DFE=60°,取AC的中点G,连接EG,BG,
则可得GE,BD平行且相等,四边形BDEG为平行四边形,DE=BG.
在等边△ABC中,因为G是AC中点,所以BG⊥AC,由勾股定理得,
BG===,
所以DE=BG=.
又因为在△DEF中,DE2+EF2=DF2,所以DE⊥EF,因为AA1⊥平面ABC,BG 平面ABC,
所以AA1⊥BG,DE∥BG,所以AA1⊥DE,
因为EF,AA1是平面AA1C1C内的两条相交直线,所以DE⊥平面AA1C1C,
所以根据线面角的定义,A1D与平面AA1C1C所成的角为∠DA1E,
又因为DA1===,
所以在Rt△DA1E中,sin∠DA1E===.故选B.
12.(5分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BC=CC1,当底面A1B1C1满足条件　　　　　　时,有AB1⊥BC1.(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情况)
可得BC1⊥B1C,
因此,要证AB1⊥BC1,则只要证明BC1⊥平面AB1C,即只要证AC⊥BC1即可.
由直三棱柱可知,AC⊥CC1,所以只要证AC⊥BC即可.
因为A1C1∥AC,B1C1∥BC,故只要证A1C1⊥B1C1即可.(或者能推出A1C1⊥B1C1的条件,如∠A1C1B1=90°等)
13.(17分)如图①,在△ABC中,AB=BC=2,∠B=,E为AC的中点,现将△ABC及其内部以边AB为轴进行旋转,得到如图②所示的新的几何体,点O为C旋转过程中形成的圆的圆心,C′为圆O上任意一点.
(1)求新的几何体的体积;
(2)记EC′与底面OCC′所成角为θ,求sin θ的取值范围.
CO=BCsin =.
因为新的几何体是以AO为高的圆锥减去以BO为高的圆锥后剩余的部分,
所以新的几何体的体积V=×π××(AO-BO)=2π.
(2)如图,取OC的中点F,连接EF,C′F.
因为E,F为AC,CO的中点,
所以EF∥AO,EF=AO=,
因为AO⊥平面OCC′,所以EF⊥平面OCC′,
所以∠EC′F为EC′与底面OCC′所成的角,所以sin θ=sin∠EC′F==.
又因为OF=OC=,
所以C′Fmax=+=,
C′Fmin=-=,
所以C′F∈[,],
所以sin θ==∈[,].第2课时　直线与平面垂直的性质
【课程标准要求】　1.在发现、推导和应用直线与平面垂直的性质定理的过程中,培养数学抽象、逻辑推理和直观想象的核心素养.2.通过空间距离的求解,培养直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养.
知识点一　直线与平面垂直的性质定理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言 a∥b
图形语言
作用 ①线面垂直 线线平行 ②作平行线
对直线与平面垂直的理解
直线与平面垂直的常用结论:若两平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.
知识点二　空间距离
直线到平面的距离 一条直线与一个平面平行时,这条直线上任意一点到这个平面的距离,叫做这条直线到这个平面的距离
平面到平面的距离 如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等,我们把它叫做这两个平行平面间的距离
空间距离中的注意事项
(1)当直线l与平面α相交或l α时,直线l到平面α的距离为0.
(2)当平面α与平面β相交时,平面α到平面β的距离是0.
基础自测
1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线l(与直线BB1不重合)⊥平面ABCD,则有(　　)
[A] BB1⊥l
[B] BB1∥l
[C] BB1与l异面
[D] BB1与l相交
【答案】 B
【解析】 因为l⊥平面ABCD,且BB1⊥平面ABCD,直线l与直线BB1不重合,
所以BB1∥l.
故选B.
2.(多选题)已知PA⊥矩形ABCD所在的平面,则下列结论正确的是(　　)
[A] PB⊥BC
[B] PD⊥CD
[C] PD⊥BD
[D] PA⊥BD
【答案】 ABD
【解析】 PA⊥平面ABCD PA⊥BD,D正确;
BC⊥平面PAB BC⊥PB.
故A正确;同理B正确;C错误.故选ABD.
3.若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1,AB1与底面ABCD成60°角,则A1C1到底面ABCD的距离为　　　　.
【答案】
【解析】 在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,平面ABCD∥平面A1B1C1D1,因为A1C1 平面A1B1C1D1,所以A1C1∥平面ABCD.所以A1C1到底面ABCD的距离为正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的高.因为正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1,AB1与底面ABCD成60°角,所以AA1=.
4.(人教A版必修第二册P155练习T2改编)已知线段AB在平面 α的同侧,A,B两点到平面α的距离分别为1和3,则线段AB的中点到平面α的距离为　　　　.
