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(共30张PPT)
第2课时　平面与平面
垂直的性质
掌握面面垂直的性质定理,并能利用面面垂直的性质定理证明一些简单的
问题.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点　平面与平面垂直的性质定理
文字 语言 两个平面垂直,如果一个平面内有一直线 这两个平面的
,那么这条直线与另一个平面 .
符号 语言
图形 语言
作用 ①面面垂直 垂直;②作面的垂线
垂直于
交线
垂直
a α
a⊥l
线面
『知识拓展』
平面与平面垂直的其他性质
(1)如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内,即α⊥β,A∈α,A∈b,b⊥β b α.
(2)如果两个平面互相垂直,那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面,即α⊥β,γ∥β γ⊥α.
(3)如果两个平面互相垂直,那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内,即α⊥β,b⊥β b∥α或b α.
(4)如果两个相交平面都垂直于第三个平面,那么它们的交线垂直于第三个平面,即α∩β=l,α⊥γ,β⊥γ l⊥γ.
(5)三个两两垂直的平面的交线也两两垂直,即 α⊥β,α∩β=l,β⊥γ,β∩γ=m,
γ⊥α,γ∩α=n l⊥m,m⊥n,l⊥n.
基础自测
1.已知平面α⊥平面β,直线l⊥平面α,则l与β的位置关系是(　　)
[A] 垂直 [B] 平行
[C] l β [D] 平行或l β
D
【解析】 如图,l∥β或l β.故选D.
2.若平面α⊥平面β,平面β⊥平面γ,则(　　)
[A] α∥γ
[B] α⊥γ
[C] α与γ相交但不垂直
[D] 以上都有可能
D
【解析】 α与γ可能平行、相交但不垂直、垂直.故选D.
3.(人教A版必修第二册P162练习T3改编)已知直线m,n和平面α,β,若α⊥β,
α∩β=m,n α,要使 n⊥β,则应增加的条件是(　　)
[A] m∥n [B] n⊥m
[C] n∥α [D] n⊥α
B
【解析】 由面面垂直的性质定理知,若α⊥β,α∩β=m,n α,应增加的条件为n⊥m,才能使得n⊥β.故选B.
4.平面α⊥平面β,α∩β=l,n β,n⊥l,直线m⊥α,则直线m与n的位置关系是
　　　　　.
平行
【解析】 由题意知n⊥α,又因为m⊥α,所以m∥n.
关键能力·素养培优
题型一　平面与平面垂直的性质定理
[例1] 在如图三棱锥P-ABC中,△PAB,△ABC均为等边三角形,PA=4,O为AB中点,点D在AC上,满足AD=1,且平面PAB⊥平面ABC.求证:DC⊥平面POD.
又平面PAB⊥平面ABC,
平面PAB∩平面ABC=AB,且PO⊥AB,PO 平面PAB,
所以由面面垂直的性质定理可得PO⊥平面ABC.
又AD 平面ABC,所以PO⊥AD.
因为AD⊥OD,AD⊥PO,OD∩PO=O,OD,PO 平面POD,
所以AD⊥平面POD,即DC⊥平面POD.
·解题策略·
利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时,要注意以下三点:(1)两个平面垂直;(2)直线必须在其中一个平面内;(3)直线必须垂直于它们的交线.
[变式训练] 如图所示,P是四边形ABCD所在平面外的一点,G为AD边中点,四边形ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形.△PAD为正三角形,且平面PAD⊥平面ABCD.求证:
(1)BG⊥平面PAD;
【证明】 (1)如图,连接PG,BD.
因为四边形ABCD是菱形且∠DAB=60°,
所以△ABD是正三角形.
因为G为AD的中点,
所以BG⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD,
且平面PAD∩平面ABCD=AD,BG 平面ABCD,
所以BG⊥平面PAD.
(2)AD⊥PB.
【证明】 (2)由(1)可知BG⊥AD,
因为△PAD为正三角形,G为AD的中点,
所以PG⊥AD.
又PG∩BG=G,PG,BG 平面PBG,
所以AD⊥平面PBG,
又PB 平面PBG,所以AD⊥PB.
题型二　与面面垂直有关的计算
·解题策略·
平面与平面垂直的性质定理的主要应用就是过一个平面内一点作另一个平面的垂线,因此涉及已知条件中含平面与平面垂直的计算问题,主要是利用性质定理作出平面的垂线,将问题转化为直角三角形中的计算问题.
[变式训练] 在三棱锥P-ABC中,平面PAC⊥平面ABC,∠PCA=90°,△ABC是边长为4的正三角形,PC=4,M是AB边上的一动点,则PM的最小值为　　　.
题型三　折叠问题
·解题策略·
解决折叠问题的策略
(1)抓住折叠前后的变量与不变量,一般情况下,在折线同侧的量,折叠前后不变,“跨过”折线的量,折叠前后可能会发生变化,这是解决这类问题的关键.
(2)在解题时仔细审视从平面图形到立体图形的几何特征的变化情况.注意相应的点、直线、平面间的位置关系,线段的长度,角度的变化情况.
[变式训练] 如图①,山形图是两个全等的直角梯形ABCD和ABEF的组合图,将直角梯形ABEF沿底边AB翻折,得到图②所示的几何体.已知AB∥CD∥EF,AB=2CD=2EF,AB⊥BE,点N在线段CE上,且EN=2NC,在几何体BCE-ADF中,解决下面的问题.
(1)求证:AE∥平面BND;
【证明】 (1)连接AC与BD相交于O,连接ON.
由于AB=2CD,且 AB∥CD,
所以OC∶OA=CD∶AB=1∶2.
又EN=2NC,
所以ON∥AE,
AE 平面BND,ON 平面BND,所以AE∥平面BND.
(2)若平面BDE⊥平面ABCD,求证:BE⊥AD.
【证明】(2)过C作CM⊥BD交BD于M,
由于平面BDE⊥平面ABCD,
且两平面交线为BD,CM 平面ABCD,
所以CM⊥平面BED,又BE 平面BED,故CM⊥BE.又AB⊥EB,且AB,CM是平面ABCD内的两相交直线,所以 BE⊥平面ABCD.
又AD 平面ABCD,
所以BE⊥AD.
感谢观看8.6.3　平面与平面垂直
第1课时　平面与平面垂直的判定
【课程标准要求】　1.通过学习二面角的有关概念及二面角大小的求法,培养数学抽象、直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养.2.在发现、推导和应用平面与平面垂直的判定定理的过程中,培养数学抽象、直观想象和逻辑推理的核心素养.
知识点一　二面角的概念
1.二面角
项目 二面角
定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. 这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面. 如图,记作:二面角 α-l-β或二面角P-AB-Q或二面角P-l-Q
范围 [0,π]
2.二面角的平面角
文字语言 在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角
图形语言
二面角的 大小与平 面角的关系 二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角
范围 [0,π]
对二面角的平面角的理解
(1)二面角的大小与垂足O在l上的位置无关,一个二面角的平面角有无数个,它们的大小是相等的.
(2)构成二面角的平面角的三要素:“棱上”“面内”“垂直”,即二面角的平面角的顶点必须在棱上,角的两边必须分别在两个半平面内,角的两边必须都与棱垂直,这三个条件缺一不可,前两个要素决定了二面角的平面角大小的唯一性,后一个要素表明平面角所在的平面与棱垂直.
(3)当两个半平面重合时,θ=0°;当两个半平面合成一个平面时,θ=180°;当两个半平面垂直时,θ=90°,此时的二面角称为直二面角.
知识点二　平面与平面垂直
1.定义
项目 平面与平面垂直
定义 两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直,记作:α⊥β
画法 通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直
2.判定定理
文字语言 如果一个平面过另一个平面的垂线,那么这两个平面垂直
图形语言
符号语言 l⊥α,l β α⊥β
基础自测
1.已知l⊥α,则过l与α垂直的平面(　　)
[A] 有1个 [B] 有2个
[C] 有无数个 [D] 不存在
【答案】 C
【解析】 由面面垂直的判定定理知,凡过l的平面都垂直于平面α,这样的平面有无数个.
故选C.
2.对于直线m,n和平面α,β,能得出α⊥β的一个条件是(　　)
[A] m⊥n,m∥α,n∥β
[B] m⊥n,α∩β=m,n α
[C] m∥n,n⊥β,m α
[D] m∥n,m⊥α,n⊥β
【答案】 C
【解析】 因为n⊥β,m∥n,所以m⊥β,又m α,由面面垂直的判定定理得α⊥β.故选C.
3.从空间一点P向二面角α-l-β的两个面α,β分别作垂线PE,PF,E,F为垂足,若∠EPF=60°,则二面角α-l-β的平面角为　　　　　　　.
【答案】 60°或120°
【解析】 因为PE⊥α,PF⊥β,
所以P,E,F三点确定的平面垂直于α和β.
过点E作l的垂线,垂足为O,连接OF,易知l⊥OF且P,E,O,F四点共面,
则∠FOE为二面角的平面角,
如图①所示,
此时,∠FOE+∠EPF=180°,
所以二面角α-l-β的平面角为120°.
当点P的位置如图②所示时,
此时∠FOE=∠EPF,
所以二面角α-l-β的平面角为60°.
题型一　二面角的概念及求法
[例1] 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,PA⊥平面ABCD.PA=AB=BC=4,CD=3,M为侧棱PC的中点.求二面角M-AD-B的正切值.
【解】 取AC中点O,连接OM,过点O作OH⊥AD于点H,连接MH,OD.
因为点O,M分别为AC,PC的中点,所以OM∥PA,OM=PA=2,
所以OM⊥平面ABCD.
因为OH 平面ABCD,AD 平面ABCD,
所以OM⊥OH,OM⊥AD.
因为OH∩OM=O,OH,OM 平面MHO,
所以AD⊥平面MHO.
因为HM 平面MHO,所以AD⊥HM,
所以∠MHO为二面角M-AD-B的平面角,
在直角梯形ABCD中,AD==.