【答案】 2
【解析】 如图所示,
因为A,B两点到平面α的距离分别为1和3,由梯形的中位线可知,
线段AB的中点M到平面α的距离d==2.
题型一　直线与平面垂直的性质定理
[例1] 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB上一点,N是A1C的中点,MN⊥平面A1DC,求证:MN∥AD1.
【证明】 因为四边形ADD1A1为正方形,
所以AD1⊥A1D.
又因为CD⊥平面ADD1A1,
AD1 平面ADD1A1,所以CD⊥AD1.
因为A1D∩CD=D,A1D,CD 平面A1DC,
所以AD1⊥平面A1DC.
又因为MN⊥平面A1DC,
所以MN∥AD1.
当题中垂直条件很多,但又需证两直线平行关系时,就要考虑直线和平面垂直的性质定理,从而完成垂直向平行的转化.
[变式训练] 如图,在正方体A1B1C1D1-ABCD中,E是A1D上的点,F是AC上的点,且EF与异面直线AC,A1D都垂直相交.
求证:EF∥BD1.
【证明】 如图所示,连接AB1,B1C,BD,B1D1,
因为DD1⊥平面ABCD,
AC 平面ABCD,
所以DD1⊥AC.
又因为AC⊥BD,
BD∩DD1=D,
BD,DD1 平面BDD1B1,
所以AC⊥平面BDD1B1.
又因为BD1 平面BDD1B1,所以AC⊥BD1.
同理可证BD1⊥B1C.
又因为AC∩B1C=C,AC,B1C 平面AB1C,
所以BD1⊥平面AB1C.
因为EF⊥A1D,A1D∥B1C,
所以EF⊥B1C.
又因为EF⊥AC,AC∩B1C=C,
AC,B1C 平面AB1C,
所以EF⊥平面AB1C.
所以EF∥BD1.
题型二　空间中的距离问题
[例2] 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2BB1=2BC=2a,E为A1B1的中点,连接EA,EB,EC,BD1和BD.
(1)求直线BD1与平面ABCD所成角的余弦值;
(2)求直线AD到平面EBC的距离.
【解】(1)因为棱DD1⊥平面ABCD,BD 平面ABCD,
所以DD1⊥BD,
即∠D1BD就是直线BD1与平面ABCD所成的角.
所以cos∠D1BD===.
(2)因为直线AD∥BC,AD 平面EBC,
BC 平面EBC,
所以直线AD∥平面EBC,
所以直线AD到平面EBC的距离即为点A到平面EBC的距离.
由于E为A1B1的中点,所以AE=BE=a,
从而AE2+BE2=4a2=AB2,因此AE⊥BE.
又BC⊥平面ABB1A1,所以BC⊥AE.
又BE∩BC=B,所以AE⊥平面EBC,
所以点A到平面EBC的距离为AE,且为a.
因此,直线AD到平面EBC的距离为a.
直线到平面的距离、平面到平面的距离一般都转化为点到平面的距离,求点到平面的距离一是考虑直接法,二是考虑等体积法.
[变式训练] 正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则平面A1BC1到平面AD1C的距离为(　　)
[A] 1 [B] 2 [C] 3 [D] 4
【答案】 B
【解析】 连接B1D,B1D1,在正方体中,DD1⊥平面A1B1C1D1,A1C1 平面A1B1C1D1,则DD1⊥A1C1,
在正方形A1B1C1D1中,有B1D1⊥A1C1,
因为DD1,B1D1 平面DD1B1,DD1∩B1D1=D1,所以A1C1⊥平面DD1B1,
因为B1D 平面DD1B1,所以A1C1⊥B1D.
同理A1B⊥B1D,A1C1,A1B 平面A1BC1,
A1C1∩A1B=A1,
所以B1D⊥平面A1BC1,同理B1D⊥平面AD1C.
因为正方体棱长为2,
所以A1B1=B1C1=BB1=2,A1C1=A1B=2,
设点B1到平面A1BC1的距离为h,
由=,
得××=××2×2×h,解得h=2,即点B1到平面A1BC1的距离为2,同理点D到平面AD1C的距离为2,
B1D==6,
则平面A1BC1到平面AD1C的距离为6-2-2=2.故选B.
(分值:95分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.如图,在长方体ABCD-A′B′C′D′中,直线AA′与DC的位置关系是(　　)
[A] 平行 [B] 相交
[C] 异面且垂直 [D] 异面但不垂直
【答案】 C
【解析】 在长方体ABCD-A′B′C′D′中,AA′⊥平面ABCD,
因为DC 平面ABCD,所以AA′⊥DC,
又直线AA′与DC不相交且不平行,
所以直线AA′与DC异面且垂直.
故选C.
2.空间中有两条不同的直线m,n和平面α,则下列命题中正确的是(　　)
[A] 若m⊥α,n⊥α,则m∥n
[B] 若m∥α,n∥α,则m∥n
[C] 若m⊥n,n⊥α,则m⊥α
[D] 若m⊥n,n∥α,则m⊥α
【答案】 A　
【解析】 对于A,m⊥α,n⊥α,由线面垂直的性质知,m∥n,A正确;
对于B,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ABCD视为平面α,棱A1B1,A1D1所在直线分别视为直线m,n,如图,
显然有m∥α,n∥α,此时m与n相交,B不正确;
对于C,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ABCD视为平面α,棱A1B1,AA1所在直线分别视为直线m,n,显然有m⊥n,n⊥α,此时m∥α,C不正确;
对于D,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ABCD视为平面α,棱A1B1,A1D1所在直线分别视为直线m,n,显然有m⊥n,n∥α,此时m∥α,D不正确.故选A.
3.已知直线l∩平面α于点O,A∈l,B∈l,A α,B α,且OA=AB.若AC⊥平面α,垂足为C,BD⊥平面α,垂足为D,AC=1,则BD等于(　　)
[A] 2 [B] 1 [C] [D]
【答案】 A
【解析】 如图,因为AC⊥平面α,BD⊥平面α,所以AC∥BD.
连接OD,所以=.
因为OA=AB,所以=.
因为AC=1,所以BD=2.故选A.
4.若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3,则点B到平面ACD1的距离为(　　)
[A] [B] [C] 2 [D] 3
【答案】 A　
【解析】 设点B到平面ACD1的距离为d,因为正方体棱长为3,所以AC=AD1=CD1=3,
则=×=,
S△ABC=×3×3=,
由=,
得·d=S△ABC×DD1,
即d=×3,解得d=.
所以点B到平面ACD1的距离为.故选A.
5.如图所示,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是(　　)
[A] 2
[B]
[C] 2
[D] 2
【答案】 B　
【解析】 连接AB1交A1B于点E,
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,B1C1∥BC,
因为B1C1 平面A1BCD1,BC 平面A1BCD1,
所以B1C1∥平面A1BCD1,
则直线B1C1到平面A1BCD1的距离即为点B1到平面A1BCD1的距离,
因为BC⊥平面AA1B1B,
AB1 平面AA1B1B,
所以BC⊥AB1,又A1B⊥AB1,且A1B∩BC=B,A1B,BC 平面A1BCD1,
所以AB1⊥平面A1BCD1,
则点B1到平面A1BCD1的距离即为B1E,
而A1B1=BB1=2,则AB1=2,
所以B1E=AB1=.故选B.
6.(多选题)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点,则下列说法正确的是(　　)
[A] MN与BD平行
[B] MN与AC垂直
[C] MN与CC1垂直
[D] MN与A1B1平行
【答案】 ABC
【解析】 连接C1D,由于N是CD1的中点,所以C1,N,D三点共线,则N是C1D的中点,
由于M是BC1的中点,
所以MN∥BD,A选项正确.
根据正方体的性质可知CC1⊥平面ABCD,
由于BD 平面ABCD,
所以CC1⊥BD,
所以CC1⊥MN,C选项正确.
由于AC⊥BD,所以MN⊥AC,B选项正确.
由于A1B1∥AB,AB与BD相交,所以MN与A1B1不平行,D选项错误.故选ABC.
7.(5分)如图,线段AB,BD在平面α内,BD⊥AB,AC⊥α,且AB=3,BD=4,AC=5.则C,D两点之间的距离为　　　　.
【答案】 5
【解析】 因为BD⊥AB,
所以AD2=AB2+BD2=32+42=25,
因为AC⊥α,AD α,所以AC⊥AD,
所以CD2=AD2+AC2=25+25=50,所以CD=5.
8.(5分)将一个直角三角板放置在桌面上方,如图,记直角三角板为△ABC,其中C=,AB=14,BC=7,记桌面为平面α.若C∈α,且BC与平面α所成的角为,则点A到平面α的距离的最大值为　　　　.
【答案】
【解析】 如图,过B作BB1⊥α,交α于B1,过A作AA1⊥α,交α于A1,
因为在Rt△ABC中,
∠ACB=,BC=7,AB=14,
所以AC===7,当A,B,B1,C四点共面时,点A到α的距离最大.
因为BB1⊥α,所以∠BCB1是BC与平面α所成的角,所以∠BCB1=,故∠ACA1=,
于是AA1=ACsin =7×=,即A到α的最大距离为.