因为S△AOD=AD·OH=S△ADC=·CD·BC=3,所以OH=,
所以tan∠MHO==,
即二面角M-AD-B的正切值为.
二面角的平面角的常见求法
(1)定义法:利用二面角的平面角的定义,在二面角的棱上取一点(一般取特殊点),过该点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线,两射线所成的角就是二面角的平面角,这是一种最基本的方法.
(2)找(作)公垂面法:由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直,因此公垂面与两个面的交线所成的角,就是二面角的平面角.
[变式训练] 已知正三棱锥P-ABC侧棱与底面边长都相等,则二面角P-AB-C的正弦值为　　　　.
【答案】
【解析】 设正三棱锥 P-ABC 的棱长均为2,
取AB的中点D,连接PD,CD,
则PD⊥AB,CD⊥AB,且PD=CD=,可知二面角P-AB-C的平面角为∠PDC∈(0,),
由余弦定理可得
cos∠PDC===,
则sin∠PDC==,
所以二面角P-AB-C的正弦值为.
题型二　平面与平面垂直的判定定理
[例2] (苏教版必修第二册P193例4)如图,在正方体ABCD-A′B′C′D′中,求证:平面A′C′CA⊥平面B′D′DB.
【证明】 因为AA′⊥平面ABCD,且BD 平面ABCD,所以AA′⊥BD.
又因为AC⊥BD,
且AA′∩AC=A,AA′,AC 平面A′C′CA,
所以BD⊥平面A′C′CA.
又因为BD 平面B′D′DB,
所以平面A′C′CA⊥平面B′D′DB.
证明平面与平面垂直的方法
(1)利用定义:证明二面角的平面角为直角.
(2)利用面面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直,即要证面面垂直,只要转证线面垂直,其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直.
[变式训练] 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为正方形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=2,E为线段PD的中点,F为线段PC(不含端点)上的动点.
求证:平面AEF⊥平面PCD.
【证明】 因为底面ABCD为正方形,
所以CD⊥AD,
又因为PA⊥平面ABCD,CD 平面ABCD,所以PA⊥CD.
又PA∩AD=A,PA,AD 平面PAD,
所以CD⊥平面PAD,由AE 平面PAD,
可得CD⊥AE,
因为PA=AD,且E为PD的中点,
所以AE⊥PD,
由CD∩PD=D,CD,PD 平面PCD,可得 AE⊥平面PCD,又AE 平面AEF,所以平面AEF⊥平面PCD.
(分值:95分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.在二面角α-l-β的棱l上任选一点O,若∠AOB是二面角α-l-β的平面角,则必须具有的条件是(　　)
[A] AO⊥BO,AO α,BO β
[B] AO⊥l,BO⊥l
[C] AB⊥l,AO α,BO β
[D] AO⊥l,BO⊥l,且AO α,BO β
【答案】 D
【解析】 根据二面角的平面角的定义可得D正确.故选D.
2.下列命题中正确的是(　　)
[A] 平面α和β分别过两条互相垂直的直线,则α⊥β
[B] 若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线,则α⊥β
[C] 若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线,则α⊥β
[D] 若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线,则α⊥β
【答案】 C
【解析】 当平面α和β分别过两条互相垂直且异面的直线时,平面α和β有可能平行,故A不正确;一条直线垂直于平面内的两条相交直线才能得出线面垂直,由平面与平面垂直的判定定理知B,D均不正确,C正确.故选C.
3.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,二面角D1-BC-A的大小是(　　)
[A] 30° [B] 45° [C] 60° [D] 90°
【答案】 B
【解析】 由题意得,
D1C⊥BC,DC⊥BC,
可知∠D1CD为二面角 D1-BC-A 的平面角,
且四边形DCC1D1为正方形,则∠D1CD=45°,
所以二面角D1-BC-A的大小是45°.
故选B.
4.如图,PA垂直于矩形ABCD所在的平面,则图中与平面PCD垂直的平面是(　　)
[A] 平面ABCD
[B] 平面PBC
[C] 平面PAD
[D] 平面PAB
【答案】 C
【解析】 因为PA⊥平面ABCD,CD 平面ABCD,
所以PA⊥CD,
由四边形ABCD为矩形得CD⊥AD,
因为PA∩AD=A,
所以CD⊥平面PAD.
又CD 平面PCD,
所以平面PCD⊥平面PAD.
故选C.
5.如图所示,空间四边形PABC的各边都相等,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,下列四个结论中不正确的是(　　)
[A] DF∥平面PBC
[B] AB⊥平面PDC
[C] 平面PEF⊥平面ABC
[D] 平面PAE⊥平面PBC
【答案】 C
【解析】 对于A,连接DF,由于D,F分别是AB,AC的中点,
所以DF∥BC,由于DF 平面PBC,BC 平面PBC,
所以DF∥平面PBC,故A正确.
对于B,连接PD,CD,
由于三角形PAB和三角形ABC是等边三角形,
D是AB的中点,
所以PD⊥AB,CD⊥AB,
由于PD∩CD=D,PD,CD 平面PDC,所以AB⊥平面PDC,故B正确.
对于C,几何体P-ABC是正四面体,
设P在底面ABC上的射影为O,连接PO,则PO⊥平面ABC,
且O是等边三角形ABC的中心,
连接PE,PF,EF,由于E,F分别是BC,AC的中点,
所以EF是等边三角形ABC的中位线,所以 O EF,
所以平面PEF与平面ABC不垂直,故C错误.
对于D,连接AE,PE,
同理B选项的分析可得 BC⊥平面PAE,
由于BC 平面PBC,所以平面PAE⊥平面PBC,故D正确.
故选C.
6.(多选题)如图,在三棱锥 P-ABC中,已知PC⊥BC,PC⊥AC,E,F,G分别是所在棱的中点,则下列结论正确的是(　　)
[A] 平面EFG∥平面PBC
[B] 平面EFG⊥平面ABC
[C] ∠BPC是直线EF与PC所成的角
[D] ∠FEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角
【答案】 ABC
【解析】 A正确,因为E,F,G分别是所在棱的中点,所以GF∥PC,GE∥CB,因为GF∩GE=G,PC∩CB=C,所以平面EFG∥平面PBC;B正确,因为PC⊥BC,PC⊥AC,PC∥GF,所以GF⊥BC,GF⊥AC,又BC∩AC=C,所以GF⊥平面ABC,因为GF 平面EFG,所以平面EFG⊥平面ABC;C正确,易知EF∥BP,所以∠BPC是直线EF与PC所成的角;D错误,因为FE,GE与AB不一定垂直,所以∠FEG不一定是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角.故选ABC.
7.(5分)如图所示,在三棱锥 P-ABC 中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,则二面角 B-PA-C 的大小等于　 .
【答案】 90°
【解析】 因为PA⊥平面ABC,
所以PA⊥AB,PA⊥AC.
所以∠BAC为二面角B-PA-C的平面角.
又∠BAC=90°,所以所求二面角的大小为90°.
8.(5分)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足　　　　时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的答案即可)
【答案】 DM⊥PC(或BM⊥PC等)
【解析】 由题意得BD⊥AC,
因为PA⊥平面ABCD,
所以PA⊥BD.
又PA∩AC=A,PA,AC 平面PAC,
所以BD⊥平面PAC,所以BD⊥PC.
所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,
即有PC⊥平面MBD,而PC 平面PCD,
所以平面MBD⊥平面PCD.
9.(13分)如图,在四面体A1-ABC中,A1A⊥平面ABC,AB⊥BC,且AA1=AB.
(1)四面体A1-ABC中有几组互相垂直的平面
(2)求二面角A-A1B-C和A1-BC-A的大小.
【解】 (1)由A1A⊥平面ABC,A1A 平面A1AB,得平面A1AB⊥平面ABC;同理可得平面A1AC⊥平面ABC.
因为A1A⊥平面ABC,BC 平面ABC,
所以A1A⊥BC.
又因为AB⊥BC,A1A 平面A1AB,AB 平面A1AB,A1A∩AB=A,
所以BC⊥平面A1AB.
因为BC 平面A1BC,所以平面A1BC⊥平面A1AB.
于是四面体A1-ABC中互相垂直的平面为
平面A1AB⊥平面ABC,平面A1AC⊥平面ABC,平面A1BC⊥平面A1AB,有3组互相垂直的平面.
(2)由(1)知,平面A1BC⊥平面A1AB,所以二面角A-A1B-C为90°.
由BC⊥平面A1AB,得A1B⊥BC,又AB⊥BC,所以∠A1BA是二面角A1-BC-A的平面角.
在Rt△A1AB中,A1A=AB,则∠A1BA=45°,即二面角A1-BC-A为45°.
10.(14分)如图,在四面体ABCD中,O在线段AC上,且DO⊥平面ABC,AB⊥BC,AC=AD=2,BC=CD=1.
(1)求四面体ABCD的体积;
(2)求平面ABC与平面ABD所成角的正切值.
【解】 (1)在△ACD中,AC=AD=2,CD=1,
则cos∠ACD==,
sin∠ACD==.
因为DO=CDsin∠ACD=,在△ABC中,AB⊥BC,BC=1,则AB==,
S△ABC=AB·BC=,
所以四面体ABCD的体积
V=S△ABC·DO=××=.
(2)因为DO⊥平面ABC,AB 平面ABC,
所以DO⊥AB.
过O作OE∥BC交AB于E,连接DE,
由AB⊥BC,得OE⊥AB.
因为OE∩DO=O,OE,DO 平面DOE,所以AB⊥平面DOE.
又DE 平面DOE,所以AB⊥DE,∠DEO是平面ABC与平面ABD所成的角,
由(1)知OC=,AO=,由=,得 OE=,
所以平面ABC与平面ABD所成角的正切值
tan∠DEO==.
11.(多选题)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥BC,BC=CD=AB=2,E为AB的中点.以DE为折痕把△ADE折起,使点A到达点P的位置,且PC=2,则(　　)
[A] 平面PED⊥平面PCD
[B] PC⊥BD
[C] 二面角P-DC-B的大小为
[D] PC与平面PED所成角的正切值为
【答案】 ABC
【解析】 连接EC,BD(图略),由题易知EC=2,又PE=2,PC=2,所以PE2+EC2=PC2,所以PE⊥EC,又PE⊥ED,ED∩EC=E,所以 PE⊥平面DEBC,所以PE⊥DC,又DC⊥DE,PE∩DE=E,所以DC⊥平面PED,又DC 平面PCD,所以平面PED⊥平面PCD,故A正确;由四边形EBCD是正方形,得BD⊥EC,又 PE⊥平面DEBC,所以PE⊥BD,所以BD⊥平面PEC,又PC 平面PEC,所以PC⊥BD,故B正确;易知∠PDE即为二面角 P-DC-B 的平面角,又PE⊥ED,PE=ED,所以∠PDE=,故 C正确;易知∠CPD为PC与平面PED所成的角,又PD=2,CD=2,CD⊥PD,所以 tan∠CPD===,故D错误.
故选ABC.
12.(5分)如图,已知二面角 α-l-β 的大小为60°,在棱上取线段AB=,AC,BD分别在平面α和平面β内,它们都垂直于交线AB,并且AC=1,BD=2,则CD的长为　　　　.
【答案】
【解析】 作AE∥BD,且使AE=BD,连接DE,则四边形ABDE为平行四边形,DE=AB,由BD⊥l,得AE⊥l,又α∩β=l,AC α,AE β,AC⊥l,则∠CAE为二面角α-l-β的平面角,
于是∠CAE=60°,因为AC=1,BD=2,
所以CE2=AC2+AE2-2AC·AEcos 60°=1+4-2×1×2×=3,
又l⊥平面EAC,所以DE⊥平面EAC,DE⊥CE,
所以CD2=CE2+DE2=3+3=6,即CD=.
13.(16分)如图,四边形ABCD为圆台O1O2的轴截面,AB=2CD,圆台的母线与底面所成的角为60°,母线长为2,P是弧上的点,CP=,E为AP的中点.
(1)求证:DE∥平面BCP.
(2)求平面ACP与平面BCP夹角的余弦值.
(1)【证明】 取BP中点F,连接EF,CF,
因为EF∥AB,EF=AB,CD∥AB,CD=AB,
所以EF∥CD,EF=CD,所以EFCD为平行四边形,所以DE∥CF,又DE 平面BCP,CF 平面BCP,所以DE∥平面BCP.
(2)【解】 过C作CH⊥AB于点H,易知CH⊥圆台底面,因为圆台的母线与底面所成的角为60°,母线长为2,
所以CD=2,AB=4,
所以CH=,BH=1,又CP=,
所以PH=,O1H=1,
又O1P=2,所以PH2+O1H2=O1P2,
所以PH⊥O1B,又由PH=CH=,AH=3,
可得AP=AC=2,BC=BP=2,
取PC中点Q,连接AQ,BQ,
所以AQ⊥PC,BQ⊥PC,
则∠AQB为二面角A-PC-B的平面角,
又易知AQ===,
BQ===,所以cos∠AQB==-=-,
所以平面ACP与平面BCP夹角的余弦值为.第2课时　平面与平面垂直的性质
【课程标准要求】　掌握面面垂直的性质定理,并能利用面面垂直的性质定理证明一些简单的问题.
知识点　平面与平面垂直的性质定理
文字 语言 两个平面垂直,如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线,那么这条直线与另一个平面垂直
符号 语言 a⊥β
图形 语言
作用 ①面面垂直 线面垂直;②作面的垂线
知识拓展
平面与平面垂直的其他性质
(1)如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内,即α⊥β,A∈α,A∈b,b⊥β b α.
(2)如果两个平面互相垂直,那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面,即α⊥β,γ∥β γ⊥α.
(3)如果两个平面互相垂直,那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内,即α⊥β,b⊥β b∥α或b α.
(4)如果两个相交平面都垂直于第三个平面,那么它们的交线垂直于第三个平面,即α∩β=l,α⊥γ,β⊥γ l⊥γ.
(5)三个两两垂直的平面的交线也两两垂直,即α⊥β,α∩β=l,β⊥γ,β∩γ=m,γ⊥α,γ∩α=n l⊥m,m⊥n,l⊥n.
基础自测
1.已知平面α⊥平面β,直线l⊥平面α,则l与β的位置关系是(　　)
[A] 垂直 [B] 平行
[C] l β [D] 平行或l β
2.若平面α⊥平面β,平面β⊥平面γ,则(　　)
[A] α∥γ
[B] α⊥γ
[C] α与γ相交但不垂直
[D] 以上都有可能
3.(人教A版必修第二册P162练习T3改编)已知直线m,n和平面α,β,若α⊥β,α∩β=m,n α,要使 n⊥β,则应增加的条件是(　　)
[A] m∥n [B] n⊥m
[C] n∥α [D] n⊥α
4.平面α⊥平面β,α∩β=l,n β,n⊥l,直线m⊥α,则直线m与n的位置关系是　　　　　.
题型一　平面与平面垂直的性质定理
[例1] 在如图三棱锥P-ABC中,△PAB,△ABC均为等边三角形,PA=4,O为AB中点,点D在AC上,满足AD=1,且平面PAB⊥平面ABC.求证:DC⊥平面POD.
所以AB=PA=4,AO=2AD=2,∠DAO=60°.
由余弦定理可知,
DO==,
所以在△AOD中,有AO2=AD2+OD2,
所以△AOD为直角三角形,且OD⊥AD.
又平面PAB⊥平面ABC,
平面PAB∩平面ABC=AB,且PO⊥AB,PO 平面PAB,
所以由面面垂直的性质定理可得PO⊥平面ABC.
又AD 平面ABC,所以PO⊥AD.
因为AD⊥OD,AD⊥PO,OD∩PO=O,OD,PO 平面POD,
所以AD⊥平面POD,即DC⊥平面POD.
利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时,要注意以下三点:(1)两个平面垂直;(2)直线必须在其中一个平面内;(3)直线必须垂直于它们的交线.
[变式训练] 如图所示,P是四边形ABCD所在平面外的一点,G为AD边中点,四边形ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形.△PAD为正三角形,且平面PAD⊥平面ABCD.求证:
(1)BG⊥平面PAD;
(2)AD⊥PB.
因为四边形ABCD是菱形且∠DAB=60°,
所以△ABD是正三角形.
因为G为AD的中点,
所以BG⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD,
且平面PAD∩平面ABCD=AD,BG 平面ABCD,
所以BG⊥平面PAD.
(2)由(1)可知BG⊥AD,
因为△PAD为正三角形,G为AD的中点,
所以PG⊥AD.
又PG∩BG=G,PG,BG 平面PBG,
所以AD⊥平面PBG,
又PB 平面PBG,所以AD⊥PB.
题型二　与面面垂直有关的计算
[例2] (人教B版必修第四册P121例2)如图所示,已知α⊥β,在α与β的交线上取线段AB=,且AC,BD分别在平面α和平面β内,它们都垂直于交线AB,并且AC=1,BD=2,求CD的长.
所以BD⊥α.
又因为BC α,所以BD⊥BC,因此△CBD是直角三角形.
在Rt△BAC中,有BC===2.
进而在Rt△CBD中,有CD===2.
平面与平面垂直的性质定理的主要应用就是过一个平面内一点作另一个平面的垂线,因此涉及已知条件中含平面与平面垂直的计算问题,主要是利用性质定理作出平面的垂线,将问题转化为直角三角形中的计算问题.
[变式训练] 在三棱锥P-ABC中,平面PAC⊥平面ABC,∠PCA=90°,△ABC是边长为4的正三角形,PC=4,M是AB边上的一动点,则PM的最小值为　　　　.
题型三　折叠问题
[例3] 如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,AB=3DC=3BC,DE⊥AB于E点,沿DE将△ADE折起,使得点A到点P位置,∠PEB=90°,N是棱BC上的动点(与B,C不重合).判断在棱PB上是否存在一点M,使平面EMN⊥平面PBC,若存在,求;若不存在,说明理由.
理由如下:由PE⊥EB,PE⊥ED,
EB∩ED=E,EB,ED 平面EBCD,
所以PE⊥平面EBCD.
又BC 平面EBCD,
所以PE⊥BC.
又BC⊥BE,PE∩BE=E,PE,BE 平面PEB,所以BC⊥平面PEB.
又BC 平面PBC,
所以平面PBC⊥平面PEB.
又平面PBC∩平面PEB=PB,
作EM⊥PB,则EM⊥平面PBC.
又EM 平面EMN,
所以平面EMN⊥平面PBC.
由题意,不妨设AB=3DC=3BC=3,
则在Rt△PEB中,PE=2,EB=1,BP=,由等面积得=,所以EM=,
则BM==,所以=.
解决折叠问题的策略
(1)抓住折叠前后的变量与不变量,一般情况下,在折线同侧的量,折叠前后不变,“跨过”折线的量,折叠前后可能会发生变化,这是解决这类问题的关键.
(2)在解题时仔细审视从平面图形到立体图形的几何特征的变化情况.注意相应的点、直线、平面间的位置关系,线段的长度,角度的变化情况.
[变式训练] 如图①,山形图是两个全等的直角梯形ABCD和ABEF的组合图,将直角梯形ABEF沿底边AB翻折,得到图②所示的几何体.已知 AB∥CD∥EF,AB=2CD=2EF,AB⊥BE,点N在线段CE上,且EN=2NC,在几何体BCE-ADF中,解决下面的问题.
(1)求证:AE∥平面BND;
(2)若平面BDE⊥平面ABCD,求证:BE⊥AD.
由于AB=2CD,且 AB∥CD,
所以OC∶OA=CD∶AB=1∶2.