9.(13分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,AB⊥平面PAD,AD=AP,E是PD的中点,M,N分别在AB,PC上,且MN⊥AB,MN⊥PC.求证:AE∥MN.
【证明】 因为AB⊥平面PAD,AE 平面PAD,
所以AE⊥AB,
又AB∥CD,所以AE⊥CD.
因为AD=AP,E是PD的中点,所以AE⊥PD.
又CD∩PD=D,CD,PD 平面PCD,
所以AE⊥平面PCD.
因为MN⊥AB,AB∥CD,
所以MN⊥CD.
又因为MN⊥PC,PC∩CD=C,PC,CD 平面PCD,
所以MN⊥平面PCD,
所以AE∥MN.
10.(14分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为正方形,E为线段AB的中点,PA=AB=2.
(1)求证:BD⊥PC.
(2)求点E到平面PBD的距离.
(1)【证明】 连接AC(图略).
因为PA⊥平面ABCD,BD 平面ABCD,
所以PA⊥BD.
又底面ABCD为正方形,
所以BD⊥AC.
又PA∩AC=A,且PA,AC 平面PAC,
所以BD⊥平面PAC.
因为PC 平面PAC,
所以BD⊥PC.
(2)【解】 因为E为线段AB的中点,
所以若点A到平面PBD的距离为d,则点E到平面PBD的距离为.
由题易知PB=PD=BD==2,
所以S△PBD=×2×2×=2.
因为=,所以×(×2×2)×2=×2×d,解得d=.
所以点E到平面PBD的距离为=.
11.(多选题)如图,等边三角形ABC的边长为1,BC边上的高为AD,沿AD把△ABC折起来,则(　　)
[A] 在折起的过程中始终有 AD⊥平面DB′C
[B] 三棱锥A-DB′C体积的最大值为
[C] 当∠B′DC=60°时,点A到B′C的距离为
[D] 当∠B′DC=90°时,点C到平面ADB′的距离为
【答案】 ACD
【解析】 因为AD⊥DC,AD⊥DB′,且DC∩DB′=D,所以AD⊥平面DB′C,故A正确;当DB′⊥DC时,△DB′C的面积最大,此时三棱锥A-DB′C的体积也最大,最大值为××××=,故B错误;当∠B′DC=60°时,△DB′C是等边三角形,设B′C的中点为E,连接AE(图略),则AE⊥B′C,即AE为点A到B′C的距离,AE==,故C正确;当∠B′DC=90°时,CD⊥DB′,CD⊥AD,故CD⊥平面ADB′,则CD就是点C到平面ADB′的距离,CD=,故D正确.故选ACD.
12.(5分)在三棱锥P-ABC中,已知AB=AC=AP=PB=PC=1,BC=,那么点P到平面ABC的距离为　　　　.
【答案】
【解析】 取BC中点为D,连接PD,AD.
由题意可知PD⊥BC,AD⊥BC.
因为PD∩AD=D,PD,AD 平面PAD,所以BC⊥平面PAD.
过P作AD垂线,垂足为G,则PG⊥AD,
又PG 平面PAD,所以PG⊥BC.
因为BC∩AD=D,BC,AD 平面ABC,
所以PG⊥平面ABC,
即PG为P到平面ABC的距离.
在△PBC中,因为PB=PC=1,BC=,
所以PD=.
又在△ABC中,AB=AC=1,BC=,
所以AD=.
又AP=1,所以△APD为以D为直角顶点的直角三角形,则PD⊥AD,
即D和G重合,则PD=PG=.
13.(16分)如图,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为矩形,PA=AB=BC=1,E是棱PB的中点.
(1)求证:AE⊥PC.
(2)若M,N分别是PD,AC上的点,且==2,Q为MN上任意一点,试判断:三棱锥P-ABQ的体积是否为定值 若是,请证明并求出该定值;若不是,请说明理由.
(1)【证明】 因为PA⊥平面ABCD,AD 平面ABCD,
所以AD⊥PA.又底面ABCD为矩形,
所以AD⊥AB.
又PA∩AB=A且都在平面PAB内,
所以AD⊥平面PAB,又AE 平面PAB,
所以AE⊥AD,又AD∥BC,所以AE⊥BC.
又PA=AB,E是棱PB的中点,所以AE⊥PB.
又BC∩PB=B且都在平面PBC内,
所以AE⊥平面PBC.
又PC 平面PBC,
所以AE⊥PC.
(2)【解】 三棱锥P-ABQ的体积是定值,且定值为,理由如下:
如图,过M作MG∥DA,且MG∩PA=G,
过N作NF∥BC,
且NF∩AB=F,连接GF.
又DA∥CB,所以MG∥CB.