又EN=2NC,
所以ON∥AE,
AE 平面BND,ON 平面BND,所以AE∥平面BND.
(2)过C作CM⊥BD交BD于M,
由于平面BDE⊥平面ABCD,
且两平面交线为BD,CM 平面ABCD,
所以CM⊥平面BED,又BE 平面BED,故CM⊥BE.又AB⊥EB,且AB,CM是平面ABCD内的两相交直线,所以 BE⊥平面ABCD.
又AD 平面ABCD,
所以BE⊥AD.
(分值:95分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,在平面ABB1A1内任取一点M,作ME⊥AB于点E,则(　　)
[A] ME⊥平面ABCD
[B] ME 平面ABCD
[C] ME∥平面ABCD
[D] 以上都有可能
又平面ABB1A1⊥平面ABCD,平面ABB1A1∩平面ABCD=AB,
所以ME⊥平面ABCD.故选A.
2.已知m,n为不同的直线,α,β为不同的平面,若n⊥β,m∥n,则“α⊥β”是“m∥α”的(　　)
[A] 充分不必要条件
[B] 必要不充分条件
[C] 充要条件
[D] 既不充分也不必要条件
若α⊥β,则m∥α或m α,“α⊥β”不是“m∥α”的充分条件;
若m∥α,则存在过直线m的平面γ与平面α相交,令交线为l,则l∥m,而m⊥β,
于是l⊥β,又l α,因此α⊥β,即“α⊥β”是“m∥α”的必要条件,
所以“α⊥β”是“m∥α”的必要不充分条件.故选B.
3.如图,A,B,C,D为空间四点,在△ABC中,AB=2,AC=BC=,等边三角形ADB以AB为轴旋转,当平面ADB⊥平面ABC时,CD等于(　　)
[A] [B] 2 [C] [D] 1
因为△ADB是等边三角形,
所以DE⊥AB.
当平面ADB⊥平面ABC时,因为平面ADB∩平面ABC=AB,DE 平面ADB,
所以DE⊥平面ABC,可知DE⊥CE.
由已知可得,DE===,
AB=2,AC=BC=,
所以CA2+CB2=AB2,
所以CA⊥CB,EC=AB=1,
在Rt△DEC中,CD===2.故选B.
4.如图,在四面体A-BCD中,AB=AC,BC⊥BD,平面ABC⊥平面BCD,O为线段BC的中点,则下列判断错误的是(　　)
[A] AC⊥BD
[B] BD⊥平面ABC
[C] AB⊥CD
[D] AO⊥平面BCD
所以BD⊥平面ABC,即B正确;
因为AC 平面ABC,所以BD⊥AC,即A正确;
因为AB=AC,O为线段BC的中点,
所以BC⊥AO,同理可得AO⊥平面BCD,即D正确;
因为BD⊥平面ABC,AB 平面ABC,
所以BD⊥AB,
若AB⊥CD,BD∩CD=D,BD,CD 平面BCD,
则AB⊥平面BCD,
显然B,O不重合,故C错误.故选C.
5.已知在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,E是AD的中点,沿直线BE将△ABE翻折成△A′BE,则三棱锥A′-BDE的体积的最大值为(　　)
[A] [B] [C] [D]
当平面A′BE⊥平面BCDE时,点A′到平面BCDE的距离取得最大值,取BE的中点F,因为A′B=A′E=2,可得 A′F⊥BE,
因为平面A′BE∩平面BCDE=BE,
且A′F 平面A′BE,所以A′F⊥平面BCDE,
在直角△A′BE中,可得A′F=,
即三棱锥A′-BDE的高为h=,
又由三角形BDE的面积为S=×2×2=2,
所以三棱锥A′-BDE的体积的最大值
V=Sh=×2×=.故选B.
6.如图,点N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角形,平面ECD⊥平面 ABCD,M是线段EB的中点,则(　　)
[A] DM≠EN,且直线DM,EN是异面直线
[B] DM=EN,且直线DM,EN是异面直线
[C] DM≠EN,且直线DM,EN是相交直线
[D] DM=EN,且直线DM,EN是相交直线
因为点N为正方形ABCD的中心,所以N是BD的中点,
所以DM,EN 平面BDE,所以DM与EN相交.
因为四边形ABCD是正方形,所以BC⊥CD.
又因为平面ECD⊥平面ABCD,
平面ECD∩平面ABCD=CD,
所以BC⊥平面ECD,因为EC,CD 平面ECD,所以BC⊥EC,BC⊥CD.
又因为△ECD是等边三角形,所以EC=CD,
所以△ECB≌△DCB,所以EB=DB.
又因为M是BE的中点,所以EN=DM.故选D.
7.(5分)α,β是两个不同的平面,m,n是平面α及β之外的两条不同直线,给出四个论断:
①m⊥n,②α⊥β,③m⊥β,④n⊥α.
以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题:　.
如图,若①③④则②,成立;
如图,若①②④则③,不成立;
如图,若①②③则④,不成立.
8.(5分)如图,在三棱台ABC-A1B1C1中,平面ACC1A1⊥平面ABC,AB⊥BC,且AC=2A1C1=4,侧面ACC1A1是面积为6 的等腰梯形,则侧棱BB1的长度为　　　　.
如图所示,因为四边形ACC1A1是等腰梯形,所以OO1⊥AC,
又平面ACC1A1⊥平面ABC,平面ACC1A1∩平面 ABC=AC,OO1 平面ACC1A1,
所以OO1⊥平面ABC,
又OB 平面ABC,所以OO1⊥OB,
所以=×(4+2)·OO1=6,
所以OO1=2.
又△ABC和△A1B1C1是直角三角形,AC=4,A1C1=2,所以OB=2,O1B1=1.
在直角梯形OBB1O1中,BB1===3.
9.(13分)如图,已知AB是☉O的直径,C是圆周上不同于A,B的任意一点,平面PAC⊥平面ABC.试判断BC与平面PAC的位置关系,并证明.
因为AB是☉O的直径,C是圆周上不同于A,B的任意一点,所以∠ACB=90°,
因此BC⊥AC.
已知平面PAC⊥平面ABC,
而平面PAC∩平面ABC=AC,平面ABC内的直线BC垂直于AC,所以BC⊥平面PAC.
10.(14分)已知四边形ABCD为直角梯形,∠ADC=90°,AD∥BC,△ABD为等腰直角三角形,平面PAD⊥平面ABCD,E为PA的中点,AD=2BC=2,PA=3PD=3.
求证:(1)BE∥平面PDC;
(2)AB⊥平面PBD.
因为E为PA的中点,
所以EF∥AD且EF=AD,
又AD∥BC,AD=2BC,
所以EF∥BC且EF=BC,
故四边形BCFE为平行四边形,
所以BE∥CF,
因为BE 平面PDC,CF 平面PDC,
所以BE∥平面PDC.
(2)由题意,AD=2BC=2,PA=3PD=3.
因为AD2+PD2=PA2,
所以PD⊥AD,
又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PD 平面PAD,
所以PD⊥平面ABCD,
因为AB 平面ABCD,
所以PD⊥AB,
因为△ABD为等腰直角三角形,
所以BD⊥AB,
因为PD∩BD=D,PD,BD 平面PBD,
所以AB⊥平面PBD.
11.(多选题)如图所示,在四边形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD=,BD⊥CD.将四边形 ABCD 沿对角线BD折成四面体A′-BCD,使平面A′BD⊥平面BCD,则下列结论不正确的是(　　)
[A] A′C⊥BD
[B] ∠BA′C=90°
[C] A′C与平面A′BD所成的角为30°
[D] 四面体A′-BCD的体积为
所以CD⊥平面A′BD,
在四边形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD=,所以AB⊥AD.
对于A,CD⊥BD,
若A′C⊥BD,CD∩A′C=C,CD,A′C 平面A′CD,
则BD⊥平面A′CD,又A′D 平面A′CD,
则BD⊥A′D,显然不成立,故A错误;
对于B,因为CD⊥平面A′BD,A′B 平面 A′BD,所以CD⊥A′B,
因为A′B⊥A′D,CD∩A′D=D,CD,A′D 平面A′CD,
所以A′B⊥平面A′CD,因为A′C 平面A′CD,
所以A′B⊥A′C,所以∠BA′C=90°,故B正确;
对于C,因为CD⊥平面A′BD,所以∠CA′D为A′C与平面A′BD所成的角,
因为A′D=CD=1,所以∠CA′D=45°,故 C错误;
对于D,因为CD⊥平面A′BD,故CD为四面体C-A′BD的高,
所以=×·A′B·A′D·CD=××1×1×1=,故D错误.
故选ACD.
12.(多选题)如图,在梯形ABCD中,BC∥AD,∠ABC=90°,AD∶BC∶AB=2∶3∶4,E,F分别是AB,CD的中点,将四边形ADFE沿直线EF进行翻折.在翻折的过程中,可能成立的结论是(　　)
[A] DF⊥BC
[B] BD⊥FC
[C] 平面BDF⊥平面BCF
[D] 平面DCF⊥平面BCF
对于B,设点D在平面BCF上的射影为点P,当BP⊥CF时就有BD⊥FC,而AD∶BC∶AB=2∶3∶4,∠BCF为锐角,所以可作出BP⊥CF,从而满足条件,所以B正确;
对于C,当点P落在BF上时,DP 平面BDF,从而平面BDF⊥平面BCF,所以C正确;
对于D,因为AD∶BC=2∶3,AD∶EF=4∶5,所以点D的投影不可能在CF上,所以平面 DCF⊥平面BCF不成立,即D错误.
故选BC.
13.(16分)如图,将边长为 的正方形ABCD沿对角线AC折起,使得点D到点D′的位置,连接BD′,O为AC的中点.
(1)若平面D′AC⊥平面ABC,求点O到平面 D′BC的距离;
(2)不考虑点D′与点B重合的位置,若二面角 A-BD′-C 的余弦值为-,求BD′的长度.
则OD′⊥AC.
因为平面D′AC⊥平面ABC,OD′ 平面D′AC,
所以OD′⊥平面ABC.
又OB 平面ABC,
所以OD′⊥OB.
又正方形ABCD的边长为,
所以OD′=OB=OC=1,BD′=BC=D′C=.
设点O到平面D′BC的距离为h,则
=,
所以××1×1×1=××()2·h,
所以h=,即点O到平面D′BC的距离为.
(2)取D′B的中点E,连接AE,EC.
因为AB=AD′=BC=D′C=,
所以AE⊥BD′,EC⊥BD′,
所以∠AEC为二面角A-BD′-C的平面角,
所以cos∠AEC=-.
由题可知△ABD′≌△CBD′,
在△AEC中,AC=2,AE=CE,
cos∠AEC==-,
所以AE2=CE2=,
所以D′E2=AD′2-AE2=2-=,
所以D′B=2D′E=.第2课时　平面与平面垂直的性质
【课程标准要求】　掌握面面垂直的性质定理,并能利用面面垂直的性质定理证明一些简单的问题.
知识点　平面与平面垂直的性质定理
文字 语言 两个平面垂直,如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线,那么这条直线与另一个平面垂直
符号 语言 a⊥β
图形 语言
作用 ①面面垂直 线面垂直;②作面的垂线
知识拓展
平面与平面垂直的其他性质
(1)如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内,即α⊥β,A∈α,A∈b,b⊥β b α.
(2)如果两个平面互相垂直,那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面,即α⊥β,γ∥β γ⊥α.
(3)如果两个平面互相垂直,那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内,即α⊥β,b⊥β b∥α或b α.
(4)如果两个相交平面都垂直于第三个平面,那么它们的交线垂直于第三个平面,即α∩β=l,α⊥γ,β⊥γ l⊥γ.
(5)三个两两垂直的平面的交线也两两垂直,即α⊥β,α∩β=l,β⊥γ,β∩γ=m,γ⊥α,γ∩α=n l⊥m,m⊥n,l⊥n.
基础自测
1.已知平面α⊥平面β,直线l⊥平面α,则l与β的位置关系是(　　)
[A] 垂直 [B] 平行
[C] l β [D] 平行或l β
【答案】 D
【解析】 如图,l∥β或l β.故选D.
2.若平面α⊥平面β,平面β⊥平面γ,则(　　)
[A] α∥γ
[B] α⊥γ
[C] α与γ相交但不垂直
[D] 以上都有可能
【答案】 D
【解析】 α与γ可能平行、相交但不垂直、垂直.故选D.
3.(人教A版必修第二册P162练习T3改编)已知直线m,n和平面α,β,若α⊥β,α∩β=m,n α,要使 n⊥β,则应增加的条件是(　　)
[A] m∥n [B] n⊥m
[C] n∥α [D] n⊥α
【答案】 B
【解析】 由面面垂直的性质定理知,若α⊥β,α∩β=m,n α,应增加的条件为n⊥m,才能使得n⊥β.故选B.
4.平面α⊥平面β,α∩β=l,n β,n⊥l,直线m⊥α,则直线m与n的位置关系是　　　　　.
【答案】 平行
【解析】 由题意知n⊥α,又因为m⊥α,所以m∥n.
题型一　平面与平面垂直的性质定理
[例1] 在如图三棱锥P-ABC中,△PAB,△ABC均为等边三角形,PA=4,O为AB中点,点D在AC上,满足AD=1,且平面PAB⊥平面ABC.求证:DC⊥平面POD.
【证明】 因为△PAB,△ABC为等边三角形,O为AB的中点,
所以AB=PA=4,AO=2AD=2,∠DAO=60°.
由余弦定理可知,
DO==,
所以在△AOD中,有AO2=AD2+OD2,
所以△AOD为直角三角形,且OD⊥AD.
又平面PAB⊥平面ABC,
平面PAB∩平面ABC=AB,且PO⊥AB,PO 平面PAB,
所以由面面垂直的性质定理可得PO⊥平面ABC.
又AD 平面ABC,所以PO⊥AD.
因为AD⊥OD,AD⊥PO,OD∩PO=O,OD,PO 平面POD,
所以AD⊥平面POD,即DC⊥平面POD.
利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时,要注意以下三点:(1)两个平面垂直;(2)直线必须在其中一个平面内;(3)直线必须垂直于它们的交线.
[变式训练] 如图所示,P是四边形ABCD所在平面外的一点,G为AD边中点,四边形ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形.△PAD为正三角形,且平面PAD⊥平面ABCD.求证:
(1)BG⊥平面PAD;
(2)AD⊥PB.
【证明】 (1)如图,连接PG,BD.
因为四边形ABCD是菱形且∠DAB=60°,
所以△ABD是正三角形.
因为G为AD的中点,
所以BG⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD,
且平面PAD∩平面ABCD=AD,BG 平面ABCD,
所以BG⊥平面PAD.
(2)由(1)可知BG⊥AD,
因为△PAD为正三角形,G为AD的中点,
所以PG⊥AD.
又PG∩BG=G,PG,BG 平面PBG,
所以AD⊥平面PBG,
又PB 平面PBG,所以AD⊥PB.
题型二　与面面垂直有关的计算
[例2] (人教B版必修第四册P121例2)如图所示,已知α⊥β,在α与β的交线上取线段AB=,且AC,BD分别在平面α和平面β内,它们都垂直于交线AB,并且AC=1,BD=2,求CD的长.
【解】 因为α⊥β,α∩β=AB,BD β,BD⊥AB,
所以BD⊥α.
又因为BC α,所以BD⊥BC,因此△CBD是直角三角形.
在Rt△BAC中,有BC===2.
进而在Rt△CBD中,有CD===2.
平面与平面垂直的性质定理的主要应用就是过一个平面内一点作另一个平面的垂线,因此涉及已知条件中含平面与平面垂直的计算问题,主要是利用性质定理作出平面的垂线,将问题转化为直角三角形中的计算问题.
[变式训练] 在三棱锥P-ABC中,平面PAC⊥平面ABC,∠PCA=90°,△ABC是边长为4的正三角形,PC=4,M是AB边上的一动点,则PM的最小值为　　　　.
【答案】 2
【解析】 连接CM,则由题意知PC⊥平面ABC,可得PC⊥CM,所以PM=.要求PM的最小值,只需求出CM的最小值即可.在△ABC中,当CM⊥AB时,CM有最小值,此时CM=4×=2,所以PM的最小值为2.
题型三　折叠问题
[例3] 如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,AB=3DC=3BC,DE⊥AB于E点,沿DE将△ADE折起,使得点A到点P位置,∠PEB=90°,N是棱BC上的动点(与B,C不重合).判断在棱PB上是否存在一点M,使平面EMN⊥平面PBC,若存在,求;若不存在,说明理由.
【解】 存在,=.
理由如下:由PE⊥EB,PE⊥ED,
EB∩ED=E,EB,ED 平面EBCD,
所以PE⊥平面EBCD.
又BC 平面EBCD,
所以PE⊥BC.
又BC⊥BE,PE∩BE=E,PE,BE 平面PEB,所以BC⊥平面PEB.
又BC 平面PBC,
所以平面PBC⊥平面PEB.
又平面PBC∩平面PEB=PB,
作EM⊥PB,则EM⊥平面PBC.
又EM 平面EMN,
所以平面EMN⊥平面PBC.
由题意,不妨设AB=3DC=3BC=3,
则在Rt△PEB中,PE=2,EB=1,BP=,由等面积得=,所以EM=,
则BM==,所以=.
解决折叠问题的策略
(1)抓住折叠前后的变量与不变量,一般情况下,在折线同侧的量,折叠前后不变,“跨过”折线的量,折叠前后可能会发生变化,这是解决这类问题的关键.
(2)在解题时仔细审视从平面图形到立体图形的几何特征的变化情况.注意相应的点、直线、平面间的位置关系,线段的长度,角度的变化情况.
[变式训练] 如图①,山形图是两个全等的直角梯形ABCD和ABEF的组合图,将直角梯形ABEF沿底边AB翻折,得到图②所示的几何体.已知 AB∥CD∥EF,AB=2CD=2EF,AB⊥BE,点N在线段CE上,且EN=2NC,在几何体BCE-ADF中,解决下面的问题.
(1)求证:AE∥平面BND;
(2)若平面BDE⊥平面ABCD,求证:BE⊥AD.
【证明】 (1)连接AC与BD相交于O,连接ON.
由于AB=2CD,且 AB∥CD,
所以OC∶OA=CD∶AB=1∶2.
又EN=2NC,
所以ON∥AE,
AE 平面BND,ON 平面BND,所以AE∥平面BND.
(2)过C作CM⊥BD交BD于M,
由于平面BDE⊥平面ABCD,
且两平面交线为BD,CM 平面ABCD,
所以CM⊥平面BED,又BE 平面BED,故CM⊥BE.又AB⊥EB,且AB,CM是平面ABCD内的两相交直线,所以 BE⊥平面ABCD.
又AD 平面ABCD,
所以BE⊥AD.
(分值:95分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,在平面ABB1A1内任取一点M,作ME⊥AB于点E,则(　　)
[A] ME⊥平面ABCD
[B] ME 平面ABCD
[C] ME∥平面ABCD
[D] 以上都有可能
【答案】 A
【解析】 因为M∈平面ABB1A1,E∈AB,即E∈平面ABB1A1,所以ME 平面ABB1A1,
又平面ABB1A1⊥平面ABCD,平面ABB1A1∩平面ABCD=AB,
所以ME⊥平面ABCD.故选A.