因为==2,
所以==,==,
所以GM=AD=BC=FN,所以GM=FN.
又MG∥CB,所以MG∥FN,故四边形GMNF为平行四边形,所以MN∥GF.
又MN 平面PAB,GF 平面PAB,
所以MN∥平面PAB.
又Q为MN上任意一点,所以Q到平面PAB的距离为定值,又△PAB的面积也为定值,
所以三棱锥P-ABQ的体积是定值.
由(1)知AD⊥平面PAB,由GM∥AD,故GM⊥平面PAB,
所以Q到平面PAB的距离为GM=AD=.
又△PAB的面积为×PA×AB=×1×1=,
所以三棱锥P-ABQ的体积为==×S△PAB×GM=××=,故三棱锥P-ABQ的体积为定值,且定值为.8.6.2　直线与平面垂直
第1课时　直线与平面垂直的判定
【课程标准要求】　1.在发现和应用直线与平面垂直的判定定理的过程中,培养数学抽象、逻辑推理和直观想象的核心素养.2.通过求直线与平面所成的角,培养直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养.
知识点一　直线与平面垂直
定义 一般地,如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l与平面α互相垂直
记法 l⊥α
有关 概念 直线l叫做平面α的垂线,平面α叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时,它们唯一的公共点P叫做垂足.过一点作垂直于已知平面的直线,则该点与垂足间的线段,叫做这个点到该平面的垂线段,垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离
画法 画直线与平面垂直时,通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
知识拓展
直线与平面垂直的重要结论
过一点有且只有一条直线与已知平面垂直;过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.
知识点二　直线与平面垂直的判定定理
文字 语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直
符号 语言 l⊥a,l⊥b,a α,b α,a∩b=P l⊥α
图形 语言
对该判定定理中的两条直线的认识
该判定定理中,平面内的两条直线必须是“两条相交直线”而不是“两条平行直线”.
知识点三　直线和平面所成的角
有关概念 对应图形
斜线 与平面α相交,但不和平面α垂直,如图中直线PA
斜足 斜线和平面的交点,如图中点A
斜线 在平 面上 的射 影 过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO,过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影
直线 与平 面所 成的角 定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角 规定:一条直线垂直于平面,它们所成的角是90°;一条直线和平面平行,或在平面内,它们所成的角是0°
取值 范围 [0°,90°]
对直线和平面所成的角的理解
(1)在直线和平面所成角的定义中,点P具有任意性,它是斜线上异于斜足A的任意点.
(2)斜线在平面α上的射影是一条直线,而不是一条线段,它是过斜足和垂足的一条直线.
基础自测
1.空间中直线l和三角形的一边AC及另一边BC的中线同时垂直,则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系一定是(　　)
[A] 平行 [B] 垂直
[C] 相交 [D] 不确定
【答案】 B
【解析】 由于直线l和三角形的一边AC及另一边BC的中线同时垂直,所以直线l和三角形所在的平面垂直,又因为三角形的第三边AB在这个平面内,所以一定有l⊥AB.故选B.
2.(人教A版必修第二册P152练习T3改编)如图所示,如果MC⊥平面ABCD,四边形ABCD是菱形,那么MA与BD的位置关系是(　　)
[A] 平行 [B] 垂直相交
[C] 垂直但不相交 [D] 相交但不垂直
【答案】 C
【解析】 连接AC(图略).因为四边形ABCD是菱形,所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD,所以BD⊥MC.因为AC∩MC=C,AC,MC 平面AMC,所以BD⊥平面AMC.又MA 平面AMC,所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面,因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交.故选C.
3.如图所示,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AA1=4,则直线D1B与平面ABCD所成角的正弦值为　 .
【答案】
【解析】 因为DD1⊥平面ABCD,
所以∠D1BD为直线D1B与平面ABCD所成的角,
在Rt△D1BD中,
sin∠D1BD===.所以直线D1B与平面ABCD所成角的正弦值为.
题型一　直线与平面垂直的定义
[例1] (多选题)下列命题正确的是(　　)
[A] 如果一条直线和一个平面内的两条直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面
[B] 如果一条直线和平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面
[C] 如果一条直线和一个平面内的无数条直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面
[D] 如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面
【答案】 BD
【解析】 A中两条直线一定是两条相交直线,如果是两条平行直线,结论不成立;C中的无数条直线如果是平行直线,结论也不成立;只有B与D才成立.故选BD.
(1)证明线面垂直:即若任意直线a 平面α,都有l⊥a,则直线l⊥平面α,这里需要强调直线a是任意的,无数条直线也不能代替a的任意性,但是两条相交直线可以代替任意一条直线.