2.已知m,n为不同的直线,α,β为不同的平面,若n⊥β,m∥n,则“α⊥β”是“m∥α”的(　　)
[A] 充分不必要条件
[B] 必要不充分条件
[C] 充要条件
[D] 既不充分也不必要条件
【答案】 B
【解析】 由n⊥β,m∥n,得m⊥β,
若α⊥β,则m∥α或m α,“α⊥β”不是“m∥α”的充分条件;
若m∥α,则存在过直线m的平面γ与平面α相交,令交线为l,则l∥m,而m⊥β,
于是l⊥β,又l α,因此α⊥β,即“α⊥β”是“m∥α”的必要条件,
所以“α⊥β”是“m∥α”的必要不充分条件.故选B.
3.如图,A,B,C,D为空间四点,在△ABC中,AB=2,AC=BC=,等边三角形ADB以AB为轴旋转,当平面ADB⊥平面ABC时,CD等于(　　)
[A] [B] 2 [C] [D] 1
【答案】 B
【解析】 取AB的中点E,连接DE,CE,
因为△ADB是等边三角形,
所以DE⊥AB.
当平面ADB⊥平面ABC时,因为平面ADB∩平面ABC=AB,DE 平面ADB,
所以DE⊥平面ABC,可知DE⊥CE.
由已知可得,DE===,
AB=2,AC=BC=,
所以CA2+CB2=AB2,
所以CA⊥CB,EC=AB=1,
在Rt△DEC中,CD===2.故选B.
4.如图,在四面体A-BCD中,AB=AC,BC⊥BD,平面ABC⊥平面BCD,O为线段BC的中点,则下列判断错误的是(　　)
[A] AC⊥BD
[B] BD⊥平面ABC
[C] AB⊥CD
[D] AO⊥平面BCD
【答案】 C
【解析】 因为平面ABC⊥平面BCD,平面ABC∩平面BCD=BC,BC⊥BD,
所以BD⊥平面ABC,即B正确;
因为AC 平面ABC,所以BD⊥AC,即A正确;
因为AB=AC,O为线段BC的中点,
所以BC⊥AO,同理可得AO⊥平面BCD,即D正确;
因为BD⊥平面ABC,AB 平面ABC,
所以BD⊥AB,
若AB⊥CD,BD∩CD=D,BD,CD 平面BCD,
则AB⊥平面BCD,
显然B,O不重合,故C错误.故选C.
5.已知在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,E是AD的中点,沿直线BE将△ABE翻折成△A′BE,则三棱锥A′-BDE的体积的最大值为(　　)
[A] [B] [C] [D]
【答案】 B
【解析】 如图所示,要使得三棱锥A′-BDE的体积取得最大值,
当平面A′BE⊥平面BCDE时,点A′到平面BCDE的距离取得最大值,取BE的中点F,因为A′B=A′E=2,可得 A′F⊥BE,
因为平面A′BE∩平面BCDE=BE,
且A′F 平面A′BE,所以A′F⊥平面BCDE,
在直角△A′BE中,可得A′F=,
即三棱锥A′-BDE的高为h=,
又由三角形BDE的面积为S=×2×2=2,
所以三棱锥A′-BDE的体积的最大值
V=Sh=×2×=.故选B.
6.如图,点N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角形,平面ECD⊥平面 ABCD,M是线段EB的中点,则(　　)
[A] DM≠EN,且直线DM,EN是异面直线
[B] DM=EN,且直线DM,EN是异面直线
[C] DM≠EN,且直线DM,EN是相交直线
[D] DM=EN,且直线DM,EN是相交直线
【答案】 D
【解析】 连接BD,
因为点N为正方形ABCD的中心,所以N是BD的中点,
所以DM,EN 平面BDE,所以DM与EN相交.
因为四边形ABCD是正方形,所以BC⊥CD.
又因为平面ECD⊥平面ABCD,
平面ECD∩平面ABCD=CD,
所以BC⊥平面ECD,因为EC,CD 平面ECD,所以BC⊥EC,BC⊥CD.
又因为△ECD是等边三角形,所以EC=CD,
所以△ECB≌△DCB,所以EB=DB.
又因为M是BE的中点,所以EN=DM.故选D.
7.(5分)α,β是两个不同的平面,m,n是平面α及β之外的两条不同直线,给出四个论断:
①m⊥n,②α⊥β,③m⊥β,④n⊥α.
以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题:　.
【答案】 若②③④则①或若①③④则②(写出其中正确的一组即可)
【解析】 如图,若②③④则①,成立;
如图,若①③④则②,成立;
如图,若①②④则③,不成立;
如图,若①②③则④,不成立.
8.(5分)如图,在三棱台ABC-A1B1C1中,平面ACC1A1⊥平面ABC,AB⊥BC,且AC=2A1C1=4,侧面ACC1A1是面积为6 的等腰梯形,则侧棱BB1的长度为　　　　.
【答案】 3
【解析】 分别取AC,A1C1的中点O和O1,连接OO1,BO,B1O1,
如图所示,因为四边形ACC1A1是等腰梯形,所以OO1⊥AC,
又平面ACC1A1⊥平面ABC,平面ACC1A1∩平面 ABC=AC,OO1 平面ACC1A1,
所以OO1⊥平面ABC,
又OB 平面ABC,所以OO1⊥OB,
所以=×(4+2)·OO1=6,
所以OO1=2.
又△ABC和△A1B1C1是直角三角形,AC=4,A1C1=2,所以OB=2,O1B1=1.
在直角梯形OBB1O1中,BB1===3.
9.(13分)如图,已知AB是☉O的直径,C是圆周上不同于A,B的任意一点,平面PAC⊥平面ABC.试判断BC与平面PAC的位置关系,并证明.
【解】 BC⊥平面PAC.证明如下:
因为AB是☉O的直径,C是圆周上不同于A,B的任意一点,所以∠ACB=90°,
因此BC⊥AC.
已知平面PAC⊥平面ABC,
而平面PAC∩平面ABC=AC,平面ABC内的直线BC垂直于AC,所以BC⊥平面PAC.
10.(14分)已知四边形ABCD为直角梯形,∠ADC=90°,AD∥BC,△ABD为等腰直角三角形,平面PAD⊥平面ABCD,E为PA的中点,AD=2BC=2,PA=3PD=3.
求证:(1)BE∥平面PDC;
(2)AB⊥平面PBD.
【证明】 (1)取PD的中点F,连接EF,CF,
因为E为PA的中点,
所以EF∥AD且EF=AD,
又AD∥BC,AD=2BC,
所以EF∥BC且EF=BC,
故四边形BCFE为平行四边形,
所以BE∥CF,
因为BE 平面PDC,CF 平面PDC,
所以BE∥平面PDC.
(2)由题意,AD=2BC=2,PA=3PD=3.
因为AD2+PD2=PA2,
所以PD⊥AD,
又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PD 平面PAD,
所以PD⊥平面ABCD,
因为AB 平面ABCD,
所以PD⊥AB,
因为△ABD为等腰直角三角形,
所以BD⊥AB,
因为PD∩BD=D,PD,BD 平面PBD,
所以AB⊥平面PBD.
11.(多选题)如图所示,在四边形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD=,BD⊥CD.将四边形 ABCD 沿对角线BD折成四面体A′-BCD,使平面A′BD⊥平面BCD,则下列结论不正确的是(　　)
[A] A′C⊥BD
[B] ∠BA′C=90°
[C] A′C与平面A′BD所成的角为30°
[D] 四面体A′-BCD的体积为
【答案】 ACD
【解析】 因为平面A′BD⊥平面BCD,平面 A′BD∩平面BCD=BD,BD⊥CD,CD 平面BCD,
所以CD⊥平面A′BD,
在四边形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD=,所以AB⊥AD.
对于A,CD⊥BD,
若A′C⊥BD,CD∩A′C=C,CD,A′C 平面A′CD,
则BD⊥平面A′CD,又A′D 平面A′CD,
则BD⊥A′D,显然不成立,故A错误;
对于B,因为CD⊥平面A′BD,A′B 平面 A′BD,所以CD⊥A′B,
因为A′B⊥A′D,CD∩A′D=D,CD,A′D 平面A′CD,
所以A′B⊥平面A′CD,因为A′C 平面A′CD,
所以A′B⊥A′C,所以∠BA′C=90°,故B正确;
对于C,因为CD⊥平面A′BD,所以∠CA′D为A′C与平面A′BD所成的角,
因为A′D=CD=1,所以∠CA′D=45°,故 C错误;
对于D,因为CD⊥平面A′BD,故CD为四面体C-A′BD的高,
所以=×·A′B·A′D·CD=××1×1×1=,故D错误.
故选ACD.
12.(多选题)如图,在梯形ABCD中,BC∥AD,∠ABC=90°,AD∶BC∶AB=2∶3∶4,E,F分别是AB,CD的中点,将四边形ADFE沿直线EF进行翻折.在翻折的过程中,可能成立的结论是(　　)
[A] DF⊥BC
[B] BD⊥FC
[C] 平面BDF⊥平面BCF
[D] 平面DCF⊥平面BCF
【答案】 BC
【解析】 对于A,因为 BC∥AD,AD与DF相交不垂直,所以BC与DF不垂直,则A错误;
对于B,设点D在平面BCF上的射影为点P,当BP⊥CF时就有BD⊥FC,而AD∶BC∶AB=2∶3∶4,∠BCF为锐角,所以可作出BP⊥CF,从而满足条件,所以B正确;
对于C,当点P落在BF上时,DP 平面BDF,从而平面BDF⊥平面BCF,所以C正确;
对于D,因为AD∶BC=2∶3,AD∶EF=4∶5,所以点D的投影不可能在CF上,所以平面 DCF⊥平面BCF不成立,即D错误.
故选BC.
13.(16分)如图,将边长为 的正方形ABCD沿对角线AC折起,使得点D到点D′的位置,连接BD′,O为AC的中点.
(1)若平面D′AC⊥平面ABC,求点O到平面 D′BC的距离;
(2)不考虑点D′与点B重合的位置,若二面角 A-BD′-C 的余弦值为-,求BD′的长度.
【解】 (1)连接OD′,OB,
则OD′⊥AC.
因为平面D′AC⊥平面ABC,OD′ 平面D′AC,
所以OD′⊥平面ABC.
又OB 平面ABC,
所以OD′⊥OB.
又正方形ABCD的边长为,
所以OD′=OB=OC=1,BD′=BC=D′C=.
设点O到平面D′BC的距离为h,则
=,
所以××1×1×1=××()2·h,
所以h=,即点O到平面D′BC的距离为.
(2)取D′B的中点E,连接AE,EC.
因为AB=AD′=BC=D′C=,
所以AE⊥BD′,EC⊥BD′,
所以∠AEC为二面角A-BD′-C的平面角,
所以cos∠AEC=-.
由题可知△ABD′≌△CBD′,
在△AEC中,AC=2,AE=CE,
cos∠AEC==-,
所以AE2=CE2=,
所以D′E2=AD′2-AE2=2-=,
所以D′B=2D′E=.8.6.3　平面与平面垂直
第1课时　平面与平面垂直的判定
【课程标准要求】　1.通过学习二面角的有关概念及二面角大小的求法,培养数学抽象、直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养.2.在发现、推导和应用平面与平面垂直的判定定理的过程中,培养数学抽象、直观想象和逻辑推理的核心素养.
知识点一　二面角的概念
1.二面角
项目 二面角
定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. 这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面. 如图,记作:二面角 α-l-β或二面角P-AB-Q或二面角P-l-Q
范围 [0,π]
2.二面角的平面角
文字语言 在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角
图形语言
二面角的 大小与平 面角的关系 二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角
范围 [0,π]
对二面角的平面角的理解
(1)二面角的大小与垂足O在l上的位置无关,一个二面角的平面角有无数个,它们的大小是相等的.
(2)构成二面角的平面角的三要素:“棱上”“面内”“垂直”,即二面角的平面角的顶点必须在棱上,角的两边必须分别在两个半平面内,角的两边必须都与棱垂直,这三个条件缺一不可,前两个要素决定了二面角的平面角大小的唯一性,后一个要素表明平面角所在的平面与棱垂直.
(3)当两个半平面重合时,θ=0°;当两个半平面合成一个平面时,θ=180°;当两个半平面垂直时,θ=90°,此时的二面角称为直二面角.
知识点二　平面与平面垂直
1.定义
项目 平面与平面垂直
定义 两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直,记作:α⊥β
画法 通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直
2.判定定理
文字语言 如果一个平面过另一个平面的垂线,那么这两个平面垂直
图形语言
符号语言 l⊥α,l β α⊥β
基础自测
1.已知l⊥α,则过l与α垂直的平面(　　)
[A] 有1个 [B] 有2个
[C] 有无数个 [D] 不存在
故选C.
2.对于直线m,n和平面α,β,能得出α⊥β的一个条件是(　　)
[A] m⊥n,m∥α,n∥β
[B] m⊥n,α∩β=m,n α
[C] m∥n,n⊥β,m α
[D] m∥n,m⊥α,n⊥β
3.从空间一点P向二面角α-l-β的两个面α,β分别作垂线PE,PF,E,F为垂足,若∠EPF=60°,则二面角α-l-β的平面角为　　　　　　　.
所以P,E,F三点确定的平面垂直于α和β.
过点E作l的垂线,垂足为O,连接OF,易知l⊥OF且P,E,O,F四点共面,
则∠FOE为二面角的平面角,
如图①所示,
此时,∠FOE+∠EPF=180°,
所以二面角α-l-β的平面角为120°.
当点P的位置如图②所示时,
此时∠FOE=∠EPF,
所以二面角α-l-β的平面角为60°.
题型一　二面角的概念及求法
[例1] 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,PA⊥平面ABCD.PA=AB=BC=4,CD=3,M为侧棱PC的中点.求二面角M-AD-B的正切值.
因为点O,M分别为AC,PC的中点,所以OM∥PA,OM=PA=2,
所以OM⊥平面ABCD.
因为OH 平面ABCD,AD 平面ABCD,
所以OM⊥OH,OM⊥AD.
因为OH∩OM=O,OH,OM 平面MHO,
所以AD⊥平面MHO.
因为HM 平面MHO,所以AD⊥HM,
所以∠MHO为二面角M-AD-B的平面角,
在直角梯形ABCD中,AD==.
因为S△AOD=AD·OH=S△ADC=·CD·BC=3,所以OH=,
所以tan∠MHO==,
即二面角M-AD-B的正切值为.
二面角的平面角的常见求法
(1)定义法:利用二面角的平面角的定义,在二面角的棱上取一点(一般取特殊点),过该点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线,两射线所成的角就是二面角的平面角,这是一种最基本的方法.
(2)找(作)公垂面法:由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直,因此公垂面与两个面的交线所成的角,就是二面角的平面角.
[变式训练] 已知正三棱锥P-ABC侧棱与底面边长都相等,则二面角P-AB-C的正弦值为　　　　.
取AB的中点D,连接PD,CD,
则PD⊥AB,CD⊥AB,且PD=CD=,可知二面角P-AB-C的平面角为∠PDC∈(0,),
由余弦定理可得
cos∠PDC===,
则sin∠PDC==,
所以二面角P-AB-C的正弦值为.
题型二　平面与平面垂直的判定定理
[例2] (苏教版必修第二册P193例4)如图,在正方体ABCD-A′B′C′D′中,求证:平面A′C′CA⊥平面B′D′DB.
又因为AC⊥BD,
且AA′∩AC=A,AA′,AC 平面A′C′CA,
所以BD⊥平面A′C′CA.
又因为BD 平面B′D′DB,
所以平面A′C′CA⊥平面B′D′DB.
证明平面与平面垂直的方法
(1)利用定义:证明二面角的平面角为直角.
(2)利用面面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直,即要证面面垂直,只要转证线面垂直,其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直.
[变式训练] 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为正方形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=2,E为线段PD的中点,F为线段PC(不含端点)上的动点.
求证:平面AEF⊥平面PCD.
所以CD⊥AD,
又因为PA⊥平面ABCD,CD 平面ABCD,所以PA⊥CD.
又PA∩AD=A,PA,AD 平面PAD,
所以CD⊥平面PAD,由AE 平面PAD,
可得CD⊥AE,
因为PA=AD,且E为PD的中点,
所以AE⊥PD,
由CD∩PD=D,CD,PD 平面PCD,可得 AE⊥平面PCD,又AE 平面AEF,所以平面AEF⊥平面PCD.
(分值:95分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.在二面角α-l-β的棱l上任选一点O,若∠AOB是二面角α-l-β的平面角,则必须具有的条件是(　　)
[A] AO⊥BO,AO α,BO β
[B] AO⊥l,BO⊥l
[C] AB⊥l,AO α,BO β
[D] AO⊥l,BO⊥l,且AO α,BO β
2.下列命题中正确的是(　　)
[A] 平面α和β分别过两条互相垂直的直线,则α⊥β
[B] 若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线,则α⊥β
[C] 若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线,则α⊥β
[D] 若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线,则α⊥β
3.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,二面角D1-BC-A的大小是(　　)
[A] 30° [B] 45° [C] 60° [D] 90°
D1C⊥BC,DC⊥BC,
可知∠D1CD为二面角 D1-BC-A 的平面角,
且四边形DCC1D1为正方形,则∠D1CD=45°,
所以二面角D1-BC-A的大小是45°.
故选B.
4.如图,PA垂直于矩形ABCD所在的平面,则图中与平面PCD垂直的平面是(　　)
[A] 平面ABCD
[B] 平面PBC
[C] 平面PAD
[D] 平面PAB
所以PA⊥CD,
由四边形ABCD为矩形得CD⊥AD,
因为PA∩AD=A,
所以CD⊥平面PAD.
又CD 平面PCD,
所以平面PCD⊥平面PAD.
故选C.
5.如图所示,空间四边形PABC的各边都相等,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,下列四个结论中不正确的是(　　)
[A] DF∥平面PBC
[B] AB⊥平面PDC
[C] 平面PEF⊥平面ABC
[D] 平面PAE⊥平面PBC
所以DF∥BC,由于DF 平面PBC,BC 平面PBC,
所以DF∥平面PBC,故A正确.
对于B,连接PD,CD,
由于三角形PAB和三角形ABC是等边三角形,
D是AB的中点,
所以PD⊥AB,CD⊥AB,
由于PD∩CD=D,PD,CD 平面PDC,所以AB⊥平面PDC,故B正确.
对于C,几何体P-ABC是正四面体,
设P在底面ABC上的射影为O,连接PO,则PO⊥平面ABC,
且O是等边三角形ABC的中心,
连接PE,PF,EF,由于E,F分别是BC,AC的中点,
所以EF是等边三角形ABC的中位线,所以 O EF,
所以平面PEF与平面ABC不垂直,故C错误.
对于D,连接AE,PE,
同理B选项的分析可得 BC⊥平面PAE,
由于BC 平面PBC,所以平面PAE⊥平面PBC,故D正确.
故选C.
6.(多选题)如图,在三棱锥 P-ABC中,已知PC⊥BC,PC⊥AC,E,F,G分别是所在棱的中点,则下列结论正确的是(　　)
[A] 平面EFG∥平面PBC
[B] 平面EFG⊥平面ABC
[C] ∠BPC是直线EF与PC所成的角
[D] ∠FEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角
7.(5分)如图所示,在三棱锥 P-ABC 中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,则二面角 B-PA-C 的大小等于　 .
所以PA⊥AB,PA⊥AC.
所以∠BAC为二面角B-PA-C的平面角.
又∠BAC=90°,所以所求二面角的大小为90°.
因为PA⊥平面ABCD,
所以PA⊥BD.
又PA∩AC=A,PA,AC 平面PAC,
所以BD⊥平面PAC,所以BD⊥PC.