(2)证明线线垂直:即若直线l⊥平面α,直线a 平面α,则l⊥a.
[变式训练] 下列平面中的两条直线与直线a垂直,可以保证直线a与平面垂直的是(　　)
①四边形的两边;②正六边形的两边;③圆的两条直径;④三角形的两边.
[A] ①② [B] ①③ [C] ②③ [D] ③④
【答案】 D
【解析】 对于①,四边形中的两条边可能平行,如平行四边形的对边,此时不能保证线面垂直;
对于②,若直线垂直正六边形的两条平行的边,此时不能保证线面垂直;
对于③,圆的两条直径交于圆心,故能保证线面垂直;
对于④,三角形的任意两边一定相交,故能保证线面垂直.
所以可以保证直线与平面垂直的是③④.
故选D.
题型二　直线与平面垂直的判定定理
[例2] (人教B版必修第四册P114例2)如图所示的四棱锥S-ABCD中,已知底面ABCD是一个平行四边形,AC∩BD=O,且SA=SC,SB=SD,求证:SO⊥平面ABCD.
【证明】 由已知可得O为AC的中点.
在△SAC中,因为SA=SC,且AO=OC,所以由等腰三角形三线合一可知SO⊥AC.
同理,SO⊥BD.
又因为AC∩BD=O,所以SO⊥平面ABCD.
(1)证明线面垂直的方法.
①线面垂直的定义.(不常用)
②线面垂直的判定定理.
③如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面.
④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,那么它也垂直于另一个平面.
(2)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤.
①在这个平面内找两条直线,使它和这条直线垂直.
②确定这个平面内的两条直线是相交的直线.
③根据判定定理得出结论.
[变式训练] 如图,四边形ABCD是边长为2的正方形,E为边CD的中点,沿AE把△ADE折起,使点D到达点P的位置,且∠PAB=.求证:PE⊥平面PAB.
【证明】 由题可知PA⊥PE,
PE=DE=1,BE==,
因为AP=AB,∠PAB=,
所以△PAB为等边三角形,所以PB=2,
所以PB2+PE2=5=BE2,所以PB⊥PE.
因为PB∩PA=P,PB,PA 平面PAB,
所以PE⊥平面PAB.
题型三　直线与平面所成的角
[例3] 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=1,AA1=1,求BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值.
【解】 连接B1D1,过点C1作C1O⊥B1D1于点O,连接OB,由长方体的性质知,BB1⊥平面A1B1C1D1,所以BB1⊥C1O.
因为B1D1∩BB1=B1,B1D1,BB1 平面BB1D1D,所以C1O⊥平面BB1D1D,
所以∠C1BO即为直线BC1与平面BB1D1D所成角.
在Rt△B1C1D1中,B1C1·C1D1=B1D1·C1O,
即1×2=×C1O,所以C1O=,
在Rt△C1BO中,
sin∠C1BO===.
所以BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为.
求线面角的方法
(1)求直线和平面所成角的步骤:①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线;②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影,斜线与其射影所成的锐角即为所求的角;③把该角归结在某个三角形中,通过解三角形,求出该角.
(2)求线面角的技巧:在上述步骤中,其中作角是关键,而确定斜线在平面内的射影是作角的关键,几何图形的特征是找射影的依据,射影一般都是一些特殊的点,比如中心、垂心、重心等.
[变式训练] 已知直线l与平面α交于点A,l上的不同两点M,N在α上的射影分别为M′,N′,若MN=M′N′,则l与α所成角的大小为　.
【答案】
【解析】 若M,N在α的同侧,如图所示,过M作MB∥AN′交NN′于点B,
则∠NMB等于l与α所成的角,易证MB=M′N′,所以cos∠NMB===,
又∠NMB∈[0,],所以∠NMB=,即l与α所成角的大小为.若M,N在α的两侧,通过平移可转化为在同侧的情形,结果与上面情况一致,故l与平面α所成角的大小为.
(分值:95分)
单选每题5分.
1.如图所示,α∩β=l,点A,C∈α,点B∈β,且BA⊥α,BC⊥β,那么直线l与直线AC的关系是(　　)
[A] 异面 [B] 平行
[C] 垂直 [D] 平行或垂直
【答案】 C
【解析】 因为BA⊥α,α∩β=l,l α,
所以BA⊥l.同理BC⊥l.
又BA∩BC=B,所以l⊥平面ABC.
因为AC 平面ABC,
所以l⊥AC.故选C.