所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,
即有PC⊥平面MBD,而PC 平面PCD,
所以平面MBD⊥平面PCD.
9.(13分)如图,在四面体A1-ABC中,A1A⊥平面ABC,AB⊥BC,且AA1=AB.
(1)四面体A1-ABC中有几组互相垂直的平面
(2)求二面角A-A1B-C和A1-BC-A的大小.
因为A1A⊥平面ABC,BC 平面ABC,
所以A1A⊥BC.
又因为AB⊥BC,A1A 平面A1AB,AB 平面A1AB,A1A∩AB=A,
所以BC⊥平面A1AB.
因为BC 平面A1BC,所以平面A1BC⊥平面A1AB.
于是四面体A1-ABC中互相垂直的平面为
平面A1AB⊥平面ABC,平面A1AC⊥平面ABC,平面A1BC⊥平面A1AB,有3组互相垂直的平面.
(2)由(1)知,平面A1BC⊥平面A1AB,所以二面角A-A1B-C为90°.
由BC⊥平面A1AB,得A1B⊥BC,又AB⊥BC,所以∠A1BA是二面角A1-BC-A的平面角.
在Rt△A1AB中,A1A=AB,则∠A1BA=45°,即二面角A1-BC-A为45°.
10.(14分)如图,在四面体ABCD中,O在线段AC上,且DO⊥平面ABC,AB⊥BC,AC=AD=2,BC=CD=1.
(1)求四面体ABCD的体积;
(2)求平面ABC与平面ABD所成角的正切值.
则cos∠ACD==,
sin∠ACD==.
因为DO=CDsin∠ACD=,在△ABC中,AB⊥BC,BC=1,则AB==,
S△ABC=AB·BC=,
所以四面体ABCD的体积
V=S△ABC·DO=××=.
(2)因为DO⊥平面ABC,AB 平面ABC,
所以DO⊥AB.
过O作OE∥BC交AB于E,连接DE,
由AB⊥BC,得OE⊥AB.
因为OE∩DO=O,OE,DO 平面DOE,所以AB⊥平面DOE.
又DE 平面DOE,所以AB⊥DE,∠DEO是平面ABC与平面ABD所成的角,
由(1)知OC=,AO=,由=,得 OE=,
所以平面ABC与平面ABD所成角的正切值
tan∠DEO==.
11.(多选题)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥BC,BC=CD=AB=2,E为AB的中点.以DE为折痕把△ADE折起,使点A到达点P的位置,且PC=2,则(　　)
[A] 平面PED⊥平面PCD
[B] PC⊥BD
[C] 二面角P-DC-B的大小为
[D] PC与平面PED所成角的正切值为
故选ABC.
12.(5分)如图,已知二面角 α-l-β 的大小为60°,在棱上取线段AB=,AC,BD分别在平面α和平面β内,它们都垂直于交线AB,并且AC=1,BD=2,则CD的长为　　　　.
于是∠CAE=60°,因为AC=1,BD=2,
所以CE2=AC2+AE2-2AC·AEcos 60°=1+4-2×1×2×=3,
又l⊥平面EAC,所以DE⊥平面EAC,DE⊥CE,
所以CD2=CE2+DE2=3+3=6,即CD=.
13.(16分)如图,四边形ABCD为圆台O1O2的轴截面,AB=2CD,圆台的母线与底面所成的角为60°,母线长为2,P是弧上的点,CP=,E为AP的中点.
(1)求证:DE∥平面BCP.
(2)求平面ACP与平面BCP夹角的余弦值.
因为EF∥AB,EF=AB,CD∥AB,CD=AB,
所以EF∥CD,EF=CD,所以EFCD为平行四边形,所以DE∥CF,又DE 平面BCP,CF 平面BCP,所以DE∥平面BCP.
所以CD=2,AB=4,
所以CH=,BH=1,又CP=,
所以PH=,O1H=1,
又O1P=2,所以PH2+O1H2=O1P2,
所以PH⊥O1B,又由PH=CH=,AH=3,
可得AP=AC=2,BC=BP=2,
取PC中点Q,连接AQ,BQ,
所以AQ⊥PC,BQ⊥PC,
则∠AQB为二面角A-PC-B的平面角,
又易知AQ===,
BQ===,所以cos∠AQB==-=-,
所以平面ACP与平面BCP夹角的余弦值为.(共25张PPT)
8.6.3　平面与平面垂直
第1课时　平面与平面
垂直的判定
1.通过学习二面角的有关概念及二面角大小的求法,培养数学抽象、直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养.2.在发现、推导和应用平面与平面垂直的判定定理的过程中,培养数学抽象、直观想象和逻辑推理的核心素养.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点一　二面角的概念
1.二面角
项目 二面角
定义
从一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角.
叫做二面角的棱, 叫做二面角的面.
如图,记作: 或 或 .
范围 [0,π]
两个半平面
这条直线
这两个半平面
二面角 α-l-β
二面角P-AB-Q
二面角P-l-Q
2.二面角的平面角
文字语言 在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作 于棱l的 OA和OB,则射线OA和OB构成的 叫做二面角的平面角
图形语言
二面角的 大小与平 面角的关系 二面角的大小可以用它的 来度量,二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度.平面角是 的二面角叫做直二面角
范围 [0,π]
垂直
射线
∠AOB
平面角
直角
·疑难解惑·
对二面角的平面角的理解
(1)二面角的大小与垂足O在l上的位置无关,一个二面角的平面角有无数个,它们的大小是相等的.
(2)构成二面角的平面角的三要素:“棱上”“面内”“垂直”,即二面角的平面角的顶点必须在棱上,角的两边必须分别在两个半平面内,角的两边必须都与棱垂直,这三个条件缺一不可,前两个要素决定了二面角的平面角大小的唯一性,后一个要素表明平面角所在的平面与棱垂直.
·疑难解惑·
(3)当两个半平面重合时,θ=0°;当两个半平面合成一个平面时,θ=180°;当两个半平面垂直时,θ=90°,此时的二面角称为直二面角.
知识点二　平面与平面垂直
1.定义
项目 平面与平面垂直
定义 两个平面相交,如果它们所成的二面角是 ,就说这两个平面互相垂直,记作: .
画法 通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直
直二面角
α⊥β
2.判定定理
文字语言 如果一个平面过另一个平面的 ,那么这两个平面垂直
图形语言
符号语言 l⊥α, α⊥β
垂线
l β
基础自测
1.已知l⊥α,则过l与α垂直的平面(　　)
[A] 有1个 [B] 有2个
[C] 有无数个 [D] 不存在
C
【解析】 由面面垂直的判定定理知,凡过l的平面都垂直于平面α,这样的平面有无数个.
故选C.
2.对于直线m,n和平面α,β,能得出α⊥β的一个条件是(　　)
[A] m⊥n,m∥α,n∥β
[B] m⊥n,α∩β=m,n α
[C] m∥n,n⊥β,m α
[D] m∥n,m⊥α,n⊥β
C
【解析】 因为n⊥β,m∥n,所以m⊥β,又m α,由面面垂直的判定定理得α⊥β.故选C.
3.从空间一点P向二面角α-l-β的两个面α,β分别作垂线PE,PF,E,F为垂足,若∠EPF=60°,则二面角α-l-β的平面角为　　　　　　　.
60°或120°
【解析】 因为PE⊥α,PF⊥β,
所以P,E,F三点确定的平面垂直于α和β.
过点E作l的垂线,垂足为O,连接OF,易知l⊥OF且P,E,O,F四点共面,
则∠FOE为二面角的平面角,
如图①所示,
此时,∠FOE+∠EPF=180°,
所以二面角α-l-β的平面角为120°.
当点P的位置如图②所示时,
此时∠FOE=∠EPF,
所以二面角α-l-β的平面角为60°.
关键能力·素养培优
题型一　二面角的概念及求法
[例1] 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,∠ABC=∠BCD=
90°,PA⊥平面ABCD.PA=AB=BC=4,CD=3,M为侧棱PC的中点.
求二面角M-AD-B的正切值.
·解题策略·
二面角的平面角的常见求法
(1)定义法:利用二面角的平面角的定义,在二面角的棱上取一点(一般取特殊点),过该点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线,两射线所成的角就是二面角的平面角,这是一种最基本的方法.
(2)找(作)公垂面法:由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直,因此公垂面与两个面的交线所成的角,就是二面角的平面角.
[变式训练] 已知正三棱锥P-ABC侧棱与底面边长都相等,则二面角P-AB-C
的正弦值为　　　　.
[例2] (苏教版必修第二册P193例4)如图,在正方体ABCD-A′B′C′D′中,求证:平面A′C′CA⊥平面B′D′DB.
题型二　平面与平面垂直的判定定理
【证明】 因为AA′⊥平面ABCD,且BD 平面ABCD,所以AA′⊥BD.
又因为AC⊥BD,
且AA′∩AC=A,AA′,AC 平面A′C′CA,
所以BD⊥平面A′C′CA.
又因为BD 平面B′D′DB,
所以平面A′C′CA⊥平面B′D′DB.
·解题策略·
证明平面与平面垂直的方法
(1)利用定义:证明二面角的平面角为直角.
(2)利用面面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直,即要证面面垂直,只要转证线面垂直,其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直.
[变式训练] 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为正方形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=2,E为线段PD的中点,F为线段PC(不含端点)上的动点.
求证:平面AEF⊥平面PCD.
【证明】 因为底面ABCD为正方形,所以CD⊥AD,
又因为PA⊥平面ABCD,CD 平面ABCD,所以PA⊥CD.
又PA∩AD=A,PA,AD 平面PAD,
所以CD⊥平面PAD,由AE 平面PAD,
可得CD⊥AE,
因为PA=AD,且E为PD的中点,所以AE⊥PD,
由CD∩PD=D,CD,PD 平面PCD,可得 AE⊥平面PCD,又AE 平面AEF,所以平面AEF⊥平面PCD.
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