2.已知α,β,γ是三个不同的平面,l,m,n是三条不同的直线,且α∩β=l,m,n γ.在下列条件中,能推出l⊥γ的是(　　)
[A] n⊥l,m⊥l [B] m⊥l,n⊥α
[C] n⊥α,m⊥α [D] m⊥α,n⊥β
【答案】 D
【解析】 当m∥n时(如图所示),由n⊥l,m⊥l推不出l⊥γ,即A错误;
同理可知,B,C错误;
若m⊥α,n⊥β,可知m与n交于一点,且n⊥l,m⊥l,所以l⊥γ,即D正确.故选D.
3.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M,N分别为线段AC和线段A1B的中点,则直线MN与平面A1B1BA所成的角为(　　)
[A] 60° [B] 45° [C] 30° [D] 75°
【答案】 B
【解析】 如图,取AB的中点O,连接OM,ON,因为M是AC的中点,故OM∥BC,
又因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
BC⊥平面A1B1BA,
故OM⊥平面A1B1BA,
即ON是MN在平面A1B1BA上的射影,故∠MNO即直线MN与平面A1B1BA所成角,因为N是A1B的中点,故ON=AA1=BC=OM,易得∠MNO=45°,即直线MN与平面A1B1BA所成的角为45°.故选B.
4.我国古代数学名著《九章算术》“商功”中记载“斜解立方,得两堑堵”,堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱.如图,在堑堵ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,AC=BC=AA1=2,则直线A1C与平面ABB1A1所成角的大小为(　　)
[A] 30° [B] 45° [C] 60° [D] 90°
【答案】 A　
【解析】 由题设知,直三棱柱底面为等腰直角三角形,
且AC=BC=2,AC⊥BC,
设D是AB中点,连接CD,A1D,
则CD⊥AB,且CD=,
由AA1⊥平面ABC,CD 平面ABC,得AA1⊥CD,又AA1,AB 平面ABB1A1,
所以CD⊥平面ABB1A1,则直线A1C与平面ABB1A1所成的角为锐角∠CA1D,
且A1D 平面ABB1A1,
则CD⊥A1D,
由题意,在Rt△CA1D中A1C=2,
则sin∠CA1D==,故∠CA1D=30°.故选A.
5.在正四面体A-BCD中,AB与平面BCD所成角的正弦值为(　　)
[A] [B] [C] [D]
【答案】 A
【解析】 在正四面体A-BCD中,设高为AH,则H为底面正三角形BCD的外心,连接BH,则∠ABH=α,就是AB与平面BCD所成的角,
在Rt△ABH中,设正四面体的棱长为a,则BH=×a=a,AH==a,所以sin α===.故选A.
6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是线段A1C1上任意一点,则AE与平面ABCD所成角的正弦值不可能是(　　)
[A]
[B]
[C]
[D]
【答案】 A
【解析】 设正方体的棱长为1,
因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1,所以点E到平面ABCD的距离为1,AE的最小值为AA1=1,AE的最大值为AC1=,所以AE与平面ABCD所成角的正弦值的最大值为1,最小值为=,所以正弦值的范围是[,1], [,1].故选A.
7.(5分)在三棱锥A-BCD中,CA=CD,BA=BD,E是边AD上的一点,当AD=　　　　AE时,AD⊥平面BCE.
【答案】 2
【解析】 当AD=2AE时,
AD⊥平面BCE,证明如下:
AD=2AE时,E是AD中点,
因为CA=CD,BA=BD,
所以AD⊥BE,AD⊥CE,
又BE∩CE=E,BE,CE 平面BCE,所以AD⊥平面BCE.
8.(5分)等腰直角三角形ABC的斜边AB在平面α内,若AC与α所成的角为30°,则斜边上的中线CM与α所成的角为　　　　.
【答案】 45°
【解析】如图,设C在平面α内的射影为点O,连接CO,AO,MO,如图所示.
设AC=BC=1,
则AB=,CM=.
因为AC与α所成的角为30°,CO⊥平面α,
所以∠CAO=30°,所以CO=.
又因为∠CMO为CM与平面α所成的角,
所以sin∠CMO==,即∠CMO=45°.
9.(13分)如图,某校操场上正竖一根高16 m的旗杆.为了确保旗杆与地面垂直,某工作人员在点A处挂了一条长20 m的绳子,拉紧绳子并把它的下端放在地面上的C点和D点(C,D和旗杆下端B不在同一条直线上).如果C,D两点和旗杆下端点B的距离均是12 m,那么旗杆就与地面垂直.为什么
【解】 在△ABC和△ABD中,
因为AB=16 m,BC=BD=12 m,AC=AD=20 m,
所以AB2+BC2=162+122=202=AC2,
AB2+BD2=162+122=202=AD2.
所以∠ABC=∠ABD=90°.
即AB⊥BC,AB⊥BD.
又B,C,D三点不共线,且BC∩BD=B,
所以AB⊥平面BCD,即旗杆与地面垂直.
10.(15分)如图,三棱柱ABC-A1B1C1的侧面BCC1B1是平行四边形,BC1⊥CC1,BC1⊥A1C,且E,F分别是BC,A1B1的中点.
(1)求证:EF∥平面A1C1CA.
(2)在线段AB上是否存在点P,使得BC1⊥平面EFP 若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
(1)【证明】 取A1C1中点G,连接FG,CG.
因为F,G分别是A1B1,A1C1的中点,
所以FG∥B1C1且FG=B1C1.
在平行四边形BCC1B1中,B1C1∥BC且B1C1=BC,
因为E是BC的中点,所以EC∥B1C1且EC=B1C1.
所以EC∥FG且EC=FG,所以四边形FECG是平行四边形,
所以FE∥GC,
又因为FE 平面A1C1CA,GC 平面A1C1CA,所以EF∥平面A1C1CA.
(2)【解】 当点P为线段AB的中点时,BC1⊥平面EFP,理由如下:
取AB的中点P,连接PE,PF.
因为BC1⊥CC1,BC1⊥A1C,A1C∩CC1=C,
所以BC1⊥平面ACC1A1,
因为P,E分别为AB,BC的中点,所以PE∥AC,
因为PE 平面ACC1A1,AC 平面ACC1A1,
所以PE∥平面ACC1A1,
又因为EF∥平面ACC1A1,EF∩PE=E,所以平面EFP∥平面ACC1A1,所以BC1⊥平面EFP.
故当点P是线段AB的中点时,BC1⊥平面EFP,此时,=.
11.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为1,侧棱长为2,D为BB1的中点,则A1D与平面AA1C1C所成的角的正弦值为(　　)
[A] [B] [C] [D]
【答案】 B
【解析】 如图所示,
连接A1C,AC1相交于点E,取CC1的中点F,连接EF,DF.
根据作图可知,EF=,DF=1,且∠DFE=60°,取AC的中点G,连接EG,BG,
则可得GE,BD平行且相等,四边形BDEG为平行四边形,DE=BG.
在等边△ABC中,因为G是AC中点,所以BG⊥AC,由勾股定理得,
BG===,
所以DE=BG=.
又因为在△DEF中,DE2+EF2=DF2,所以DE⊥EF,因为AA1⊥平面ABC,BG 平面ABC,
所以AA1⊥BG,DE∥BG,所以AA1⊥DE,
因为EF,AA1是平面AA1C1C内的两条相交直线,所以DE⊥平面AA1C1C,
所以根据线面角的定义,A1D与平面AA1C1C所成的角为∠DA1E,
又因为DA1===,
所以在Rt△DA1E中,sin∠DA1E===.故选B.
12.(5分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BC=CC1,当底面A1B1C1满足条件　　　　　　时,有AB1⊥BC1.(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情况)
【答案】 A1C1⊥B1C1(或者能推出A1C1⊥B1C1的条件,如∠A1C1B1=90°等)
【解析】 如图所示,连接B1C,由BC=CC1,
可得BC1⊥B1C,
因此,要证AB1⊥BC1,则只要证明BC1⊥平面AB1C,即只要证AC⊥BC1即可.
由直三棱柱可知,AC⊥CC1,所以只要证AC⊥BC即可.
因为A1C1∥AC,B1C1∥BC,故只要证A1C1⊥B1C1即可.(或者能推出A1C1⊥B1C1的条件,如∠A1C1B1=90°等)
13.(17分)如图①,在△ABC中,AB=BC=2,∠B=,E为AC的中点,现将△ABC及其内部以边AB为轴进行旋转,得到如图②所示的新的几何体,点O为C旋转过程中形成的圆的圆心,C′为圆O上任意一点.
(1)求新的几何体的体积;
(2)记EC′与底面OCC′所成角为θ,求sin θ的取值范围.
【解】 (1)连接AO,CO,在△AOC中,由题可得AO=AB+BCcos =3,BO=BCcos =1,
CO=BCsin =.
因为新的几何体是以AO为高的圆锥减去以BO为高的圆锥后剩余的部分,
所以新的几何体的体积V=×π××(AO-BO)=2π.
(2)如图,取OC的中点F,连接EF,C′F.
因为E,F为AC,CO的中点,
所以EF∥AO,EF=AO=,
因为AO⊥平面OCC′,所以EF⊥平面OCC′,
所以∠EC′F为EC′与底面OCC′所成的角,所以sin θ=sin∠EC′F==.
又因为OF=OC=,
所以C′Fmax=+=,
C′Fmin=-=,
所以C′F∈[,],
所以sin θ==∈[,].

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